POID082

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Memorias del Octavo Congreso Internacional sobre la Enseñanza y Aplicación de las Matemáticas 1 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán 
Octavo Congreso Internacional Sobre la Enseñanza y Aplicación de las Matemáticas 
GEOMETRÍA DE LA PLAZA DE SAN PEDRO 1 
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Cecilia Hernández Garciadiego1*, Carmen Sosa Garza y Patricia Isabel Spíndola 3 
Yáñez 4 
Universidad Autónoma de Querétaro. Cerro las Campanas s/n, Las Campanas, 5 
76230 Santiago de Querétaro, Qro. 6 
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EA-POID082 8 
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Resumen 10 
Un estudiante universitario necesita que su educación matemática contenga una componente científica 11 
adecuada para su formación profesional, un conocimiento práctico que le permita aplicar los 12 
conocimientos en su tarea profesional y un conocimiento integrado que le dé una cultura amplia 13 
adecuada a la sociedad en la que vive. 14 
El presente trabajo aborda la Geometría Analítica, específicamente la circunferencia y la elipse desde 15 
el punto de vista de la definición de lugar geométrico utilizando como tema la Plaza de San Pedro en el 16 
Vaticano. Este material se elaboró para el curso de Matemáticas para la licenciatura en Arquitectura. 17 
Contiene una parte histórica de la Plaza de San Pedro dándole un enfoque cultural y turístico para 18 
fomentar al lector a la profundización de su forma. 19 
Primero se analiza la forma semicircular de los dos conjuntos de columnas que limitan la plaza. Se 20 
localiza el centro de la circunferencia utilizando mediatrices y se muestra que coincide con la placa de 21 
mármol que se encuentra en la plaza y tiene la leyenda “centro del colonnato”, con esta información se 22 
obtiene entonces la ecuación de la circunferencia. Se verifica la definición de circunferencia como lugar 23 
geométrico 24 
La forma elíptica de la Plaza se obtiene por las medidas de los ejes mayor y menor. Se localiza el centro, 25 
sitio donde se encuentra el obelisco y los focos que coinciden con un par de fuentes. Se traza la elipse 26 
obtenida y se observa que coincide con la forma de la plaza. Se verifica la definición de elipse como 27 
lugar geométrico 28 
Las medidas y los trazos se realizan utilizando GeoGebra sobre una imagen de la plaza colocada como 29 
fondo. 30 
 31 
 32 
Palabras clave: geometría, analítica, circunferencia, elipse, plaza, Vaticano. 33 
 34 
1. Introducción 35 
 36 
El conocimiento de las matemáticas para su aplicación es importante en todas las 37 
licenciaturas. Es importante aclarar que no en todas se debe dar el mismo nivel ni con 38 
la misma rigurosidad, sin embargo, sí es importante tener claros los conceptos y 39 
desarrollar en los alumnos la capacidad de razonamiento para alcanzar el nivel 40 
adecuado que les permita aplicar los conocimientos en problemas de su área. 41 
La arquitectura tiene como eje principal el diseño de espacios, involucra el arte, las 42 
formas, los colores, la simetría, la creatividad, la luz, el color, las sensaciones, la 43 
originalidad, la individualidad y la armonía al formar un conjunto y tantos otros aspectos 44 
 
1 *Cecilia Hernández Garciadiego. E-mail: cecilia.hernandez@uaq.mx Tel. 442-192-12-00, Ext 7021 
 
 
 
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que con frecuencia las matemáticas quedan relegadas a un plano de menor 45 
importancia. 46 
Al observar las obras arquitectónicas que se destacan en diversas ciudades, que 47 
atraen a miles de turistas a una ciudad dejando una enorme derrama económica 48 
encontraremos que ese orden, belleza y armonía se debe en gran parte a un conjunto 49 
de elementos matemáticos. A continuación analizaremos los elementos matemáticos 50 
de la Plaza de San Pedro y haremos destacar el gran ingenio que el arquitecto Gian 51 
Lorenzo Bernini desarrolló en dicha plaza. 52 
 53 
2. Elementos geométricos de la Plaza de San Pedro 54 
 55 
La plaza de San Pedro en el Vaticano es una plaza que conjunta muchos elementos 56 
tanto religiosos como simbólicos, constructivos, escultóricos, geométricos y de 57 
funcionalidad para albergar en determinados momentos miles de peregrinos y 58 
visitantes turísticos que ahí se congregan y que, al estar vacío no se vea ni sienta 59 
hueco. 60 
No siempre la Plaza de San Pedro ha tenido la forma elíptica actual, anteriormente la 61 
plaza tenía forma rectangular como se observa en la Fig. (1) que muestra la maquinaria 62 
utilizada por el arquitecto Domenico Fontana cuando se trasladó el obelisco de 327 ton 63 
desde el circo de Nerón donde se encontraba en ese entonces. El traslado del obelisco 64 
encomendado por el Papa Sixto V al arquitecto fue una hazaña de ingeniería que 65 
requirió de 900 personas y 75 caballos trabajando en forma sincrónica. 66 
 67 
 68 
Figura 1. Erección del obelisco en la Plaza de San Pedro 1586 69 
 70 
En el año de 1656 el Papa Alejandro VII encarga al arquitecto Gian Lorenzo Bernini un 71 
diseño de la plaza en el que se diera cabida a grandes multitudes y se destacara el 72 
sentimiento religioso que inculcara el fervor de los visitantes. La construcción de la 73 
plaza duró más de 10 años hasta lograr la majestuosidad que tiene actualmente. Tiene 74 
capacidad de albergar más de 2000 personas. 75 
Bernini divide el espacio en dos partes, frente a la basílica un primer espacio en forma 76 
de trapecio con el lado más largo frente a la basílica seguido por un segundo espacio 77 
en forma elíptica limitado en sus extremos por dos hemiciclos formados por un 78 
 
