Unidad 5 - Espacios Vectoriales

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UNIDAD N°5: Espacios vectoriales 
Ejercicios resueltos: 
A) Demostrar si el conjunto R2 de todos los pares de números reales (x ; y) con las 
operaciones estándar de adición y multiplicación por un escalar, constituye un 
espacio vectorial “V”. 
Con los datos del enunciado, podemos considerar los elementos: 
𝑢 = (𝑢 , 𝑢 ); 𝑣 = (𝑣 , 𝑣 ); 𝑤 = (𝑤 , 𝑤 ) ∈ 𝑅 𝑦 "k" 𝑦 "𝑙" 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 ∈ 𝑅 . 
 Ahora trataremos de comprobar los diez axiomas: 
1º) Si  1 2;u u u ε R2 y  1 2;v v v ε R2   1 1 2 2;u v u v u v     R
2. 
2º) u v v u       1 1 2 2 1 1 2 2; ;u v u v u v v u v u           1 2 1 2; ;v v u u   v u  
3º)    u v w u v w         1 2 1 1 2 2; ;u u v w v w     1 1 1 2 2 2;u v w u v w     
 =    1 1 1 2 2 2;u v w u v w            1 1 2 2 1 2; ;u v u v w w u v w      
4º) 0 0u u u          1 2 1 20 0 ; 0 ; 0 ; 0u u u u u       
 
       1 2 1 2 1 20; 0 ; 0; 0 ;u u u u u u u       
5º)
 
           1 2 1 2 1 1 2 20 ; ; ; 0 ; 0 0u u u u u u u u u u u u               
6º)
    
2
1 2 1 2; ;k u V k u u k u k u R    
7º)
 
         1 1 2 2 1 1 2 2; ;k u v k u k v k u v k u v u v k u v k u v              
          1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2; ; ; ; ;k u k v k u k v k u k u k v k v k u u k v v k u k v         
8º)
 
           1 2 1 2; ;k l u k u l u k l u k l u u k l u k l u             
          1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2; ; ; ; ;k u l u k u l u k u k u l u l u k u u l u u k u l u         
9º)
 
              1 2 1 2 1 2 1 2; ; ; ;k l u k l u k l u u k l u l u k l u k l u k l u u k l u        
10º)    1 2 1 21 1 ; ;u u u u u u u    
Hemos comprobado que se satisfacen los diez axiomas, razón por la cual, el 
conjunto de todos los pares de números reales, constituye un espacio vectorial. 
B) Compruebe si el conjunto R3 de todas las ternas de números reales (x, y , z) , con 
las operaciones: 
     
   
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ;
; ; ; ;
x y z x y z x x y y z z
k x y z k x y z
    
 
 
 constituye o nó un espacio vectorial. 
 
 
 
1 2 3
3
1 2 3
1 2 3
; ;
: ; ; , " " " " Re
; ;
u u u u
Datos v v v v R y los escalares k y l ales
w w w w
       
  
 
Debemos, nuevamente comprobar los 10 axiomas 
1º)
      
3
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3; ; ; ; ; ;u v V u v u u u v v v u v u v u v R           
 81
2º) u v v u    (Propiedad conmutativa para la adición) 
          1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3; ; ; ; ; ; ; ; ; ;u u u v v v u v u v u v v v v u u u        
  1 1 2 2 3 3; ;v u v u v u v u      
3º)    u v w u v w      (Propiedad asociativa para la adición) 
     1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3; ; ; ; ; ;u u u v w v w v w u v w u v w u v w            
         1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3; ; ; ; ; ;u v w u v w u v w u v u v u v w w w               
 u v w   
4º) 0 0u u u     (Existencia del elemento neutro para la adición). 
           1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 30 ; 0 ; 0 : ; 0 : 0 ; 0 : ; 0 ; 0 ; 0 ; ;u u u u u u u u u u u u        
5º)     0u u u u       (Existencia del elemento inverso aditivo) 
       1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3; ; ; ; ; ; 0 ; 0 ; 0u u u u u u u u u u u u         
6º) k u V  (Multiplicación por un escalar) 
    31 2 3 1 2 3: ; ; ;k u u u ku u u R   (Sólo la primer componente queda 
multiplicada por “k”, es decir cumple con la condición impuesta en la segunda 
operación) 
7º)  k u v k u k v    (Propiedad distributiva del producto de un escalar por la suma 
de vectores) 
     1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3; ; ; ; ; ;k u v u v u v k u v u v u v k u k v u v u v              
   1 2 3 1 2 3; ; ; ;k u u u k v v v k u k v    
8º)  k l u k u l u    (Propiedad distributiva con respecto a la suma de escalares) 
          1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3; ; ; ; ; ; ; ; ; ;k l u u u k l u u u k u l u u u k u u u l u u u          
 1 1 2 3; 2 ; 2k u l u u u  ; en éste axioma no se cumple la condición impuesta. 
9º)    k l u k l u  (Propiedad asociativa del producto de escalares por un vector) 
           1 2 3 1 2 3 1 2 3; ; ; ; ; ;k l u k l u u u k l u u u l k u u u l k u k l u     
10º) 1u u  (Existencia del elemento neutro para la multiplicación) 
   1 2 3 1 2 31 ; ; 1 ; ;u u u u u u 
Conclusión: No es un espacio vectorial, pues no se cumple el axioma 8º. 
C) Compruebe si el conjunto de todas las matrices de orden 2 x 2, sobre el cuerpo de 
los reales (R) y de la forma 
0
0
a
b
 
 
 
, con la adición matricial y la multiplicación por 
un escalar, constituyen o no un espacio vectorial. 
Datos: Las matrices 31 2
31 2
00 0
;
00 0
aa a
A B y C
bb b
    
       
     
 que pertenecen a 
2 2xR , y , los escalares " " " "k y l que pertenecen a los reales ( R ). 
 
 
 82
Debemos comprobar los 10 axiomas 
1º) A+B ∊ 2 2xR  1 2 1 2 2 2
1 2 1 2
0 0 0
0 0 0
xa a a a R
b b b b
     
            
 
2º) A + B = B + A 1 2 1 2
1 2 1 2
0 0 0
0 0 0
a a a a
b b b b
     
            
2 1
2 1
0
0
a a
b b
 
  
2
2
0
0
a
b
 
 
 
1
1
0
0
a
b
 
 
 
 
3º)    A B C A B C      
3 2 3 1 2 31 2 1
3 2 3 1 2 31 2 1
0 0 00 0 0
0 0 00 0 0
a a a a a aa a a
b b b b b bb b b
              
                              
 
 
3 31 2 1 2
3 31 2 1 2
0 00 0 0
0 00 0 0
a aa a a a
b bb b b b
          
                      
 
4º) 0 0A A A     1 1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0 0 0 00 0 0 0
xa a a a a R
b b b b b
             
                               
 
5º)     0A A A A       1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
xa a a a a a a a R
b b b b b b b b
                 
                                    
 
6º) 2 2xk A R  1 1 2 2
1 1
0 0
0 0
xa k ak R
b k b
   
     
   
 
7º)  k A B kA kB       
1 21 2 1 2
1 21 2 1 2
00 0 0
00 0 0
k a aa a a a
k k k k A kB
k b bb b b b
      
                
 
8º)  k l A kA l A        
11 1 1 1 1
11 1 1 1 1
00 0 0 0 0
00 0 0 0 0
k l aa ka la a a
k l k l kA l A
k l bb kb lb b b
          
                           
 
9º)    k l A kl A     1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
a l a k l a a
k l k k l k l A
b lb k lb b
         
             
         
 
10º) 1 1 1
1 1 1
0 1 0 0
1 1
0 0 1 0
a a a
A A A
b b b
     
         
     
