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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA FACULTAD DE TECNOLOGÍA Y CIENCIAS APLICADAS CARRERAS DE INGENIERIAS CATEDRA: ANÁLISIS MATEMÁTICO I UNIDAD N° 1: NÚMEROS REALES Profesor Adjunto: Lic. Mónica Argüello LOS NÚMEROS REALES LOS NUMEROS REALES El cálculo esta basado en el sistema de los números reales. Empieza con los enteros (ℤ). . . . , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . A continuación construimos los números racionales (ℚ) que son razones entre enteros. Así cualquier numero racional 𝑟 se puede expresar como: 𝑟 = 𝑚 𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 𝑦 𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑦 𝑛 ≠ 0 Ejemplos son: 1 2 − 3 7 46 = 46 1 0,17 = 17 100 Algunos números reales, por ejemplo 2, no se pueden expresar como una razón entre enteros y por lo tanto, se denominan números irracionales (𝕀) Otros ejemplos de números irracionales son: 3 5 3 2 𝜋 𝑠𝑒𝑛 1° El conjunto de todos los números reales, suele denotarse con el símbolo ℝ. Todo numero tiene una representación decimal. Si el numero es racional, entonces el decimal correspondiente es periódico. Por ejemplo: 2 3 = 0,66666… = 0, 6 157 495 = 0,317171717… = 0,317 La barra indica que la sucesión de dígitos se repite indefinidamente. Si el numero es irracional, el decimal es no periódico. Por ejemplo: 2 = 1,414213562373095. . . 𝜋 = 3,141592653589793. . . Si detenemos la expansión decimal de cualquier numero en cierto lugar, obtenemos una aproximación al número. Por ejemplo, es posible escribir 𝜋 ≈ 3,14159265 Donde el símbolo ≈ se lee “ es aproximadamente igual a”. Cuanto mas lugares decimales retengamos, es mejor la aproximación que obtenemos. El sistema numérico real puede describirse mediante un conjunto de axiomas. Con base en estos axiomas se pueden deducir las propiedades de los números reales de las que se obtienen las conocidas operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación y división. Leyes de composición interna ∀ 𝑎, 𝑏 ∃ 𝑐 /𝑎 + 𝑏 = 𝑐 ; 𝑎 , 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑎, 𝑏 ∃ 𝑑 /𝑎. 𝑏 = 𝑑 ; 𝑎 , 𝑏 𝑦 𝑑 ∈ ℝ Propiedad Conmutativa 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎 Propiedad Asociativa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) 𝑎. 𝑏 . 𝑐 = 𝑎. (𝑏. 𝑐) AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES Existencia de elementos neutros 𝑎 + 0 = 𝑎 ; ∃ 0 𝑎. 1 = 𝑎 ; ∃ 1 Existencia de elemento opuesto 𝑎 + −𝑎 = 0 ; ∃ − 𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 𝑎 Existencia de elemento inverso o reciproco 𝑎 . 1 𝑎 = 1 ; ∃ 1 𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑝𝑟𝑜𝑐𝑜 𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑎 Propiedad distributiva respecto a la suma 𝑎 + 𝑏 . 𝑐 = 𝑎. 𝑐 + 𝑏. 