TEORIA 5 - ESPACIOS VECTORIALES

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Algebra y Geometría Analítica - Espacios Vectoriales 
 
 93 
 
 
 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
 FACULTAD REGIONAL TUCUMÁN 
 
 
 
 
 
 
ESPACIOS VECTORIALES 
 
 
 
 
NOTAS TEÓRICAS 
EJERCICIOS Y APLICACIONES 
 
 
 
 
 
 
Algebra y Geometría Analítica - Espacios Vectoriales 
 
 94 
Espacios Vectoriales 
Introducción 
En matemática existen distintas estructuras algebraicas, que dependen de la naturaleza de 
los elementos que intervienen, las operaciones definidas y los axiomas considerados. 
Generalizaremos ahora, aún más, el concepto de vector que ya se ha visto. Enunciaremos 
un conjunto de axiomas que, si una clase de objetos hace que se cumplan, permitirá 
denominar “vectores” a esos objetos. Así, el nuevo concepto de vector abarcará a los 
vectores ya estudiados y también a muchos vectores nuevos como ser: las matrices de 
cualquier orden y los polinomios. El trabajo desarrollado aquí no es un ejercicio inútil de 
matemáticas teóricas, ya que proporciona una herramienta poderosa para extender la 
representación geométrica a una amplia variedad de problemas matemáticos importantes, 
en los que de otra forma no se contaría con la intuición geométrica. Planteada en términos 
breves, la idea es que los vectores en 
2
 y 
3
 se pueden representar geométricamente 
como flechas, lo cual permite que la representación física o mental ayude a resolver 
problemas. 
Como los axiomas que usaremos para crear los nuevos tipos de vectores se basan en 
propiedades de los vectores en 
2
 y 
3
, estos nuevos vectores poseerán muchas de las 
propiedades conocidas de los mismos. Por consiguiente, cuando se quiera resolver un 
problema en el que aparezcan los nuevos tipos de vectores, se podrá obtener una base para 
el problema mediante una representación de cómo sería el problema correspondiente en 
2
 
