Prop -3-Potenciacion-y-radicacion

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POTENCIACIÓN 
La potenciación es una operación matemática que nos permite escribir de forma abreviada una 
multiplicación de factores iguales. 
 
 
 
 
Los elementos que intervienen son: la BASE, que es el número que se va a multiplicar tantas veces por sí 
mismo como lo indique el EXPONENTE para llegar al RESULTADO o a la POTENCIA buscada. 
 
 
25 = 32 
Veamos más ejemplos: 
• 62 = 36 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 6 . 6 = 36 
• 43 = 64 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 4 . 4 . 4 = 64 
• 34 = 81 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 3 . 3 . 3 . 3 = 81 
• 105 = 100000 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 100000 
 
 
ATENCION → UN ERROR COMÚN de calcular una potencia es el siguiente: 
𝟐𝟑 = 𝟐. 𝟑 = 𝟔 (Multiplicar la base con el exponente) → INCORRECTO 
𝟐𝟑 = 𝟐 . 𝟐 . 𝟐 = 𝟖 → CORRECTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BASE 
EXPONENTE 
POTENCIA 
Se lee: “seis al cuadrado es igual a treinta y seis” 
Se lee: “cuatro al cubo es igual a sesenta y cuatro” 
Se lee: “tres elevado a la cuarta es igual a ochenta y uno” 
Se lee:” diez elevado a la quinta es 
igual a cien mil” 
CASOS PARTICULARES 
Si el EXPONENTE ES 1 (UNO), la potencia es igual a la base 
51 = 5 751 = 75 9231 = 923 
Si el EXPONENTE ES 0 (CERO), la potencia siempre va a ser 1 (uno) 
85𝟎 = 1 1125𝟎 = 𝟏 287𝟎 = 𝟏 
Si la BASE ES 10 (DIEZ), el exponente indica la cantidad de ceros que debe llevar la potencia seguida de la 
unidad 
10𝟐 = 1𝟎𝟎 10𝟓 = 1𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 10𝟑 = 1𝟎𝟎𝟎 
Si en el exponente no hay ningún número, se entiende que el exponente es igual a 1 (uno) 
5 = 51 = 5 8 = 81 = 8 9 = 91 = 9 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPIEDADES 
Producto de potencias de igual base 
Se mantiene la misma base y se suman los 
exponentes. 
 𝒂𝒎 . 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 
𝟑𝟐 . 𝟑𝟎 . 𝟑 = 𝟑(𝟐+𝟎+𝟏) = 𝟑𝟑 = 𝟐𝟕 
 
Cociente de potencias de igual base 
Se mantiene la misma base y se restan los 
exponentes. 
 𝒂𝒎 ∶ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏 
𝟑𝟔 ∶ 𝟑𝟐 = 𝟑(𝟔−𝟐) = 𝟑𝟒 = 𝟖𝟏 
Potencia de potencia 
Se mantiene la misma base y se multiplican los 
exponentes. 
 ( 𝒂𝒎 )
𝒏
= 𝒂𝒎 . 𝒏 
(𝟐𝟑)𝟐 = 𝟐(𝟑 . 𝟐) = 𝟐𝟔 = 𝟔𝟒 
Distributiva respecto de la multiplicación y 
división 
 (𝒂 .𝒃)
𝒏
= 𝒂𝒏 .𝒃
𝒏
 
(𝟒 . 𝟑)𝟐 = 𝟒𝟐 . 𝟑𝟐 = 𝟏𝟔 . 𝟗 = 𝟏𝟒𝟒 
 
(𝒂: 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 ∶ 𝒃𝒏 
(𝟏𝟎 ∶ 𝟐)𝟐 = 𝟏𝟎𝟐 ∶ 𝟐𝟐 = 𝟏𝟎𝟎: 𝟒 = 𝟐𝟓 
 
La propiedad DISTRIBUTIVA sólo se puede aplicar cuando tenemos multiplicación y 
división (dentro de un paréntesis), NUNCA EN SUMAS O RESTAS. En estos casos, tenemos que 
resolver dicha operación y luego aplicar potencia. 
(𝟐 + 𝟓)𝟐 ≠ 𝟕𝟐 + 𝟓𝟐 
 
La forma correcta es: (𝟐 + 𝟓) 𝟐 = 𝟕𝟐 = 𝟒𝟗 
 
ACLARACIONES 
Cuando combinamos dos o más propiedades de la potenciación el orden de resolución es de 
izquierda a derecha. 
Por ejemplo: 𝟔𝟏𝟓 . 𝟔𝟑 : 𝟔𝟏𝟔 = 
 
