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Colecciones de ejercicios
Derivadas
Selectividad CCNN Cataluña
1. [2014] [EXT] Sean las funciones f(x) = e
ax+b
4
 y g(x) = + 3x+4.
a) Determine el dominio y el recorrido de la función g.
b) Calcule para qué valores de a y b las gráficas de las dos funciones son tangentes (es decir, tienen la misma recta tangente) en
el punto de abscisa x = 0.
2. [2014] [JUN] Un nadador está en el mar en un punto N, situado a 3 km de una playa recta, y justo delante de un punto S, situado
en la misma orilla el mar; y quiere ir a un punto A, situado también en la orilla y a 6 km del punto S, de manera que el triángulo
NSA es rectángulo en el vértice S. El nadador nada a una velocidad constante de 3 km/h y camina a una velocidad constante de 5
km/h.
a) Si P es un punto entre el punto S y el punto A que está a una distancia x de S, demuestre que el tiempo, en horas, que necesita
el nadador para nadar del punto N al punto P y caminar del punto P hasta el punto A viene dado por la expresión
t(x) = x
2+9
3
 + 6-x
5
.
b) Calcule el valor de x que determina el mínimo tiempo necesario para ir del punto N al punto A, pasando por P. ¿Cuál es el valor
de ese tiempo mínimo?
3. [2013] [EXT] Se quiere construir una tienda en forma de pirámide regular de base
cuadrada. Disponemos de 300 m2 de tela para la fabricación de las cuatro caras de la
tienda (se supone que en la elaboración de las caras no se pierde tela). Designamos x la
longitud de un lado de la base de la tienda.
a) Sabiendo que el volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de la base por la
altura, compruebe que, en este caso, V(x) = x 9·10
4 - x4
6
b) Determine el valor de x para que el volumen sea lo mayor posible (no es necesario que
compruebe que el valor obtenido corresponde realmente a un máximo)
4. [2013] [JUN] Se quiere construir un canal que tenga como sección un trapecio isósceles de manera que la
anchura superior sea el doble de la anchura inferior y que los lados no paralelos sean de 8 metros. A la
derecha tiene un esquema de la sección del canal.
a) Encuentre el valor del segmento L de la gráfica en función de la variable x (anchura inferior del canal).
b) Sabemos que el área de un trapecio es igual a su altura multiplicada por la semisuma de sus bases.
Compruebe que, en este caso, el área de la sección viene dada por A(x) )= 3x 256-x
2
4
.
c) Calcule el valor de x para que el área de la sección del canal sea máxima (no es necesario que compruebe que es realmente un
máximo).
5. [2013] [JUN] La función f(x) es derivable y pasa por el origen de coordenadas. La gráfica
de la función derivada es la que puede ver aquí dibujada, siendo f'(x) creciente en los
intervalos (-,-3] y [2,+).
a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el punto de
abscisa x = 0.
b) Indique las abscisas de los extremos relativos de la función f(x) y clasifique estos
extremos.
6. [2012] [EXT] Sea f(x) = ax
2
x+b
, en que a  0.
a) Determine si tiene alguna asíntota vertical, en función del parámetro b.
b) Indique el valor de los parámetros a y b para que la función f(x) tenga la recta y =2x-4 como asíntota oblicua en +.
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7. [2012] [EXT] Una fábrica produce cada día x toneladas de un producto A y (40–5x)/(10–x) toneladas de un producto B. La
cantidad máxima de producto A que se puede producir es de 8 toneladas. El precio de venta del producto A es de 100 € por
tonelada y el del producto B es 250 € por tonelada.
a) Construya la función de la variable x que nos proporciona los ingresos diarios, suponiendo que se vende toda la producción.
b) Calcule cuántas toneladas de cada producto se tienen que producir diariamente para obtener el máximo de ingresos, y
compruebe que es realmente un máximo relativo.