y 
3
. 
Espacio Vectorial – Definición 
Sea V un conjunto no vacío de elementos de cualquier naturaleza, sea K un cuerpo 
cualquiera, y dos operaciones “+” (suma) y “” (producto). Diremos que la cuaterna ( V, +, 
K,  ) tiene estructura de espacio vectorial, o que es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, 
si se verifican los siguientes axiomas: 
A1)  u, v  V : u + v  V (Ley de composición interna) 
A2)  u, v  V : u + v = v + u (Ley conmutativa) 
A3)  u, v, w  V : ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (Ley asociativa) 
A4) uuoouVuVo  ~~:/~ (Existencia del elemento neutro 
aditivo) 
A5)     ovvVvVv ~/,  [A (-v) lo llamamos inverso aditivo u 
opuesto de v] 
A6) VvKVv   : (Ley de composición externa) 
A7)     vvVvK   :,, (La multiplicación por escalares 
es asociativa) 
A8)   vuvuKVvu   :;, (La multiplicación por un 
elemento del cuerpo es distributiva respecto a la suma de elementos de V) 
A9)   vvvVvK   :;, (La multiplicación por un 
elemento de V es distributiva respecto a la suma de elementos del cuerpo) 
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A10) vvVv  1, (El escalar 1 recibe el nombre de idéntico multiplicativo) 
Observaciones: 
1. A los elementos de V los llamaremos vectores aún cuando no se trate de vectores 
geométricos. Simplemente, si un conjunto tiene estructura de Espacio Vectorial, sus 
elementos son vectores, cualquiera sea la naturaleza de los mismos. 
2. Dependiendo de la aplicación, los escalares pueden ser números reales o complejos. 
Los espacios vectoriales en que los escalares son números complejos se denominan 
espacios vectoriales complejos, y aquellos donde los escalares son números reales 
se denominan espacios vectoriales reales. En este curso, todos los escalares 
considerados serán números reales. 
3. Los axiomas A1 y A6 se llaman también axiomas de cerradura y merecen una 
aclaración especial. Vamos a definir ley de composición interna y ley de 
composición externa: 
Ley de composición interna (l. c. i.) 
Una ley de composición interna en un conjunto V es una operación, que aplicada a un par 
de elementos de V, tiene como resultado un elemento de V. Es decir: Sea V un conjunto y 
sea * una operación, si  u  V y v  V; u * v  V entonces la operación * es ley de 
composición interna en V. También decimos que V es cerrado con respecto a la operación 
*. 
Ejemplo: Sea V =  y sea la operación +. Si a   y b  ; a + b  , por lo tanto “+” 
es l. c. i. en . Decimos que  es cerrado con respecto a la suma. 
Sin embargo, si cambiamos la operación y consideramos la operación “-”, fácilmente se ve 
que esta operación no es l. c. i. en , ya que 2  , 5  , pero 2 – 5  . Mientras que 
esta operación si es l. c. i. en . 
Ley de composición externa (l. c. e.) 
Sean dos conjuntos A y V. Una ley de composición externa es una operación que aplicada 
a dos elementos de los conjuntos da como resultado un elemento de uno de los conjuntos. 
Si a  A; v  V; a * v  A ó a * v  V, entonces “*” es l. c. e. en A ó en V. 
Ejemplo: Sea    y       mxnijijmxnij MaaAMaA  ; . Por lo tanto 
“” es l. c. e. en M mxn. 
Veamos algunos ejemplos de Espacios Vectoriales 
Ejemplo 1: El conjunto V = 
 n
 con las operaciones estándar de adición y 
multiplicación escalar, es un espacio vectorial. Los tres casos más importantes de 
 n
 son 
 (los números reales), 
 2
 (los vectores en el plano) y 
 3
 (los vectores en el espacio 
tridimensional). 
Demostraremos que (
 2
, +, ,) verifica los diez axiomas de Espacio Vectorial: 
Sea 
 2
 =   yxyx ,/, 
A1) Sean u, v   2, debemos probar que u + v   2 
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      221212211 ,,,  yyxxyxyxvu (por definición de suma 
de vectores en 
 2
) 
2 vu 
  u, v   2 : u + v   2 
A2) Sean u, v   2, debemos probar que u + v = v + u 
        121221212211 ,,,, yyxxyyxxyxyxvu 
    uvyxyx  1122 ,,
 
  u, v   
2
 : u + v = v + u 
A3) Si u, v, w   2, debemos probar que ( u + v ) + w = u + ( v + w ) 
             332121332211 ,,,,, yxyyxxyxyxyxwvu 
          321321321321 ,, yyyxxxyyyxxx 
            wvuyxyxyxyyxxyx  3,32,2,,, 11323211 
  u, v, w   
2
 : ( u + v ) + w = u + ( v + w ) 
A4) Sabemos que   uuoouuo  ~~:/0,0~ 22 
A5) Sabemos que     ovvvv ~/, 22  
A6) Sean v   2 y   , debemos probar que  v   2 
    2,,  yxyxv  (Por definición de producto de un escalar 
por un vector). 
22
:  vv  
A7) Sean 2,,  v , debemos probar que     vv   
Sea  yxv , , entonces        yxyxv  ,, 
             vyxyxyx   ,,, 
    vvv   :,, 2 
A8) Sean  ;, 2vu , debemos probar que   vuvu   
Sean    2211 ,,, yxvyxu  
        21212211 ,,, yyxxyxyxvu   
       21212121 ,, yyxxyyxx  
        vuyxyxyxyx   22112211 ,,,, 
  vuvuvu   :;, 2 
A9) Sean 2;,  v , debemos probar que   vvv   
Sea  yxv , 
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             yyxxyxyxv  ,,,
 