𝑐 Los números reales pueden representarse por medio de puntos en una recta, denominada Recta Real, como se muestra en la figura. La dirección positiva ( a la derecha) esta indicada por una flecha. Seleccionamos un punto de referencia, llamado origen, que corresponde al numero real 0. Dada cualquier unidad de medida, todo numero positivo 𝑥 esta representado por un punto 𝑥 unidades a la derecha del origen, y todo numero negativo – 𝑥 esta representado por un punto 𝑥 unidades a la izquierda del origen. Los números reales son ordenados. REPRESENTACION DE LOS NUMEROS REALES Definición de < 𝒚 > Se definen como desigualdades estrictas • Se dice que 𝑎 < 𝑏 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑏 − 𝑎 > 0 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 • Se dice que 𝑎 > 𝑏 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 − 𝑏 > 0 (𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) Definición de ≤ 𝒚 ≥ Se definen como desigualdades no estrictas • Se dice que 𝑎 ≤ 𝑏 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑜 𝑎 = 𝑏 • Se dice que 𝑎 ≥ 𝑏 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 > 𝑏 𝑜 𝑎 = 𝑏 Ciertos conjuntos de números reales , llamados intervalos, se presentan con frecuencia en Calculo y corresponden geométricamente a segmentos de recta. Por ejemplo, si 𝑎 < 𝑏, el intervalo abierto de 𝑎 a 𝑏 esta formado por todos los números entre 𝑎 𝑦 𝑏 y se denota con el símbolo (𝑎, 𝑏). Usando notación de conjuntos podemos escribir : 𝑎, 𝑏 = 𝑥/𝑎 < 𝑥 < 𝑏 Observe que los puntos extremos del intervalo, es decir, 𝑎 𝑦 𝑏 , están excluidos. Esto se indica con los paréntesis y por los puntos abiertos. El intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏 es el conjunto : 𝑎, 𝑏 = 𝑥/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 Aquí los puntos extremos del intervalo están incluidos, lo cual se indica con los corchetes y los puntos llenos. INTERVALOS 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒂𝒃𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 (𝒂, 𝒃) 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒄𝒆𝒓𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒂, 𝒃 TABLA DE INTERVALOS Cuando se estudien estos intervalos, siempre se supone que 𝑎 < 𝑏 DESIGUALDADES Cuando trabaje con desigualdades, tenga en cuenta las siguientes reglas: Reglas para desigualdades 1. Si 𝑎 < 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 2. Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 < 𝑑 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑 3. Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 4. Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 5. Si 0 < 𝑎 < 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 1 𝑎 > 1 𝑏 • La regla 1 dice que podemos sumar cualquier numero a ambos lados de una desigualdad. • La regla 2 dice que se pueden sumar dos desigualdades. • La regla 3 dice que podemos multiplicar ambos lados de una desigualdad por un numero positivo entonces, el sentido de la desigualdad no cambia. • La regla 4 dice que si multiplicamos ambos lados de una desigualdad por un numero negativo, entonces invertimos la dirección de la desigualdad. • La regla 5 dice que si tomamos recíprocos , entonces invertimos la dirección de la desigualdad ( siempre que los números sean positivos ) Ejemplo 1 : Resuelva la desigualdad 1 + 𝑥 < 7𝑥 + 5 Ejemplo 2: Resuelva las desigualdades 4 ≤ 3𝑥 − 2 < 13 Ejemplo 3: Resuelva la desigualdad 𝑥2 − 5𝑥 + 6 ≤ 0 Ejemplo 4: Resuelva 𝑥3 + 3𝑥2 > 4𝑥 Resolver una desigualdad significa determinar el conjunto de números 𝑥 para los cuales la desigualdad es verdadera. Esto se llama Conjunto Solución. Ejemplo 1: Resuelva la desigualdad 𝟏 + 𝒙 < 𝟕𝒙 + 𝟓 