Tema 11 - Funciones II

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29UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 11
FUNCIONES II
ÁLGEBRA
I. FUNCIONES ESPECIALES
A. Función identidad
B. Función constante
C. Función valor absoluto
 
x x 0
f x x 0 x 0
x x < 0

  

D. Función escalón unitario
  0, x aU x
1, x a

 

E. Función signo (sig.x)
 
1 x 0
y Sig x 0 x 0
1 x < 0

  

F. Función máximo entero 
 f x x n n x n 1,n      Z
 
2 2 x 1
1 1 x 0
f x x 0 0 x 1
1 1 x 2
2 2 x 3
     
        
   
   
y
2
1
1 2 3
-1-2
O
-1
-2
Df=
Rf=z
R
DESARROLLO DEL TEMA
30UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
FUNCIONES II
TEMA 11
Exigimos más!
G. Función inverso multiplicativo
  1f x / x 0x  ;    f x 1/ x; x 0
H. Función polinomial
1. Función lineal
 f x ax b; a 0  
2. Función cuadrática a 0
  2f x ax bx c;   de raíces x1, x2
Discriminante:  = b2 – 4ac
3. Función cúbica
  3 2f x ax bx cx d   
Reemplazando x por bx
3a
 se transforma en:
 3k x px q 
  31f x x px q ,    de raíces 1 2 3x , x , x llama-
mos discriminante:
2 3q p
2 3
           
I. Función potencial
  nf x x / n  N
II. TRAZADO DE GRÁFICAS ESPECIALES
En esta sección veremos una forma rápida de construir
las gráficas de algunas funciones definidas a partir de
otras cuyas gráficas se asumen conocidas. En este sen-
tido, dada la gráfica de una función de base y = f(x)
veremos primero la forma de construir rápidamente las
gráficas de las funciones siguientes:
1. g(x) = f(x) + k; g(x) = f(x - h); g(x) = f(x-h)+k
2. g(x) = -f(x); g(x) = f(-x); g(x) = -f(-x)
3. g(x) = af(x); g(x) = f(ax); (a 0 )
4. g(x) = |f(x)|; y
5. g(x) = f(x)
[Todas en base a la gráfica y = f(x)]
(1a) La gráfica de    g x f x k  se obtiene despla-
zando verticalmente la gráfica de y = f(x) en |k| unidades:
i) Hacia arriba, si k > 0
ii) Hacia abajo, si k < 0
x
y
O
g(x) = f(x)+2
y = f(x)
h(x) = f(x)-2
-2
2
(1b) La gráfica de    g x f x h  se obtiene despla-
zando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en h uni-
dades:
i) Hacia la derecha, si h > 0
ii) Hacia la izquierda, si h < 0
pues si f(x) = x2, entonces:
f(x – 4) = (x – 4)2 = g(x)
f(x + 3) = (x + 3)2 = j(x)
Donde en el caso de: j(x) = (x + 3)2 [x – (–3)]2 se
tiene que: h = –3 (<0). Tenemos la gráfica correspon-
diente a continuación:
31UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 11
Exigimos más!
FUNCIONES II
 
(1c) La gráfica de    g x f x h k   se obtiene com-
binando (1a) y (1b) en cualquier orden.
 
y=f(x)=x2
x
y
y=(x-7)2
7
O
y=x -32
-3 (7;-3)
g(x) = (x-7)-3
2
(2a) La gráfica    g x f x  se obtiene por reflexión
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje x. Considerando a
este eje como doble espejo.
Todo lo que está encima del eje X pasa abajo, y viceversa.
O
y=-f(x)
x
y
f
-f
y=f(x)
(2b) La gráfica  y f x  se obtiene por reflexión
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje y considerando a
este eje como doble espejo.
Todo lo que está encima del eje y, pasa abajo y viceversa.
 