8. [2012] [EXT] Dadas la recta y = ax+1 y la parábola y = 3x–x2,
a) Calcule los valores del parámetro a para que sean tangentes.
b) Calcule los puntos de tangencia.
9. [2012] [JUN] Dadas la recta y=3x+b y la parábola y = x2,
a) Calcule la abscisa del punto en el cual la recta tangente a la parábola es paralela a la recta dada.
b) Calcule el valor del parámetro b para que la recta sea tangente a la parábola.
10. [2012] [JUN] Un triángulo equilátero de vértices A, B y C tiene los lados de 8 cm. Se sitúa un punto P
sobre una de las alturas del triángulo, a una distancia x de la base correspondiente.
a) Calcule la altura del triángulo de vértices A, B y C.
b) Indique la distancia del punto P a cada uno de los vértices (en función de x).
c ) Determine el valor de x para el cual la suma de los cuadrados de las distancias del punto P a cada
uno de los tres vértices sea mínima.
11. [2011] [EXT] Dada la función f(x) = x3+ax2+bx+c:
a) Encuentre la relación que deben cumplir los parámetros a, b y c para que f(x) tenga un extremo relativo en el punto de abscisa
x = -1.
b) Calcule el valor del parámetro a para que haya un punto de inflexión de la función f(x) en el punto de abscisa x = 0.
c) Encuentre la relación entre los parámetros a, b y c sabiendo que la gráfica de f(x) corta al eje OX en el punto de abscisa x = 2.
d) Calcule el valor de los parámetros a, b y c para que se cumplan las tres condiciones anteriores simultaneamente.
12. [2011] [JUN] Sea f(x) = x2e-ax, cuando a  0.
a) Calcule el valor de a para que esta función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x = 2.
b) Cuando x = 2, clasifique sus extremos relativos.
13. [2010] [EXT] Considere todos los prismas rectos de base cuadrada con un volumen V fijado. Sea x el lado de la base del prisma ey
su altura.
a) Encuentre la expresión del volumen y del área total del prisma en función de las variables x e y.
b) Compruebe que el que tiene área total mínima es en realidad un cubo.
14. [2010] [JUN] Un segmento de longitud fijada m se apoya sobre los ejes de coordenadas.Calcule
el valor del ángulo a que forma el segmento con el eje OX para que el triángulorectángulo
determinado por el segmento con los ejes y del cual m es la hipotenusa tenga áreamáxima.
Compruebe que se trata realmente de un máximo.
15. [2009] [EXT] Considere la función real de variable real f(x) = 2x
3
x2-1
.
a) Encuentre su dominio.
b) Calcule la ecuación de sus asíntotas, si existen.
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c) Estudie sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como las abscisas de sus extremos relativos, si los tiene, y
clasifíquelos.
16. [2009] [EXT] Sea f(x) = 2x3-x2+3x+1. Dadas las rectas r1: y = x+2 y r2: y = 7x-2:
a) Explique, razonadamente, si alguna de las dos rectas puede ser tangente a la curva y = f(x) en algún punto.
b) En caso de que alguna de ellas lo sea, encuentre el punto de tangencia.
17. [2008] [EXT] Dadas las funciones f(x) = e
x-e-x
2
 y g(x) = e
x+e-x
2
:
a) Compruebe que g(x) 2- f(x) 2 = 1.
b) Compruebe también que f'(x) = g(x) y g'(x) = f(x).
c) Compruebe que f(x+y) = f(x)·g(y) + f(y)·g(x).
d) Calcule lim
x+
f(x)
g(x)
 dividiendo por ex el numerador y denominador. Con un procedimiento similar (pero no igual), encuentre el
lim
x-
f(x)
g(x)
.
18. [2008] [EXT] Considere la función f(x) = ax2+x+b (a,b). Encuentre los valores de a y b que hacen que la recta y = 2x+1 sea
tangente a la gráfica de f cuando x = 1.