Paso 1: restamos 1 de cada lado de la desigualdad 1 + 𝑥 − 1 < 7𝑥 + 5 − 1 𝑥 < 7𝑥 + 4 Paso 2: restamos 7𝑥 de cada lado 𝑥 − 7𝑥 < 7𝑥 + 4 − 7𝑥 −6𝑥 < 4 Paso 3: dividimos ambos lados en -6 (operación equivalente a multiplicar por − 1 6 ) −6𝑥. − 1 6 < 4 − 1 6 𝑥 > − 2 3 Conjunto solución: 𝑆 = − 2 3 , +∞ Ejemplo 2: Resuelva la siguiente desigualdad 𝟒 ≤ 𝟑𝒙 − 𝟐 < 𝟏𝟑 Paso 1: sumamos 2 en cada término 4 + 2 ≤ 3𝑥 − 2 + 2 < 13 + 2 6 ≤ 3𝑥 < 15 Paso 2: dividimos entre 3 (operación equivalente a multiplicar por 1 3 ) 6. 1 3 ≤ 3𝑥. 1 3 < 15. 1 3 2 ≤ 𝑥 < 5 Por lo tanto el conjunto solución es: 𝑆 = [2, 5) Ejemplos: Resuelva la siguiente desigualdad 𝟕𝒙 + 𝟓 < 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 7𝑥 − 2𝑥 < −10 − 5 5𝑥 < −15 𝑥 < − 15 5 𝑥 < −3 Conjunto solución es: 𝑆 = (−∞,−3) Resuelva la siguiente desigualdad 𝟑𝒙 ≥ 𝟓𝒙 + 𝟖 3𝑥 − 5𝑥 ≥ 8 −2𝑥 ≥ 8 𝑥 ≤ − 8 2 𝑥 ≤ −4 Conjunto solución es: 𝑆 = (−∞, −4 Ejemplo 3: Resuelva la siguiente desigualdad 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 ≤ 𝟎 Paso 1: Resolvemos la ecuación cuadrática de la izquierda con Baskara 𝑥1,2 = 5 ± −5 2 − 4.1.6 2.1 Los resultados de esta ecuación son: 𝑥1= 3 y 𝑥2 = 2 Por lo tanto la ecuación factorizada nos queda: 𝑥 − 3 . 𝑥 − 2 ≤ 0 La ecuación correspondiente 𝑥 − 3 . 𝑥 − 2 = 0 tiene las soluciones 2 y 3, ya que son los valores que anulan la ecuación. Los números 2 y 3 dividen la recta real en tres intervalos: −∞, 2 2 , 3 3,∞ A continuación armamos una tabla con los diferentes intervalos y determinamos los signos: Para la desigualdad dada : 𝑥 − 3 . 𝑥 − 2 ≤ 0 Vemos que la solución tiene que ser menor o igual a cero, por lo tanto observando la tabla podemos ver que los valores de 𝑥 para los cuales el resultado nos da valores menores a cero (o negativos) es el intervalo comprendido entre 2 < 𝑥 < 3, por lo tanto el conjunto solución está dado por el intervalo cerrado: 𝑆 = [2 , 3 . Note que se incluyen los puntos finales 2 y 3 porque se buscan valores de 𝑥 tales que el producto sea negativoo cero. La solución se muestra en la gráfica. Intervalos (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟑) (𝒙 − 𝟑). (𝒙 − 𝟐) 𝒙 < 𝟐 − − + 𝟐 < 𝒙 < 𝟑 + − − 𝒙 > 𝟑 + + + Ejemplo 4: Resuelva la siguiente desigualdad 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 > 𝟒𝒙 Paso 1: pasamos todos los términos a la izquierda para poder factorizar la ecuación. 𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 > 0 Factorizamos: 𝑥 𝑥2 + 3𝑥 − 4 > 0 Aplicamos Baskara al término cuadrático y nos queda lo siguiente: 𝑥. 𝑥 − 1 . 𝑥 + 4 > 0 Paso 2: Armamos la tabla con los diferentes intervalos para determinar los signos: Intervalos 𝒙 (𝒙 − 𝟏) (𝒙 + 𝟒) 𝒙. (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟒) 𝒙 < −𝟒 − − − − −𝟒 < 𝒙 < 𝟎 − − + + 𝟎 < 𝒙 < 𝟏 + − + − 𝒙 > 𝟏 + + + + En este caso tomamos los valores de 𝑥 para los cuales la desigualdad es mayor que cero, por lo tanto tenemos en cuenta los intervalos donde los valores son positivos, podemos observar en la tabla que son para los intervalos −4 < 𝑥 < 0 y 𝑥 > 1, de esta manera el conjunto solución nos queda: 𝑆 = −4, 0 ∪ (1, +∞) La solución se muestra gráficamente: El valor absoluto de un número real , denotado por 𝑎 es la distancia de 𝑎 al origen en la recta de los números reales. Las distancias son siempre positivas a 0, de modo que : 𝑎 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑎 Interpretación Geométrica El valor absoluto de un número real 𝑥, se denota por: 𝑥 = 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0 Por ejemplo: 3 = 3 −3 = 3 2 − 1 = 2 − 1 3 − 𝜋 = 𝜋 − 3 VALOR ABSOLUTO Si 𝑎 𝑦 𝑏 son dos números reales y 𝑛 es entero. