Estadístico muestral

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Estadístico muestral
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En estadística un estadístico (muestral) es una medida cuantitativa, derivada de un conjunto de datos de una muestra, con el objetivo de estimar o inferir características de una población o modelo estadístico.
Más formalmente un estadístico es una función medible T que, dada una muestra estadística de valores {\displaystyle (X_{1},X_{2},...,X_{n})}, les asigna un número, {\displaystyle T(X_{1},X_{2},...,X_{n})}, que sirve para estimar determinado parámetro de la distribución de la que procede la muestra. Así, por ejemplo, la media de los valores de una muestra (media muestral) sirve para estimar la media de la población de la que se ha extraído la misma; la varianza muestral podría usarse para estimar la varianza poblacional, etc.1​ Esto se denomina como realizar una estimación puntual.
Media muestral[editar]
Artículo principal: Media muestral
Si se tiene una muestra estadística de valores {\displaystyle (X_{1},X_{2},...,X_{n})} para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,θ) (donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución) se define la media muestral n-ésima como:
{\displaystyle {\bar {X}}_{n}=T(X_{1},X_{2},...,X_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}={\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}}
Ejemplo de una clase:
2533253 de menor a mayor abreviadamente es 2-5 que el dos es más bajo y el cinco es el más alto
Varianza muestral[editar]
De forma análoga a la media muestral y utilizando los mismos elementos que en la misma, la definición de varianza muestral es la siguiente:
{\displaystyle S_{n}^{2}=T((X_{1}-{\bar {X}}_{n})^{2},(X_{2}-{\bar {X}}_{n})^{2},...,(X_{n}-{\bar {X}}_{n})^{2})={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X_{n}}})^{2}={\overline {X_{n}^{2}}}-({\bar {X}})^{2}}
Momentos muestrales[editar]
Con las mismas notaciones usadas a la media y varianza muestral se define el estadístico momento muestral no centrado como:
{\displaystyle m_{k}=M_{k}(X_{1},X_{2},...,X_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}}
Nótese que m1 es precisamente la media muestral. Análogamente se define el estadístico momento muestral centrado como:
{\displaystyle a_{k}=M_{k}^{c}(X_{1},X_{2},...,X_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}}_{n})^{k}}
que guarda las siguientes relaciones con estadísticos previamente definidos:
{\displaystyle a_{1}=0\qquad a_{2}=m_{2}-m_{1}^{2}={\frac {n-1}{n}}S_{n}^{2}}
Propiedades[editar]
Suficiencia[editar]
El concepto de estadístico suficiente fue introducido por Fisher en 1922, y como originalmente indicó, un estadístico es suficiente para los objetivos de la inferencia estadística si contiene, en cierto sentido, toda la «información» acerca de la función de distribución a partir de la cual se ha generado la muestra.
Formalmente si {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}\;} es una muestra de una variable aleatoria {\displaystyle X\;} cuya distribución de probabilidad pertenece a una familia de distribuciones dadas por un vector paramétrico {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{F_{\theta }|\theta \in \Theta \}}, entonces se dice que un cierto estadístico {\displaystyle T=T(X_{1},X_{2},...,X_{n})\;} es suficiente para θ o para la familia si y sólo si, la distribución condicionada de {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}|T\;} no depende de {\displaystyle \Theta \;}.
Aplicaciones[editar]
Estimación puntual[editar]
Artículo principal: Estimador
La estimación puntual consiste en utilizar el valor de un estadístico, denominado estimador, para calcular el valor de un parámetro desconocido de una población. Por ejemplo, cuando usamos la media muestral para estimar la media de una población, o la proporción de una muestra para estimar el parámetro de una distribución binomial.
Una estimación puntual de algún parámetro de una población es un solo valor obtenido a partir de un estadístico.
