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27/2/2024

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE
MINAS DE MADRID

SIMULACIÓN NUMÉRICA DE UN PROBLEMA
DE CONTAMINACIÓN ATMOSFÉRICA

TESIS DOCTORAL

PEDRO MOLINA JIMÉNEZ
LICENCIADO EN CIENCIAS AMBIENTALES
2013

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
APLICADA A LOS RECURSOS NATURALES

ESCUELA TÉCNICA DE INGENIEROS DE MINAS DE
MADRID

SIMULACIÓN NUMÉRICA DE UN PROBLEMA
DE CONTAMINACIÓN ATMOSFÉRICA

PEDRO MOLINA JIMÉNEZ

DIRECTOR
LUIS GAVETE CORVINOS
2013

RESUMEN

La ecuación en derivadas parciales de advección difusión con reacción
química es la base de los modelos de dispersión de contaminantes en la
atmósfera, y los diferentes métodos numéricos empleados para su resolución
han sido objeto de amplios estudios a lo largo de su desarrollo.

En esta Tesis se presenta la implementación de un nuevo método
conservativo para la resolución de la parte advectiva de la ecuación en
derivadas parciales que modela la dispersión de contaminantes dentro del
modelo mesoescalar de transporte químico CHIMERE. Este método está
basado en una técnica de volúmenes finitos junto con una interpolación
racional. La ventaja de este método es la conservación exacta de la masa
transportada debido al empleo de la ley de conservación de masas. Para ello
emplea una formulación de flujo basado en el cálculo de la integral ponderada
dentro de cada celda definida para la discretización del espacio en el método
de volúmenes finitos.

Los resultados numéricos obtenidos en las simulaciones realizadas
(implementando el modelo conservativo para la advección en el modelo
CHIMERE) se han comparado con los datos observados de concentración de
contaminantes registrados en la red de estaciones de seguimiento y medición
distribuidas por la Península Ibérica. Los datos estadísticos de medición del
error, la media normalizada y la media absoluta normalizada del error,
presentan valores que están dentro de los rangos propuestos por la EPA para
considerar el modelo preciso.

Además, se introduce un nuevo método para resolver la parte advectiva-
difusiva de la ecuación en derivadas parciales que modeliza la dispersión de
contaminantes en la atmósfera. Se ha empleado un método de diferencias
finitas de alto orden para resolver la parte difusiva de la ecuación de
transporte de contaminantes junto con el método racional conservativo para la
parte advectiva en una y dos dimensiones. Los resultados obtenidos de la
aplicación del método a diferentes situaciones incluyendo casos académicos y
reales han sido comparados con la solución analítica de la ecuación de
advección-difusión, demostrando que el nuevo método proporciona un
resultado preciso para aproximar la solución.

Por último, se ha desarrollado un modelo completo que contempla los
fenómenos advectivo y difusivo con reacción química, usando los métodos
anteriores junto con una técnica de diferenciación regresiva (BDF2). Esta
técnica consiste en un método implícito multipaso de diferenciación regresiva
de segundo orden, que nos permite resolver los problemas rígidos típicos de
la química atmosférica, modelizados a través de sistemas de ecuaciones

diferenciales ordinarias. Este método hace uso de la técnica iterativa Gauss-
Seidel para obtener la solución de la parte implícita de la fórmula BDF2. El
empleo de la técnica de Gauss-Seidel en lugar de otras técnicas comúnmente
empleadas, como la iteración por el método de Newton, nos proporciona
rapidez de cálculo y bajo consumo de memoria, ideal para obtener modelos
operativos para la resolución de la cinética química atmosférica.

ABSTRACT

Extensive research has been performed to solve the atmospheric chemical-
advection-diffusion equation and different numerical methods have been
proposed.

This Thesis presents the implementation of an exactly conservative method for
the advection equation in the European scale Eulerian chemistry transport
model CHIMERE based on a rational interpolation and a finite volume
algorithm. The advantage of the method is that the cell-integrated average is
predicted via a flux formulation, thus the mass is exactly conserved.

Numerical results are compared with a set of observation registered at some
monitoring sites in Spain. The mean normalized bias and the mean normalized
absolute error present values that are inside the range to consider an accurate
model performance.

In addition, it has been introduced a new method to solve the advection-
diffusion equation. It is based on a high-order accurate finite difference method
to solve de diffusion equation together with a rational interpolation and a finite
volume to solve the advection equation in one dimension and two dimensions.
Numerical results obtained from solving several problems include academic and
real atmospheric problems have been compared with the analytical solution of
the advection-diffusion equation, showing that the new method give an efficient
algorithm for solving such problems.