        vvyxyxyxyx   ,,,, 
  vvvv   :;, 2 
Ejemplo 2: Espacio vectorial trivial: Sea V = { 0 }. Es decir, V consiste únicamente 
en el número 0. Como 0 + 0 = 1  0 = 0 + ( 0 + 0 ) = ( 0 + 0 ) + 0, se concluye que V es un 
espacio vectorial. Suele llamarse espacio vectorial trivial. 
Ejemplo 3: Un conjunto que no es un espacio vectorial: Sea V = { 1 }. Este no esun 
espacio vectorial porque no satisface el axioma A1, que es el axioma de cerradura. Esto se 
ve fácilmente, ya que 1 + 1 = 2  V. Hay otros axiomas que tampoco satisface, sin 
embargo basta con demostrar que no cumple con un axioma para probar que V no es un 
espacio vectorial. 
Ejemplo 4: El espacio vectorial M 3x4. Sea V = M 3x4 el conjunto de todas las 
matrices de orden 3 x 4 con elementos reales. Entonces, si la suma de matrices y la 
multiplicación de una matriz por un escalar son las usuales, es fácil comprobar que M 3x4 es 
un espacio vectorial, siendo o~ la matriz nula de orden 3 x 4. Si  ijaA  está en M 3x4 
entonces  ijaA  también está en M 3x4. 
Ejemplo 5: El espacio vectorial ( M mxn, +, ,  ). Igual que en el caso anterior se 
puede demostrar fácilmente que M mxn el conjunto de las matrices de orden m x n con 
elementos reales es un espacio vectorial. 
Ejemplo 6: Llamemos P n (x) al conjunto de todos los polinomios P (x) = a0 xn + a1 
xn-1 + … + an con ai    i. El conjunto de polinomios reales de grado menor o igual que 
n, con respecto a las operaciones usuales de suma de polinomios y producto de un 
polinomio por un escalar es un espacio vectorial. Es decir, la cuaterna ( P n (x), +, ,  ) es 
un espacio vectorial sobre . 
Ejemplo 7: Averiguar si el conjunto V es espacio vectorial: 













1
1
/22
b
a
AMAV x 
Veamos si se cumple el A1., A  V y B  V, 












1
1
;
1
1
d
c
B
b
a
A : 
V
db
ca
d
c
b
a
BA 




















2
2
1
1
1
1
. Por lo tanto V no es Espacio 
Vectorial. 
Propiedades de los Espacios Vectoriales 
Sea ( V, +, ,  ) un espacio vectorial sobre . Valen entonces las siguientes propiedades: 
1) oo ~~   
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2) ovVv ~.0,  
3) 








ov
ovVv
~
0
~:, ó

 
4)      vvvVv   :, 
Subespacios 
Definición: Sea ( V, +, ,  ) un espacio vectorial y sea W un conjunto no vacío contenido 
en V, esto es W  V. Diremos que W es un subespacio de V si es un espacio vectorial sobre 
 con respecto a las operaciones de V: suma y producto por un escalar. 
Es decir: Sean ( V, +, ,  ) un espacio vectorial y W   
W  V es un subespacio de ( V, +, ,  ) si ( W, +, ,  ) es un espacio vectorial. 
En el Ejercicio 5 vimos que ( M mxn, +, ,  ) tiene estructura de espacio vectorial. Si 
consideramos ( M 1xn, +, ,  ) y ( M mx1, +, ,  ), son subespacios vectoriales de M mxn ya 
que las matrices de una fila o una columna son subconjuntos de las matrices de m filas y n 
columnas y cumplen con los 10 axiomas de espacio vectorial. 
Teorema: Sea ( V, +, ,  ) un espacio vectorial y W  V, W ≠  entonces W es un 
subespacio de V si y sólo si se cumple: 
)i Wo ~ 
 )ii WvuWvu  :, 
 )iii WuWu   :, 
Demostración 
Tenemos que demostrar: ( V, +, ,  ) E. V. y W  V, W ≠  
W es un subespacio de V 









WuWuiii
WvuWvuii
Woi
 :,)
:,)
~)
 
Entonces vamos a demostrar primero que: 
W es un subespacio de V 









WuWuiii
WvuWvuii
Woi
 :,)
:,)
~)
 
Si W es un subespacio vectorial de V, por la definición de subespacio, se cumplen los 10 
axiomas de E. V., en particular, se cumplen los axiomas A1, A4 y A6. Pero estas son 
precisamente las condiciones i), ii) y iii). Con lo que queda demostrado el sentido (  ) de 
la implicación. 
Tenemos que demostrar ahora el otro sentido de la implicación (  ) es decir: 
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








