letra B retroalimentada

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Tarea 4 Espacios vectoriales. 
 
 
Ejercicio 1: conceptualización de espacios vectoriales. 
Después de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, presentar de forma individual en el 
foro un Mapa conceptual en el que se ilustre los siguientes conceptos: 
B. Los diferentes subespacios del espacio vectorial 𝑹𝟑. 
Utilice para su construcción Cmaptools, GoConqr, PowerPoint o cualquier otra herramienta 
para el desarrollo de esquemas mentales; debe compartirlo en el foro de discusión en formato 
de imagen (*.jpg, *.bmp, etc) e incluirlo en el trabajo individual que se presenta en el 
entorno de evaluación. 
 
 
Ejercicio 2. Axiomas y propiedades de los espacios vectoriales. 
Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente a la literal seleccionada en el foro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada 
estudiante 
selecciona y 
desarrolla una 
letra 
Literal a 
seleccionar 
Ejercicio para desarrollar 
 
 
 
 
 
B. Dados los vectores 𝒖⃗ = (−5, 2, 8) y 
 𝒗⃗ = (−7, 1, 2) para 𝝀 = 4 y 𝛽= -2 verifique si se 
cumple los axiomas: 
I) 𝜆 (𝒖⃗ + 𝒗⃗ ) = 𝜆𝒖⃗ + 𝜆𝒗⃗ 
II) 𝑢⃗ + (−𝑢⃗ ) = (−𝑢⃗ ) + 𝑢⃗ = 0 
I) 𝜆 ∙(𝛽 ∙ 𝒗⃗ ) = (𝜆𝛽)∙ 𝒗⃗ 
 • λ(�⃗�⃗ + 𝑣 ) = λ�⃗�⃗ + λ𝑣 
realizamos las operaciones 
4((−5,2,8) + (−7,1,2)) = 4(−5,2,8) + 4(−7,1,2) 
4(−12,3,10) = (−20,8,32) + (−28,4,8) 
(−48,12,40) = (−48,12,40) 
Si se cumple el axioma sobre la ley distributiva: 
 
• λ(β𝑣 ) = (λβ)𝑣 
remplazamos para poder desarrollar la operación: 
 
4((−2)(−7,1,2)) = (4 ∗ −2)(−7,1,2) 
4(14, −2,−4) = −8(−7,1,2) 
(56,−8,−16) = (56,−8, −16) 
Si se cumple el axioma, corresponde a la ley asociativa de la 
multiplicación por escalares 
 
 
 
Ejercicio 3: Conjuntos Generadores, dependencia e independencia lineales. 
 
 Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al 
 literal seleccionado previamente. 
• Determine si el conjunto 𝑆 de vectores correspondiente es linealmente independiente. Si para 
alguno de ellos la respuesta puede determinarse por inspección (esto es, sin cálculo), 
establezca porqué. Para cualquier conjunto que sea linealmente dependiente, encuentre una 
relación de dependencia entre los vectores. 
 
• Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3 
 
Literal a 
Seleccionar 
 
 
 
Conjunto 𝑺 a evaluar: 
 
B. 
 
 𝑆 = {(1,1,2), (2,1,3), (4,0,2)} 
Para que un conjunto de vectores sea linealmente independiente no debe tener un vector que se 
pueda expresar como combinación lineal de los demás vectores, tampoco debe contener el vector 
nulo. 
Para iniciar se describen los vectores con unos escalares (a, b, c) igualándolos al vector nulo de la 
siguiente manera: 
𝑎(1,1,2) + 𝑏(2,1,3) + 𝑐(4,0,2) = (0,0,0) 
 
escribimos el sistema de ecuaciones asociado a este conjunto: 
1𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 = 0
1𝑎 + 1𝑏 + 0𝑐 = 0
2𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐 = 0
 
 
Escribimos la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones: 
 
(
1 2 4
1 1 0
2 3 2
|
0
0
0
) 
 
 
 
se resuelve el sistema por el método de Gauss-Jordán. Si el resultado para todas las variables es 0 se 
dice que el conjunto de vectores es linealmente independiente: 
 