2-2
1
-1
X
Y19. [2008] [JUN] Considere una función cuya representación gráfica en el intervalo
(-3,3) es la de la derecha.
a) Determine las abscisas de sus puntos extremos (máximos y mínimos) relativos.
b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo (-3,3).
c) Haga un esbozo de la gráfica de la derivada de esta función.
d) Sabiendo que la función es de la forma
f(x) = ax4+bx2+c, encuentre de qué función se trata.
20. [2007] [JUN] Un almacén tiene forma de prisma recto de base cuadrada y un volumen de 768 m3. Se sabe que la pérdida de calor
a través de las paredes laterales vale100 unidades por m2, mientras que a través del techo es de 300 unidades por m2. Lapérdida
por el suelo es muy pequeña y se puede considerar nula. Calcule las dimensiones del almacén para que la pérdida de calortotal sea
mínima.
21. [2007] [JUN] La función derivada f'(x) de cierta función f: es una función a trozos
formada por las semirrectas del dibujo.
a) Diga si f(x) es derivable en todos los puntos de  y por qué.
b) Estudie el crecimiento y el decrecimiento de f.
c) Encuentre si f(x) tiene algún extremos relativo y, si es así, para qué valor de x y de qué
tipo.
d) Sabiendo que f(0) = 1, calcule el valor de f(1).
22. [2007] [JUN] Calcule los valores del parámetro a, a0, que hacen que las tangentes a la curva de ecuación y = ax4+2ax3-ax+1512
en los puntos de inflexión sean perpendiculares.
23. [2006] [EXT] Sea f: la función definida por f(x) = ex(ax+b), donde a y b son números reales.
a) Calcule los valores de a y b para que la función tenga un extremoa relativo en 3,e3 .
b) Para los valores de a y b obtenidos, diga que tipo de extremo tiene la función en el punto citado.
24. [2006] [JUN] Considere la función f(x) = x4+ax3+bx2+cx+7.
a) Calcule c sabiendo que su recta tangente en el punto de abscisa x = 0 es horizontal.
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b) Para el valor de c encontrado en el apartado anterior, calcule a y b sabiendo que esta función tiene un extremo relativo en el
punto de abscisa x = -2 y que corta al eje OX cuando x = 1.
c) Para los valores obtenidos en los otros apartados, calcule los intervalos donde la función crece y decrece, sus extremos
relativos y dibuje una representación gráfica aproximada.
25. [2005] [EXT] Considere la función f(x) = 3-x2 y un punto de su gráfica, M, situado en el primer cuadrante x  0, y  0 . Si por el
punto M trazamos paralelas a los ejes de coordenadas, su intersección con OX y OY determina dos puntos A y B respectivamente.
a) Haz un gráfico de los elementos del problema.
b) Halle las coordenadas del punto M para el cual el rectángulo OAMB tenga el área máxima.
26. [2005] [JUN] Halle los máximos y mínimos relativos de la función f(x) = 6x5-15x4+10x3
27. [2005] [JUN] Sea la parábola y = 2x2+x+1 y sea A el punto de la parábola de abscisa 0.
a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto A.
b) ¿En qué punto de la parábola la recta tangente es perpendicular a la recta que ha hallado en el apartado anterior?
28. [2004] [EXT] Considere la función polinómica de tercer grado f(x) = ax3+bx2+cx+d (a0).
a) Halle los valores de a, b, c y d para los cuales la función f(x) corta al eje OX en los puntos x = 0 y x =1 y presenta un mínimo
relativo en el punto x = 0.
b) Haga un esbozo de la gráfica de la función hallada y acabe de calcular los elementos necesarios para dibujarla.
29. [2004] [EXT] La siguiente gráfica corresponde a una función f:[2,6] derivable y con derivada
continua. Haga un esbozo de la gráfica de f':(2,6) y justifique el porqué.
30. [2004] [JUN] Considere la función f(x) = x3-3x2+2x+2.
a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 3.
b) ¿Existe alguna otra recta tangente a la gráfica de f(x) que sea paralela a la que ha hallado? Razone la respuesta y, en caso
afirmativo, halle su ecuación.