Contraste de hipótesis[editar]
Artículo principal: Contraste de hipótesis
Prueba o test χ2 (chi-cuadrado)[editar]
Artículo principal: Prueba de chi-cuadrado
Test t-Student[editar]
Es un test que permite decidir si dos variables aleatorias normales (gausianas) y con la misma varianza tienen medias diferentes. Dada la ubicuidad de la distribución normal o gausiana el test puede aplicarse en numerosos contextos, para comprobar si la modificación en las condiciones de un proceso (humano o natural) esencialmente aleatorio producen una elevación o disminución de la media poblacional. El test opera decidiendo si una diferencia en la media muestral entre dos muestras es estadísticamente significativa, y entonces poder afirmar que las dos muestras corresponden a distribuciones de probabilidad de media poblacional distinta, o por el contrario afirmar que la diferencia de medias puede deberse a oscilaciones estadísticas azarosas.
La eficacia del test aumenta con el número de datos del que constan las dos muestras, en concreto del número de grados de libertad conjunto de las dos muestras, este número viene dado por {\displaystyle GL=N_{1}+N_{2}-2} (siendo Ni el tamaño muestral, es decir, el número de datos en cada muestra i). La prueba consiste en examinar el estadístico t obtenido a partir de las dos muestras como:
{\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{A}-{\bar {X}}_{B}}{s_{X_{A}-X_{B}}}}\qquad \ s_{X_{A}-X_{B}}:={\sqrt {{({N}_{1}-1)s_{1}^{2}+({N}_{2}-1)s_{2}^{2} \over {N}_{1}+{N}_{2}-2}\left({1 \over N_{1}}+{1 \over N_{2}}\right)}}}
Y este valor se compara con un valor de referencia basado en el número de grados de libertad y el nivel de significación. Dicho valor de referencia se obtiene a partir de la distribución t de Student.
Al comparar las 2 medias, frecuentemente siempre se supone que el nivel de signigicación α sea menor que 0,05.
Véase también: Distribución t de Student
Estadístico
José Francisco López
Lectura: 4 min
Un estadístico es cualquier función real medible de la muestra de una variable aleatoria.
El concepto de estadístico es un concepto de estadística avanzada. La definición es corta y sin duda abstracta. Es un concepto muy amplio, pero, como veremos a continuación, muy simple.
Dada la dificultad del término realizaremos la descripción por partes. Así, en primer lugar, será necesario describir qué entendemos por función real medible. Y, ya en segunda instancia, definir qué entendemos como muestra de una variable aleatoria.
Un estadístico es una función real medible
Cuando nos referimos a función, estamos hablando de una función matemática. Por ejemplo:
Y = 2X
Según los valores que tome X, entonces Y tomará uno u otro valor. Supongamos que X vale 2. Entonces, Y valdrá 4, resultado de multiplicar 2 por 2. Si X vale 3, entonces Y valdrá 6. Resultado de multiplicar 2 por 3.
Claro que, un estadístico no es una función cualquiera. Es una función real y medible. Este concepto matemático es francamente sencillo. Real, porque da lugar a números reales y medible porque se puede medir.
La estadística tiene innumerables aplicaciones a la vida diaria. Por tanto, tiene sentido que los valores a los que pueda dar lugar un estadístico sean reales y se puedan medir.
Muestra de una variable aleatoria
Muchas veces hemos escuchado el concepto de muestra. O el concepto de una muestra representativa. Para este caso, no distinguiremos entre los distintos tipos de muestra. Así, utilizaremos el concepto de muestra en el sentido amplio.
Imaginemos que queremos saber el gasto medio de las familias mexicanas en comprar ropa. Evidentemente, no tenemos recursos suficientes para preguntar a toda la población mexicana. ¿Qué hacemos? Lo estimamos a través de una muestra. Una muestra de, por ejemplo, 50.000 familias.
Esa muestra, todo sea dicho, tendrá que cumplir unas características concretas. Es decir, debe ser representativa y contener en ella muchas familias de diferentes zonas geográficas, diferentes gustos, religiones o poder adquisitivo. Si no, no obtendremos un valor fiable.
