Tema 27 - Números complejos II y III

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85UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 30 - 31
NÚMEROS COMPLEJOS II Y III
ÁLGEBRA
I. FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA
DE UN NÚMERO COMPLEJO
Sea z = a + bi un número complejo diferente del nulo.
Es decir z 0
De la figura x z Cos , y z Sen 
Donde: yTan
x
 
Entonces: z x yi z Cos z Sen i     
z z (Cos iSen )    
Es la representación trigonométrica o polar de un com-
plejo; donde el ángulo  se le denomina el argumento de
z denotado por Arg(z); es decir: Arg(z)  
Se observa que  puede tomar infinitos valores como:
1   ; 2 2     ; 3 4    
III. ARGUMENTO PRINCIPAL DE UN NÚ-
MERO COMPLEJO
De todos los valores de  ; elegimos aquel que se encuen-
tra en el intervalo 0;2 ; es decir 0 2   ; a dicho  se
le denomina argumento principal, cuya notación es:
Arg(z)  
Conociendo el argumento principal de z denotado por
Arg(z) podemos generar otros cuya notación es:
arg(z) Arg(z) 2k   K 0; 1; 2; 3; ...   
Teorema
Dados los números complejos no nulos:
z z (Cos iSen )   
w w (Cos iSen )   
Se verifican:
1. zw z w (Cos( ) Sen( )       
2. zz (Cos( ) iSen( ))
w w
       
Observaciones:
Para multiplicar complejos en la forma polar se mul-
tiplica los módulos y se suma los argumentos.
arg(z w) arg(z) arg(w) 
Para dividir complejo en la forma polar se dividen
los módulos y se resta los argumentos.
zarg arg(z) arg(w)
w
     
Teorema (de De Moivre)
Dados z z (Cos iSen ); z (0;0) n       
Se tiene nnz z (Cos iSen )   
Corolario
narg(z ) narg(z) ; n
III. RAÍCES "n-ésimas" DE LA UNIDAD
Se pide hallar: nkx 1
Donde: 
z 1
z 1 oi
0
   
  
    
 
k
2kLuego : x Cis
n
k 0,1,2,..........,n 1
DESARROLLO DEL TEMA
86UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS II Y III
TEMA 30 - 31
Exigimos más!
Donde:
0
0
1
2
2
n 1
n 1
x w 1
x w
x w
x w 
 




Entonces: Las "n" raíces de la unidad serán:
 2 3 n 11,w,w ,w ,.....,w
Teorema:
Si w es una raíz enesima de la unidad y w 1 ,
Entonces: 1 + w + w2 + ......+ wn-1 = 0
IV. FORMA EXPONENCIAL DE UN COMPLEJO
Teorema de Euler
ie Cos iSen    
Donde:
e es el número de Euler e = 2,718281
 argumento en radianes; i = (0; 1)
Entonces tenemos una nueva representación para el
complejo. z z (Cos iSen ) z e    
iz z e ...(*) 
V. RAÍZ DE UN NÚMERO COMPLEJO
Una raíz n - ésima del número complejo z = x + yi es
número complejo W, tal que wn = z.
Es decir: n nz w w z  
               
    
n
k
2k 2k
w z Cos iSen
n 3
Donde: k = 0, 1, 2, ......., n – 1
Son las raíces de z = x + yi
Problema 1
Dadas las siguientes proposiciones:
I. Las raíces de ein – 1 = 0, pertene-
cen a un polígono regular de n la-
dos,  n .
II. Si      i 3e a bi y ;
4 4
, enton-
ces   2 2 2a ; y b ;1
2 2 2
.
III. Dados    , 0; 2 , tales que   ,
si   cos( ) cos( ), entonces  i( )e 1.
UNI 2010 - I
Indique cuáles son correctas:
A) Solo I B) Solo II
C) Solo III D) I y II
E) II y III
Resolución:
I. Falso
Las raíces n-ésimas de la unidad al
ser llevadas al diagrama de Argan'd
están generan un polígono regu-
lar si:   n n 3.
II. Falso
De donde:   2 2a ;
2 2
; pues
 a cos( ).
Asi mismo  

2 1b ;
2
Pues  b sen( ).
III. Verdadero
        cos( ) cos( ) 2k
 i( )e 1
Respuesta: C) 1
Problema 2
La raíz cúbica del número complejo z = –2
de mayor argumento principal, es tam-
bién raíz 18-ésima de otro complejo
u = a + bi con a y b números reales.
Determine a + b.
UNI 2009 - II
A) 52 ( 3 1) B) 26
C) 72 ( 3 1) D) 28
E) 29
Resolución:
Determine: a + b, a partir de: V = a + bi
Analizando:
    Z 2 Z 2Cis
Calculando:
      
 
3 3 2kZ 2 Cis
3
donde: k = 0, 1, 2
Siendo el de mayor argumento, si:
      
 
3
2
5K 2 Z 2 Cis
3
La cual también es una de las raíces de:
 18 18U a bi
Entonces: 
    
 
3 1852 Cis a bi
3
Elevamos a la 18 a ambos miembros:
         
18
3 1852 Cis a bi
3
  
62 Cis(30 ) a bi
1
Luego: 36 + oi = a + bi
   6a 2 b 0
Respuesta: B) a + b = 26
Problema 3
Sabiendo que 1, W y W2 son las tres
raíces cúbicas de la unidad real. Calcular:

2 3 50W W W WR (.....((W ) ) .....)
A) W2 B) 1 C) –W
D) W E) –W2
Resolución:
La expresión dada es:
    
2 3 50W W W .... WR (W)
   

1 2 3 ... 50WR (W)
 
3KW 1R (W) W
 R W
Respuesta: D) W
problemas resueltos