 
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conjunto de columnas alineadas en 4 hileras. Las columnatas están formadas por 284 79 
columnas de estilo dórico toscano con pasillos amplios entre ellas. 80 
 81 
 82 
Figura 2. Planta de la Basílica y Plaza de San Pedro 83 
 84 
En 1817 se pusieron varios discos de mármol en el suelo de la plaza formando la rosa 85 
de los vientos y una meridiana de esta manera el obelisco funciona como reloj de sol 86 
proyectando su sombra a diferentes horas del día y año. 87 
Colocadas simétricamente, una a cada lado del obelisco, se encuentran dos fuentes. 88 
La posición de las fuentes no es aleatoria, sino que se localizan en cada uno de los 89 
focos de la elipse. El conjunto total se muestra en la Fig (2). 90 
 91 
3. Circunferencia. Centro de la Columnata 92 
 93 
Uno de los aspectos más relevantes de las columnatas es un efecto visual logrado 94 
brillantemente por Bernini. Para cada conjunto de columnas, existe un punto la plaza 95 
desde donde las columnas que se encuentran en la 2ª, 3ª y 4ª fila quedan ocultas tras 96 
las que están en la primera fila, fuera de ese punto se pueden observar las columnas 97 
de las cuatro filas. Fig (3). 98 
 99 
 100 
Figura 3. Efecto visual de las columnas 101 
 102 
Este singular efecto visual se logra si las columnas se encuentran alineadas en forma 103 
de abanico. En dos puntos de la plaza, cerca de cada fuente, hay una placa de mármol 104 
con la leyenda “centro del colonato”. Desde ese punto se trazan cuatro 105 
semicircunferencias concéntricas y radios igualmente espaciados, sobre cada radio se 106 
colocan cuatro columnas una sobre cada circunferencia. Fig (4) 107 
El ejercicio que se propone consiste en localizar, utilizando mediatrices, la posición del 108 
centro de cada columnata y comprobar que coincide con la posición de cada placa que 109 
se encuentra en la plaza. Sobre una imagen de la plaza se toman dos puntos 110 
cualesquiera A y B sobre una hilera de columnas y se traza la mediatrizdel segmento 111 
 
 
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AB. El ejercicio se puede realizar en papel con regla y compás o utilizando software 112 
dinámico como GeoGebra. 113 
 114 
 115 
Figura 4. Esquema de la ubicación de las columnas 116 
 117 
Se traza una segunda mediatriz utilizando otro par de puntos, por ejemplo C y D. La 118 
mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de sus 119 
extremos. Las dos mediatrices se cruzan en un punto muy especial, ese punto es el 120 
centro de la circunferencia dado que está a la misma distancia de los 4 puntos elegidos. 121 
Cualquier otra mediatriz que se trace pasará también por ese punto. Fig. (5). Así 122 
encontramos un punto que se encuentra a igual distancia de todos los puntos de la 123 
circunferencia. Es el centro de la circunferencia y es ahí donde se localiza la placa 124 
sobre el suelo de la plaza, desde ese punto es donde se observa que desaparecen las 125 
columnas de las filas de atrás. 126 
 127 
 128 
Figura 5. Centro de la columnata 129 
 130 
Un conjunto de puntos en el plano que satisfacen determinadas condiciones o 131 
propiedades geométricas se llama lugar geométrico. Entonces, si todos los puntos de 132 
una circunferencia están a la misma distancia del centro se dice que, la circunferencia 133 
 
 
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es el lugar geométrico de los puntos que son equidistantes de un punto llamado centro. 134 
De esta propiedad se obtiene la ecuación de la circunferencia. 135 
Se traza una circunferencia con centro en el origen )0,0(O , se coloca un punto 136 
cualquiera ),( yxP sobre la circunferencia. Por definición, para cualquier punto P , la 137 
distancia de P al centro O es constante y es el radio de la circunferencia Ec. (1). La 138 
distancia )(POd se obtiene por el teorema de Pitágoras Ec. (2) por lo que la ecuación 139 
de la circunferencia con centro en el origen y radio r es la Ec. (3). 140 
 141 
 142 
 143 
 rPOd )( Ec. (1) 144 
ryx  22 Ec. (2) 145 
 