𝐹2 − 𝐹1 → 𝐹2 (
1 2 4
0 −1 −4
2 3 2
|
0
0
0
) 𝐹3 − 2𝐹1 → 𝐹3 (
1 2 4
0 −1 −4
0 −1 −6
|
0
0
0
) 𝐹2/(−1) → 𝐹2 
 
(
1 2 4
0 1 4
0 −1 −6
|
0
0
0
) 𝐹3 − (−1)𝐹2 → 𝐹3 (
1 2 4
0 1 4
0 0 −2
|
0
0
0
) 𝐹3/(−2) → 𝐹3(
1 2 4
0 1 4
0 0 1
|
0
0
0
) 
 
𝐹2 − 4𝐹3 → 𝐹2 (
1 2 4
0 1 0
0 0 1
|
0
0
0
) 𝐹1 − 4𝐹3 → 𝐹1 (
1 2 0
0 1 0
0 0 1
|
0
0
0
) 𝐹1 − 2𝐹2 → 𝐹1 
 
(
1 0 0
0 1 0
0 0 31
|
0
0
0
) 
 
Todas las variables dieron como resultado 0 entonces el conjunto de vectores es linealmente 
independiente. 
Comprobación: 
 
 
 
Determine si el conjunto S genera a R3 
Para comprobar si el conjunto de vectores genera a R3 igualamos el sistema de ecuaciones generados a 
el vector (x, y, z), de la siguiente manera: 
 
𝑎(1,1,2) + 𝑏(2,1,3) + 𝑐(4,0,2) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
 
1𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 = 𝑥
1𝑎 + 1𝑏 + 0𝑐 = 𝑦
2𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐 = 𝑧
 
Matriz aumentada: 
 
(
1 2 4
1 1 0
2 3 2
|
𝑥
𝑦
𝑧
) 
 
matriz reducida por el método de Gauss-Jordán: 
 
𝐹2 − 𝐹1 → 𝐹2 (
1 2 4
0 −1 −4
2 3 2
|
𝑥
−𝑥 + 𝑦
𝑧
) 𝐹3 − 2𝐹1 → 𝐹3 (
1 2 4
0 −1 −4
0 −1 −6
|
𝑥
−𝑥 + 𝑦
−2𝑥 + 𝑧
) 
𝐹2
−1
→ 𝐹2 
 
(
1 2 4
0 1 4
0 −1 −6
|
𝑥
𝑥 − 𝑦
−2𝑥 + 𝑧
) 𝐹3 − (−1)𝐹2 → 𝐹3 (
1 2 4
0 1 4
0 0 −2
|
𝑥
𝑥 − 𝑦
−𝑥 − 𝑦 + 𝑧
) 
𝐹3
−2
→ 𝐹3(
1 2 4
0 1 4
0 0 1
|
𝑥
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦 − 𝑧
2
) 
 
𝐹2 − 4𝐹3 → 𝐹2 (
1 2 4
0 1 0
0 0 1
|
𝑥
−𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧
𝑥 + 𝑦 − 𝑧
2
) 𝐹1 − 4𝐹3 → 𝐹1 (
1 2 0
0 1 0
0 0 1
|
−𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧
−𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧
𝑥 + 𝑦 − 𝑧
2
) 𝐹1 − 2𝐹2 → 𝐹1 
 
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧
−𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧
𝑥 + 𝑦 − 𝑧
2
) 
Tenemos que: 
 
𝑎 = 𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧
𝑏 = −𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧
𝑐 = 
𝑥 + 𝑦 − 𝑧
2
 
El conjunto de vectores si genera a 𝑅3: 54 
Comprobación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejercicio 4 
Determinantes, el rango de una matriz, e independencia línea 
 
