Tema 11 - Identidades trigonométricas para el arco triple

Vista previa del material en texto

39UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 11
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
PARA EL ARCO TRIPLE
TRIGONOMETRÍA
I. 3Sen3x 3Senx – 4Sen x
Demostración:
Sen3x = Sen (2x + x)
Sen3x = Sen2xCosx + Cos2xSenx
Sabemos por arco doble:
Sen2x 2SenxCosx ; 2Cos2x 1– 2Sen x
Reemplazando:
Sen3x = (2Senx Cosx)Cosx + (1 – 2Sen x) Senx2
2 3Sen3x 2SenxCos x Senx – 2Sen x 
Sabemos: 2 2Cos x 1– Sen x
Reemplazando:
Sen3x = 2Senx (1 – 2Sen x)+ Senx – 2Sen x2 3
3 3Sen3x 2Senx – 2Sen x Senx – 2Sen x 
3Sen3x 3Senx – 4Sen x
Análogamente: 3Cos3x 4Cos x –3Cosx
II.  Cos3x Cosx 2Cos2x –1
Demostración:
Sabemos: 3Cos3x 4Cos x –3Cosx
2Cos3x Cosx 2x 2Cos x – 3
 
    

Recordando: 21 Cos2x 2Cos x  Doble
 Cos3x Cosx 2 1 Cos2x – 3   
 Cos3x Cosx 2Cos2x – 1
III.
3
2
3Tanx – Tan xTan3x
1 –3Tan x

Demostración
Sabemos:
   
TanA TanB TanC – TanATanBTanC
Tan A B C
1– TanATanB TanATanC TanBTanC
 
  
 
Sea:
 Tan3x Tan x x x  
 
Tanx Tanx Tanx – TanxTanxTanx
Tan3x
1 – TanxTanx TanxTanx TanxTanx
 

 
Efectuando operaciones:
3
2
3Tanx – Tan xTan3x
1 –3Tan x

En general:
 
   
3Sen3x 3Senx – 4Sen x
Sen3x Senx 2Cos2x 1
Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60 x

 
   
 
   
3Cos3x 4 Cos x –3Cosx
Cos3x Cosx 2Cos2x –1
Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60 x


   
   
3
2
3Tanx – Tan x
Tan3x
1–3Tan x
Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60 x

   
Nota:
   Cot3x CotxCot 60 – x Cot 60 x   
DESARROLLO DEL TEMA
40UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO TRIPLE
TEMA 11
Exigimos más!
Problema 1
Simplifique: 
3 3Sen x Cos x 1K
Sen3x Cos3x 2
  
Nivel fácil
2005 - I
A) 3Sen2x Cosec6x
B) –3Sen2x Cosec6x
C) 3 Sen2x Cosec6x
2
D) 3 Sen2x Cosec6x
2

E) –Sen2x Cosec6x
Resolución:
3 34Sen 4Cos 1K
4Sen3x 4Cos3x 2
   
3Senx Sen3x 3Cosx Cos3x 1
4Sen3x 4Cos3x 2
   
3Senx 1
4Sen3x 4
  3Cosx 1
4Cos3x 4
  1
2

 3 SenxCos3x CosxSen3x
2 x 2Sen3x Cos3x


 3Sen x 3x
K
2Sen6x


3K Sen2x Cosec6x
2
 
Respuesta: D) 3- Sen2x Cosec6x2
Problema 2
Calcule 2 xE Tan
4 2
    
 en términos
de "a", si Secx = a + Tanx.
Nivel intermedio
2005 - I
A)
4
1
a
B) 3
1
a
C) 2
1
a
D)
1
a E)
4
a
Resolución:
2
1 Cos x
2xE Tg
4 2 1 Cos x
2
         
     
 
1 Senx
1 Senx Cosx Cosx
1 Senx 1 Senx
Cosx Cosx
 
 
2
1
1a
a a
 
Respuesta: C) 2
1
a
Problema 3
Al resolver la ecuación:
   x xcot 4 tan 2 csc x2 4 
Determine  xcos 2
Nivel difícil
2007 - II
A)
1
2 B)
1
3 C)
1
4
D)
1
5 E)
1
6
Resolución:
   x xCot 4 tan 2 csc x2 4 
x xTan Cot 2 csc x
2 2
 
Reemplazando:
       x x x xCot 4Tan Tan Cot2 4 2 2  
   x x4Tan Tan4 2
 
 
xTan Tan224 ; Sec2 1
TanxTan
4
   

   x x4 Sec 1 Sec 32 2   
 x 1Cos 2 3
Respuesta: B) 
1
3
problemas resueltos