 
Conclusión: Se satisfacen los diez axiomas, por lo tanto constituye un espacio 
vectorial. 
D) ¿El conjunto de puntos en R2 que se encuentran sobre una recta que pasa por el 
origen del sistema de coordenadas, constituye o no un espacio vectorial? 
En éste caso el espacio vectorial “V” está formado por el conjunto de todos los pares de 
números reales “x” e “y” que satisfacen la ecuación de una recta que pasa por el origen 
del sistema de coordenadas. La ecuación de la recta es de la forma: y = m x, en donde 
“m” es un número real fijo que representa la pendiente de dicha recta, y “x” e “y” son 
números reales arbitrarios.Para probar que “V” es un espacio vectorial, deben satisfacerse todos los axiomas. 
1º) Supongamos que    1 1 2 2; , , ;u x y y v x y  están en “V”; entonces es: 1 1 2 2, ,y mx e y mx  y 
se debe cumplir: 
         1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2; ; ; ; ;u v V u v x y x y x mx x mx x x mx mx            
 1 2 1 2;x x m x x V      
 83
2º) Si:      1 1 2 2 1 2 1 2; ; ;u v v u u v x mx x mx x x mx mx           
     2 1 2 1 2 2 1 1; ; ;x x mx mx x mx x mx v u V         
3º) Supongamos que:    3 3 3 3; ;w x y x mx  y que “w” ∊ a “V” , entonces se debe 
cumplir:            1 1 2 2 3 3; ; ;u v w u v w u v w x y x y x y              
           1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 3; ; ; ; ; ;x mx x mx x mx x x x mx mx mx x mx x x mx mx             
       1 1 2 2 3 3; ; ;x y x y x y u v w V         
4º) 𝑆𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑙𝑜 0 = (0 , 0) = (0 , 𝑚0) ∈ V, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑖𝑟𝑠𝑒: 
𝑢 + 0 = 0 + 𝑢 = 𝑢 ⇒ 𝑢 + 0 = (𝑥 , 𝑚𝑥 ) + (0 , 𝑚0) = (𝑥 + 0 , 𝑚𝑥 + 𝑚0) = 
= 0 + 𝑥 , 𝑚0 + 𝑚𝑥 ) = (0 , 𝑚0) + (𝑥 , 𝑚𝑥 ) = (𝑥 , 𝑚𝑥 ) = 𝑢 ⟹∈ 𝑉 
5º) 𝑆𝑖 𝑢 = (𝑥 , 𝑚𝑥 ) 𝑦 − 𝑢 = (−𝑥 , −𝑚𝑥 ), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑖𝑟𝑠𝑒: 
𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0 ⟹ 𝑢 + (−𝑢) = (𝑥 , 𝑚𝑥 ) + (−𝑥 , −𝑚𝑥 ) = (𝑥 − 𝑥 , 𝑚𝑥 −
𝑚𝑥 ) = (−𝑥 + 𝑥 , −𝑚𝑥 + 𝑚𝑥 ) = (0 , 0) = 0 ∈ 𝑉 
6º) 𝑘𝑢 = 𝑘(𝑥 , 𝑚𝑥 ) = (𝑘𝑥 , 𝑘𝑚𝑥 ) = [𝑘𝑥 , 𝑚(𝑘𝑥 )] ⟹ 𝑘𝑢 ∈ 𝑉 
7º) 𝑘(𝑢 + 𝑣) = 𝑘𝑢 + 𝑘𝑣 = 𝑘[(𝑥 , 𝑚𝑥 ) + (𝑥 , 𝑚𝑥 )] = 𝑘(𝑥 + 𝑥 , 𝑚𝑥 + 𝑚𝑥 ) = 
(𝑘𝑥 + 𝑘𝑥 , 𝑘𝑚𝑥 + 𝑘𝑚𝑥 ) = (𝑘𝑥 , 𝑘𝑚𝑥 ) + (𝑘𝑥 , 𝑘𝑚𝑥 ) = 𝑘(𝑥 , 𝑚𝑥 ) + 𝑘(𝑥 , 𝑚𝑥 ) = 
 = 𝑘𝑢 + 𝑘𝑣 ⟹∈ 𝑉 
8º) (𝑘 + 𝑙)𝑢 = (𝑘 + 𝑙)(𝑥 , 𝑚𝑥 ) = [(𝑘 + 𝑙)𝑥 , (𝑘 + 𝑙)𝑚𝑥 ] = (𝑘𝑥 + 𝑙𝑥 , 𝑘𝑚𝑥 + 𝑙𝑚𝑥 ) = 
= (𝑘𝑥 , 𝑘𝑚𝑥 ) + (𝑙𝑥 , 𝑙𝑚𝑥 ) = 𝑘(𝑥 , 𝑚𝑥 ) + 𝑙(𝑥 , 𝑚𝑥 ) = 𝑘𝑢 + 𝑙𝑢 ⟹∈ 𝑉 
9º) 𝑘(𝑙𝑢) = 𝑘[𝑙(𝑥 , 𝑚𝑥 )] = 𝑘(𝑙𝑥 , 𝑙𝑚𝑥 ) = (𝑘𝑙𝑥 , 𝑘𝑙𝑚𝑥 ) = 𝑘𝑙(𝑥 , 𝑚𝑥 ) = 𝑘𝑙𝑢 ⟹∈ 𝑉 
10º) 1𝑢 = 1(𝑥 , 𝑚𝑥 ) = (1𝑥 , 1𝑚𝑥 ) = (𝑥 , 𝑚𝑥 ) = 𝑢 ⟹∈ 𝑉 
Como conclusión podemos observar que se verifican los diez axiomas, razón por la cual 
los puntos que satisfacen la ecuación de la recta que pasa por el origen del sistema de 
ejes coordenados constituyen un espacio vectorial. 
Ejercicios 
1) Compruebe si el conjunto R3 de todas las ternas de números reales, con las 
operaciones: 
     
   
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1
; ; ; ; ; ;
; ; 0 ; 0 ; 0
x y z x y z x x y y z z
k x y z
    
 
 
Constituye o nó un espacio vectorial. 
 
 
 
1 2 3
3
1 2 3
1 2 3
; ;
: ; ; , " " " " Re
; ;
u u u u
Datos v v v v R y los escalares k y l ales
w w w w
        
   
Respuesta: 
No constituye un espacio vectorial porque no se verifica el axioma diez. 
 
 
 
 
 84
2) Verifique si el conjunto R2 de todos los pares de números reales (x , y) con las 
operaciones: 
     
   
1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 1 1
; ; ;
; 2 ; 2
x y x y x x y y
k x y k y k y
   
 
 
 
 
 
1 2
2
1 2
1 2
;
: ; , " " " " Re
;
u u u
Datos v v v R y los escalares k y l ales
w w w
        
  
 
Respuesta: 
No es espacio vectorial, no se cumplen los axiomas 8º, 9º y 10º. 
3) Verifique si el conjunto R de todos los números reales ( x ), con las operaciones 
estándar de adición y multiplicación constituyen un espacio vectorial. 
Datos: u, v, w ∊ R, y los escalares “k” y “l” ∊ R. 
Respuesta: 
Si constituye un espacio vectorial, se verifican los diez axiomas. 
4) Compruebe si el conjunto R2 de todas las parejas de números reales de la forma 
(x , y), con las operaciones estándar (adición y multiplicación por un escalar) sobre 
R2; tales que x ≥ 0, e, y ≥ 0 (primer cuadrante), constituye o no un espacio vectorial. 
Respuesta: 
No constituye un espacio vectorial, pues no se verifique el axioma 5º. 
5) Verifique si el conjunto R2 de todas las parejas de números reales de la forma (x , 
0), con las operaciones estándar (adición y multiplicación por un escalar) sobre R2, 
constituye o no un espacio vectorial. 
 
 
 
1
2
1
1
; 0
: ; 0 , " " " " Re
; 0
u u
Datos v v R y los escalares k y l ales
w w
        
  
 
Respuesta: 
Si constituyen un espacio vectorial. 
6) Compruebe si el conjunto de todas las n-uplas de números reales de la forma (x1, 
x2, x3, xn), con las operaciones estándar (adición y multiplicación por un escalar) 
sobre Rn constituyen o no un espacio vectorial. 
 
 
 
1 2
1 2
1 2
; ; . . . ;
: ; ;. . . . ; , " " " " Re
; ;. . . . ;
n
n
n
n
u u u u
Datos v v v v R y los escalares k y l ales
w w w w
        
  
 
Respuesta: 
Si constituyen un espacio vectorial. 
 85
7) Verifique si el conjunto R2 de todas las parejas de números reales (x , y), con las 
operaciones 
     
   
; '; ' ' 1 ; ' 1
; ;
x y x y x x y y
k x y k y k y
     
 
 
constituye o no un espacio vectorial. 
 
 
 
1 2
2
1 2
1 2
;
: ; , " " " " Re
;
u u u
Datos v v v R y los escalares k y l ales
w w w
        
  
 
Respuesta: 
No constituyen un espacio vectorial, pues no se cumplen los axiomas 5º y 10º. 
8) Verifique si el conjunto de todas las matrices pertenecientes al espacio matricial 
2 2xR , de la forma 
1
1
a
b
 
 
 
, con la adición matricial y la multiplicación por un escalar, 
constituye o no un espacio vectorial. 
Datos: Las matrices 31 2
31 2
11 1
;
11 1
aa a
A B y C
bb b
    
       
     
 que pertenecen a 
2 2xR , y, los escalares " " " "k y l que pertenecen a los reales (R). 
Respuesta: 
No constituye un espacio vectorial, dado que no cumple los axiomas 1º, 6º, 7º, 8º y 9º. 
 