Una variable aleatoria
Ahora bien, es una muestra, pero una muestra de una variable aleatoria. ¿Qué entendemos por variable aleatoria? Una variable aleatoria, en palabrassencillas, es una variable difícil de predecir. Es decir, en condiciones parecidas, toma valores diferentes.
Por ejemplo, el número que saldrá al lanzar un dado es una variable aleatoria. Aunque siempre lo lancemos en condiciones muy muy parecidas, obtendremos resultados diferentes.
Ahora que ya entendemos la definición técnica del concepto, toca reunir todo lo aprendido. Sabemos qué es una función real y medible. Y, también sabemos qué es la muestra de una variable aleatoria.
Cómo a pesar de todo, el concepto sigue siendo abstracto, la mejor manera de entenderlo será con un ejemplo.
Ejemplo de estadístico
Supongamos que en un colegio hay 100 alumnos. Un profesor, nos propone como actividad, intentar estimar cual es la nota promedio de los alumnos de dicho colegio en la asignatura de matemáticas.
Dado que no tenemos tiempo, ni recursos para preguntar a los 100 alumnos, decidimos preguntar a 10 alumnos. A partir de ahí, intentaremos estimar la nota media. Tenemos los siguientes datos:
	Alumno
	Nota
	Alumno
	Nota
	1
	4
	6
	9
	2
	8
	7
	7
	3
	6
	8
	2
	4
	7
	9
	5
	5
	9
	10
	3
Antes de calcular la nota media, siguiendo el propósito de este artículo, aplicaremos lo aprendido sobre los estadísticos sobre este ejemplo.
Sabemos que un estadístico es una función real y medible de la muestra de una variable aleatoria. Tenemos la muestra de una variable aleatoria (la tabla anterior). Con lo cual, cualquier función real y medible de dicha muestra será un estadístico. Por ejemplo:
Estadístico 1: Alumno 1 + Alumno 2 + Alumno 3 +….+ Alumno 10 = 60
Estadístico 2: Alumno 1 – Alumno 2 + Alumno 3 – Alumno 4 + …- Alumno 10 = 2
Estadístico 3: -Alumno 1 – Alumno 2 – Alumno 3 -….- Alumno 10 = -60
Estos tres estadísticos son funciones reales y medibles de la muestra. Con lo cual, son estadísticos. A nivel teórico todo esto tiene un sentido. El sentido es que no todos los estadísticos serán válidos para estimar según qué parámetros.
En este punto, entra el concepto de estimador. Un estimador es un estadístico al que se le van a exigir ciertas condiciones para que pueda calcular de forma fiable el parámetro buscado.
Por ejemplo, para estimar el parámetro que conocemos como “Nota media” o “Nota promedio” necesitamos un estimador. A ese estimador lo conocemos como “media”. La media es un estimador. Es decir, un estadístico al que se le exigen ciertas condiciones para poder calcular con ciertas garantías la nota promedio.
Si queremos saber la nota media, tendremos que sumar todas las notas y dividir entre el número total de alumnos. Es decir:
Nota media = (4+8+6+7+9+9+7+2+5+3) / 6 = 6
La fórmula de la media, es la misma, sea cual sea la muestra. Siempre utiliza todos los datos que la muestra contiene. En este caso tenemos datos de 10 alumnos y la fórmula de la media utiliza los 10 datos. Si tuviésemos 20 datos de 20 alumnos, utilizaría los 20. A los estadísticos que cumplen esta característica se les conoce como estadísticos suficientes.
En conclusión, un estadístico es cualquier función real y medible de una muestra. Una vez se tienen varios estadísticos posibles, se le exigen ciertas condiciones para poder considerarlos como estimadores. Y, gracias a los estimadores, podemos intentar “predecir” ciertos valores a partir de muestras más pequeñas.