 
El cálculo del rango de una matriz mediante el método de Gauss-Jordán consiste en realizar operaciones elementales 
sobre la matriz hasta obtener la forma escalonada. El rango de la matriz será igual al número de filas distintas de cero al 
final de la transformación. 
𝐹3 − (
5
2
)𝐹1 → 𝐹3 (
2 0
0 4
 4 0
−1 −2
0 1 
0 −1
−9 −4
1 1
) 𝐹3 − (
1
4
)𝐹2 →
𝐹3 (
2 0
0 4
 4 0
−1 −2
0 0 
0 −1
−35
4
−7
2
1 1
) 𝐹4 − (
−1
4
)𝐹2 → 𝐹4 
 
(
 
 
 
2 0
0 4
 4 0
−1 −2
0 0 
0 0
−35
4
−7
2
3
4
1
2 )
 
 
 
 𝐹4 − (−
3
35
)𝐹3 → 𝐹4 
(
 
 
 
2 0
0 4
 4 0
−1 −2
0 0 
0 0
−35
4
−7
2
0
1
5 )
 
 
 
 
Determina el rango: 
 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 
(
 
 
2 0
0 4
 4 0
−1 −2
0 0 
0 0
−35
4
−7
2
0
1
5 )
 
 
= 4 
Como en la forma escalonada las 4 filas aún tienen valores diferentes a 0, el rango de la matriz es 4. 
Comprobación: 
 
 
 
 
 
• Calcular el rango de la matriz B por el método de determinantes 
Para calcular el determinante de la matriz B tomaremos como base la primera fila 
 
𝐵 = (
2 0
0 4
4 0
−1 −2
5 1
0 −1
1 −4
1 1
) 
calcularemos el determinante por el método de cofactores: 
 
𝐷𝑒𝑡(𝐵) = 2 |
4 −1 −2
1 1 −4
−1 1 1
| − 0 |
0 −1 −2
5 1 −4
0 1 1
| + 4 |
0 4 −2
5 1 −4
0 −1 1
| − 0 |
0 4 −1
5 1 1
0 −1 1
| 
 
𝐷𝑒𝑡(𝐵) = 2(−2 + 15) + 4(10 − 20) 
𝐷𝑒𝑡(𝐵) = 26 − 40 
𝐷𝑒𝑡(𝐵) = −19 
Ya que el determinante dio un numero diferente de 0, el rango de la matriz es 4: 
Comprobación: 
 
 
 
• Determine si el conjunto formado por las columnas de la matriz B es linealmente independiente 
El conjunto de vectores es linealmente independiente puesto que el valor del determinante fue distinto de cero 
y además no hubo filas nulas al simplificar el sistema: 
 
 
Ejercicio 5 
 cada estudiante debe de desarrollar la demostración correspondiente al literal seleccionado previamente. 
 