9) Compruebe si el conjunto de todas las matrices de orden 2 x 2, de la forma: 
a a b
a b b
 
  
, con la adición matricial y la multiplicación por un escalar, constituye 
o no un espacio vectorial. 
Datos: Las matrices 
 3 3 31 1 1 2 2 2
3 3 31 1 1 2 2 2
;
a a ba a b a a b
A B y C
a b ba b b a b b
      
               
que pertenecen a 2 2xR , y, los escalares " " " "k y l que pertenecen a los reales 
(R). 
Respuesta: 
El conjunto de matrices dadas, constituye un espacio vectorial, pues cumplimenta los diez 
axiomas. 
10) Compruebe si los siguientes conjuntos, con las operaciones estándar (adición y 
multiplicación por un escalar), son espacios vectoriales. 
  1 2 1 2) ; / 0a x x x x  
  1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3) ; ; ; / 0 ;b x x x x x x x x x x x      
  1 2 3 1 2 3) ; ; / 0 ;c x x x x x x  
 86
  1 2 1 2) ; / 0 ; 1d x x x x  
Respuesta: 
a) Si conforma un espacio vectorial; 
b) Si conforma un espacio vectorial; 
c) Si conforma un espacio vectorial; 
d) No conforma un espacio vectorial, pues no cumple los axiomas 1º, 2º 3º, 6º, 7º, 8º y 
9º. 
11) Comprobar si el conjunto de puntos en R2 que se encuentran sobre una rectaque 
no pasa por el origen del sistema de coordenadas, constituye o no un espacio 
vectorial. 
Respuesta: 
No constituye un espacio vectorial, pues no se cumplen los axiomas 1º y 4º. 
12) Comprobar si el conjunto de puntos en R3 situados en un plano que pasa por el 
origen del sistema de coordenadas, constituye o no un espacio vectorial. 
Respuesta: 
Se satisfacen los diez axiomas, por lo tanto si constituye un espacio vectorial. 
13) Comprobar si el conjunto de puntos en R3 situados en un plano que no pasa por el 
origen del sistema de coordenadas, constituye o no un espacio vectorial. 
Respuesta: 
No constituye un espacio vectorial. 
14) Determinar si el conjunto de puntos en R3 , situados sobre una recta de la forma: 
1 ; 2 ; 1x t y t z t     , constituye o no un espacio vectorial. 
Respuesta:No constituye un espacio vectorial, pues no se cumplen los axiomas 1º, 3º, 4º y 6º. 
15) Comprobar si el conjunto de polinomios de grado menor o igual a “n”, con 
coeficientes reales, constituye o no, un espacio vectorial. 
Respuesta: 
Se verifican los diez axiomas, por lo tanto constituye un espacio vectorial. 
16) Verificar si el conjunto de los números complejos de la forma: z = a + bi, constituye 
o no un espacio vectorial. 
Respuesta: 
Se verifican los diez axiomas, por lo tanto constituye un espacio vectorial. 
 
 
 
 
 87
 
Subespacios vectoriales 
Definición: Un subconjunto no vacío “W” de un espacio vectorial “V”, es un subespacio 
de “V” si “W” es asimismo un espacio vectorial bajo las operaciones de adición y 
multiplicación por un escalar definidas sobre “V”. 
Para comprobar que “W”, que proviene de “V”, es un subespacio, se deben verificar los 
axiomas 1º y 6º, pues todos los demás se heredan dado que “V” es un espacio vectorial 
ya comprobado. 
Ejercicios resueltos: 
A) Dado el siguiente conjunto   21 2 1 2; /W x x R x x   , decir si “W” es un 
subespacio de V = R2. 
Datos:
 
 
1 2 1 2
1 2 1 2
;
,
;
x x x x
W tales que
y y y y
       
 
es decir, el subconjunto W está formado por todos pares de números reales, tales que la 
primer componente es igual a la segunda. 
Axioma 1: Suma:       1 1 1 1 1 1 1 1; ; ;x x y y x y x y W     
Al efectuar la suma se obtiene como resultado otro par, cuyo primer componente es igual 
a la segunda. Conclusión si cumple con el axioma 1º. 
Axioma 6: Producto por un escalar:  k R      1 1 1 1; ;k x x k x k x 
Al efectuar el producto por un escalar, se obtiene como resultado otro par cuya primer 
componente es igual a la segunda; como conclusión también se cumple el axioma 6º; es 
decir, se satisfacen la suma y el producto por un escalar, entonces “W” es un subespacio 
de “V”. 
B) Dado   31 2 3 1 3; ; / 1W x x x R x x    ; comprobar si “W” es un subconjunto de 
3V R . 
Datos:
 
 
1 2 3
1 2 3
; ;
; ;
x x x
W
y y y
   
 
 
Axioma 1 : Suma:       3 2 3 3 2 3 3 3 2 2 3 31 ; ; 1 ; ; 1 1 ; ;x x x y y y x y x y x y         
Al observar el resultado y si en el mismo efectuamos las operaciones indicadas, 
tendremos: 3 3 3 3 3 31 1 2 1x y x y x y         , que es la condición impuesta (suma de 
la tercer componente más uno), por esta razón “W” no satisface el primer axioma y no es 
un subespacio vectorial. 
Axioma 6: Producto por un escalar:  k R      3 2 3 3 2 31 ; ; 1 ; ;k x x x k x kx k x     , y 
realizando las operaciones indicadas, tendremos: 3k x k que es distinto de la condición 
impuesta  3 1k x  ; es decir que el producto por un escalar no cumple la condición dada, 
razón por la cual “W” no es un subespacio vectorial. 
Como caso particular, si      3 2 30 0 1 ; ; 0 ; 0 ; 0 0vk x x x W      , es decir que 
el vector cero del espacio vectorial “V” no pertenece al subespacio “W”. 
 88
Como conclusión general, “W” no satisface ninguno de los dos axiomas (1º y 6º) y además 
no contiene al vector nulo, razón por la cual “W” no es un subespacio de “V”. 
C) Determinar si todas las matrices de la forma 
a b
c d
 
 
 
 son subespacios del espacio 
vectorial 2 2xV R , en donde “a”, “b”, “c” y “d” son enteros. (Aclaración: 2 2xR es el 
conjunto de matrices cuadradas de orden 2 x 2 sobre el campo de los números 
reales). 
Datos:  1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
; ; x
a b a b
A B A B R
c d c d
   
      
   
 
Axioma 1: Suma:  1 1 2 2 1 2 1 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
xa b a b a a b b R
c d c d c c d d
      
             
 con componentes 
enteros. 
Axioma 6: Producto por un escalar: 1 1 1 1
1 1 1 1
a b k a k b
k A k
c d k c k d
   
    
   
 
Podemos observar que se satisface el primer axioma referido a la adición, pero este 
segundo axioma (6º) no se cumple para todos los valores de k ∊ R, ya que por la condición 
impuesta a1; b1; c1; d1 pertenecen a los enteros. Por lo tanto la matriz resultante tendrá 
componentes enteros, sólo cuando “k” sea entero. Conclusión: “W” no es un subespacio 
vectorial. 
D) Comprobar si el conjunto “W” de los polinomios de tercer grado (p3) a0 + a1x + a2x2 
+ a3x3 +… tales que a0 + a1 + a2 + a3 = 0, constituye un subespacio del espacio 
vectorial V = p3. 
Datos:    2 3 2 30 1 2 3 0 1 2 3;p x a a x a x a x q x b b x b x b x        
Axioma 1: Suma:         2 3 2 30 1 2 3 0 1 2 3p x q x a a x a x a x b b x b x b x          
               2 30 0 1 1 2 2 3 3 0 0 1 1 2 2 3 3/ 0a b a b x a b x a b x a b a b a b a b                
Axioma 6: Producto por un escalar:  k R   
     2 3 2 30 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3/ 0k p x k a a x a x a x k p x k a k a x k a x k a x k a k a k a k a             
Dado que se satisfacen los dos axiomas, “W” es un subespacio de espacio vectorial 
3V p 
Ejercicios: 
17) Dado      20 ; 0 ; 2 ; 3W R  . Comprobar si “W” es un subespacio vectorial. 
Respuesta: 
“W” no es un subespacio. 
18) Dado   30 ; 0 ; 0W R  , comprobar si “W” constituye un subespacio 
vectorial. 
Respuesta: 
“W” es un subespacio vectorial. 
 89
19) Dado   31 2 3 1 2 3; ; / 0 , , 2W x x x R x y x x    ; comprobar si “W” es un 
subespacio vectorial. 
Respuesta: 
“W” es un subespacio vectorial. 
20) Dado   21 2 1; / 1W x x R x   ; comprobar si “W” es un subespacio de 
2V R . 
Respuesta: 
“W” no es un subespacio del espacio vectorial 2V R . 
21) Dado   31 2 3 3 1 2; ; / 3W x x x R x x x    ; comprobar si “W” es un subespacio 
de 3V R . 
Respuesta: 
“W” constituye un subespacio vectorial de 3V R . 
22) Dado   41 2 3 4 1 2 3 4; ; ; / 1 ;W x x x x R x x x x    ; comprobar si “W” es un 
subespacio de 4V R . 
Respuesta: 
“W” no constituye un subespacio vectorial de 4V R . 
23) Determinar si todas las matrices de la forma 
a b
c d
 
