Tema 04 - Certezas

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7UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO TEMA 4
CERTEZAS
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
I. PROBLEMAS SOBRE CERTEZAS
A. Certeza
Es el conocimiento seguro de un evento, sin temor
a equivocarse. Es el proceso que realizamos, por el
temor cual obtenemos el resultado de un problema
con anticipación y ese resultado puede verificarse
en la práctica.
B. Situaciones negativas (casos desfavorables o
en contra)
Son las situaciones contrarias a lo que buscamos,
de acuerdo a la pregunta.
En este tipo de problemas debemos analizar prime-
ro las situaciones negativas y luego se añaden los
elementos necesarios para dar solución al problema.
Explicamos la estrategia a utilizar en este tipo de
problemas a través de la construcción de la pregunta
con un ejemplo. En una caja se tiene 4 esferas
rojas y 3 esferas azules, todas del mismo tamaño y
textura.
• ¿Cuántas esferas tendré que extraer para
tener 1 roja?
Sencillo, como no tengo ninguna restricción,
abriré la caja y cogeré la esfera de color rojo.
• ¿Cuántas esferas tendré que extraer al azar
para tener 1 roja?
Como es cuestión del azar, puede que me salga
a la primera, a la segunda, a la tercera, no tendría
la completa seguridad de cuando me tocará.
• ¿Cuántas esferas tendré que extraer al azar
para tener la certeza de haber obtenido 1 roja?
Para tener la seguridad de que me salga una
roja, primero sacaré todas las azules, es decir
saco 3 azules y luego la roja, pero si saco todas
también tendré la seguridad de tener 1 roja.
• ¿Cuántas esferas, tendré que extraer al
azar y como mínimo para tener la certeza
de haber obtenido 1 roja?
Ahora si, para tener la certeza de tener 1 roja,
saco las 3 azules y como me piden el mínimo
número, sacaré solo una esfera más, es decir
que necesito 4 como mínimo.
II. PROBLEMAS SOBRE PESOS Y COSTOS
En este tipo de problemas se trabaja con un intervalo de valores que puede tomar el peso o el costo de uno o más
objetos y lo que haremos es analizar la situación según lo que me pida el problema.
DESARROLLO DEL TEMA
8UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO
CUADRO DE DECISIONES
TEMA 4
Exigimos más!
A. Ejemplo 1
Planteo
Si un kilo de naranja contiene desde 4 hasta a 6
naranjas.
Interpretación
4 naranjas  1 kilogramos  6 naranjas
Si me preguntó a que se debe la variación entre el
número de naranjas, la respuesta será muy sencilla,
por su tamaño, según esto podremos asumir que
si vienen 4 naranjas estas serán grandes y si me
tocan 6 naranjas estas serán pequeñas.
Preguntas
1. ¿Cuál es el máximo número de naranjas que
habrán en 7 kilogramos?
Como me piden el máximo, deberé trabajar con
las naranjas pequeñas.
1 kg  6 naranjas
7 kg  x
x = 42 naranjas
2. ¿Cuál es el mínimo número de naranjas que
habrán en 6 kilogramos?
Como me piden el mínimo, deberé trabajar con
las naranjas grandes.
1 kg  4 naranjas
6 kg  x
x = 24 naranjas
3. ¿Cuál es el máximo peso de 24 naranjas?
Como me piden el peso máximo, deberé trabajar
con las naranjas grandes.
1 kg  4 naranjas
x  24 naranjas
x = 6 kg
4. ¿Cuál es el mínimo peso de 48 naranjas?
Como me piden el peso mínimo, deberé trabajar
con las naranjas pequeñas.
1 kg  6 naranjas
x  48 naranjas
x = 8 kg
B. Ejemplo 2
Planteo
Una camisa de manga larga puede costar de 12
soles hasta 22 soles.
Intepretación
S/. 12  1 camisa  S/.22
Si me pregunto a que se debe la variación entre el
precio de las camisas, la respuesta será muy sencilla,
por su calidad, según esto podremos asumir que si
cuestan 12 soles son baratas y su cuestan 22 soles
serán cara.
Preguntas
1. ¿Cuál es el costo máximo y el costo mínimo de
13 camisas?
a) Máximo
Trabajaré con las camisas caras.
1 camisa  S/. 22
13 camisas  x
x = S/. 286
b) Mínimo
Trabajaré con las camisas baratas.
1 camisa  S/. 12
13 camisas  y
y = S/. 156
2. ¿Cuál es la máxima ganancia que se puede ob-
tener al comprar y vender 1 docena de cami-
sas? Como quiero obtener la ganancia máxima,
debo comprar lo más barato posible y venderlo
lo más caro posible.
 
Gmáx = 22 - 12 = 10
9UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO TEMA 4
CUADRO DE DECISIONES
Exigimos más!
Problema 1
En una urna hay 12 bolas azules, 15 bolas
blancas, 18 bolas verdes y 20 rojas.
¿Cuál es el mínimo número de bolas
que deben sacarse al azar para tener
la certeza de haber extraído 13 de uno
de los colores?
UNI
Nivel fácil
A) 49 B) 50 C) 65
D) 69 E) 79
Resolución:
Para tener la certeza nos ponemos en
el peor de los casos.
Estos se dará cuando:
Extraemos Quedan en la urna
 12 R 8 R
 12 V 6 V
 12 B 3 B
 12 A 0 A
Ahora extraemos 1 bola cualquiera y
podemos cumplir lo pedido, por ello se
había extraído:
12 + 12 + 12 + 12 + 1 = 49 bolas
Respuesta: A) 49 bolas
Problema 2
En un ánfora hay 4 guantes negros y
5 guantes rojos.
¿Cuántos guantes se debe extraer al
azar y como mínimo para obtener con
toda certeza un par de un solo color?
UNI
Nivel intermedio
A) 9 B) 6 C) 7
D) 10 E) 8
Resolución:
Tenemos 4 guantes negros, es decir 2
pares de guantes negros y 5 guantes
rojos osea 2 pares de guantes rojos y 1
guante rojo sobrante. Es decir: 4 pares
de guantes + 1 guante rojo
Considerando 3 guantes rojos izquierdos.
Extracciones:
 6 guantes
Respuesta: B) 6 guantes
Problema 3
En un juego de bolos, 90 de ellos nu-
merados desde 1, 2, ..., 90; sabemos
que de 24 bolos extraídos, 3 son impa-
res y menores de 66.
¿Cuántos bolos más se tendrá que ex-
traer al azar. Y como mínimo para obtener
con certeza un bolo con número par?
UNI
Nivel difícil
A) 30 B) 24 C) 14
D) 34 E) 28
Resolución:
Bolos numerados: 1, 2, 3, ..., 89, 90
Existen en total 45 bolos pares y 45
bolos impares.
Hay 24 bolos extraídos:
3 impares < 66
21 pares e 
> 66impares





De los 21 pares e impares < 66
En el peor de los casos tendremos:
12 pares y 9 impares
Luego:
N° de extracciones = (45 - 12) + 1 = 34
Respuesta: D) 34
 La ganancia máxima de 1 camisa será 10 soles,
por lo tanto si me piden de una docena, esta
será 120 soles.
3. ¿Cuál es la pérdida máxima que se puede obteneral
comprar y vender 1 decena de camisas?
Como quiero obtener la pérdida máxima, debo
comprar la más cara posible y vender los más
barato posible.
Pmáx = 22 – 12 = 10
 La pérdida máxima de 1 camisa será 10 soles,
por lo tanto si me piden de una decena, esta
será 100 soles.
problemas resueltos