Finally, a complete model has been developed to solve the atmospheric
chemical-advection-diffusion equation, adding the conservative method for the
advection equation, the high-order finite difference method for the diffusion
equation and a second-order backward differentiation formula (BDF2) to solve
the atmospheric chemical kinetics. The BDF2 is an implicit, second order multi-
step backward differentiation formula used to solve the stiff systems of ordinary
differential equations (ODEs) from atmospheric chemistry. The Gauss-Seidel
iteration is used for approximately solving the implicitly defined BDF solution,
giving a faster tool than the more commonly used iterative modified Newton
technique. This method implies low start-up costs and a low memory demand
due to the use of Gauss-Seidel iteration.

AGRADECIMIENTOS

Quería aprovechar este espacio para dar las gracias a todas las personas que
me han ayudado y apoyado durante mi doctorado:
En primer lugar a mi tutor Luis, que me dio la oportunidad de realizar esta
Tesis, y las bases sobre la que construirla, que ha aguantado estoico mis
dudas de programación y me ha dado los consejos necesarios para superar los
baches que me he ido encontrando por el camino. Gracias por tu paciencia.
En segundo lugar quería agradecer el apoyo prestado por el Departamento de
Matemática Aplicada a los Recursos Naturales de la E.T.S.I. de Minas, que me
ha “alojado” durante estos años y me ha ayudado cada vez que lo he
necesitado.
A la gente del área de contaminación atmosférica del C.I.E.M.A.T., como no,
también agradecerles su apoyo durante mis visitas, y su paciencia para
resolverme esas dudillas con FORTRAN que me han venido de perlas. Gracias
Marta e Inma por prestarme ese tiempo que se que os falta.
A mi familia, a mis padres que han sido mis maestros en todos los sentidos, y a
los que les debo mucho de lo que ahora soy, a mi hermana por esas charlas
telefónicas y conversaciones “frikis” que tanto nos gustan, y a mis abuelos, que
espero que me sigan “echando un ojo” como siempre lo hicieron.
Y claro, a mis amigos, que han aguantado mis ausencias, estando o no
presente, siempre ahí para tomarse un café, tomar unas tapas, o aguantar mis
agobios (vosotros sabéis quienes sois, ya os daré las gracias en persona en
nuestro próximo café, esta vez sin prisas y con tranquilidad, lo prometo).
Y ya por último pero no menos importante, a ti, Martha, por estar ahí siempre,
apoyarme y darme ánimos, conseguir que desconecte para volver con todas
mis fuerzas, sin tu ayuda no lo habría conseguido. ;).

PMJ

ÍNDICE
RESUMEN .......................................................................................................... I
ABSTRACT .......................................... ..............................................................II
AGRADECIMIENTOS ................................... .................................................... III
ÍNDICE .............................................................................................................. IV

I.- INTRODUCCIÓN 1
I.1.- La atmósfera 2
I.1.1.- Estructura de la atmósfera 3
- La troposfera 5
I.1.2.- Contaminación atmosférica. 5
I.1.2.1.- Clasificación de los contaminantes atmosf éricos 7
I.1.2.1.1.- Clasificación de contaminantes atmosfér icos
según su naturaleza físico-química 7
I.1.2.1.2.- Clasificación de contaminantes atmosfér icos
según su origen 7
I.1.2.2 Descripción de los contaminantes atmosféric os más
importantes 10
a) Dióxido de carbono (CO 2) 10
b) Monóxido de carbono (CO) 10
c) Dióxido de azufre (SO 2) 11
d) Trióxido de azufre (SO 3) 11
e) Óxidos de nitrógeno 12
f) Partículas 13
g) Ozono 14
h) Compuestos Orgánicos Volátiles 15
i) Metales 15
j) Hidrocarburos 15

II. MODELIZACIÓN DEL TRANSPORTE ADVECTIVO DE
CONTAMINANTES EN LA ATMÓSFERA ..................... ............................. 16