 
 
 , en donde 0a d  , (es 
decir, la suma de los elementos de la diagonal principal es igual a cero), son 
subespacios del espacio vectorial 2 2xV R . 
Respuesta: 
“W” es un subespacio del espacio vectorial 2 2xV R . 
24) Comprobar si todas las matrices “A” de orden 2 x 2 , tales que TA A 
constituyen un subespacio vectorial del espacio vectorial 2 2xV R . (Aclaración: 
TA es la matriz transpuesta de la matriz A ). 
Respuesta: 
La matriz “ A ” bajo la condición impuesta si constituye un subespacio vectorial del espacio 
vectorial 2 2xV R . 
25) Comprobar si el conjunto de los polinomios a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +…, para los 
que a0 = 0 son subespacios del espacio vectorial V = p3. 
Respuesta: 
Dichos polinomios bajo las condiciones establecidas constituyen un subespacio vectorial 
del espacio vectorial V = p3. 
26) Comprobar si el conjunto “W” de los polinomios de tercer grado (p3) a0 + a1x + 
a2x2 + a3x3 +… para los que a0, a1, a2, a3 son enteros, constituye o no un 
subespacio vectorial del espacio vectorial V = p3. 
Respuesta: 
 90
“W” no es un subespacio del espacio vectorial V = p3. 
27) Comprobar si el conjunto “W” conformado por las matrices invertibles de orden 
dos por dos, constituye un subespacio del espacio vectorial 2 2xV R , tales que 
las matrices resultantes sean inversibles. 
Respuesta: 
W no es subespacio del espacio vectorial 2 2xV R / 2 2xR sean inversibles. 
28) Sea “V” el conjunto de las funciones con valor real definidas sobre toda la recta 
real  (V = RR conjunto de funciones de variable real con las operaciones 
“punto a punto”), es decir: 
      
    
f g x f x g x
k f x k f x
  
 
 
comprobar si bajo la condición: 1º)   / 2 0f f  , ó , 2º)   / 2 1f f  , 
constituyen un subespacio del espacio vectorial “V”. 
Respuesta: 
La condición primera es un subespacio del espacio vectorial“V” ; la segunda condición 
no constituye un subespacio del espacio vectorial “V”. 
 91
Combinación lineal – Dependencia e independencia lineal – 
Espacios generados 
Definición 1: Se dice que un vector “w” es una combinación lineal de los vectores v1, v2, 
v3,…, vn si se puede expresar en la forma: 
1 1 2 2 3 3 . . . . . n nw k v k v k v k v     
en donde: k1, k2, k3,…, kn son escalares. 
Definición 2: Se dice que los vectores v1, v2, v3,…, vn que pertenecen a un espacio 
vectorial “V”, generan a “V”, si todo otro vector de “V” se puede expresar como una 
combinación lineal de ellos; dicho de otra manera, para todo “v” que pertenece a “V” 
existen escalares k1, k2, k3,…, kn, tales que: 
1 1 2 2 . . . . n nv k v k v k v    
Definición 3: Un conjunto de vectores 𝑣 , 𝑣 , … , 𝑣 se dice linealmente independiente 
cuando la única posibilidad de expresar al vector nulo como combinación lineal de ellos 
es mediante escalares todos nulos (combinación lineal trivial). 
𝑘 𝑣 + 𝑘 𝑣 + ⋯ + 𝑘 𝑣 = 0 𝑠𝑖 𝑘 = 𝑘 = ⋯ = 𝑘 = 0 ⇒ 𝑣 , 𝑣 , … , 𝑣 𝐿𝐼 
Por otra parte decimos que: “Si existe alguna combinación lineal con coeficientes no todos 
nulos, los vectores se dicen linealmente dependientes”. 
Ejercicios resueltos: 
A) Considere los vectores u = (1 , 2 , -1) y v = (6 , 4 , 2), que pertenecen a R3. 
Demuestre que w = (9 , 2 , 7) es una combinación lineal de “u” y “v”, y que el vector 
q= (4 , -1 , 8) no es combinación lineal de los vectores “u” y “v”. 
Para que el vector “w” sea una combinación lineal de los vectores “u” y “v”, deben existir 
los escalares 1 2k y k tales que: 1 2w k u k v  , es decir: 
     1 29 ; 2 ; 7 1 ; 2 ; 1 6 ; 4 ; 2k k       1 2 1 2 1 29 ; 2 ; 7 6 ; 2 4 ; 2k k k k k k     
de donde podemos obtener: 
1 2
1 2
1 2
6 9
2 4 2
2 7
k k
k k
k k
 
  
  
 
sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, que resuelto por cualquier método, 
llegamos a que k1 = -3 y k2 = 2, de modo que: w = -3u + 2v; es decir hemos podido 
expresar el vector “w” como combinación lineal de los vectores “u” y “v”. 
Si ahora analizamos si el vector q = (4 , -1 , 8) es combinación lineal de los vectores “u” y 
“v”, deberán existir un par de escalares 1 2k y k , tales que: 1 2q k u k v  , es decir 
deberemos tener: 
     1 24 ; 1 ; 8 1 ; 2 ; 1 6 ; 4 ; 2k k    
o bien: 
   1 2 1 2 1 24 ; 1 ; 8 6 ; 2 4 ; 2k k k k k k      
de donde: 
 92
1 2
1 2
1 2
6 4
2 4 1
2 8
k k
k k
k k
 
   
   
 
sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, el cual es incompatible, es decir no existen 
ningún par de valores para k1 y k2, que sean solución de dicho sistema, razón por la cual 
podemos asegurar que el vector q = (4 , -1 , 8) no es combinación lineal de los vectores 
“u” y “v”. 
B) Caracterizar los vectores del siguiente subespacio W ∊ R4
     1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 0 ; 1 ; 3 ; 0 ; 0 ; 1W       . 
Aclaración: Caracterizar significa buscar condición o condiciones de compatibilidad 
dentro de un conjunto de vectores o de ecuaciones lineales. 
Si      1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 0 ; 1 ; 3 ; 0 ; 0 ; 1u v w      , se puede plantear: 
       1 2 3 1 2 3 1 2 3 41 ; 1 ; 0 ; 0 1 ; 2 ; 0 ; 1 3 ; 0 ; 0 ; 1 ; ; ;k u k v k w y k k k y y y y          
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
1 2 3 4
1 1 3
1 2 0
0 0 0
0 1 1
k k k y
k k k y
k k k y
k k k y
  
   
   
   
 
y resolviendo el sistema por alguno de los métodos ya estudiados, tendremos que la 
condición es: 
1 2 4 1 2 4
33
1 1 0 3 03 3
00
y y y y y y
yy
         
 
C) Sea un espacio vectorial V = R3. Caracterizar los vectores (1 , 1 , 1) y (2 , 1 3) que 
constituyen el subespacio vectorial “W”, y decir además si cada uno de los 
siguientes vectores pertenecen o no al subespacio obtenido: 
       1 2 3 4) 0 ; 1 ; 1 ; ) 3 ; 2 ; 0 ; ) 0 ; 0 ; 0 ; ) 2 ; 1 ; 3a u b u c u d u     
Si    1 21 ; 1 ; 1 , , 2 ; 1 ; 3v y v  
tendremos: 
     
1 2 1
1 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2
1 2 3
1 2
1 ; 1 ; 1 2 ; 1 ; 3 ; ; 1 1
1 3
k k y
k v k v y k k y y y k k y
k k y
 
       
  
 
y resuelto el sistema resulta, que la condición es: 
1 2 3 2 1 32 0 2y y y y y y       
En esta condición hallada debemos reemplazar los vectores dados en los apartados a), 
b), c) y d) 
Con: 
 1) 0 ; 1 ; 1a u    2 1 32y y y    1 2.0 1 1 1     ; 
 2) 3 ; 2 ; 0b u   2 1 32y y y  2 2.3 0 2 6    
 3) 0 ; 0 ; 0c u   2 1 32y y y  0 2.0 0 0 0    
 93
 4) 2 ; 1 ; 3d u   2 1 32y y y  1 2.2 3 1 1    
Los vectores de los incisos a); c) y d) pertenecen al subespacio “W”; el vector 
correspondiente al inciso b) no pertenece al subespacio “W”. 
D) Determine si los siguientes vectores v1 = (1 , 1 ,2); v2 = (1 , 0 , 1) y v3 = (2 , 1 , 3) 
que pertenecen a R3, generan o no a R3. 
Se debe determinar si existe un vector arbitrario b = (b1 , b2 , b3)que pertenece a R3, que 
pueda expresarse como una combinación lineal de los vectores v1 , v2 y v3, o sea: 
1 1 2 2 3 3b k v k v k v           1 2 3 1 2 3; ; 1 ; 1 ; 2 1 ; 0 ; 1 2 ; 1 ; 3b b b k k k   
de donde se deduce: 
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
1 1 2
1 0 1
2 1 3
k k k b
k k k b
k k k b
  