WuWuiii
WvuWvuii
Woi
 :,)
:,)
~)
 W es un subespacio de V 
Tenemos que demostrar que W es un subespacio vectorial de V, lo que significa demostrar 
que W es un espacio vectorial. 
Por la condición i) podemos asegurar que W ≠  y que se cumple A4 de E. V. y como por 
hipótesis se cumplen además ii) y iii) que corresponden a los axiomas A1 y A6 de E. V., 
basta demostrar que W satisface los 7 axiomas restantes. 
Como W  V, esto significa que los vectores de W están también en V, se cumplen los 
axiomas A2, A3, A7, A9 y A10. Debemos ahora probar que se cumple el axioma A5. Para 
ello observemos que: si v  W, (-1) v  W,  v  W por la condición iii). Por la propiedad 
4 de espacios vectoriales [      vvvVv   :, ], podemos 
afirmar que   Wvv 1 . Por lo tanto el axioma A5 se verifica. Por lo tanto W es un 
espacio vectorial por que cumple con los 10 axiomas de espacio vectorial y, por definición 
de subespacio, concluimos que W es un subespacio vectorial de V. 
 como demostramos los dos sentidos de la implicación, el teorema queda demostrado. 
Observación: Si nos basamos sólo en la definición de subespacio, para demostrar que un 
conjunto W  V es un subespacio, se debe comprobar los 10 axiomas de E. V. Este 
teorema simplifica el trabajo enormemente ya que, con el basta probar sólo las condiciones 
i), ii) y iii). 
Ejemplo 1: El subespacio trivial. Si V es cualquier espacio vectorial, el subconjunto 
 oW ~ es un subespacio, ya que: i) Wo ~ , ii) ooo ~~~  , iii) oo ~~  .  . A 
 oW ~ lo denominaremos subespacio trivial. 
Ejemplo 2: Un espacio vectorial es un subespacio de sí mismo. 
Todo espacio vectorial V es un subespacio de sí mismo. 
Estos dos ejemplos iniciales muestran que todo espacio vectorial V contiene los dos 
subespacios  o~ y V (los cuales coinciden si  oV ~ ). 
A todos los subespacios que no sean  o~ y V se les llama subespacios propios. 
 
Ejemplo 3: Sea    22 /,  VmxyyxW 
Averiguar si ( W, +, ,  ) es un subespacio vectorial. 
W es un subespacio propio de 
 2
 y consiste en el conjunto de puntos situados en una recta 
que contiene al origen de coordenadas. Este conjunto es la única clase de subespacio 
propio que puede tener 
 2
. 
Tenemos que demostrar: i) ¿ Wo ~ ? ii) ¿ WvuWvu  :, ? 
 iii) ¿ WvWv   :, ? 
i) El vector o~ que debe estar en W es el vector nulo de V =  2. 
 0,0~ o ; para que pertenezca a W debe tener la característica de los 
elementos de W. 
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 100 
  Womo  ~00;0,0~ como 
ii) Sean   1111 , xmyWuyxu  como (1) 
  2222 , xmyWvyxv  como (2) 
     21212211 ,,, yyxxyxyxvu  
Para que Wvu  debe ocurrir que    2121 xxmyy  
  Wvuxxmxmxmyy  212121 
 por (1) y (2) 
WvuWvu  :, 
iii) Sean   xmyyxv  /, porque v  W 
   yxyxv  ,,  . Para que  v  W debe ocurrir que: 
 xmy   
    Wvxmxmy   
 como y = m x 
WvWv   :, 
Por i), ii) y iii) ( W, +, ,  ) es un subespacio vectorial de 
 2
. 
Combinaciones lineales 
Dado un conjunto de n vectores  nvvvA ,,, 21  pertenecientes a un espacio vectorial 
( V, +, ,  )y un conjunto de n escalares  n ,,, 21  con i    i = 1, 2, …, n, el 
vector v / nnvvvv   ,2211  se llama una combinación lineal (c. l.) de los 
vectores vi. 
Ejemplo 1: Sean los vectores v1 y v2 de 
 2
 o 
 3
. 
 
