Tema 09 - Lógica - Tablas

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22UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO TEMA 9
I. DEFINICIONES
A. Proposiciones
Son expresiones del lenguaje que tienen la propie-
dad fundamental de ser verdaderas o falsas.
Ejemplos:
– Lima es la capital del Perú.
– x + 2 > 8, si x = 5
Las proposiciones se pueden clasificar en:
• Simples: Mario es un niño.
Mario es travieso.
• Compuestas: Mario es un niño y es travieso.
 Ricardo es médico o ingeniero.
B. Variables proposicionales
Son los símbolos que representan a las proposiciones
simples: p, q, r, s, ......
C. Conectivos lógicos
Son los símbolos que se usan para relacionar pro-
posiciones, es decir forman proposiciones, es decir,
forman proposiciones compuestas a partir de las
proposiciones simples.
LÓGICA: TABLAS
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Símbolo Nombre Lenguaje común 
 Negación No, no es cierto que, no es el caso que, etc. 
 Conjunción Y, pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, etc. 
 Disyunción 
inclusiva 
“O” 
 Disyunción 
exclusiva 
“O”, “O ... O ...” 
 Condicional “Si ... entonces...”, 
 “... si ...”, 
“... dado que ...”, 
“... siempre que ...”, 
“... porque ...”, 
“... en vista que ...”, etc. 
 Bicondicional “.......si y solo si .....” 
DESARROLLO DEL TEMA
23UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO TEMA 9
LÓGICAS: TABLAS
II. TABLAS DE VALORES DE VERDAD
A. Conjunción ()
Une dos proposiciones mediante el término "y".
Ejemplo:
Luis es joven y honrado.
p: Luis es joven.
q: Luis es honrado.
Simbología: p q
La conjunción es verdadera únicamente cuando
ambas proposiciones componentes son verdaderas
y es falsa cuando al menos una de sus componentes
es falsa.
p q p  q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 
 
 
 
B. Disyunción inclusiva ()
Une dos proposiciones mediante el término "o".
Ejemplo:
El gerente habla inglés o francés.
p: El gerente habla inglés
q: El gerente habla francés.
Simbología: p q
La disyunción inclusiva es falsa únicamente cuando
ambas proposiciones componentes son falsas y es
verdadera cuando al menos una de sus compo-
nentes es verdadera.
p q p  q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 
C. Disyunción exclusiva ()
Une dos proposiciones mediante el término "o" pero
exclusivo.
Ejemplo:
Raimondi nació en Perú o en Italia.
p : Raimondi nació en Perú.
q : Raimondi nació en Italia.
Simbología: p q
La disyunción exclusiva es verdadera cuando sus
componentes tienen diferente valor de verdad y
es falsa cuando sus componentes tienen el mismo
valor de verdad.
p q p  q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 
D. Condicional ()
Es la combinación de dos proposiciones mediante:
"Si ........................ entonces ......................"
 antecedente consecuente
Ejemplo:
Si estudias, entonces ingresarás:
p: Estudias
q: Ingresarás
Simbología: p q "Ingresarás, si estudias"
El condicional es falso únicamente cuando el ante-
cedente es verdadero y el consecuente es falso, y
es verdadero cuando al menos el antecedente es
falso o el consecuente es verdadero.
p q p  q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 
E. Bicondicional ()
Es la combinación de dos proposiciones con:
"....................... si y solo si ......................."
Ejemplo:
Serás un excelente ingeniero si y solo si te esfuerzas
en tus estudios.
p: Serás un excelente ingeniero.
q: Te esfuerzas en tus estudios.
Simbología: p q
24UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO
LÓGICAS: TABLAS
TEMA 9
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El bicondicional es verdadero cuando ambos com-
ponentes tienen igual valor, de verdad y es falso
cuando sus componentes tienen valores de ver-
dad diferentes.
p q p  q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 
F. Negación (  )
Cambia el valor de verdad de la proposición.
Ejemplo:
p: Luis es honesto.
p: Luis no es honesto.
Por tanto la simbolización y la tabla de verdad de la
proposición negativa es:
p  p 
V 
F 
 
 
La frase "no es el caso que" generalmente se emplea
para negar proposiciones compuestas.
Ejemplo:
No es cierto que Juan sea pintor y se levante tem-
prano.
p: Juan es pintor.
q: Juan se levanta temprano.
Simbología:  (p q)
Observaciones
1. La doble negación es lo mismo que una afirma-
ción: " ( p)" tiene la misma tabla de verdad
que "p".
2. " p q" y " (p q) " tienen la misma tabla de
verdad.
3. Cuando una proposición compuesta tiene más
de dos proposiciones, por tanto más de un conec-
tivo lógico, entonces es necesario usar los sig-
nos de agrupación (paréntesis, corchetes, etc.)
para distinguir el alcance de los operadores.
Ejemplo:
a)  (p q) r
b)   p [q (r s)]
4. Las proposiciones compuestas toman el nom-
bre de su operador principal:
• La fórmula del ejemplo a) representa una pro-
posición disyuntiva, pues es " " el operador
de mayor alcance.
• La fórmula del ejemplo b) representa una
proposición condicional, pues es " " el ope-
rador de mayor jerarquía.
III. EVALUACIÓN DE FÓRMULAS POR LA
TABLA DE VALORES
• Evaluar una fórmula por la tabla de verdad es obte-
ner los valores del operador principal a partir de los
valores de verdad de cada una de las variables
proposicionales.
• El número de valores que se asigna a cada variable
es 2n, donde "n" es el número de proposiciones
que hay en la fórmula.
Ejemplo:
Hallar la Tabla de Verdad de la siguiente proposición
compuesta:
  (p q) (p q)
• Número de proposiciones: 2 (p y q)
Luego: Número de valores para cada variable: 22 = 4
• Se procede a aplicar la Tabla de Valores de cada
uno de los conectivos empezando por el de menor
jerarquía hasta llegar al de mayor alcance.
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LÓGICAS: TABLAS
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1° Con la ayuda de la tabla de valores de la conjunción
y la disyunción completamos las columnas (1) y (2).
2° Con ayuda de la tabla de valores del condicional
completamos la columna (3).
• El resultado de la Tabla de Valores de la fórmula
pertenece al operador principal.
• Dependiendo del resultado de la fórmula por Tabla
de Valores, este puede ser:
A. Tautología
Cuando los valores de su operador prin-cipal son
todos verdaderos.
Por ejemplo:
B. Contradicción
Cuando los valores de su operador principal son
todos falsos.
Por ejemplo:
C. Contingencia
Cuando entre los valores de su operador principal
hay por lo menos una verdad y una falsedad.
Por ejemplo:
IV. PROPOSICIONES EQUIVALENTES
Dos proposiciones son equivalentes cuando al unirlas
bicondicionalmente, su resultado es una tautología.
Notación:
A B y se lee: "A es equivalente a B"
Ejemplos:

  
  
( p) p
p q (p q)
p p (p p)
 

 
V. LEYES LÓGICAS
A. De Morgan
  
  
(p q) p q
(p q) p q
  
  
Ejemplo:
"No es el caso que estudies y trabajes".
p: Estudias.
q: Trabajas.
Simbología: (p q)
Su equivalente: p q 
Se lee: "No estudias o no trabajas"
B. Del condicional
  
 
(p q) p q
(p q)

 
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LÓGICAS: TABLAS
TEMA 9
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Problema 1
Si: 
Simplifique:
UNI 2011 - I
A) t B) r
C) t D) r s
E) r t
Resolución:
Ubicación de incógnita
Indica el resultado de reducir la expresión.
Análisis de los datos o gráficos
Reducir: 
Operación del problema
Respuesta: C) t
Problema 2
En cada caso, debajo de cada afirma-
ción (proposición) aparece su posible
negación.
I. p: Juan juega y José estudia.
 p: Si Juan juega, entonces José no
estudia.
II. q: Pedro no es arquitecto.
 q: Pedro es arquitecto.
III. r: Alejandro hace su tarea o Luis
recurre a Héctor.
 r: Alejandro no hace su tarea y
Luis no recurre a Héctor.
¿en cuáles de los casos la afirmación
está acompañada correctamente por
su negación?
UNI 2009 - I
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
Ejemplo:
"Si Luis es escritor, entonces es poeta".
p: Luis es escritor.
q: Luis es poeta.
Simbología: (p q)
Su equivalente: p q
Se lee: "Luis no es escritor o es poeta".
Segundo equivalente: (p q) 
Se lee: "No es cierto que Luis sea escritory no sea
poeta".
C. Transposición
  p q q p 
Ejemplo:
"Si Pedro toca guitarra, entonces canta".
p: Pedro toca guitarra.
q: Pedro canta.
Simbología: p q
Su equivalente: p q 
Se lee: "Si Pedro no canta, entonces no toca guitarra".
D. Transitividad
 

Si :p q y q r
Entonces : p r
Ejemplo:
• Si estudias, entonces ingresarás.
• Si ingresas, entonces serás profesional.
p: Estudias.
q: Ingresarás.
r: Serás profesional.
Simbología: 

p q
q r
Conclusión: p r
Se lee: "Si estudias, entonces serás profesional".
problemas resueltos
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LÓGICAS: TABLAS
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Resolución:
Ubicación de incógnita
Señala los casos en los que la afirma-
ción está acompañada correctamente
por su negación.
Operación del problema
a) Aplicación de fórmula o teorema
Leyes lógicas:
b) Solución del problema
I) p q
p q p q (p q)

       
II) p
p
III) p q
p q (Morgan)

 
Conclusión
 I, II y III están acompañadas con sus
negaciones.
Respuesta: E) I, II y II
PProblema 3
La mamá interroga a sus cinco hijos:
¿Quién rompió el espejo?" y ellos res-
pondieron:
Alberto: Lo hizo Eduardo.
Eduardo: Carlos lo hizo.
Carlos: Yo no fui.
David: Juan lo hizo.
Juan: Lo hizo Alberto.
Si uno de ellos lo hizo, si no fue Carlos y
sólo uno dice la verdad, ¿quién lo hizo?
UNI 2008-II
Nivel intermedio
A) Alberto B) Eduardo
C) Carlos D) David
E) Juan
Resolución:
• Uno de ellos lo hizo.
• Solo uno dice la verdad.
• No fue Carlos.
Como se sabe que uno ellos lo hizo y
no fue Carlos se puede suponer que
haya sido Alberto, Eduardo, David o
Juan, de lo que concluirá:
Alberto Eduardo David Juan
Alberto: lo hizo Eduardo F V F F
Eduardo: Carlos lo hizo F F F F
Carlos: Yo no fui V V V V
Dario:Juan lo hizo F F F V
Juan: lo hizo Alberto V F F F
(*)
(*) Además nos dicen que sólo uno
dice la verdad:
• Se concluye que David lo rompió
puesto que es la única que cumple
con las condiciones del problema.
• Del dato que dice solo uno de ellos
dice la verdad, se deduce que es
Carlos o las otras personas mienten.
 Fue David.
Respuesta: D) David