   
   
 
que constituye un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. El problema se 
reduce ahora a determinar si este sistema es o no compatible para todos los valores de 
b1, b2 y b3. El sistema será compatible para todos los valores de b1, b2 y b3, sí y sólo sí la 
matriz de los coeficientes de las incógnitas del sistema de ecuaciones lineales es 
invertible. La matriz citada es 
1 1 2
1 0 1
2 1 3
A
 
   
  
 
y para que exista la matriz inversa de la matriz A , o sea 1A , el determinante de “A” debe 
ser distinto de cero |𝐴| ≠ 0. 
Resolviendo el determinante de “A”, obtenemos que el mismo es igual a cero|𝐴| = 0. 
Como el determinante de “A” es cero, ello nos indica que los vectores filas o columnas de 
la matriz “A” son linealmente dependientes y por lo tanto 1 2 3; , ,v v y v no generan a R
3. 
E) Determine si la matriz 
11 2
0 1
A
 
   
 , pertenece al subespacio generado por las 
matrices: 
1 2 2 1 3 1
; , ,
0 1 0 1 0 0
B C y D
     
            
. 
1 2 3A k B k C k D    1 2 3
11 2 1 2 2 1 3 1
0 1 0 1 0 1 0 0
k k k
       
                 
 
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3 11
1 2 3 2 1 1 2 1 1 2
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 1
k k k
k k k k k k k k k
k k k k k k k k k
k k k
  
                    
    
 
y resolviendo el sistema, obtenemos: 
1 3 1 3
2 3 2 3
1 1 3 3
1 1 4 4
k k k k
k k k k
    
     
 
es decir estamos en presencia de un sistema compatible indeterminado con infinitas 
soluciones, o sea de acuerdo a los infinitos valores que pueda tomar k3 serán los infinitos 
 94
valores de k1 y k2 ; es decir que existen una infinidad de valores para los cuales la matriz 
“A” es combinación lineal de las matrices “B”, “C” y “D”; razón por la cual podemos 
asegurar que la matriz “A” pertenece al subespacio generado por las matrices “B”, “C” y 
“D”. 
F) Determinar si los vectores v1 = (1 , -2 , 3), v2 = (5 , 6 , -1) y v3 = (3 , 2 , 1) forman 
un conjunto linealmente dependiente o linealmente independiente. 
Para responder lo solicitado, debemos comprobar la existencia de un conjunto de 
escalares, tal que se verifique: 
1 1 2 2 3 3 0k v k v k v   
es decir: 
       1 2 31 ; 2 ; 3 5 ; 6 ; 1 3 ; 2 ; 1 0 ; 0 ; 0k k k     
de donde: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 5 3 0
2 6 2 0
3 1 1 0
k k k
k k k
k k k
  
   
   
 
se trata de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. 
Si el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, el sistema admitesólo la solución trivial  0A  ; si el determinante es igual a cero, el sistema admite 
infinitas soluciones; en nuestro caso es: 
1 5 3
2 6 2 6 6 30 54 2 10 0
3 1 1
A         

 
entonces como |𝐴| = 0, nos está indicando que los vectores dado son Linealmente 
Dependientes. 
 
G) Exprese el vector 2595 xxp  como combinación lineal de los vectores 
2
3
2
2
2
1 523;31;42 xxpxxpxxp  . 
 
La definición de combinación lineal es: ppkpkpk  332211 ... reemplazando por 
los datos queda: 
 
22
3
2
2
2
.1 595)523.()31.()42( xxxxkxxkxxk  
 
Efectuamos los productos y reordenamos: 
 
22
321321321
22
333
2
222
2
111
595).534().2()32(
595.5.23.3..4.2
xxxkkkxkkkkkk
xxxkxkkxkxkkxkxkk


 
 
Recordar que dos polinomios del mismo grado son iguales, cuando son iguales 
sus coeficientes homólogos, es decir: 
 
2
210)( xaxaaxP  es igual a 
2
210)( xbxbbxQ  si 221100 ;; bababa  
 
 95
Igualando los coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones lineales: 
2𝑘 + 𝑘 + 3𝑘 = 5
𝑘 − 𝑘 + 2𝑘 = 9
4𝑘 + 3𝑘 + 5𝑘 = 5
 
 
Este sistema es compatible determinado, su conjunto solución es )1,4,3(),,( 321 kkk , 
lo que significa que el vector p se puede expresar: 321 43 pppp  . 
 
 
Ejercicios: 
29) Comprobar si el vector w = (1 , 2) ∊ R2 es una combinación lineal de los vectores 
u = (4 , 3) y v = (1 , 5) ∊ R2 
Respuesta: 
El vector “w” es una combinación lineal de los vectores “u” y “v”. 
30) Determine si el vector u = (3 , -5 , -3) pertenece al subespacio generado por los 
vectores v1 = (2 , -1 , 1) y v2 = (1 , 3 , 5). 
Respuesta: 
El vector u pertenece al subespacio generado por v1 y v2. 
31) Determine si el vector u = (1 , 3 , 8 , 3) pertenece al subespacio generado por 
los vectores v1 = (1 , 0 , 2 , 1); v2 = (0 , 1 , 2 , 1) y v3 = (0 , 2 , 4 , 1) 
Respuesta: 
El vector u pertenece al subespacio generado por los vectores v1 , v2 y v3 
32) Determinar si el polinomio p(x) = x2 – 6x - 4 pertenece al subespacio generado 
por    2 23 , , 2 5 1q x x x y t x x x      . 
Respuesta: 
El polinomio p(x) pertenece al subespacio generado por q(x) y t(x). 
33) Determinar si el polinomio p(x) = x2 + 1 pertenece al espacio generado por 
     2 2 21 2 31 ; 2 2 , , 3 2 3q x x x q x x x y q x x x         . 
Respuesta: 
El polinomio p(x) pertenece al espacio generado por los polinomios q1(x), q2(x) y q3(x). 
34) En cada uno de los siguientes incisos, determinar si la matriz “A” pertenece al 
subespacio generado por las matrices B1yB2. 
1 2
3 0 1 0 2 0
) ; ;
2 2 0 1 1 1
a A B B
     
       
     
 
1 2
1 1 0 0 2 0 1 1 0
) ; ;
1 0 1 1 0 1 0 0 2
b A B B
     
            
 
Respuesta: 
a) La matriz “A” no pertenece al subespacio generado por B1 y B2 ; 
 96
b) La matriz “A” pertenece al subespacio generado por las matrices B1 y B2. 
35) Determinar para que valor de “α” el vector v = (α , 4 , -1) pertenece al subespacio 
generado por los vectores    1 ; 2 ; 1 3 ; 1 ; 1u y w    . 
Respuesta: 
α = 5 
36) Determinar “α” de modo que el vector u = (-4 , α , 9) pertenezca al subespacio 
generado por los vectores v = (5 , 7 , 0) y w = (2 , 6 , 3). 
Respuesta: 
Para que el vector “u” pertenezca al subespacio generado por los vectores “v” y “w” , el 
valor de “α” debe ser igual a cuatro  α = 4. 
37) Determinar “α” de modo que la matriz 
0
2
A


 
  
 
 pertenezca al subespacio 
generado por las matrices 
2 1 1 1
, ,
1 3 1 2
B y C
    
       
. 
Respuesta: 
α = 1 , con este valor la matriz “A” pertenece al subespacio generado por las matrices “B” 
y “C”. 
38) Exprese los siguientes vectores indicados en los apartados: 
a) (5 , 9 , 5); 
b) (2 , 0 , 6); 
c) (0 , 0 , 0) 
d) (2 , 2 , 3) 
como combinación lineal de los vectores: u =(2 , 1 , 4); v = (1 , -1 , 3) y w = (3 , 
2 , 5). 
Respuesta: 
a) Con los valores de los escalares 1 2 33 ; 4 , , 1k k y k    , el vector  5 ; 9 ; 5 , es 
combinación lineal de los vectores u, v y w ; 
b) Con los valores de los escalares 1 2 34 ; 0 , , 2k k y k    , el vector  2 ; 0 ; 6 , es 
combinación lineal de los vectores u, v y w ; 
c) En este caso los escalares son 1 2 30 ; 0 , 0k k k   para que el vector  0 ; 0 ; 0 sea 
combinación lineal de u, v y w ; 
d) Los escalares valen para este caso 1 2 3
1 1 1
; ,
2 2 2
k k k    y el vector (2 , 2 , 3)es 
combinación lineal de los vectores u, v y w. 
39) Verifique cuál o cuáles de los siguientes vectores: a) 25 9 5x x  ; b) 22 6x ; 
c) 0 ; d) 22 2 3x x  , se puede expresar como combinación lineal de los 
polinomios: 2 2 21 2 32 4 ; 1 3 3 2 5p x x p x x y p x x         . 
Respuesta:: 
 97
Los siguientes escalares, permiten expresar los vectores de los apartados a) , b), c) y d) 
como combinación lineal de los polinomios p1 , p2 y p3: 
a) 1 2 33 ; 4 ; 1k k k    ; b) 1 2 34 ; 0 ; 2k k k    ; c) 1 2 30 ; 0 ; 0k k k   ; 
d) 1 2 3
1 1 1
; ,
2 2 2
k k k    . 
40) ¿Cuáles de las siguientes matrices de los apartados: 
6 3 1 7
) ; ) ;
0 8 5 1
a b
   
