Tema_21_Funciones_trigonométricas_inversas_II_Trazado_de_gráficas

Vista previa del material en texto

69UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 21
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS II: TRAZADO DE GRÁFICAS
TRIGONOMETRÍA
DEFINICIÓN DE CADA FUNCIÓN TRIGO-
NOMÉTRICA INVERSA
A continuación definiremos las funciones trigonométricas
inversas indicando en cada una de ellas su dominio, rango,
gráfica y alguna otra característica importante de la función.
A. Seno inverso o arco seno
 1 2Sen (x ; y) | y arcSen(x)   
Donde:
y = arcSen(x)  x = Sen(y)
Dominio:
como x = Seny  x 1;1   
Rango:
como y = arcSen(x)  y ;
2 2
     
• Es continua en todo su dominio.
• Es creciente en todo su dominio.
• No es una función periódica.
• Es una función impar: arc sen(–x) = –arcsenx
• Su máximo valor es 2

.
• Su mínimo valor es 
2
 .
B. Coseno inverso o arco coseno
 1 2Cos (x ; y) | y arcCos(x)   
Donde:
y = arcCos(x)  x = Cos (y)
Dominio:
como x = Cos y  x 1;1   
Rango:
como y = arcCos(x)  y 0 ;   
 
y
1-1

y=arc cos(x)
x
/2
0
• Es continua en todo su dominio.
• Es decreciente en todo su dominio.
• No es una función periódica.
• No es función impar, ni par.
• Su máximo valor es .
• Su mínimo valor es 0.
C. Tangente inverso o arco tangente
 1 2Tan (x ; y) | y arcTan(x)   
Donde:
y = arcTan(x)  x = Tan (y)
Dominio:
como x = Tany  x  
DESARROLLO DEL TEMA
70UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS II: TRAZADO DE GRÁFICAS
TEMA 21
Exigimos más!
Rango: como y = arcTan(x)  y ;
2 2
  

2
y
A.H.
0
A.H.
x

2

y = arc tan(x)
• Es continua en todo su dominio.
• Es creciente en todo su dominio.
• No es función periódica.
• Es una función impar: arc tan(–x) = –arc tan
• No tiene ni máximo ni mínimo.
• Tiene asíntotas horizontales en y
2 2
  .
D. Cotangente inverso o arco cotangente
 1 2Cot (x ; y) | y arcCot(x)   
Donde: y = arcCot(x)  x = Cot (y)
Dominio: como x = Coty  x 
Rango: como y = arcCot (x)  y 0 ; 

y
x
/2
y = arc cot(x)
0
A.H
A.H
• Es continua en todo su dominio.
• Es decreciente en todo su dominio.
• No es función periódica.
• No es función impar, ni par:
arc cot(–x) =  – arc cotx
• No tiene máximo ni mínimo.
• Tiene asíntotas horizontales en 0 y  .
E. Secante inverso o arco secante
 1 2Sec (x ; y) | y arcSec(x)   
Donde:
y = arcSec(x)  x = sec (y)
Dominio:
como x = Secy  x ; 1 U 1;     
Rango:
como y = arc sec (x)   y 0; 2   
y
0-1 1
A.H.

y = arc sec(x)
/2
y = arc cos(x)
x
• Es contínua en todo su dominio.
• Es discontínua en 1;1 .
• Es creciente en todo intervalo contínuo de su
dominio.
• No es función impar, ni par:
arc sec(–x) =  – arc secx
• Su máximo valor es  .
• Su mínimo valor es 0.
• Tiene una asíntota horizontal en 2
 .
F. Cosecante inverso o arco cosecante
 1 2Csc (x ; y) | y arcCsc (x)   
Donde:
y = arcCsc(x)  x = Csc(y)
Dominio: como x = Csc y  x ; 1 U 1;     
Rango: como y = arc csc (x)   y ; 02 2
      
y
0
-
1 x
y = arc csc(x)