 
Sean �⃗⃗�⃗ y �⃗⃗�⃗ vectores en R3. Demuestre que 
�⃗�⃗ ∗ (𝑣 𝑥 �⃗⃗� ) = (�⃗�⃗ 𝑥 𝑣 ) ∗ �⃗⃗� 
Sea �⃗�⃗ = (𝑢⃗1, 𝑢⃗2, 𝑢⃗3), 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) y �⃗⃗� = (𝑤1, 𝑤2, 𝑤3) 
Primero realizamos las operaciones de producto cruz que se encuentran dentro del paréntesis así 
𝑣 𝑥 �⃗⃗� 
𝑣 𝑥 �⃗⃗� = |
𝑖 𝑗 𝑘
𝑣1 𝑣2 𝑣3
𝑤1 𝑤2 𝑤3
| 
𝑣 𝑥 �⃗⃗� = |
𝑣2 𝑣3
𝑤2 𝑤3
| 𝑖 − |
𝑣1 𝑣3
𝑤1 𝑤3
| 𝑗 + |
𝑣1 𝑣2
𝑤1 𝑤2
| 𝑘 
𝑣 𝑥 �⃗⃗� = (𝑣2𝑤3 − 𝑣3𝑤2)𝑖 − (𝑣1𝑤3 − 𝑣3𝑤1)𝑗 + (𝑣1𝑤2 − 𝑣2𝑤1)𝑘 
𝑣 𝑥 �⃗⃗� = 𝑣2𝑤3𝑖 − 𝑣3𝑤2𝑖 − 𝑣1𝑤3𝑗 + 𝑣3𝑤1𝑗 + 𝑣1𝑤2𝑘 − 𝑣2𝑤1𝑘 
�⃗�⃗ 𝑥 𝑣 
�⃗�⃗ 𝑥 𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘
𝑢⃗1 𝑢⃗2 𝑢⃗3
𝑣1 𝑣2 𝑣3
| 
�⃗�⃗ 𝑥 𝑣 = |
𝑢⃗2 𝑢⃗3
𝑣2 𝑣3
| 𝑖 − |
𝑢⃗1 𝑢⃗3
𝑣1 𝑣3
| 𝑗 + |
𝑢⃗1 𝑢⃗2
𝑣1 𝑣2
| 𝑘 
�⃗�⃗ 𝑥 𝑣 = (𝑢⃗2𝑣3 − 𝑢⃗3𝑣2)𝑖 − (𝑢⃗1𝑣3 − 𝑢⃗3𝑣1)𝑗 + (𝑢⃗1𝑣2 − 𝑢⃗2𝑣1)𝑘 
�⃗�⃗ 𝑥 𝑣 = 𝑢⃗2𝑣3𝑖 − 𝑢⃗3𝑣2𝑖 − 𝑢⃗1𝑣3𝑗 + 𝑢⃗3𝑣1𝑗 + 𝑢⃗1𝑣2𝑘 − 𝑢⃗2𝑣1𝑘 
Reemplazamos la ecuación:(𝑢⃗2𝑣3 − 𝑢⃗3𝑣2)𝑖 − (𝑢⃗1𝑣3 − 𝑢⃗3𝑣1)𝑗 + (𝑢⃗1𝑣2 − 𝑢⃗2𝑣1)𝑘 ∗ (𝑤1,𝑤2,𝑤3) 
𝑤1(𝑢⃗2𝑣3 − 𝑢⃗3𝑣2)𝑖 − 𝑤2(𝑢⃗1𝑣3 − 𝑢⃗3𝑣1)𝑗 + 𝑤3(𝑢⃗1𝑣2 − 𝑢⃗2𝑣1)𝑘 
𝑤1𝑢⃗2𝑣3 −𝑤1𝑢⃗3𝑣2 −𝑤2𝑢⃗1𝑣3 + 𝑤2𝑢⃗3𝑣1 + 𝑤3𝑢⃗1𝑣2 − 𝑤3𝑢⃗2𝑣1 
Igualamos el resultado: 
𝑢⃗1𝑣2𝑤3 − 𝑢⃗1𝑣3𝑤2 − 𝑢⃗2𝑣1𝑤3 + 𝑢⃗2𝑣3𝑤1 + 𝑢⃗3𝑣1𝑤2 − 𝑢⃗3𝑣2𝑤1
= 𝑤1𝑢⃗2𝑣3 − 𝑤1𝑢⃗3𝑣2 − 𝑤2𝑢⃗1𝑣3 +𝑤2𝑢⃗3𝑣1 +𝑤3𝑢⃗1𝑣2 − 𝑤3𝑢⃗2𝑣1 
El resultado nos da igual: 
0 
Ejercicio 6: (Ejercicio Colaborativo de Equivalencia de Conceptos). 
 Todos los integrantes del grupo deberán resolver el ejercicio correspondiente a su literal y luego realizar el aporte en el 
foro. Cada uno de los integrantes debe responder la pregunta que se presenta al final. 
 