   
   
0 0 6 1
) , , )
0 0 8 8
c y d
   
       
 , es combinación lineal de las matrices 
1 2
;
1 3
A
 
   
0 1 4 2
, ,
2 4 0 2
B y C
   
       
 que pertenecen al espacio 
vectorial 2 2xV R . 
Respuesta: 
Para los casos a) , c) y d) existen los escalares 1 2 3; , ,k k y k que permiten expresar 
dichas matrices como combinación lineal de las matrices “A” , “B” y “C”. 
Para el caso b) no hay ningún conjunto de escalares que permitan expresar a dicha matriz 
como combinación lineal de las matrices “A” , “B” y “C”. 
41) En cada uno de los siguientes incisos, determine si los vectores dados generan 
a 3R 
     
     
       
       
) 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 0 ; 3 ; 0 ; 0
) 2 ; 1 ; 3 ; 4 ; 1 ; 2 ; 8 ; 1 ; 8
) 3 ; 1 ; 4 ; 2 ; 3 ; 5 ; 5 ; 2 ; 9 ; 1 ; 4 ; 1
) 1 ; 3 ; 3 ; 1 ; 3 ; 4 ; 1 ; 4 ; 3 ; 6 ; 2 ; 1
a u v w
b u v w
c u v w z
d u v w z
  
    
      
   
 
Respuesta: 
Para los casos a) y d) los correspondientes vectores generan a 3R ; para los apartados b) 
y c) , los vectores definidos no generan a 3R . 
42) Determine si los siguientes polinomios generan el espacio vectorial V = 
p(2).Datos: p = 1 + 2x – x2, q = 3 + x2, r = 5 + 4x – x2, t = -2 + 2x - 2x2 
Respuesta: 
El conjunto de los polinomios “p”, “q” , “r” y “t” no generan el espacio vectorial  2V p 
43) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en 3R son linealmente 
dependientes y cuales son linealmente independientes? 
           ) 2 ; 1 ; 4 ; 3 ; 6 ; 2 ; 2 ; 10 ; 4 ; ) 3 ; 1 ; 1 ; 2 ; 1 ; 5 ; 4 ; 0 ; 3a b    
           ) 6 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 4 ; ) 1 ; 3 ; 3 ; 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 3 ; 7 ; 2 ; 1c d  
Respuesta: 
Los vectores de los apartados a) , b) y c) son linealmente independientes; el conjunto de 
vectores del apartado d) son linealmente dependientes. 
 98
44) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de polinomios pertenecientes al espacio 
vectorial  2V p son linealmente dependientes y cuales son linealmente 
independientes? 
2 2 2) 2 4 ; 3 6 2 ; 2 10 4a x x x x x x      
2 2 2
2 2
) 3 ; 2 5 ; 4 3
) 6 ; 1 4
b x x x x x
c x x x
    
  
 
2 2 2 2) 1 3 3 ; 4 ; 5 6 3 ; 7 2d x x x x x x x x       
Respuesta: 
Todos los vectores que conforman los apartados a) , b) y c) son linealmente 
independientes; los vectores del apartado d) son linealmente dependientes. 
45) ¿Para cuáles valores de “λ” , los vectores siguientes forman un conjunto 
linealmente dependiente en 3R ? 
1 2 3
1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ; ; ;
2 2 2 2 2 2
v v v                   
     
 
Respuesta: 
Los valores de “λ” para que los vectores sean linealmentedependientes, son: 
𝜆 = 0 ; 𝜆 = ; 𝜆 = − 
 
46) Suponer que 1 2 3;v v y v son vectores en 
3R que tienen sus puntos iniciales en 
el origen del sistema de coordenadas. En cada uno de los siguientes incisos, 
determinar si dichos vectores están sobre un mismo plano. 
     1 2 3) 1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 1 ; 2 ; 1 ; 1 ; 0a v v v     
     1 2 3) 2 ; 1 ; 4 ; 4 ; 2 ; 3 ; 2 ; 7 ; 6b v v v     
Respuesta: 
Los vectores del apartado a) no están en un mismo plano; los vectores del apartado b) 
están en un mismo plano. 
 
 
 
 
 99
Base – dimensión 
Definición 1: Si “V” es cualquier espacio vectorial y  1 2 3; ; ; . . . . ; rS v v v v es un 
conjunto finito de vectores en “V”, entonces “S” se denomina “base” para “V” , sí: 
a) “S” es linealmente independiente 
b) “S” genera a “V”. 
Definición 2: La dimensión de un espacio vectorial “V” de dimensión finita, se define como 
el número de vectores que hay en una “base” para “V”. 
Ejercicios resueltos: 
A) Demostrar que el conjunto       1 ; 2 ;1 ; 2 ; 9 ; 0 ; 3 ; 3 ; 4S  es una base para 3R
. 
Para comprobar que dicho conjunto “S” es una base, se debe demostrar que el conjunto 
es linealmente independiente y también que el mismo genera a dicho espacio vectorial 
3V R  . 
Para determinar que el conjunto “S” es linealmente independiente, planteamos la 
siguiente ecuación vectorial: 
       1 2 31 ; 2 ;1 2 ; 9 ; 0 3 ; 3 ; 4 0 ; 0 ; 0k k k    
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3 0
2 9 3 0
1 0 4 0
k k k
k k k
k k k
  
   
   
 
se trata de un sistema homogéneo, y para comprobar si el mismo tiene otra solución 
distinta de la trivial, debemos calcular el valor del determinante de la matriz de los 
coeficientes de dicho sistema, o sea: 
1 2 3
2 9 3 36 6 27 16 1 0
1 0 4
       
El determinante nos ha dado distinto de cero, lo que nos indica que los vectores filas o 
columnas del mismo son linealmente independientes. 
Para cerrar la demostración hay que probar la existencia de un vector arbitrario 
 1 2 3; ;b b b b y si el mismo se puede expresar como combinación lineal de los vectores 
del conjunto “S”, es decir, demostrar que “S” genera 3V R ; entonces tendremos: 
1 1 2 2 3 3k v k v k v b   
que siendo expresado en función de las componentes resulta: 
1 1 2 3 1
1 2 3 2 1 2 3 2
3 1 2 3 3
1 2 3 1 2 3
2 9 3 2 9 3
1 0 4 1 0 4
b k k k b
k k k b k k k b
b k k k b
          
                    
                  
 
y para demostrar que “S” genera a R3, se debe analizar la matriz de los coeficientes de 
las incógnitas del sistema de ecuaciones para comprobar si dicha matriz es invertible. 
El cálculo del valor del determinante nos dio distinto de cero, razón por la cual los vectores 
que componen dicha matriz son linealmente independientes y por lo tanto dicha matriz 
tiene inversa. Como consecuencia de ello, existen los escalares k1 , k2 y k3 que permiten 
 100
expresar al vector “b” como combinación lineal de los vectores del conjunto “S”; es decir 
los vectores de “S” generan R3. 
B) Demuestre si el conjunto  2 ; ; cosS x sen x x es una base para el espacio 
vectorial RV R (función continua). 
Para demostrar que el conjunto “S” es linealmente independiente, planteamos la siguiente 
ecuación vectorial: 
2
1 2 3 cos 0k x k sen x k x   (1) 
Para conformar el sistema de ecuaciones necesario para demostrar lo solicitado, damos 
valores arbitrarios a la variable “x”. La cantidad de valores que debemos dar a “x” es igual 
al número de incógnitas que tenga el sistema (ki) ; en éste caso serán tres valores 
diferentes de “x” por las tres incógnitas k1, k2 y k3 del sistema. 
Para x=0 ⇒la ecuación (1) resulta: 0𝑘 +0𝑘 +1𝑘 
 
 
2
1 2 3
2
1 2 3
1 : 1 0 0
2 4
1 : 0 1 0
Para x la ecuacion resulta k k k
Para x la ecuacion resulta k k k
 
 

     

    
 
Resolviendo este sistema, tenemos: 1 2 30 ; 0 ; 0k k k   ; se trata de un sistema de 
ecuaciones homogéneo que sólo admite la solución trivial, lo que implica que el conjunto 
“S” es linealmente independiente, por lo tanto el conjunto “S” genera el espacio vectorial 
RV R , es decir “S” es una base para RV R . 
C) Determinar la “dimensión del espacio de soluciones” del siguiente sistema de 
ecuaciones lineales y encuentre una base para dicho espacio. 
1 2 3 4
1 2 3 4
3 0
5 0
x x x x
x x x x
   