II.1. – Tipos de modelos de transporte de contamina ntes .......................... 17
II.2. – Modelos Eulerianos y Lagrangianos ......... ......................................... 18
II.2.1. - Modelos Eulerianos ...................... ................................................ 18
II.2.2. - Modelos Lagrangianos .................... ............................................. 20
II.3. - Ecuación de dispersión de contaminantes en la atmósfera ............. 21
II.3.1. - Descripción de los procesos de dispersión ............................... 23
- Término de advección .............................. ................................ 23
- Término difusivo .................................. ..................................... 24
- Término relativo a las reacciones químicas ........ ................... 24
- Término relativo a las emisiones .................. ........................... 25
- Procesos de depósito o deposición ................. ....................... 25
II.4 - Resolución numérica del módulo de advección ................................. 25
II.4.1. – Resolución de la ecuación de transporte a dvectivo en 1-D .... 26
II.4.1.1. -Discretización del dominio. Mallado unif orme .................... 26
II.4.1.2. - Método Racional conservativo o CSLR0 .. .......................... 27
II. 4.1.2.1. – Desarrollo del método .............. ................................... 29
- Interpolación
- Caso: velocidad del viento mayor que 0 (U > 0)
- Caso: velocidad del viento menor que 0 (U < 0)
II.4.2.- Estructura del algoritmo CSLR0_1D. Método racional
conservativo en 1 D ............................... .................................................. 36
II.5.- Resultados de la simulación de la ecuación d e transporte
advectivo con el método racional conservativo en 1D ..................... 37
II.6.- Estructura del algoritmo CSLR0_2D. Método Ra cional
Conservativo en 2 Dimensiones ..................... .................................... 56
II.6.1.- Discretización espacial. Esquema Arakawa C-grid .............. 57
II.6.2.- Resultados del método CSLR0_2D .......... .............................. 60
II.7.- Conclusiones .............................. ........................................................... 66

III. MODELIZACIÓN DE LA CINÉTICA QUÍMICA. UNA APLI CACIÓN A
LA QUÍMICA DEL OZONO .............................. ......................................... 68
III.1 Introducción ................................ ............................................................. 68
III.2 Modelización de la cinética química ......... ............................................. 69
III.3 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Rígidas . ..................................... 70
III.3.1 Definición de Rigidez de una ecuación difer encial ..................... 70
III.3.2 Métodos para la resolución de sistemas de e cuaciones
diferenciales ordinarias (SEDO) rígidas ........... ........................... 71
III.4 Métodos de diferenciación regresiva (Backward
Differentiation Formula, BDF) ..................... ............................................ 73
III.5 Método TWO-STEP ............................. ..................................................... 76
III.5.1 Descripción de la cinética del ozono ...... ..................................... 76
III.5.2 Descripción de la notación utilizada en la modelización ........... 77
III.6. Descripción del método de integración TWO-ST EP de paso
fijo .............................................. ............................................................... 83
III.6.1 Método numérico Gauss-Seidel............... ..................................... 84
III.6.2 Notación para representación de la cinética atmosférica
según los términos de Producción (P) y Pérdida (L) ................. 85
III.6.3 Inicio del método ......................... ................................................... 87
III.7. Método TWO-STEP de paso variable ........... ......................................... 88
III.7.1 Ajuste del tamaño de paso. (Paso de integra ción
variable) ......................................... ................................................... 91
III.8 Descripción del algoritmo TWO-STEP........... ........................................ 93
III.8.1 Resultados de la simulación ............... ........................................ 94
III.8.2 Solución teórica .......................... ................................................. 95
III.8.3 Análisis de sensibilidad a las tolerancias: absoluta y
relativa .......................................... .......................................................... 97
III.9 Conclusiones ................................ ......................................................... 100

IV. SIMULACIONES REALES DE LA DISPERSIÓN DE
CONTAMINANTES CON EL MODELO CHIMERE. ANÁLISIS DEL
MODELO RACIONAL CONSERVATIVO ...................... .......................... 103
IV.1 Introducción ................................. ......................................................... 103
IV.2 Descripción de los índices de verificación de las simulaciones
realizadas ........................................ ........................................................ 104
IV.3Descripción del modelo CHIMERE de dispersión de
contaminantes y de los modelos MM5 y WRF de predicc ión
meteorológica ..................................... ................................................... 106
IV.4 Análisis de datos de simulaciones con CHIMERE ............................. 111
IV.4.1 Descripción de casos ....................... ............................................. 113
IV.4.1 Caso 1: Dominio Comunidad de Madrid. Modelo CHIMERE +
MM5 ........................................................................................................... 113
IV.4.2 Caso 2: Dominio España. Resolución 0.2º Mode lo CHIMERE
+ MM5 ........................................................................................................ 118
IV.4.3 Dominio España. Resolución 0.1º. Modelo CHIM ERE + WRF .... 123
IV.5 Conclusiones ................................. ....................................................... 126

