Tema 10 - Identidades trigonométricas para el arco mitad

Vista previa del material en texto

35UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 10
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
PARA EL ARCO MITAD
TRIGONOMETRÍA
DEFINICIÓN
El objeto de estas igualdades es expresar las razones
trigonométricas del ángulo mitad 
x; ;....;
2 2 2
  
 
 
 en términos
de las razones trigonométricas del ángulo simple ( ; ;....; x)  ;
estas igualdades son válidas para todos los valores admisibles
de sus variables.
I. IDENTIDADES FUNDAMENTALES
 x 1 CosxSen x2 2   
 x 1 CosxCos x2 2  
 x 1 CosxTan x {(2n 1) );n2 1 Cosx        
 x 1 CosxCot x {2n );n2 1 Cosx       
Observación
La eliminación del valor absoluto depende del
cuadrante en el cual se ubique el arco mitad x
2
 
  
;
sí por ejemplo:
Si: x xIIC Sen será ( )
2 2
          

Si: x xIIIC Cos será ( )
2 2
          

Si: x xIVC Tan será ( )
2 2
          

II. IDENTIDADES AUXILIARES
 x 1 CosxTan Cscx Cotx2 Senx  
 x 1 CosxCot Cscx Cotx2 Senx  
III. DEMOSTRACIÓN DE LAS IDENTIDADES
FUNDAMENTALES
* Demostración de: x 1 CosxSen
2 2
   
 
Sabemos que: 22Sen 1 Cos2   ; haciendo: x
2
 
Tendremos:
2 2x x 1 Cosx2Sen 1 Cosx Sen
2 2 2
           

x 1 CosxSen
2 2
   
 

* Demostración de: x 1 CosxCos
2 2
   
 
Sabemos que: 22Cos 1 Cos2   ; haciendo: x
2
 
Tendremos:
2 2x x 1 Cosx2Cos 1 Cosx Cos
2 2 2
           

x 1 CosxCos
2 2
   
 

* Demostración de: x 1 CosxTan
2 1 Cosx
     
DESARROLLO DEL TEMA
36UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO MITAD
TEMA 10
Exigimos más!
Sabemos que:
xSen
2xTan
2 xCos
2
 
 
    
  
 
 
Reemplazando:
x xSen y Cos
2 2
Tendremos:
1 Cosx
x 2Tan
2 1 Cosx
2

   
  
x 1 CosxTan
2 1 Cosx
     

* Demostración de: x 1 CosxCot
2 1 Cosx
     
Sabemos que:
xCos
2xCot
2 xSen
2
 
     
  
 
 
Reemplazando:
x xSen y Cos
2 2
Tendremos:
1 Cosx
x 2Cot
2 1 Cosx
2

   
  
 
x 1 CosxCot
2 1 Cosx
     

IV. FÓRMULA RACIONALIZADA DEL
ARCO MITAD
A. xTan Cscx – Cotx
2

Demostración de:
xTan Cscx – Cotx
2
    
Sabemos que: 
xSenx 2Tan
2 xCos
2
    
; multiplicando por:
x2Sen
2 (Numerador y denominador), tendremos:
2
Senx
x x x
Sen 2Sen 2Senx 1–Cosx2 2 2Tan .
x x x x2 SenxCos 2Sen 2Sen Cos
2 2 2 2
 
   
 

x 1 CosxTan –
2 Senx Senx
    
xTan Cscx – Cotx
2
    
B.
x
Cot Cscx Cotx
2
 
Demostración de: xCot Cscx Cotx
2
     
Sabemos que: 
x
Cosx 2Cot
x2 Sen
2
 
 
 
; multiplicando por:
x
2Cos
2 (numerador y denominador), tendremos:
2
Senx
x x xCos 2Cos 2Cos 1 Cosxx 2 2 2Cot
2 x x x x SenxSen 2Cos 2Sen Cos
2 2 2 2
     