 
 
v es combinación lineal de v1 y v2. 
 
 
 
Ejemplo 2: En 
 3
 sean 
     0,1,12,0,11,2,1 321  vvv y . Averiguar si  5,1,2v es una combinación 
lineal de v1, v2 y v3. 
Para que el vector v sea una combinación lineal de v1, v2 y v3 deben existir 1, 2 y 3 tales 
que vvvv  332211  . 
0 
v1 
v2 
c2 v2 
c1 v1 
v = c1 v1 + c2 v2 
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 101 
Al sustituir los valores de v, v1, v2 y v3 obtenemos: 
       5,1,20,1,12,0,11,2,1321   
       5,1,20,,2,0,,2, 3322111   
   5,1,22,2, 2131321   
Por igualdad de vectores: 








52
12
2
21
31
321



 
Al resolver este sistema lineal obtenemos: 1 = 1, 2 = 2 y 3 = -1, lo cual significa que v 
es una combinación lineal de v1, v2 y v3. Así v = v1 + 2 v2 - v3. 
Dependencia e independencia lineal 
Vectores linealmente independientes 
Definición: Sea ( V, +, ,  ) un espacio vectorial. Dado un conjunto de vectores 
  VvvvA n  ,,, 21  , diremos que son linealmente independientes (l. i.) si y sólo si la 
combinación lineal iovvv inn  0
~,2211   . 
En símbolos: A es l. i.  iovvv inn  0
~,2211   
Ejemplo 1: Sean los vectores      1,0,00,1,00,0,1 321  vvv y . Averiguar si son 
l. i.. 
Para averiguar si los vectores v1, v2 y v3 son l.i. debemos ver si existen los escalares 1, 2 
y 3 simultáneamente nulos tales que: ovvv
~
332211   
       0,0,01,0,00,1,00,0,1 321   , efectuando operaciones obtenemos: 1 = 
0, 2 = 0 y 3 = 0. 
 v1, v2 y v3 son l.i.. Estos vectores son los llamados versores o vectores canónicos. 
Se puede demostrar que en general: Si V = 
 n
 y  0,,0,0,11 e ,  0,,0,1,02 e , … 
 1,,0,0,0 ne llamados vectores canónicos de 
 n
 son l.i.. 
Ejemplo 2: Sean los vectores 






10
21
1v , 







11
03
2v , del espacio vectorial M 2x2. 
Determinar si  21 ,vvA  es un conjunto de vectores l.i.. 
Para ello debemos ver si existen los escalares 1, y 2 tales que: ovv
~
2211  . 



















00
00
11
03
10
21
21  , efectuando operaciones: 

































00
0023
00
0003
0
2
212
121
22
2
1
11






 
Igualando matrices llegamos al siguiente sistema: 
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 102 











0
0
02
03
21
2
1
21




 Resolviendo el sistema: 1 = 0 y 2 = 0. 
Luego  21 ,vvA  es un conjunto de vectores l.i.. 
Vectores linealmente dependientes 
Definición: Sea ( V, +, ,  ) un espacio vectorial. Diremos que los vectores 
  Vvvv n ,,, 21  son linealmente dependientes (l. d.) si existen escalares 1, 2, …, n 
  no todos simultáneamente nulos tales que: ovvv nn
~,2211    . 
Ejemplo 3: Determine si en P2 los polinomios   22xxxP  ,   xxxQ 42  , 
  287 xxxR  son l. i. o l. d.. 
Consideramos la combinación lineal: 0)()()( 321  xRxQxP  
      08742 232221  xxxxxx  
08742
2
332
2
2
2
11  xxxxxx  
    07482 321
2
321  xx  
Por igualdad de polinomios: 





074
082
321
321


 
Resolviendo el sistema obtenemos: 3231
7
6
;
7
25
  . 
Si 3 = 7; 1 = 25; 2 = -6. 
 1, 2 y 3 no nulos tal que: 0)()()( 321  xRxQxP  
 Los vectores P(x), Q(x) y R(x) son l. d.. 
Interpretación geométrica de la independencia lineal en 
 2
 o 
 n
. 
En 
 2
 o 
 3
, un conjunto de dos vectores es l. i. si los vectores no están en la misma recta 
cuando se colocan con sus puntos iniciales en el origen. 
Algebra y Geometría Analítica - Espacios Vectoriales 
 
 103 
 
En 
 3
 un conjunto de 3 vectores es l. i. si los vectores no están en el mismo plano 
cuando se colocan con sus puntos iniciales en el origen. 
 
