Tema 02 - Reducción al primer cuadrante

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5UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 2
REDUCCIÓN AL PRIMER
CUADRANTE
TRIGONOMETRÍA
I. ÁNGULO DE REFERENCIA
El ángulo de referencia denotado por r , de un ángulo
 en posición normal es el ángulo agudo formado por
el lado final de dicho ángulo y el eje "X".
Los siguientes gráficos muestran ángulos en posición
normal con sus respectivos ángulos de referencia.
Propiedad
Si  es un ángulo en posición normal tal que  es
menor que una vuelta entonces se cumple que:
R
R
R
R
Si IC
Si IIC 180
Si IIIC 180
Si IVC 360
    
      
      
      
Ejemplos:
Calcula los ángulos de referencia r( ) de los siguientes
ángulos en posición normal ( ) .
1. 40  
40 40 IC    
r 40   
2. 100   
100 100 IIC     
r 180 100 80       
3. 230  
230 230 IIIC    
r 230 180 50       
DESARROLLO DEL TEMA
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REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
TEMA 2
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4. 290   
290 290 IVC      
r 360 290 70       
II. CÁLCULO DE ÁNGULOS DE REFERENCIA
PARA ÁNGULOS MAYORES A UNA VUELTA
Si 1vuelta  entonces dividimos a  entre 360° y
calculamos el r del ángulo residuo.
Ejemplos:
1. 2000    2000 360
200 5
 

Residuo = r200 III 200 180 20        
2. 1000    1000 360
280 2
 

Residuo = r280 IV 360 280 80        
3. 3400 3400 3400          
3400 360
160 9
 

Residuo = r160 II 180 160 20        
III. REDUCCIÓN DE UNA R.T. AL PRIMER
CUADRANTE
Es el proceso mediante el cual se determina el valor de
una razón trigonométrica utilizando su correspondiente
ángulo de referencia.
Propiedad
Sea  cualquier ángulo en posición normal y R su ángulo
de referencia, entonces se verifica que las razones tri-
gonométricas de Ry  tienen igual valor absoluto.
R RR.T.( ) R.T.( ) R.T.( ) R.T.( )       
El signo del segundo miembro dependerá en que cua-
drante se encuentra  y de que R.T. se trate.
Ejemplos:
Reduce al primer cuadrante:
1.
r
Sen200 Sen 200 Sen 20
IIIC
 
     
  
2.
r
Cos310 Sen 310 Sen50
I CV
 
     
  
3.
r
Tan110 Tan110 Tan 70
IIC
 
     
  
4.
r
Sen( 140 ) Sen( 140 ) Sen 40
IIIC
 
       
  
5.
r
Cos2000 Cos 2000 Cos 20
IIIC
 
     
  
6.
r
Tan( 3400 ) Tan( 3400 ) Tan 20
IIIC
 
       
 
IV. CASOS ESPECIALES DE REDUCCIÓN
A. Para ángulo negativos
Si 0  ; entonces se cumple:
Sen( ) Sen
Cos( ) Cos
Tan( ) Tan
Cot( ) Cot
Sec( ) Sec
Csc( ) Csc
   
  
   
   
  
   
B. Para ángulos complementarios
Si 90    ; entonces se cumple:
Sen Cos
Tan Cot
Sec Csc
  
  
  
C. Para ángulos suplementarios
Si 180    ; entonces se cumple:
Sen Sen
Cos Cos
Tan Tan
Cot Cot
Sec Sec
Csc Csc
  
   
   
   
   
  
D. Para ángulos revolucionarios
Si 360     se cumple:
Sen Sen
Cos Cos
Tan Tan
Cot Cot
Sec Sec
Csc Csc
   
  
   
   
  
   
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E. Para ángulos de la forma
 (90° ± ) y (270° ± )
Para cualquier  no cuadrantal se cumple:
R.T.(90 ) CO R.T.( )
R.T.(270 ) CO R.T.( )
      
      
El signo del segundo miembro dependerá en que
cuadrante se encuentran (90 )   y (270 )   asu-
miendo  agudo; además de que R.T. se trate.
Ejemplos:
•
•
F. Para ángulos de la forma
(180°± ) y (360°± ) 
Para cualquier  no cuadrantal se cumple:
R.T.(180 ) R.T.( )
R.T.(360 ) R.T.( )
     
     
El signo del segundo miembro dependerá en que
cuadrante se encuentran (180 )   y (360 )   asu-
miendo  agudo; y de que R.T. se trate.
Ejemplos:
•
•
Problema 1
Si:
 tan  5 14 3x 5   , cot  3 y 42  
Calcule x + y.
UNI 2012-II
A)
4
5
 B) 3
4

C) 3
5
 D)
5
3
E)
8
3
Resolución:
Ubicación de incógnita
Dados dos relaciones nos piden "x + y".
   5 1 3Tan Cot y 44 3x 5 2    
Análisis de los datos o gráficos
Observamos que 43
 es cuadrantal y
45
 pertenece al tercer cuadrante.
Reducción al primer cuadrante Tan 45

y calculamos la Cot 23
 .
Operación del problema
     
3x 5 1
4x
3
5Tan Tan Tan 1
4 4 4
1
3x 5


 

      


 3Cot 0 y 4 y 42     
Calculamos:
4 8x y 4
3 3
    
Conclusiones y respuesta
8
3x y  
Resumen
El problema consistia en reducir al
primer cuadrante  4Tan 5  y calcular
la  2Cot 3  , luego reemplazando los
valores en las ecuaciones dadas se
calcula finalmente:
8x y
3
 
Respuesta: E) 
8
3
Problema 2
Simplificando la expresión siguiente:
tan 343 tan107K tan163
tan197 tan73
         
se obtiene:
UNI 2010-I
A) –tan 17°
B) cot 17°
C) tan 34°
D) tan 51°
E) cot 34°
Resolución:
Ubicación de incógnita
K = ?
Análisis de los datos o gráficos
Tan343 Tan107K Tan163
Tan197 Tan73
      
   

Operación del problema
Reducimos al primer cuadrante:
( Tan17 ) ( Tan73 )K ( Tan17 )
Tan17 Tan73
            
Tan17 Tan73K   
Tan17 Tan73  
( Tan17 )
 
    
K = –Tan17°
Respuesta: A) –Tan17°
problemas resueltos
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REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
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Problema 3
Reducir:
 Sen k x ;K  
A) Cosx (–1) B) (1)k Cosx
C) Senx k D) (–1)k Senx
E) Cosk
Resolución:  Sen k x Senk Cosx Cosk Senx     
 k
Cos(k )Senx
( 1) Senx
 
 
Respuesta: D) k( 1) Senx