 


x 1 Cosx
Cot
2 Senx Senx
 
  
 
xCot Cscx Cotx
2
     
V. IDENTIDADES AUXILIARES
Sabemos:
•  xCscx Cotx Cot ..... I2 
•  xCscx – Cotx Tan ..... II2
    x xI II 2Cscx Cot T an2 2   
    x xI – II 2Cotx Cot – T an2 2 
Ejercicios de aplicación:
Csc40 Cot40 Cot20    
Csc6 – Cot6 Tan3   
Cot20 Tan20 2Csc40    
Cot12 – Tan12 2Cot24   
37UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 10
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO MITAD
Exigimos más!
Problema 1
De la siguiente igualdad:
3
1
Sen10
6 ATan20 B
1
Cos20
6
 
 
 
Halle (A + B).
A)
3 1
2

B)
1
2
C) 3
2
D)
4
2
E) 4
3
Resolución:
Transformando el primer miembro:
3
1
Sen30 Sen10
3 ATan20 B
1
Cos60 Cos20
3
 
 
 
Utilizando:
1 1
Sen30 Cos60
2 2
  
3
3
3
1(3Sen10 4Sen 10 ) Sen10
3 ATan20 B
1
(4Cos 20 3Cos20 ) Cos20
3
   
 
   
Utilizando la relación trigonométrica de
triple:
3
3
3
4Sen10 Sen 10 Sen10
3 ATan20 B
4
Cos 20 Cos20 Cos20
3
  
 
  
3
3
3
4 Sen 10
3 ATan20 B
4
Cos 20
3
 
 

Simpificando:
Sen10
ATan20 B
Cos20

  

Simplificando y operando:
Sen(30 20 )
ATan20 B
Cos20
 
  

(Sen30 Cos20 Cos30 Sen20 )
ATan20 B
Cos20
   
  

Identificando A y B
3 1A B
2 2
   
3 1A B
2

  
Respuesta: A) 
3 -1
2
Problema 2
Si:
2
3Cosx Senx
3
  , calcule Sen3x.
A)
2
3
B)
1
2
C)
23
27 D)
4
27
E)
23
3
Resolución:
De la condición dividimos a ambos miem-
bros entre dos.
pero Sen3x Sen( 3x)  por reducción
al primer cuadrante.
Sen3x Sen 3 x
3
  
   
  
Transformando:
3Sen3x 3Sen x 4Sen x
3 3
             
21 1Sen3x 3 4
3 3
   
    
   
usando 
1
Sen x
3 3
    
4
Sen3x 1 operando
27
 
23
Sen3x
27
 
Respuesta: C) 
23
27
Problema 3
Sabemos que Cosx = 0,125; entonces
calcule:
3 Sen3x(1 Cos3x)k
Sen2x Senx



A)
5
8
B) 7
C) 3 5
8
D) 5 37
8
E) 5
3
Resolución:
Por identidades del arco triple y doble
3 Senx(2Cos2x 1)(1 Cos3x)k
2SenxCosx Senx
 


2
3 Senx 2(2Cos x 1) 1 (1 Cos3x)k
Senx(2Cosx 1)
    

Utilizando Cos2x = 2Cos2x-1
2
3 (4Cos x 1)(1 Cos3x)k
2Cosx 1
 


problemas resueltos
38UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO MITAD
TEMA 10
Exigimos más!
Simplificando y operando:
3 (2Cosx 1)(2Cosx 1)(1 Cos3x)k
2Cosx 1
  


Por diferencia de cuadrados:
3k (2Cosx 1)(1 Cos3x)  
...(1)
Pero:
31Cosx Cos3x 4Cos x 3Cosx
8
   
31 1Cos3x 4 3
8 8
   
     
   
47
Cos3x
128
    
Reemplazando en (1) los valores del
Cosx y Cos3x tenemos:
3
333
3 3
1 47 5 175 5 x7
K 2x 1 1 x
8 128 4 128 2 x4
                 
 3
5
K 7
8
 
Respuesta: D) 
35 7
8