 𝟔𝟏𝟖 ∶ 𝟔𝟏𝟔 = 
 
 𝟔𝟐 = 𝟑𝟔 
3 
 
Actividades de potenciación 
 
1) Completar los casilleros vacíos con los nombres correspondientes: 
 
 
 
 
 
 
 
2) Escribir la potencia de los siguientes cálculos y resolver 
a) = 5 . 5 . 5 = d) = 7 . 7 . 7 = 
b) = 2 . 2 . 2. 2 . 2 = e) = 3 . 3 . 3 . 3 = 
c) = 3 . 3 = f) = 9 . 9 = 
 
 
3) Calcular las siguientes potencias 
a) 72 = e) 105 = i ) 63 = 
b) 34 = f) 53 = j ) 112 = 
c) 18 = g) 120 = k) 26 = 
d) 81 = h) 330 = l ) 92 = 
 
 
4) Completa con V o F. Demostrar 
a) (5 + 3)2 = 52 + 32 d) (8: 4)2 = 82 ∶ 42 
b) (5 . 3 )2 = 52 . 32 e) 23 = 32 
c) (8 − 4)2 = 82 − 4𝟐 f) (27) 2 = 27 . 72 
 
 
5) Resolver aplicando propiedades. 
a) 32 . 34 ∶ 33 = e) 60 = i) (43 . 42): 45 = 
b) 23 . 2 . 20 . 𝟐𝟐 = f) (22)3. 22 ∶ 24 = j) 1226 . 122 ∶ 1226 = 
c) 57: 55 = g) (326 . 12 )0 = k) (32)2 . 32 = 
d) 843 ∶ 810 . 825 ∶ 857 = h) (54)2 ∶ (53)2 = l) (2 . 22)2 ∶ (23. 20) = 
 
 
 
 
𝟑𝟐 = 3 . 3 = 𝟗 
4 
 
 
RADICACIÓN 
 
La radicación es la operación inversa a la potencia. Para entenderla mejor, comencemos con la siguiente 
pregunta: ¿Qué número elevado al cubo nos da 125? → 3 = 125 . Sabemos que dicho número es 5, porque 5.5.5 
= 125. 
 
En este caso estamos buscando la base de la potenciación, esto se traduce de manera simbólica a la nueva 
operación: la RADICACIÓN, que está conformado por el RADICANDO (número que se encuentra dentro del radical), 
el ÍNDICE (número pequeño que figura en la parte superior izquierda del signo radical e indica a qué potencia se 
debe elevar el resultado para obtener al radicando), y la RAÍZ que es el resultado de la operación que al multiplicarlo 
por sí mismo tantas veces cómo lo indica el índice se obtiene el valor del radicando. 
 
√𝟏𝟐𝟓
𝟑
= 𝟓 porque 53 = 125 
 
 
Pregunta para calcular una raíz: 
• √27
3
= → ¿Qué número multiplicado 3 veces por sí mismo da 27? O ¿Qué número elevado al cubo da 
27? 
√27
3
= 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 33 = 27 
 
• √10000
4
= → ¿Qué número elevado a la cuarta potencia da 10000? 
√10000
4
= 10 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 104 = 10000 
 
 
Si en un radical no se encuentra ningún índice, se asume que es una raíz cuadrada y por lo tanto el 
 índice es 2. 
√𝟗 = 𝟑 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 𝟑𝟐 = 𝟗 √𝟒 = 𝟐 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 𝟐𝟐 = 𝟒 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
RADICANDO RAÍZ 
SIGNO RADICAL 
¿CÓMO SE LEEN LAS RAICES? 
• √4
2
 → se lee: “raíz cuadrada de cuatro” 
• √8
3
 → se lee: “raíz cúbica de ocho” 
• √16
4
 → se lee: “raíz cuarta de dieciséis” 
• √32
5
 → se lee: “raíz quinta de treinta y dos” 
ACLARACIÓN 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPIEDADES 
Distributiva en multiplicación y división 
Se distribuye el símbolo radical para cada uno de los 
radicandos, respetando la operación que 
corresponde. 
 √𝒂 . 𝒃
𝒏
= √𝒂 
𝒏
 . √𝒃
𝒏
 
