Tema 10 - Relaciones métricas en la circunferencia

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39UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 11
RELACIONES MÉTRICAS EN LA
CIRCUNFERENCIA
GEOMETRÍA
I. TEOREMA DE LAS CUERDAS
En una circunferencia si se trazan dos cuerdas secantes,
el producto de las long itudes de los segmentos
determinados en la primera cuerda es igual al producto
de las longitudes de los segmentos determinados en
la segunda cuerda. Se trazan las cuerdas AB y CD en la
circunferencia que se intersecan en E.
AED ~ CEB
AE DE
CE BE

Luego: (AE)(BE) = (CE)(DE)
II. TEOREMA DE LA SECANTE
Si desde un punto exterior a una circunferencia se
trazan rectas secantes, se cumple que el producto de
las longitudes de la secante entera por su parte exter-
na es constante.
Trazamos AC y BD por lo tanto el cuadrilátero ABCDCD
está inscrito entonces:
BPD ~ CPA
PD PB
PA PC

Luego: (PA)(PB) = (PC)(PD)
III. TEOREMA DE LA TANGENTE
Si desde un punto exterior a una circunferencia se
trazan una recta tangente y una secante, se cumple
que la longitud del segmento tangente es media
proporcional con las longitudes de la secante y su parte
externa.
Trazamos AT y BT por lo tanto:
PBT ~ PTAA
PB PT
PT PA

Luego: (PT)2 = (PA)(PB)
DESARROLLO DEL TEMA
40UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
TEMA 11
Exigimos más!
Problema 1
Los radios de dos circunferencias tan-
gentes externas están en la relación
de uno a tres. Las tangentes comu-
nes exteriores miden 4 3 u y se cor-
tan en E. Calcula la distancia entre el
centro de la mayor y E.
A) 12 m B) 10 m
C) 11 m D) 15 m
E) 20 m
Resolución:
Se pide calcular OE
AB 2 3r r = r = 2 m.
Unimos los centros con E.
Se observa que OO2= 4r; OH = 2r
m OO H 30 m OEA 30   2 = =
y ya que r = 2 u; OA = 6 u
En el OAE: OE = 12 m
Respuesta: A) 12 m
Problema 2
Según el gráfico AO = OB = R.
Hallar "x".
Nivel intermedio
A)
R
4 B)
R 2
2
C)
4R
9
D)
R
3 E)
R
5
Resolución:
Piden: Se une los centros de las tres
circunferencias:
M; T y N son colineales.
O; M y S son colineales.
Luego: MON (T, Herón)
   2 R Rx R(x) xR 2 2
2
 
4Rx
9
 
Respuesta: C) 
4R
9
Problema 3
Según el gráfico, OA = PQ = 12 y
OP = 4, hallar FT (F, T y Q son puntos
de tangencia).
Nivel difícil
A) 2 6 B) 2 4 C) 6
D) 3 6 E) 4 2
Resolución:
Piden FT = x
Se observa:
OSE: (T. Pitágoras)
(a + 12)2 = (a + 4)2 + 122
a = 1
Por T. tangente:
(FE)2 = (24 + a)(a)
FE = 5
Luego en FTE:
x2 + a2 = 52
x2 + 1 = 25
x 2 6 
Respuesta: A) 2 6
problemas resueltos