2
x
-1

2
A.H.
y = arc sen(x)
• Es contínua en todo su dominio.
• Es discontínua en 1;1 .
• Es decreciente en todo intervalo contínuo de su
dominio.
• Es una función impar: arc csc (–x) = –arc cscx
• Su máximo valor es 
2
 .
• Si mínimo valor es 
2
 .
• Tiene una asíntota horizontal en 0.
71UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 21
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS II: TRAZADO DE GRÁFICAS
Exigimos más!
Problema 1
Señale la alternativa que presenta la
secuencia correcta, después de deter-
minar si la proposición es verdadera (V)
o falsa (F):
I. Si: arc sen( x)
2
– = –
entonces x = 1.
II. Si arc cos (–x) = 1, entonces
x = – .
III. Si x [ 1,1] – , entonces:
arc sen( x) arc cos( x)
2
– + – =
UNI 2013-I
A) FFV B) VVV
C) VVF D) VFF
E) VFV
Resolución:
Ubicación de incógnita
Nos piden determinar el valor de verdad
de las tres proposiciones siguientes:
Análisis de los datos o gráficos
I. Si Arc Sen(–x) = –
2
  x = 1
II. Si Arc Cos(–x) = 1  x = –
III. Si
x  [–1;1]  Arc Sen(–x) + Arc
Cos(–x) = 2

Operación del problema
(I) Es verdadero
Demostración:
Arc Sen(–x) = –
2
  –Arc Senx
= –
2

Arc Senx
2
x 1
– =
=
(II) Es falsa
Demostración:
Arc Cos(–x) = 1  –x = Cos1
 x = –Cos1
(III) Es verdadera
Demostración:
Arc Sen(–x) + Arc Cos(–x) = 2

–Arc Senx +  – Arc Cosx = 2

Arc Senx + Arc Cosx = 2

,  x [–1;1]
Resumen
Aplicando la teoría de las funciones
trigonométricas inversas, se determinó
el valor de verdad de las proposiciones.
Respuesta: E) VFV
Problema 2
Sea f una función definida por:
 f x arc sen x arc tan x 
Determine el rango de f.
UNI 2012-I
A) 0, 2
 
   B) 0, 2
 

C) 30,
4
 
  
D) 30,
4
 

E) 0 , 
Resolución:
Ubicación de incógnita
Nos piden el rango de la función (Rf)
 f x arc sen x arc tan x 
Sean:
   1 2f x arc sen x f x arc tan x  
Análisis de los datos o gráficos
Primero determinamos el dominio de
"f" (Df)
   
1 2 1 2
f f f fD 1;1 D D D 1;1       
Operación del problema
Graficamos las funciones:
 1f x arc sen x  2f x arc tan x
 
Conclusiones y respuesta
Se observa que los gráficos de f1 y f2
tienen el mismo comportamiento, por
lo tanto el rango de f se determinará
así:
0 arc sen x / 2
0 arc tan x / 4
  
  
 f x
0 arc sen x arc tan x 3 / 4    
 fR 0, 3 / 4  
Resumen
El problema consistía en demostrar que
las gráficas de las funciones f1 y f2
tienen el mismo comportamiento en
el dominio común.
Por lo tanto el rango de f es la adición
de los rangos de f1 y f2.
Respuesta: C) 30,
4
 
  
Problema 3
Para 0 < x < 1, resolver la ecuación:
1arc cot x arctan
1 – x
 
   
 
UNI 2011-II
A) –1 5
2
 B) –1 4
2

C) –1 3
2
 D) –1 2
2

E) –2 2
2

problemas resueltos
72UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS II: TRAZADO DE GRÁFICAS
TEMA 21
Exigimos más!
Resolución:
Ubicación de incógnita
Hallar "x".
Análisis de los datos o gráficos
1arc cot x arctan
1 x
 
    
; 0 < x < 1
Operación del problema
1. Aplicamos la propiedad: (x > 0)
1arc cot x arctan
x
    
2. Solución del problema
1 1
x 1 – x

 2x |1 – x | ; como x 0;1
x2 = 1 – x
x2 + x – 1 = 0 –1 5x
2

Respuesta: A) –1 5
2