 
 Vectores l. d. vectores l. d. vectores l. i. 
v1 
 
v2 
x 
y 
z 
v1 
 
v2 
x 
y 
z 
v1 
 
v2 
x 
y 
z 
vectores l. d. vectores l. d. 
vectores l. i. 
 
x 
y 
z 
v 
v 
v 
1 
2 
3 
 
x 
y 
z 
v 
v 
v 
1 
2 
3 
 
x 
y 
z v 
v 
v 
1 
2 
3 
Algebra y Geometría Analítica - Espacios Vectoriales 
 
 104 
Propiedades de los conjuntos de vectores l. i. o l. d. 
Propiedad 1: Si o~ es uno de los vectores de  nvvvA ,,, 21  , entonces el 
conjunto es l. d.. 
Propiedad 2: Cualquier vector ov ~ de un espacio vectorial es un conjunto l. i.. 
Propiedad 3: El vector nulo de cualquier espacio vectorial constituye un conjunto l. 
d..  o~ es l. d.. 
Propiedad 4: Un conjunto finito y no vacío de vectores es l. d. si y sólo si algún 
vector del conjunto es combinación lineal de los demás. 
Corolario: Dos vectores v1 y v2 son l. d. si uno de ellos es múltiplo escalar del 
otro. 
Propiedad 5: Un conjunto finito y no vacío de vectores es l. i. si y sólo si ningún 
vector es combinación lineal de los demás. 
Propiedad 6: Todo subconjunto de un conjunto l. i. es l. i.. 
Propiedad 7: Todo conjunto de vectores que contiene a un subconjunto l. d. es 
también l. d.. 
Propiedad 8: Si un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores l. i., 
entonces dicha combinación lineal es única. 
Aclaración: No sucede lo mismo si los vectores son l. d.. 
Propiedad 9: Si un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores l. d., 
dicha combinación no es única (existen infinitas c. l. que tienen como resultado dicho 
vector). 
Ejemplo 4: Averigüe si el vector 22
07
31
xMv 





 se puede escribir como c. l. de los 
vectores 






02
21
1v ; 






02
10
2v ; 






00
01
3v . 
El problema consiste en averiguar si existen 1, 2 y 3 tal que: vvvv  332211  ; 
reemplazando obtenemos: 
























07
31
01
01
02
10
03
21
321  . 
Efectuando operaciones, llegamos al siguiente sistema: 








723
32
1
321
21
31



 
Resolviendo el sistema, se puede comprobar que  1 = 0, 2 = 3, 3 = 1 tal que 
vvvv  321 130 , entonces el vector v se puede escribir como c. l. de v1, v2 y v3. 
Observamos que como el sistema es compatible determinado, tiene única solución y, por lo 
tanto, la combinación lineal es única. 
Algebra y Geometría Analítica - Espacios Vectoriales 
 
 105 
Por la propiedad 8, concluimos que el conjunto de vectores  321 ,, vvv es l. i.. 
Ejemplo 5: Dados los vectores    6,23,1 21  vv , averigüe si el vector  21,7 v 
es c. l. de v1 y v2. 
Consideramos la combinación lineal: vvv  2211  
     21,76,23,1 21   
Efectuando operaciones, llegamos al siguiente sistema: 