    
 
Para responder a lo que nos solicitan, debemos resolver el sistema: 
 
 
 
 
1 2 3 4
1
21
2
12
1 3 1 3
2 3 4 2 3 4
13 1 1 1 6 3
5 1 1 1 4
1 1 11 23 3 3 5
5 1 1 1 4
1 1 11 23 3 3 3
88 720 13 3 3
1 1 11 23 3 3 1
3910 1 14 4
1 1
5 1 011 0 04 4 4 4
9 1 110 1 1 1 1 0 14 4
4 4
x x x x CC
e
e
e
e
x x x x
x x x x x x
 

 

  

      
       
 
 101
Si hacemos 3 4, ,x t y x s  resulta: 1 2
1 1
; 1
4 4
x t x t s     ; y el conjunto solución es 
entonces: 
1
2
3
4
1 1 04 4
1 1 114 4
01
10
tx
x t sx t s
x t
x s
                                                   
 
La base para el espacio de soluciones puede ser, con 
1t s 
1 04
1 1
;4
01
10
                      
 
y la dimensión de la misma es dos (2), es decir, posee dos vectores linealmente 
independientes. 
Aclaración: Si “A” es una matriz de orden “m x n”, entonces la dimensión del espacio de 
soluciones del sistema homogéneo 0Ax  , es:  n Rango A ; siendo “n” el número de 
columnas de “A” o el número de incógnitas del sistema. 
Ejercicios: 
47) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para R2? 
               ) 2 ; 1 ; 3 ; 0 ; ) 4 ; 1 ; 7 ; 8 ; ) 0 ; 0 ; 1 ; 3 ; ) 3 ; 9 ; 4 ; 12a b c d  
Respuesta: 
Los vectores de los apartados a) y b) generan a R2; los vectores de los apartados c) y d) 
no generan a R2. 
48) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para R3? 
           ) 1 ; 0 ; 0 ; 2 ; 2 ; 0 ; 3 ; 3 ; 3 ; ) 3 ; 1 ; 4 ; 2 ; 5 ; 6 ; 1 ; 4 ; 8 ;a b  
           ) 2 ; 3 ; 1 ; 4 ; 1 ; 1 ; 0 ; 7 ; 1 ; ) 1 ; 6 ; 4 ; 2 ; 4 ; 1 ; 1 ; 2 ; 5c d    
Respuesta: 
Los vectores de los apartados a) y b) generan a R3 ; los vectores de los apartados c) y d) 
no generan a R3. 
49) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son bases para los polinomios de grado 
dos   2p ? 
2 2 2 2 2) 1 3 2 ; 1 4 ; 1 7 ; ) 4 6 ; 1 4 2 ; 5 2a x x x x x b x x x x x x           
2 2 2 2 2 2) 1 ; ; ; ) 4 3 ; 6 5 2 ; 8 4c x x x x x d x x x x x x          
Respuesta: 
Los polinomios de los apartados c) y d) generan una base para  2p ; los polinomios de los 
apartados a) y b) no generan una base para  2p . 
 102
50) Demostrar que el conjunto de los siguientes vectores es una base para el 
espacio vectorial conformado por las matrices de orden dos por dos  2 2xV R
. 
Datos: 3 6 0 1 0 8 1 0; ; ;
3 6 1 0 12 4 1 2
A B C D
        
                     
 
Respuesta: 
Las vectores (matrices) “A”, “B”, “C” y “D” constituyen una base para el espacio vectorial 
 2 2xV R . 
51) Demuestre si el conjunto       2 21 ; 2 ; 3S x x x   es una base para (2)V p 
Respuesta: 
El conjunto “S” no constituye una base para (2)V p . 
52) Determine la “dimensión del espacio de soluciones” del siguiente sistema de 
ecuaciones lineales y halle una base para dicho espacio.
0
2 2 0
0 0
x y z
x y z
x y z
  
   
    
 
Respuesta: 
1
0 ; 1
1
x
x y t con t
z
   
        
      
¸ la base para el espacio de soluciones es: 
1
0
1
 
 
 
  
 y la dimensión 
es uno (1). 
53) Determine la “dimensión del espacio de soluciones” del siguiente sistema de 
ecuaciones lineales y halle una base para dicho espacio. 
03 2 2 0
4 3 0
6 5 0
x y z
x y z
x y z
x y z
  
   
   
   
 
Respuesta: 
El conjunto solución es: 
4
5
1
x
x y t
z
   
        
      
; con 1t  , la base para el espacio de soluciones 
es: 
4
5
1
 
  
  
 y la dimensión es uno (1). 
54) Determine la “dimensión del espacio de soluciones” del siguiente sistema de 
ecuaciones lineales y halle una base para dicho espacio. 
2 3 0
5 0
0
x y z
x z
y z
  
  
  
 
 
 
Respuesta: 
 103
El conjunto solución es: 
0
0
0
x
x y
z
   
       
      
, es decir el vector cero, por lo tanto no existe base 
para dicho espacio de soluciones así como tampoco dimensión. 
55) Determine la “dimensión del espacio de soluciones” del siguiente sistema de 
ecuaciones lineales y halle una base para dicho espacio. 
4 3 0
2 8 6 2 0
x y z w
x y z w
   
    
 
Respuesta: 
El conjunto solución es: 
4 3 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x
y
x t s r
z
w
       
       
          
       
       
       
; y si 1t s r   , una base puede 
ser: 
4 3 1
1 0 0
; ;
0 1 0
0 0 1
     
     
     
     
     
     
 , y la dimensión del espacio de soluciones es tres (3) 
56) Determinar las dimensiones de los siguientes subespacios de R4 
a) Todos los vectores de la forma (a ; b ; c ; 0); 
b) Todos los vectores de la forma (a ; b ; c ; d), en donde: 
, ,d a b y c a b    ; 
c) Todos los vectores de la forma (a ; b ; c ; d), en donde: a b c d   
Respuesta: 
Para el caso a) la dimensión del subespacio es tres; para el caso b) la dimensión del 
subespacio es dos; y para el caso c) la dimensión del subespacio es uno. 
 
 104
Coordenadas – Cambio de base 
Ejercicios resueltos: 
A) Sea un espacio vectorial correspondiente a los polinomios de grado menor o igual 
a dos ⇒ 𝑉 = 𝑝( ) Hallar el vector y la matriz de coordenadas de 𝑝 = 3 + 5𝑥 + 2𝑥 
con respecto a la base canónica 𝐵 = (1 ; 𝑥 ; 𝑥 ) 
La base canónica está constituida por los vectores elementales en R3 equivalentes a los 
polinomios de grado dos 𝑝( ) . Esta base es entonces: 
             2 21 ; ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1B x x x x       
Aclarado lo relativo a la base, tendremos entonces: 
     2 1 2 33 5 2 1 ; 0 ; 0 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 1x x k k k     , de donde resulta: 
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
1 0 0 3 3
0 1 0 5 5
0 0 1 2 2
k k k k
k k k k
k k k k
    
     
     
 , entonces nos queda como vector de coordenadas: 
   3 ; 5 ; 2Bp  , y la matriz de coordenadas es:  
3
5
2
B
p
 
   
  
 
B) Dado un espacio vectorial correspondiente a vectores de dos dimensiones 
2V R    , y ,    2 ; 1 ; 7 ; 3B     , y ,    ' 1 ; 0 ; 0 ; 1B     , que son bases para 
R2. Hallar la matriz de cambio de base de 'B B ; además con   3
4B
v
 
  
 
, 
calcular   ' ?Bv  . 
La base “B” está dada por los vectores 
   2 ; 1 ; 7 ; 3B      1 2;B u u    1 22 ; 1 ; 7 ; 3u u   
y la base B’ por 
   ' 1 ; 0 ; 0 ; 1B      1 2' ;B v v    1 21 ; 0 ; 0 ; 1v v   . 
Vamos a vincular cada uno de los vectores de la base B con los dos vectores de la base 
B’, para encontrar las coordenadas respectivas, o sea: 
       
       
1
1 1 1 2 2 1 2 1 '
2
3
2 3 1 4 2 3 4 2 '
4
2 2
1 ; 0 0 ; 1 2 ; 1
1 1
7 7
1 ; 0 0 ; 1 7 ; 3
3 3
B
B
k
u k v k v k k u
k
k
u k v k v k k u
k
   
            

               
 
de donde resulta: 
2 7
1 3
P
 
  
 
 que es la matriz de cambio de base de B a B’ , y el segundo 
paso pedido es: 
     ' '
2 7 3 22
1 3 4 9B B B
v P v v
     
        
     
  '
22
9B
v
 
   
 
 
 
 
 105
C) Considerando las bases:   3; 0; 3 ;B       3; 2 ; 1 ; 1; 6; 1   , y , 
      ' 6 ; 6 ; 0 ; 2 ; 6 ; 4 ; 2 ; 3 ; 7B        para R3. a) Hallar la matriz de 
transición de 'B B ; b) Calcular la matriz de coordenadas  Bw , siendo 
5
8
5
w
 
   
  
 
y aplicar la fórmula correspondiente para calcular   'Bw ; c) Verificar lo que se 
termina de realizar, calculando directamente   'Bw 
a) Para obtener este apartado debemos resolver tres sistemas de ecuaciones lineales de 
tres ecuaciones con tres incógnitas cada uno: 
         
         
         
1 2 3
4 5 6
7 8 9
6 ; 6 ; 0 2 ; 6 ; 4 2 ; 3 ; 7 3 ; 0 ; 3 1
6 ; 6 ; 0 2 ; 6 ; 4 2 ; 3 ; 7 3 ; 2 ; 1 2
6 ; 6 ; 0 2 ; 6 ; 4 2 ; 3 ; 7 1 ; 6 ; 1 3
k k k
k k k
k k k
          
           
          
 
En este paso previo, estamos vinculando cada vector de la base B con los tres vectores 
de la base B’. 
     