O
y=-f(x)
x
y
x
f(x)=f(-x)
y=f(x)
-x
(2c) La gráfica de  y f x   se obtiene combinado
(2a) y (2b).
Ejemplo:
Como ilustración de los resultados anteriores. Hallaremos
la gráfica de: y = g(x) = –(x – 2)2 + 1
Resolución:
Sean f(x) = (x + 2)2 – 1, entonces:
f(–x) = [(–x) + 2]2 – 1 = (x – 2)2 – 1
 –f(–x) = –x(x – 2)2 + 1
Luego y = g(x) = –f(–x):
f(x)=(x+2)-1
2
y
y=f(-x+2)-1
2
x
-2
-3-4 0
-1 1
-3
1 2 3 4
1
3
=(x-2)-1
2
g(x)=-(x-2)+1=-f(-x)
2
Note que pudimos haber graficado esta parábola di-
rectamente, claro.
(3a) La gráfica de  y a f x . a 0  , se obtiene:
i) Estirando la gráfica de y = f(x) verticalmente en
un factor a, si a > 1, con base en el eje X.
ii) Si: 0 < a < 1, escogiendo la gráfica de: y = f(x)
verticalmente en un factor a.
(3b) La gráfica de  y f ax , a > 0, se obtiene:
i) Encogiendo horizontalmente la gráfica de y = f(x)
en un factor a, si a > 1, con base en el eje Y.
ii) Estirando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en
un factor a, si 0 < a < 1.
Gráfica de: y = |f(x)|
Desde que:
 
   
 
 
f x , si f x 0
y f x f x 0
f(x), si f x 0
    

Entonces la gráfica de: y f(x) se encontrará comple-
tamente en el semiplano superior y  0 y se obtiene a
partir de la gráfica de la función y = f(x); reflejando
hacia arriba del eje x todo lo que este debajo de este
eje, quedando intacta la parte de la gráfica de: y = f(x)
que originalmente ya se encontraba arriba o en el mismo
eje x (es decir, en la zona y  0).
32UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
FUNCIONES II
TEMA 11
Exigimos más!
Problema 1
Sea P(x) = x3 – 3ax2 – a2x + 3a3, donde
a > 0 y Q(x) = –P(x – a). Diga cuál de
las siguientes afirmaciones es correcta:
UNI 2009 - II
Nivel fácil
A) Q(x) P(x); x 0  
B) Q(x) P(x); x 0; a  
C) P(x) Q(x); x a;2a  
D) Q(x) P(x); x 2a;3a  
E) P(x) Q(x); x 3a  
Resolución:
Graficando la función P(x):
2 2P(x) (x a )(x 3a)  
P(x) (x a)(x a)(x 3a)   
 
Graficando la función: Q(x) = –P(x – a)
Esbozando ambas gráficas:
Para x 2a; 3a la gráfica de la función
Q(x) está en la parte superior del P(x).
Q(x) P(x); x 2a; 3a   
Respuesta:
D) Q(x) P(x); x 2a; 3a  
Problema 2
Sea f una función tal que:
   f x 2 x 2 x 4 x ; x 4   
entonces Dom(f) Ran(F) es igual a:
Nivel 2009 - II
Nivel intermedio
A) [0;
B) [1;
C) 0;
D) [4;
E) 1;
Resolución:
Esbozando la gráfica de: x 2 x
(por álgebra de funciones)
La expresión:
 x 2 x es inyectiva.
 Dom(f ) = 0; 
Analógicamente la expresión:
 2 x 4 x
es inyectiva:
 2 x 4 x 4;   
 Ran(f ) = 4; 
Dom(f )nRan(f) = 0; 
Respuesta: A) 0; 
Problema 3
Indique la gráfica que mejor representa a:
2g(x) x 4 3 , x    
UNI 2008 - II
Nivel difícil
A)
B)
C)
D)
E)
Resolución:
Tenemos:
 
De donde:
 
Luego:
Respuesta: D) 
problemas resueltos