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: • −𝑎 = 𝑎 • |𝑎| 2 = 𝑎2 • 𝑎 = 𝑎2 • 𝑎. 𝑏 = 𝑎 . 𝑏 • 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑏 ≠ 0 • 𝑎𝑛 = 𝑎 𝑛 PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO Para resolver ecuaciones o desigualdades que contienen valor absoluto utilizamos los siguientes enunciados. Suponga que 𝑎 > 0. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 4. 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎 ó 𝑥 = −𝑎 5. 𝑥 < 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 − 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 6. 𝑥 > 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑎 𝑜 𝑥 < −𝑎 De igual manera se cumplen para: 𝑥 ≤ 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 − 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 𝑥 ≥ 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝑎 𝑜 𝑥 ≤ −𝑎 Expresión con valor absoluto Interpretación Geométrica Expresión sin valor Absoluto 𝑥 = 𝑎 La distancia de x al origen es a 𝑥 = 𝑎 𝑜 𝑥 = −𝑎 𝑥 < 𝑎 La distancia de x al origen es estrictamente menor que a −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 𝑥 > 𝑎 La distancia de x al origen es estrictamente mayor que a 𝑥 > 𝑎 𝑜 𝑥 < −𝑎 Por ejemplo, la desigualdad 𝑥 < 𝑎 dice que la distancia desde 𝑥 al origen es menor que 𝑎 , y se puede ver en la figura que esto es verdadero si y solo si 𝑥 esta entre – 𝑎 𝑦 𝑎 . Si 𝑎 𝑦 𝑏 son cualesquier números reales, entonces la distancia entre 𝑎 𝑦 𝑏 es el valor absoluto de la diferencia. Es decir 𝑎 − 𝑏 , que también es igual a 𝑏 − 𝑎 Desigualdades con Valor absoluto Ejemplo 5: Resuelva 2𝑥 − 5 = 3 Ejemplo 6: Resuelva 𝑥 − 5 < 2 Ejemplo 7: Resuelva 3𝑥 + 2 ≥ 4 Ejemplo 8 : Resuelva 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 Ejemplo 5: Resuelva 2𝑥 − 5 = 3 Para resolver esta igualdad con valor absoluto, de acuerdo a la propiedad 4, 2𝑥 − 5 = 3 es equivalente a las ecuaciones: 2𝑥 − 5 = 3 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 2𝑥 − 5 = −3 Para la primera igualdad: 2𝑥 − 5 = 3 Paso 1: el número 5 que está restando pasa sumando al otro termino 2𝑥 = 3 + 5 2𝑥 = 8 Paso 2: el número dos que está multiplicando a 𝑥 pasa dividiendo al otro termino 𝑥 = 8. 1 2 𝑥 = 4 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 Para la segunda igualdad, la otra solución es: 2𝑥 − 5 = − 3 Paso 1: el número 5 que está restando pasa sumando al otro termino 2𝑥 = −3 + 5 2𝑥 = 2 Paso 2: el número dos que está multiplicando a 𝑥 pasa dividiendo al otro termino 𝑥 = 2. 1 2 𝑥 = 1 En este caso la solución es: 𝑥 = 4 ó 𝑥 = 1 Ejemplo 6: Resuelva 𝑥 − 5 < 2 Para resolver esta desigualdad con valor absoluto, aplicamos la propiedad 5 y la desigualdad queda: −2 < 𝑥 − 5 < 2 Sumamos 5 a cada lado de la desigualdad −2 + 5 < 𝑥 < 2 + 5 3 < 𝑥 < 7 El conjunto solución es el intervalo abierto: 𝑆 = 3 , 7 Ejemplo 7: Resuelva 3𝑥 + 2 ≥ 4 Para resolver esta desigualdad con valor absoluto, aplicamos la propiedad 6 y la desigualdad dada 3𝑥 + 2 ≥ 4 es equivalente a 3𝑥 + 2 ≥ 4 ó 3𝑥 + 2 ≤ −4 Resolvemos el primer caso y obtenemos, 3𝑥 + 2 ≥ 4 Paso 1: restamos 2 a cada término 3𝑥 + 2 − 2 ≥ 4 − 2 3𝑥 ≥ 2 Paso 2: dividimos entre 3 cada termino (operación equivalente a multiplicar por 1/3) 3𝑥. 1 3 ≥ 2. 