2163
72
21
21


 Resolviendo el sistema, encontramos que el mismo es 
compatible indeterminado, es decir que tiene infinitas soluciones; 
   222 ,27 jC . 
Como existen 
1 , 2 soluciones del sistema; concluimos que el vector v se puede escribir 
como c. l. de v1, v2. 
  vvvvvv  22122211 27  
La combinación lineal no es única, por propiedad 9 el conjunto de vectores  21 ,vv es l. d.. 
Subespacio generado por una familia de vectores 
Si v1, v2, …, vr son vectores de un espacio vectorial V, entonces en general algunos 
vectores de V pueden ser combinaciones lineales de v1, v2, …, vr y otros no. 
Veremos que si se construye un conjunto A que consta de todos los vectores que son 
posibles de expresar como combinaciones lineales de v1, v2, …, vr, entonces A forma un 
subespacio de V. 
Sea   VvvvA r  ,,, 21  , llamamos A al conjunto de todas las combinaciones lineales 
de v1, v2, …, vr, es decir: 
 AvivvvA iirr  ;/...2211  
A A lo denominamos “Envolvente lineal de  rvvv ,,, 21  ” 
Ejemplo: Sea  21 ,vvA  , tal que    1,1,01,0,1 21  vv y 
El conjunto de todas las c. l. de los vectores v1 y v2  
 3
 es: 
     2121 ,/1,1,01,0,1 A 
   212121 ,/,, A . En consecuencia A es el conjunto de todas las 
ternas cuya tercera componentees la suma de las dos primeras. Podemos escribir: 
  2133321 /,, xxxxxxA  
Teorema: Sea el espacio vectorial ( V, +, ,  ) y sea el subconjunto 
  VvvvA r  ,,, 21  . Entonces ( A , +, ,  ) es un subespacio vectorial de V y se 
denomina subespacio generado por A. 
Se dice que los vectores v1, v2, …, vr de A generan A . 
Algebra y Geometría Analítica - Espacios Vectoriales 
 
 106 
Observación: En el caso que A sea un subconjunto de V formado por un único vector v, el 
subespacio generado por A es el conjunto de todos los múltiplos escalares de A, es decir: 
Si  1vA  , entonces   kvkA / . 
Ejemplo 1: Si    25,2 A , entonces       5,2,/, 2 kyxyxA  , o sea x = 2 k y 
y = 5 k  yx
5
2
 
  025/, 2  yxyxA . Es decir, el subespacio generado es la recta que 
contiene al origen de coordenadas y contiene al vector dado. 
Sistema de generadores 
Puede ocurrir que dado  nvvvA ,,, 21  , este no genere un subespacio de V, sino que 
genere todo V. Es decir que un conjunto formado por un número finito de vectores de un 
espacio vectorial describa en forma completa a V. Observaremos además que en general, 
hay más de un conjunto de este tipo que describa a V. Ahora formalizaremos estos 
conceptos: 
Definición: El conjunto  nvvvA ,,, 21  es un sistema de generadores de V si y sólo si 
todo vector de V se puede expresar como combinación lineal de los elementos de A. 
En símbolos: A es un S. G. de V nnvvvvVv   2211: . 
De acuerdo a esta definición: A es un sistema de generadores de V si y sólo si el 
subespacio generado por A es V. 
Es decir: A es S. G. de V VA  
Ejemplo 1: Sea V el espacio vectorial 
 3
 y sea       0,1,1,2,0,1,1,2,1A , ¿ v1, v2 y v3 
generan 
 3
? 
Sea  cbav ,, cualquier vector de  3. Para que A sea un sistema de generadores deben 
existir escalares 1, 2 y 3 tales que: vvvv  332211  . 
       cba ,,0,1,12,0,11,2,1 321   
Efectuando operaciones, obtenemos el siguiente sistema: 








c
b
a
21
31
321
2
2



 Resolviendo el sistema llegamos a la solución: (verifique) 
3
24
33
22
321
cbacbacba 




  
Como el sistema es compatible, concluimos que v1, v2 y v3 generan 
 3
. Es decir que A es 
un sistema de generadores de 
 3
. 
Algebra y Geometría Analítica - Espacios Vectoriales 
 