31. [2004] [JUN] Considere la función f(x) = 1+ a
x
 + 6
x2
 donde a es un parámetro.
a) Calcule el valor del parámetro a sabiendo que f(x) presenta un extremo relativo en el punto de abscisa x = 3.
b) Este extremo relativo, se trata de un máximo o un mínimo? Razone la respuesta.
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32. [2003] [EXT] Un campo tiene forma de trapecio rectángulo, de bases 240 m y 400
m, y el lado perpendicular a las bases también de 400 m. Se quiere dividir tal como
indica la figura para hacer dos campos rectangulares C1 y C2. Llamemos x e y a los
catetos de uno de los triángulos rectángulos que se forman.
a) Compruebe que y = 5
2
x.
b) Utilizando la igualdad anterior, escriba la suma de las áreas de los dos campos en
función de x.
c) El campo C1 se quiere sembrar con maíz y el campo C2 con trigo. Con el maíz se
obtiene un beneficio de 0,12 euros por m2 y con el trigo un beneficio de 0,10 euros
por m2. Determine las medidas de cada uno de los campos para obtener el beneficio
máximo.
33. [2003] [EXT] Calcule el punto de la curva y = 2+x-x2 en el que la tangente es paralela a la recta y = x.
34. [2003] [JUN] Queremos unir el punto M en un lado de una calle de
3 m de ancho con el punto N situado en el otro lado de la calle y 9
m más abajo mediante dos cables rectos, uno desde M hasta un
punto P situado al otro lado de la calle y otro desde P hasta N
siguiendo el mismo lado de la calle, según el esquema.
El coste de la instalación del cable MP es de 12 euros por metro y
el del cable PN de 6 euros por metro. ¿Qué punto P tendremos que
escoger de maneraque la conexión de M con N sea lo más
económica posible? ¿Cuál será este coste mínimo?
35. [2003] [JUN] Calcule las ecuaciones de las dos rectas del plano que pasan por el punto P = (1,-1) y que son tangentes a la curva de
ecuación y = (x-1)2.
 Soluciones
6. x = -b (b0) b) 2, 2 7. 15, 7 8. a) 1, 5 b) (-1,-4), (1,2) 9. a) 3
2
 b) -9
4
 10. a) 4 3 b) 4 3-x; x2+16 c) 4 3
3
 11. a) 2a-b = 3 b) a = 0 c) 4a-2b+c = 8 c) 0, -3, 2
12. a) 1 b) max: 1; min: 0 13. a) v=x2y; s=4xy+2x2 b) 3 v 14. 45º 15. a) - {-1,1} b) x = -1; x = 1; y = 2x c) crec: -,- 3  3,+ ; max: - 3; min: 3 16. a) y =
7x-2 b) (1,5) 17. d) 1, -1 18. 1
2
, 3
2
 19. a) -2, 0, 2 b) Creciente en (-3,-2)(0,2) c) 
1 2-1-2
1
-2
X
Y
 d) f(x) = -x
4
8
+x2-1 20. 8x8x12 21. a) -{1} b) creciente en
-,2 c) máximo en x=2 d) f(1) = 2 22. 1 23. a) -1, 4 b) máximo 24. a) 0 b) 0, -8 d) Crecimiento: -2,0  2,+ . Max: 0; min: -2, 2. Gráfica: 25. b)
(1,2) 26. no tiene 27. a) y = x+1 b) -1
2
,1 28. a) f(x) = ax3-ax2 (a<0) 29. 2 4 6
X
Y
 30. a) y = 11x+25 b) y = 11x+7 31. a) -4 b) mínimo 32. b) A =
-5x2+800x+96000
2
 c) C1: 300x250; C2: 240x150 33. (0,2) 34. 1,73 m de la perpendicular desde M; 85,18 euros 35. y = -2x+1 ; y = 2x-4
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