Tema 13 - Operadores matemáticos II

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37UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO TEMA 13 - 14
OPERACIONES MATEMÁTICAS II
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
OPERACIONES EN UNA TABLA DE DOBLE
ENTRADA
Indica los elementos que han sido operados y resultados de
dichas operaciones que son presentados en una tabla de
doble entrada.
Ejemplo: en el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, se define la ope-
ración (*) mediante la siguiente tabla:
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
3
4
1
3
3
4
1
2
4
4
1
2
3
*
Hallar: 4 * 3
Resolución:
Ubicamos al elemento (4) en la columna de entrada y al
elemento (3) en la fila de entrada, el resultado de la operación
la encontraremos en la intersección de la columna y la fila
del primero y el segundo elemento respectivamente.
Veamos:
Propiedades
Se define en el conjunto "A" mediante el operador (*) lo
siguiente:
1. Clausura
 a b A a*b A    
En la tabla:
Si todos los elementos de la columna y fila de entrada
pertenecen al conjunto "A", así también como los resul-
tados al operar o cuerpo de la tabla. Entonces diremos
que la operación es clausura en "A".
2. Conmutativa
 a, b A a*b=b*a  
En la tabla:
"Criterio de la diagonal"
Los pasos a seguir son: primero se traza la diagonal
que pasa por el operador; luego se observa que los
elementos que se encuentran a ambos lados de la
diagonal mantengan una simetría (un lado es el reflejo
del otro lado). Entonces la operación es conmutativa,
en caso contrario no lo será.
Es decir:
DESARROLLO DEL TEMA
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OPERACIONES MATEMÁTICAS II
TEMA 13 - 14
Exigimos más!
a
b
c
*
3. Asociativa
 a, b y c A a*(b*c)=(a*b)*c  
4. Elemento neutro
 e A / a A a*e=e*a=a    
En la tabla:
• Se verifica que la operación sea conmutativa.
• En el cuerpo de la tabla se busca una columna igual
a la columna de entrada y una fila igual a la fila de
entrada. Donde se intersecten, será el elemento
neutro ("e").
Es decir:
El elemento neutro es "1".
5. Elemento inverso (a- 1)
-1 -1 -1a A; e A/ a A a*a =a *a=e      
Donde:
e = elemento neutro
a-1 = elemento inverso de a
En la tabla:
- Se busca el elemento neutro y se considera todos
iguales a él.
- Se traza una ele volteada ( ), es decir:
a
a
-1
e
Ejemplo:
Calcular: 1–1; 2–1; 3–1 en:
1
2
3
Resolución:
1.°Calcularemos el elemento neutro "e".
1
2
3
e=1
Encerremos todos los elementos neutros del cuerpo.
1
2
3
2.°Aplicamos el criterio de las eles volteadas ( ).
a
a
-1
e
Es decir:
1
2
3
Del gráfico tenemos que:
1–1 = 1
2–1 = 3
3–1 = 2
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OPERACIONES MATEMÁTICAS II
Exigimos más!
Problema 1
Para la operación  definida en el con-
junto A = {1, 2, 3, 5} mediante la si-
guiente tabla:
Se afirma:
I. Es cerrada en el conjunto A.
II. Es conmutativa.
III. Posee elemento neutro.
Son ciertas:
UNI 2010 - I
Nivel fácil
A) Solo I
B) I y II
C) II y III
D) I y III
E) I, II y III
Resolución
Analizando: A = {1; 2; 3; 5}
Ordenamos la tabla:
Se afirma:
I. Es cerrada en el conjunto A.
II. Es conmutativa.
III. Posee elemento neutro.
I) No es cerrada puesto que aparece
el elemento {0} y no pertenece al
conjunto A.
II) Sí es conmutativa puesto que la
diagonal cumple la propiedad de
ser eje de simetría.
III) Sí posee elemento neutro (e).
 e = 5
Respuesta: C) II y III
Problema 2
En el conjunto Q = {1, 3, 5, 7} se define
la operación "" según la siguiente tabla:
Luego, sea x–1 el inverso de x Q ,
según la operación , halle:
1 1
1 1
3 5E
7 1
 
 


UNI 2010 - I
Nivel intermedio
A)
1
3
B) 
3
5
C) 1
D)
5
3
E) 3
Resolución
Halle:
1 1
1 1
3 5E
7 5
 
 


donde x–1 es el elemento inverso de x.
Analizando:
Ordenamos la tabla:
Elemento neutro (e) = 5
1–1 = 1 5–1 = 5
3–1 = 7 7–1 = 3
7 5 12E 3
3 1 4
  

Respuesta: E) 3
problemas resueltos
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Problema 3
Si: x = 3x+2
2x+1 = x+6
Hallar:
10 + 11
UNI
Nivel difícil
A) 20
B) 38
C) 40
D) 30
E) 35
Resolución:
1° determinamos la ley de formación
del operador .
 
Luego:
x = 3x + 2
10 = 3(10) + 2 = 32
2x+1 = 
x+4
3
11 = 2(5) + 1
5+4
3
= 3=
Entonces:
10 + 11 = 32 + 3 = 35
Respuesta: E) 35