 107 
Base de un espacio vectorial 
Definición: Sea ( V, +, ,  ) un espacio vectorial y sea   VvvvB n  ,,, 21  . B es una 
base de V si i) B es un sistema de generadores, ii) B es l. i.. 
Ejemplo 1: Los vectores  0,11 e y  1,02 e forman una base para 
 2
, los vectores 
 0,0,11 e ,  0,1,02 e ,  1,0,03 e forman una base para 
 3
. En general los vectores 
e1, e2, …, en forman una base para 
 n
. 
Cada uno de estos conjuntos de vectores se llama base natural o base canónica para 
 2
, 
 
3
 y 
 n
 respectivamente. 
Ejemplo 2: El conjunto 































10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
B es una base para el 
espacio vectorial M
 
2x2. 
Para verificar que B es l. i., formamos una combinación lineal de los vectores de B y la 
igualamos al vector nulo de dicho espacio: 






























00
00
10
00
01
00
00
10
00
01
4321  
Esto implica: 











00
00
43
21


, lo cual quiere decir que 04321   . Por lo 
tanto B es l. i.. 
Para verificar que B genera a M 2x2, consideramos un vector genérico del espacio M 2x2 y 
debemos determinar escalares 1, 2, 3 y 4 tales que: 






























dc
ba
10
00
01
00
00
10
00
01
4321  
Vemos que dcba  4321  . Es decir existen los escalares 1, 2, 3 y 
4 tales que cualquier vector v del espacio se puede escribir como c. l. de v1, v2, v3 y v4. 
Por lo tanto v1, v2, v3 y v4 generan M 2x2. 
Teorema: Si  nvvvB ,,, 21  y  muuuB ,,, 21  son dos bases de un espacio 
vectorial V, entonces m = n. 
Este teorema que aceptamos sin demostración, afirma que dos bases cualesquiera de un 
espacio vectorial V contienen el mismo número de vectores. 
Dimensión de un espacio vectorial 
Definición: Si el espacio vectorial ( V, +, ,  ) tiene una base finita entonces la dimensión 
de V (dim V) es el número de vectores que tiene cualquiera de sus bases. 
Ejemplo 1: dim 
 3
 = 3 puesto que en 
 3
, sabemos que  321 ,, eee es la base canónica, y 
ya que consta de 3 vectores, toda base de 
 3
 debe contener 3 vectores. 
Ejemplo 2: dim 
 2
 = 2 y en general dim 
 n
 = n 
Algebra y Geometría Analítica - Espacios Vectoriales 
 
 108 
Ejemplo 3: dim M 2x2 = 4 ya que los vectores 























10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
 son base de 
M 2x2. 
En general dim M mxn = m n 
Teorema: Sea ( V, +, ,  ) espacio vectorial, tal que dim V = n. Si  muuuA ,...,, 21 es 
un conjunto de vectores l. i. entonces m  n. 
El teorema asegura que el número de vectores de todo conjunto l. i. de un espacio vectorial 
es siempre menor o igual que la dimensión del espacio. 
Teorema: Sea ( V, +, ,  ) un espacio vectorial de dimensión n. Entonces: 
i) “n + 1” o más vectores de V son l. d. 
ii) Todo conjunto l. i. de n vectores de V, es una base de V 
iii) Todo conjunto generador  nvvvT ,,, 21  de V es una base de V. 
Ejemplo 1: Demostrar por inspección que     5,5,7,3B es una base de. 
Como dim 
 2
 = 2; y el número de vectores de B es 2 solo basta con demostrar que B es 
l. i. o un S. G.. 
Como ninguno de los vectores de B es un múltiplo escalar del otro, los dos vectores 
forman un conjunto l. i.. 
Por lo tanto como B



.i.l2
2dim
2
 vectores
 es base de 
 2
. 
Ejemplo 2: Demostrar que     6,5,4,3,2,1B no es base de  3. 
dim 
 3
 = 3; por lo tanto toda base de 
 3
 debe contener 3 vectores. 
 B no es base de 
 3
. 
Ejemplo 3: Averiguar si       3,6,5,4,2,1 B es una base de  2. 
dim 
 2
 = 2. Por el teorema anterior 3 vectores de 
 2
 son l. d.. 
 B no es base de 
 2
.