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 2 2 3 6 2 2 3 6 2 2 1
1 6 6 3 0 ; 2 6 6 3 2 ; 3 6 6 3 6
0 4 7 3 0 4 7 1 0 4 7 1
k k k k k k k k k
De k k k de k k k de k k k
k k k k k k k k k
              
               
              
 
Dado que se trata de tres sistemas de ecuaciones lineales que tienen la misma matriz 
principal y que sólo varían en la columna de sus términos independientes, dichos sistemas 
pueden ser resueltos en forma conjunta. Aplicando a los mismos el método de Gauss-
Jordan, resultan: 
1 4 7
2 5 8 '
3 6 9
3 3 3 31 1
4 4 12 4 4 12
3 17 17 3 17 17; ;4 12 12 4 12 12
0 2 2 2 203 3 3 3
B
B
k k k
k k k P M
k k k
   
 
            
 
      
 
b) Para conseguir el vector  5 ; 8 ; 5w    en la base B, debemos vincular dicho vector 
con los vectores de la base B, o sea: 
       1 2 33 ; 0 ; 3 3 ; 2 ; 1 1 ; 6 ; 1 5 ; 8 ; 5k k k          
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
3 3 1 5 1
0 2 6 8 1
3 1 1 5 1
k k k k
k k k k
k k k k
     
     
     
 
de donde resulta el vector “w” expresado en la base B    1 ; 1 ; 1Bw  , ahora para 
expresar dicho vector en la base B’, efectuamos las operaciones: 
[𝑤] = 𝑃. [𝑤] => [𝑤] =
⎣
⎢
⎢
⎡
19
12
−43
12
4
3 ⎦
⎥
⎥
⎤
 
c) Si ahora calculamos el valor del vector  5 ; 8 ; 5w    en forma directa en la base B’, 
para ello asociamos dicho vector directamente con dicha base y tendremos: 
       1 2 36 ; 6 ; 0 2 ; 6 ; 4 2 ; 3 ; 7 5 ; 8 ; 5             
 106
de donde:  
1
1 2 3
1 2 3 2 '
1 2 3
3
19 19
12 126 2 2 5
43 436 6 3 8 12 12
0 4 7 5 4 4
3 3
B
w
  
   
   
       
                        
 
57) Sea un espacio vectorial correspondiente a vectores en R3  3V R  , y 
 1 2 3; ;B v v v una base ordenada ó canónica de dicho espacio vectorial. Dar 
las matrices de coordenadas de los siguientes vectores de “V”. 
1 2 3 1 2 3) 2 3 ; ) 0 6 ; ) ;a u v v v b w v v v c u w       )3 2 ;d u w ) 0 ;e
1 2 3) ; ) ; )f v g v h v 
En este caso la base canónica es: 
       1 2 3; ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1B v v v     
Respuesta: 
        
2 1 3 8 0
) 3 ; ) 0 ; ) 3 ; ) 3 2 9 ; ) 0 0
1 6 7 15 0
B B B B B
a u b w c u w d u w e
         
                          
                     
 
     1 2 3
1 0 0
) 0 ; ) 1 ; ) 0
0 0 1
B B B
f v g v h v
     
            
          
 
 
58) Sea un espacio vectorial correspondiente a vectores en R2  2V R  , y 
 1 2 3; ;B v v v una base ordenada ó canónica de dicho espacio vectorial. Dar: 
a) los vectores de coordenadas respecto de la base “B”, de los siguientes 
vectores: 1 1 2 3 2 1 3 3 2 42 5 3 ; 4 ; ; 0u v v v u v v u v u       b)Sean: 
   1 2
1 2
5 ; 1
2 8
B B
w w
   
       
      
; Dar:    1 2 1 2 2; ; ; 2B Bw w w w w ;  1 22 3 Bw w 
Respuesta: 
a)        1 2 3 4
2 1 0 0
5 ; 0 ; 1 ; 0
3 4 0 0
B B B B
u u u u
       
                 
              
; b) 1 1 2 31 5 2w v v v   
     2 1 2 3 1 2 2 1 2
1 4 4
2 1 8 ; 6 ; 2 2 ; 2 3 13
10 16 28
B B B
w v v v w w w w w
       
                  
           
 
 
 107
59) Sea un espacio vectorial correspondiente a polinomios de grado dos 
 2V p    y  21 ; 1 ; 1B x x   una base. a) Dar los vectores de 
coordenadas de los siguientes polinomios: 
2 22 3 5 ; 3 ; 1p x x q x x t x        ; b) Con la misma base y dado 
 
1
2
3
B
p
 
   
  
, encuentre “p”; y con la base  2' 1 ; ;B x x ,dado   '
1
2
3
B
q
 
   
  
encontrar “q”. 
Respuesta: 
a)    0 ; 3 ; 5Bp   ó  
0
3
5
B
p
 
   
  
 ;    1 ; 1 ; 1Bq  ó  
1
1
1
B
q
 
   
  
 ; 
   0 ; 1 ; 0Bt  ó  
0
1
0
B
t
 
   
  
 ; b) 2 20 2 3 ; 1 2 3p x x q x x      
60) Sea un espacio vectorial correspondiente a matrices de dos por dos 
2 2xV R    y  ; ; ;B C D E F una base para dicho espacio vectorial. 
Dar el vector y la matriz de coordenadas del siguiente vector 
2 0
1 3
A
 
   
. 
Datos: 
1 1 1 1 0 0 0 0
; ; ;
0 0 0 0 1 0 0 1
C D E F
       
          
       
 
Respuesta: 
El vector de coordenadas es    1; 1; 1; 3BA    ; la mtz de coord. 
1
1
1
3
B
A
 
 
 
 
 
 
 
61) Considere las bases:          6 3 ; 10 2 , , ' 2 ; 3 2B x x y B x     que 
pertenecen al espacio vectorial correspondiente a los polinomios de grado uno 
 1V p  . a) Halle la matriz de cambio de base de B a B’ ; b) Calcule   'Bp , 
siendo 4p x   un vector libre no vinculado a ninguna base ; c) Halle la 
matriz de cambio de base de B’ a B. 
Respuesta: 
a) '
3 7
4 2
3 12
B
BP M
 
  
 
 
 ; b)   '
11
4
1
2
B
p
 
 
 
 
 ; c) '
72
9 9
1 1
3 6
B
BQ M
 
  
   
 
 
 
 108
62) Sea “V” un espacio vectorial de dimensión dos (2); B y B’ bases de dicho 
espacio vectorial; un vector “v” que pertenezca a “V”. Además 
'
1 2
2 5
B
BP M
 
   
 
es la matriz de cambio de base de B a B’. a) Encontrar  Bv 
siendo   '
2
1B
v
 
  
 
 ; b) Encontrar   'Bv siendo  
2
3B
v
 
   
. 
Respuesta: 
a)   8
3B
v
 
   
 ; b)   '
4
11B
v
 
   
 
 
63) Sea un espacio vectorial “V” definido para polinomios de grado dos  2V p  
; y    2 2 2 21 ; ; , , ' 1 ; 2 ; 1B x x y B x x x x x x          bases de 
dicho espacio vectorial. Halle la matriz de cambio de base de B’ a B. 
Respuesta: 
1 '
1 2 1
1 1 1
1 1 1
B
BP Q M

  
     
  
 
 
64) Sea un espacio vectorial “V” definido en dos dimensiones V = R2, y , 
    1 ; 1 ; 0 ; 1B  una base de dicho espacio vectorial. Halle la base B’ tal 
que la matriz 
1 3
2 5
P
 
   
 sea la matriz de pasaje de B a B’. 
Respuesta: 
5 7 3 2
' ; ; ;
11 11 11 11
B
         
    