Tema 29 - Estudio de la hipérbola

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97UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 30
ESTUDIO DE LA HIPÉRBOLA
TRIGONOMETRÍA
I. LA HIPÉRBOLA
A. Definición
Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia
de las distancias a dos puntos fijos, es una constante.
Los dos puntos fijos se denominan focos y el punto
medio del segmento que los une se llama centro
de la hipérbola.
B. Elementos de la hipérbola
1 2D D
L y L : Directrices
LF : Eje focal
LN : Eje normal
1 2A A
L y L : Asíntotas
C : Centro
V1 y V2 : Vértices
F1 y F2 : Focos
LR : Lado recto
EE' : Cuerda focal
V1V2 : Eje transverso
B1B2 : Eje congujado
F1F2 : Segmento focal
C. Relaciones fundamentales
D. Excentricidad
ce
a

Como: cc a 1
a
  
Luego: e 1
E. Longitud del lado recto
DESARROLLO DEL TEMA
98UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
ESTUDIO DE LA HIPERBOLA
TEMA 30
Exigimos más!
F. Distancia entre las rectas directrices
G. Ecuaciones de la hipérbola
1. Eje focal paralelo al eje x
• Forma canónica
• Forma ordinaria
• Forma general
2 2Ax Cy Dx Ey F 0    
A y C tienen signos diferentes.
2. Eje focal paralelo al eje y
• Forma canónica
• Forma ordinaria
• Forma general
2 2Ax Cy Dx Ey F 0    
H. Hipérbola equilátera
I. Hipérbolas conjugadas
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ESTUDIO DE LA HIPERBOLA
Exigimos más!
Problema 1
Sea H una hipérbola de ecuación:
22 yx – 1,
16 9
 encontrar la ecuación de
la circunferencia que tiene como
diámetro, el segmento que une los
focos de la hipérbola.
UNI
A) x2 + y2 = 16
B) x2 + y2 = 4
C) x2 + y2 = 25
D) x2 + y2 = 9
E) x2 + y2 = 12
Resolución:
22 yxH : – 1
16 9

L1 L2
x
F2F1
5
4
a
y
Para la circunferencia C de diámetro
F1F2 tenemos que:
2 2
centro : (0, 0)
radio : r 5
: x y 25



  C
Respuesta: C) x2 + y2 = 25
Problema 2
Halle el lugar geométrico de los puntos
cuyo producto de las distancias a las
rectas:
3x – 4y – 11 = 0, 3x + 4y + 5 = 0 es
144 .
25
UNI
A) recta
B) circunferencia
C) elipse
D) parábola
E) hipérbole
Resolución:
3x+ 4y + 5 = 0 3x –4y – 11 = 0
P(x; y)
y
x
d1 d2
Por condición: 1 2
144d d
25
 
Conocemos que:
1 2
2 2 2 2
| 3x 4y 5 | | 3x – 4y – 11 |d d
3 4 3 (–4)
| 3x 4y 5 | | 3x – 4y – 11 |
25
   
 
   144
25

2 2| 9x – 18x – 16y – 64y – 55 | 144
Completamos cuadrados:
2 2| 9(x – 1) – 16(y 2) | 144 
Luego:
i)    
22 y 2x – 1 – 1
16 9


 
ii)    
2 2y 2 x – 1– 1
9 16


Las ecuaciones nos representan a la
hipérbola.
Respuesta: E) Hipérbola
Problema 3
Simplificar la ecuación mediante una
traslación de ejes:
x3 + 6x2 + y2 + 12x + 2y + 7 = 0
Ind ique el punto de t ras lación
adecuado.
UNI
A) (–2; –1)
B) (–1; –2)
C) (1, 2)
D) (2; 1)
E) (2; –1)
Resolución:
x3 + 6x2 + y2 + 12x + 2y + 7 = 0
Agrupamos los términos:
3 2
3 2
3 2 3 2
(x 2) (–y 1)
(x 2) (y 1) 2
(x 6x 12x 2 ) (y 2y 1) 2
 
    
       
Hacemos los cambios:
1
1
x 2 x
y 1 y
  

  
Luego nos queda:
3 21 1x y 2 
Considerando al punto:
(–2; –1) nuevo origen.
Respuesta: A) (–2; –1)
problemas resueltos