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Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN Cataluña
1. [2014] [EXT] Se sabe que una función f tiene por derivada la función f'(x) = (3x-2)2(x-2).
a) Calcule los valores de x en los que la función tiene un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto de inflexión, e indique en
cada caso de qué se trata.
b) Determine la función f sabiendo que se anula en el punto de abscisa x = 2.
2. [2014] [JUN] Calcule el área de la región del plano limitada en el primer cuadrante por las gráficas de las funciones y = x2,
y = 4x2 e y = 9.
3. [2013] [EXT] De la función P(x) = x3+ax2+bx+2 sabemos que
> tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = -3
> la integral definida en el intervalo [0,1] vale - 5
4
.
Calcule el valor de los parámetros a y b.
4. [2013] [JUN] La curva y = x2 y la recta y = k, con k > 0, determinan una región plana.
a) Calcule el valor del área de esta región en función del parámetro k.
b) Encuentre el valor de k para que el área limitada sea 6 u2.
5. [2011] [EXT] Sea f(a) = 
1/a
a2+x2 dx
0
, para a > 0.
a) Compruebe que f(a) = 1
3a3
+a.
b) Calcule el valor del parámetro a para que la función f(a) tenga un mínimo relativo.
6. [2011] [JUN] Definimos las funciones f(x) = a 1-x2 y g(x) = x
2-1
a
, en que a > 0.
a) Compruebe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones es: 4 1+a
2
3a
.
b) Calcule el valor del parámetro a para que esta área sea mínima.
7. [2010] [EXT] Dada la función f(x) = 8x
2
2x+1
, encuentre el área del recinto limitado por la gráfica de esta función, el eje OX y las
rectas x = 0 y x = 2.
8. [2010] [JUN] La gráfica de la función f(x) = x·sen(x) es la siguiente:
a) Encuentre una primitiva de la función.
b) Aplicando el resultado del apartado anterior, calcule el área del recinto limitado por la
gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas desde x = 0 hasta x = .
1 2 3 4 5-1
1
2
3
4
-1
X
Y
9. [2009] [JUN] La gráfica de la función f(x) = 3+x
x
, desde x = 1 hasta x = 4 es la siguiente:
a) Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de la función en los puntos de abscisa x = 1 y
x = 3.
b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la función y las dos rectas tangentes que has calculado
en el apartado anterior.
c) Encuentra los vértices de este recinto.
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d) Calcula la superficie del recinto anterior.
10. [2009] [JUN] Considera la función f(x) = x(a-x)
a3
, con a > 0.
a) Encuentra las puntos de corte de la función f(x) con el eje OX.
b) Comprueba que el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas no depende del valor del
parámetro a.
11. [2008] [JUN] Sabemos que cierta función derivable F(x) verifica las siguientes condiciones:
F'(x) = 14 x
 y F(1) = 3
a) Encuentre F(x).
b) Calcule el área comprendida entre F(x) y el eje OX desde x = 0 hasta x = 1.
12. [2007] [EXT] Dadas las funciones f(x) = x2-ax-4 y g(x) = x
2
2
+b:
a) Calcule a y b de manera que los gráficos de f(x) y de g(x) sean tangentes en el punto de abscisa x = 3, es decir, que tengan la
misma recta tangente en dicho punto.
b) Halle la ecuación de la recta tangente mencionada en el apartado anterior.
c) Para el valor de a obtenido en el primer apartado, calcule el valor del área de la región limitada por el eje de abscisas OX y la
función f(x).
13. [2007] [EXT] La función derivada F'(x) de una función continua f: que
pasa por el origen es una función a trozos formada por las semirrectas del
dibujo.
Escriba la expresión de la función F(x) como una función a trozos.
14. [2006] [EXT] Considere la parábola de ecación y = x2+2x-3.
a) Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola en los puntos de abscisa x = -1 y x = 1.
b) Calculando el mínimo de la función y = x2+2x-3, encuentre el vértice de la parábola.
c) Encuentre las intersecciones de la prábola con los ejes y haga una representación gráfica de la parábola y de las tangentes
obtenidas en el primer apartado.
d) Calcule el ára comprendida entre la parábola y las rectas tangentes.
15. [2006] [EXT] La gráfica de la función f(x) = 1
2x+1
, cuando x > 0, es tal como sigue.
a) Encuentre una primitiva de la función f.
b) Calcule el área de la región sombreada.
16. [2005] [EXT] Considere la función f(x) = x
2+x+b si x < 0
aebx si x  0
 , donde a y b son números reales.
a) ¿Qué condición tienen que cumplir a y b para que f sea continua en todo ?
b) Halle los valores de a y b para los cuales f sea continua pero no derivable en todo .
c) Para a = 1 y b = 1, calcule 
1
f(x)dx
-1
.
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17. [2005] [JUN] Dada la función f(x) = 
x
5x2-4
:
a) Calcule la integral f(x)dx.
b) Halle la primitiva F de f que verifica F(1) = 1.
18. [2004] [EXT] Calcule el valor de la siguiente integral: 
3
x+1+ x+1
x+1
dx
0
19. [2004] [JUN] Dada la función f(x) = cosx - cos3x:
a) Halle su integral indefinida.
b) ¿Cuál es la primitiva de f(x) que pasa por el punto 
2
,0 ?
(Indicación: Recuerde que sen2x+cos2x = 1)
20. [2003] [EXT] Dada f(x) = (2x+1)e x
2+x , determine la función g(x) tal que g'(x) = f(x) (es decir, una primitiva de f(x)) y que su
gráfica pase por el punto (0,2).
21. [2003] [JUN] Calcule 
e
2ln3(x)
x
dx
1
 Soluciones
5. b) 6
3
 6. b) 1 7. 4+ln5 8. a) senx-xcosx b)  9. a) y = -3x+7; y = -1
3
x+3 b) c) (1,4),(3,2), 3
2
,5
2
 d) -3+3ln3 10. a) (0,0), (a,0) b) A = 1
6
 11.
a) 4
4
x3+5
3
 b) 17
7
 12. a) 3 b) y = 3x-5 c) 125
6
 13. 
x2
2
 - x si x < 2
x-2 si x  2
 14. a) y = -4; y = 4x-4 b) -1,4 c) 1 2 3-1-3
1
-2
-4
X
Y
 d) 2
3
 15. a) F(X) = 1
2
ln(2x+1)+c b) 1
2
ln9
5
16. a) a = b b) b = a, a{-1,1} c) 6e-1
6
 17. a) 1
5
5x2-4 +c b) 5x
2-4+4
5
 18. 5 19. a) sen
3x
3
 +c b) sen
3x-1
3
 20. g(x) = e x
2+x +1 21. 1
2
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