 Considere las siguientes matrices: 
 
𝐴 = (
1 −1 2
0 3 4
0 0 5
) 
Para verificar que cualquier vector �⃗� se puede expresar como combinación lineal de los vectores de A, 
inicialmente definimos 3 escalares 𝛽, 𝛾, 𝛿 de manera que 
𝛽 (
1
0
0
) + 𝛾 (
−1
3
0
) + 𝛿 (
2
4
5
) = (
𝑏1
𝑏2
𝑏3
) 
Sistema de ecuaciones: 
1𝛽 − 1𝛾 + 2𝛿 = 𝑏1
0𝛽 + 3𝛾 + 4𝛿 = 𝑏2
0𝛽 + 0𝛾 + 5𝛿 = 𝑏3
 
Matriz del sistema: 
(
1 −1 2
0 3 4
0 0 5
|
𝑏1
𝑏2
𝑏3
) 
método de eliminación de Gauss-Jordán, tenemos que: 
𝐹2
3
→ 𝐹2 (
1 −1 2
0 1
4
3
0 0 5
|
𝑏1
𝑏2
3
𝑏3
) 
𝐹3
5
→ 𝐹3 
(
 
 
1 −1 2
0 1
4
3
0 0 1
||
𝑏1
𝑏2
3
𝑏3
5)
 
 
 𝐹2 − (
4
3
)𝐹3 → 𝐹2 
(
 
 1 −1 2
0 1 0
0 0 1
||
𝑏1
5𝑏2 − 4𝑏3
15
𝑏3
5 )
 
 
 𝐹1 − 2𝐹3 → 𝐹1 
(
 
 1 −1 0
0 1 0
0 0 1
|
|
5𝑏1 − 2𝑏3
5
5𝑏2 − 4𝑏3
15
𝑏3
5 )
 
 
 
 
 
𝐹1 − (−1)𝐹2 → 𝐹1 
(
 
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
|
3𝑏1 + 𝑏2 − 2𝑏3
3
5𝑏2 − 4𝑏3
15
𝑏3
5 )
 
 
 
(
 
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
|
3𝑏1 + 𝑏2 − 2𝑏3
3
5𝑏2 − 4𝑏3
15
𝑏3
5 )
 
 
 
Tenemos que: 
𝛽 =
3𝑏1 + 𝑏2 − 2𝑏3
3 
Por lo que se puede concluir que el sistema es consistente y por esto cualquier vector de �⃗� al realizar el reemplazo el 
resultado anterior se puede expresar como combinación lineal de las columnas de la matriz A. 
Comprobación: 
 
Ahora, vamos a comprobar que existe un vector 𝑐 = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3)
𝑇 en R3 que no se puede expresar como combinación lineal 
de los vectores columna de la matriz B 
𝐵 = (
1 −1 0
1 −2 5
2 −4 10
) 
Escribimos la fórmula para el caso donde el vector 𝑐 no sea combinación lineal de las columnas de la matriz B. 
(
1
1
2
) + (
−1
−2
−4
)+ (
0
5
10
) = (
𝑐1
𝑐2
𝑐3
) 
Definimos el mismo vector: 
𝑐 = (0,2,3) 
Escribimos el sistema de ecuaciones: 
1𝑥1 − 1𝑥2 + 0𝑥3 = 0
1𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 = 2
2𝑥1 − 4𝑥2 + 10𝑥3 = 3
 
Realizamos el método de eliminación de Gauss-Jordán para determinar la respuesta a las variables 
2(2|5) 
𝐹2 − 1𝐹1 → 𝐹2 (
1 −1 0
0 −1 5
2 −4 10
|
0
2
3
) 𝐹3 − 2𝐹1 → 𝐹3 (
1 −1 0
0 −1 5
0 −2 10
|
0
2
3
) 
𝐹2
−1
→ 𝐹2 
(
1 −1 0
0 1 −5
0 −2 10
|
0
−2
3
) 𝐹3 − (−2)𝐹2 → 𝐹3 (
1 −1 0
0 1 −5
0 0 0
|
0
−2
−1
) 
(
1 −1 0
0 1 −5
0 0 0
|
0
−2
−1
) 
Como el sistema es inconsistente y no tiene solución se puede afirmar que el vector 𝑐 no es combinación lineal de las 
columnas de la matriz B. 
Comprobación 
 
 
 Pregunta para todos: ¿Qué se puede concluir de las equivalencias lógicas que se presentan en los enunciados de los literales 
A, B, C y D?