1 3 𝑥 ≥ 2 3 Resolvemos el segundo caso, 3𝑥 + 2 ≤ −4 Paso 1: restamos 2 a cada término 3𝑥 + 2 − 2 ≤ −4 − 2 3𝑥 ≤ −6 Paso 2: dividimos entre 3 cada termino (operación equivalente a multiplicar por 1/3) 3𝑥. 1 3 ≤ −6. 1 3 𝑥 ≤ −2 La solución está dada por la unión de los dos intervalos: 𝑆 = (−∞, −2 𝑈 2 3 , )∞ Ejemplo 8: Resuelva 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 Para resolver esta desigualdad con valor absoluto debemos separar en dos partes la desigualdad dada para encontrar la solución: Paso 1: Resolvemos primero 𝑥 ≤ 4 . Aplicamos la propiedad 5 de valor absoluto y la desigualdad queda: −4 ≤ 𝑥 ≤ 4 La solución I está dada por el intervalo: 𝑆 = −4 , 4 Paso 2: Ahora resolvemos 1 ≤ 𝑥 . Aplicamos la propiedad 6 de valor absoluto y la desigualdad queda: 𝑥 ≥ 1 𝑜 𝑥 ≤ −1 La solución II está dada por el intervalo: 𝑆 = −∞, −1 𝑈 [1,∞) La solución de la desigualdad 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 es la intersección correspondiente a la solución I y la solución II, la cual nos queda: 𝑆 = −4,−1 𝑈 1, 4 Si a y b son cualesquier números reales, entonces: 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 Observe que si los números a y b son positivos o negativos, entonces los dos lados de la desigualdad del triangulo son iguales en realidad. Pero si a y b tienen signos contrarios, el lado izquierdo comprende una resta pero no así el lado derecho. Esto hace que la desigualdad del triangulo parezca razonable, pero se demuestra como sigue: DESIGUALDAD DEL TRIANGULO Interpretación Geométrica Dados los vectores a y b los cuales parten del mismo punto, la desigualdad del triángulo tiene que ver con el valor absoluto de la suma de estos dos vectores. Entonces representamos la suma de los vectores mediante la regla del paralelogramo. Podemos observar que se ha formado un triángulo. Lo que dice la desigualdad del triángulo es que 𝑎 + 𝑏 es menor que el 𝑎 mas 𝑏 . Esto lo podemos ver como distancias, el trayecto de 𝑎 + 𝑏 , es mas corto que si vamos primero por el trayecto de 𝑎 y luego por el trayecto de 𝑏. 𝒂 𝒃 𝒂 + 𝒃 Suma de Vectores 𝒂 𝒃 𝒂 + 𝒃 Desigualdad del Triángulo Demostración : Observe que − 𝑎 ≤ 𝑎 ≤ 𝑎 es siempre verdadera porque a es igual a 𝑎 o − 𝑎 . El enunciado correspondiente para b es − 𝑏 ≤ 𝑏 ≤ 𝑏 Al sumar estas desigualdades se obtiene − 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 Si ahora aplicamos las propiedades 4 y 5 ( con 𝑥 sustituida por 𝑎 + 𝑏 y 𝑎 por 𝑎 + 𝑏 , obtenemos 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 CÁLCULO DE UNA VARIABLE TRASCENDENTE TEMPRANA. Autor: James Stewart. Editorial: Cengage Learning. EL CÁLCULO. Autor: Louis Leithold. Editorial: Oxford University Press. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. Autores: Edwin Purcell y Dale Varberg. Editorial: Prentice Hall. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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