√𝟒 . 𝟗 
𝟐
= √𝟒 . √𝟗 = 𝟐 . 𝟑 = 𝟔 
 
√𝒂 ∶ 𝒃
𝒏
= √𝒂 
𝒏
∶ √𝒃
𝒏
 
√𝟔𝟒 ∶ 𝟏𝟔 = √𝟔𝟒 ∶ √𝟏𝟔 = 𝟖 ∶ 𝟒 = 𝟐 
 
Reciproca de la distributiva 
Para multiplicar o dividir raíces que tengan igual 
índice, se escribe un solo símbolo radical con el 
mismo índice y el radicando es igual a la 
multiplicación o división de los radicandos dados, 
según corresponda. 
 √𝒂 
𝒏
 . √𝒃
𝒏
= √𝒂 . 𝒃
𝒏
 
√𝟒 . √𝟒 = √𝟒 . 𝟒 
𝟐
= √𝟏𝟔= 𝟒 
 
√𝒂 
𝒏
∶ √𝒃
𝒏
= √𝒂 ∶ 𝒃
𝒏
 
√𝟔𝟒 ∶ √𝟏𝟔 = √𝟔𝟒 ∶ 𝟏𝟔 = √𝟒 = 𝟐 
 
Raíz de raíz 
Se mantiene el mismo radicando y se multiplican los 
índices 
 √ √𝒂
𝒎𝒏
= √𝒂
𝒏.𝒎 
√ √𝟔𝟒
𝟐𝟑
= √𝟔𝟒
𝟑.𝟐 
= √𝟔𝟒
𝟔
= 𝟐 
 
Si al aplicar la propiedad distributiva, en el radicando aparece más de una multiplicación o combina 
multiplicación y división, el orden de resolución se hace de IZQUIERDA A DERECHA. 
 
Ejemplo: √𝟏𝟎𝟎. 𝟏𝟒𝟒: 𝟗 = √𝟏𝟎𝟎 . √𝟏𝟒𝟒 ∶ √𝟗 
 = 𝟏𝟎 . 𝟏𝟐 ∶ 𝟑 
 = 𝟏𝟐𝟎 ∶ 𝟑 
 = 𝟒𝟎 
 
La radicación NO es distributiva con respecto a la suma ni a la resta. En estos casos, tenemos que resolver dicha 
operación y luego resolver la radicación. 
√𝟏𝟔 + 𝟗 ≠ √𝟏𝟔 + √𝟗 
 
La forma correcta es: √𝟏𝟔 + 𝟗 = √𝟐𝟓 = 𝟓 
ACLARACIONES 
6 
 
Actividades de radicación 
6) Completar 
 
 
 
 
 
 
 
7) Resolver y expresar como potencia el resultado. 
a) √9 = _____ 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 ____ e) √32
5
= ______ 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 ______ 
b) √25 = _____ 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 ______ f) √144 = _____ 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 _____ 
c) ∛8 = _____ 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 ______ g) √81 = ____ 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 ____ 
d) √27
3
= _____ 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 _____ h) √81
4
= _____ 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 _____ 
 
 
8) Completar: 
a) √ 
3
= 10 c) √ 
4
= 2 e) √ 
4
= 5 
b) √ = 8 d) √ 
2
= 11 f) √ 
3
= 3 
 
 
9) Resolver aplicando propiedades 
a) √√256 = f) √2. √2 = k) √64 . 27 . 125 
3
= 
b) √4 . 25 = g) √27 . 1000
3
= l) √√9 . √9
4
= 
c) √625 . 81
4
= h) √2 . √18 = m) √𝟏𝟐𝟓 . 𝟖 =
𝟑
 
d) √√64
3
= i) √5
3
 . √25
3
= 
e) √75 ∶ √3 = j) √81 . 16 ∶ 4 = 
 
 
10) Resolver. Antes de aplicar la raíz es necesario resolver el radicando y para ello hay que separar en términos. 
a) √2 ∙ 15 − 20: 4 = e) √15 ∙ 4 + 8: 2
3
= 
b) √18: 3 + 14: 7
3
= f) √20 ∙ 5 + 6 ∙ 4 + 1
3
= 
c) √25 ∙ 4 + 3 ∙ 7 = g) √28: 7 + 3 ∙ 5 − 3 = 
d) √50: 2 + 8 ∙ 3 = h) √(12: 2 − 1) ∙ 7 + 1 = 
 
√𝟗
𝟐
= 𝟑 𝟑𝟐 = 9