222 ryx  Ec. (3) 146 
 147 
 148 
Figura 6. Ecuación de la circunferencia con centro en el origen 149 
 150 
4. Elipse. Forma de la plaza 151 
 152 
La forma elíptica de la plaza no está muy claramente descrita en las páginas turísticas 153 
del Vaticano, en algunas páginas mencionan ovalada y otras elíptica, esta discrepancia 154 
hace mucho más interesante el ejercicio. Lo primero es saber la diferencia entre estos 155 
dos conceptos. Un óvalo es una curva que no está claramente definida, sin embargo 156 
podemos decir de ella que es una figura curva, formada por un número par de arcos 157 
de circunferencia enlazados entre sí y simétricos respecto de uno o dos ejes de 158 
simetría. Una elipse es una curva con propiedades geométricas especiales que 159 
descubriremos en esta sección. 160 
 161 
 162 
Figura 7. Plaza elíptica 163 
 164 
 
 
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De igual forma que en el caso de la circunferencia, el ejercicio puede realizarse sobre 165 
papel o con GeoGebra. Se toman las medidas de los ejes mayor y menor llamados a2 166 
y b2 respectivamente. Se localizan los focos 1F y 2F sobre las dos fuentes. Fig. (7) 167 
La definición elipse como lugar geométrico es que todos los puntos cumplen la 168 
propiedad de que la suma de las distancias a dos puntos, los focos de la elipse, es 169 
constante e igual al eje mayor. Partiendo de la propiedad geométrica Ec. (4) de los 170 
puntos, obtenemos la ecuación de la elipse. Ec. (6) 171 
 172 
 173 
aPFdPFd 2)()( 21  Ec. (4) 174 
acyxcyx 2))(()( 2222  Ec. (5) 175 
1
2
2
2
2

a
y
b
x
 Ec. (6) 176 
 177 
Figura 8. Ecuación de la elipse con centro en el origen 178 
 179 
Una vez obtenida la ecuación de la elipse, se calculan otros puntos y se grafican. 180 
Verifica que estos puntos forman el contorno de la plaza. 181 
 182 
5. Material didáctico en línea 183 
 184 
El material didáctico utilizado en este trabajo se encuentra en la página de materiales 185 
de GeoGebra: http://www.geogebra.org/material/simple/id/1870829 186 
La construcción se realiza paso a paso comenzando con la imagen de la plaza, agregar 187 
los ejes cartesianos en el centro de la plaza, donde se encuentra el obelisco. 188 
Mediante el trazo de mediatrices se localiza el centro de la columnata. Se verifica la 189 
forma semicircular de los dos conjuntos de columnas. 190 
Posteriormente se calcula la elipse que forma la plaza utilizando los valores de los ejes 191 
mayor y menor y la posición de las fuentes en los focos de la plaza, se obtiene la 192 
ecuación de la elipse y se calculan otros puntos de la elipse en el primer cuadrante. 193 
Aprovechando la simetría se ubican los puntos en los cuadrantes II, III y IV. 194 
Al llegar al término de cada sección, por ejemplo la mediatriz, aparece un cuadro que 195 
permite ocultar los trazos para continuar con la siguiente construcción. 196 
Algunas construcciones se encuentran ocultas y al avanzar paso a paso 197 
aparentemente no hay nada, no se preocupe, continúe. 198 
 199 
6. A manera de conclusión 200 
 201 
Aunque no se han estudiado los resultados en grupos piloto analizando los resultados 202 
en cuanto a si su aprendizaje es mejor, sí se ha utilizado esta metodología para la 203 
enseñanza de las matemáticas en el 1er. Semestre de la licenciatura en arquitectura. 204 
Los alumnos ponen más interés cuando el conocimiento lo encuentran aplicado a su 205 
 
 
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tarea. Para el estudio de la parábola se aprovechan las propiedades de reflexión y se 206 
estudia el caso del horno solar de Odeillo en los Pirineos Orientales al sur de Francia 207 
donde por concentración de la energía solar en el foco del espejo parabólico se 208 
alcanzan temperaturas hasta de 3000 °C. 209 
 210 
 211 
Referencias 212 
 213 
 Alcina, C. (2009). Geometría para turistas. España: Grupo editorial Ariel. 214 
 215 
 Arquehistoria. La actualidad de la historia. Ampa Galduf 216 
http://arquehistoria.com/el-obelisco-del-vaticano-15337 217 
 218 
 Camarena, P. (2009). La matemática en el contexto de las ciencias. 219 
Innovación Educativa, 9(46) 15-25. IPN. 220 
http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=179414894003 221 
 222 
 Camarena, G. P. (2012). La modelación matemática en el ambiente de 223 
aprendizaje: una innovación. IPN 224 
https://repensarlasmatematicas.files.wordpress.com/2012/09/s16-225 
matemc3a1ticas-en-el-contexto-de-la-ciencia.pdf 226 
 227 
 GeoGebra. Geometría de la Plaza de San Pedro. Hernández, C. 228 
http://www.geogebra.org/material/simple/id/1870829 2015 229 
 230 
 Hitt, F. (2003) Una reflexión sobre la construcción de conceptos matemáticos 231 
en ambientes con tecnología. Boletín de la Asociación Matemática 232 
Venezolana, 10(2) 213-223 233 
http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=1020048 234