V. PROCESOS DE ADVECCIÓN-DIFUSIÓN EN EL TRANSPORTE DE
CONTAMINANTES EN LA ATMÓSFERA ..................... ................................ 127
V.1 Descripción de la ecuación en derivadas parcial es que
modelizan el fenómeno difusivo .................... ....................................... 128
V.2 Coeficientes de difusión para contaminantes quí micos .................... 130
V.3 Aplicación del método de diferencias finitas pa ra la resolución
de la ecuación en derivadas parciales que simula e l proceso
difusivo ................................................................................................... 131
V.4 Análisis de la estabilidad del método de difere ncias finitas .............. 137
V.5 Validación de la solución mediante la comparaci ón con la
solución exacta de la ecuación de difusión ........ ................................ 141
V.6 Simulaciones de casos reales a largo plazo .... ................................... 165
V.6.1 Simulaciones de casos reales en 1 dimensión .......................... 165

V.6.1.1 Transporte advectivo-difusivo para el NO 2 ........................................ 165
CASO 1: Evolución de la contaminación para un foco
emisor de NO 2 transcurridas 3 horas con una velocidad
del viento de 5.55 m/s

CASO 2: Evolución de la contaminación para un foco
emisor de NO 2 tras un periodo de 3 horas con velocidad
del viento de 15 m/s

V.6.1.2 Transporte advectivo-difusivo para el S O2 ......................................... 172
V.6.1.2.1. - CASO 3: Evolución de la contaminación para un
foco emisor de SO 2 transcurridas 3 horas con
una velocidad del viento de 5.55 m/s

V.6.1.2.1. - CASO 4: Evolución de la contaminación para un
foco emisor de SO 2 tras un periodo de 3 horas
con velocidad del viento de 15 m/s

V.6.2 Simulaciones de casos reales en 2 dimensione s ...................... 180
V.6.2.1 CASO 5: Transporte advectivo-difusivo con u n foco de
emisión.
V.6.2.2 CASO 6: Transporte advectivo-difusivo con dos focos
de emisión.
V.6.2.3 CASO 7: Transporte advectivo-difusivo. Caso real para
el NO2
V.6.2.4 CASO 8: Transporte advectivo-difusivo. Caso real para
el SO2
V.7 Conclusiones .................................. ....................................................... 196

VI: MODELIZACIÓN DE LA DISPERSIÓN DE CONTAMINANTES
QUÍMICOS EN LA ATMÓSFERA: ACOPLAMIENTO DE LOS
PROCESOS DE ADVECCIÓN DIFUSIÓN Y REACCIÓN QUÍMICA . ....... 197
VI.1.- Descripción de las ecuaciones que simulan lo s procesos de
reacción química advección y difusión en la atmósfe ra ................ 198
VI.2- Acoplamiento del procesador químico al módulo de transporte
por advección difusión ............................ .............................................. 199

VI.3 Descripción del algoritmo advección-difusión-r eacción química
para la dispersión de contaminantes químicos en la atmósfera
1D ............................................................................................................ 200
VI.3.1 Ejemplo académico: evolución del comportamie nto de
tres contaminantes químicos en la atmósfera ....... ................... 204
VI.3.2 Ejemplo real: evolución de la emisión de dió xido de
nitrógeno y dióxido de azufre dispersados en la
atmósfera. Generación de lluvia ácida (ácido sulfúr ico y
nítrico) por emisión de centrales térmicas ........ ....................... 215
VI.4 Descripción del algoritmo advección-difusión-r eacción química
para la dispersión de contaminantes químicos en la atmósfera
2D ............................................................................................................ 224
VI.4.1 CASO 1: Simulación precursores lluvia ácid a .......................... 230
VI.5 Conclusiones ................................. ....................................................... 237
VIII. CONCLUSIONES Y LÍNEAS ABIERTAS .............. ................................ 239
REFERENCIAS .............................................................................................. 242
APÉNDICES .................................................................................................. 246
Apéndice I. Modelos numéricos de predicción meteoro lógica ............ 246
Apéndice II. Métodos numéricos empleados en la reso lución de
la ecuación de advección incluidos en el módulo
de transporte del modelo CHIMERE .................. .............. 257
Apéndice III. Estructura del programa TWO_STEP para la
resolución de la química del ozono troposférico ... ..... 261

I. Introducción

1/284

CAPÍTULO I. INTRODUCCIÓN

El modelado matemático es una herramienta imprescindible en el estudio de la
contaminación atmosférica para entender los procesos implicados. En el caso
de la contaminación atmosférica, el marco en el que se desarrollan los
fenómenos es la atmósfera, la cual no es controlable, ni reproducible
completamente en laboratorio. El objetivo del presente capítulo se centra en
explicar nociones introductorias fundamentales de dicho marco de actuación y
de los contaminantes principales tratados a lo largo de la Tesis

I. Introducción

2/284

1.- LA ATMÓSFERA
La atmósfera es una delgada capa compuesta de una mezcla de gases,
partículas y aerosoles que envuelve a la tierra. Esta mezcla de gases está
compuesta por una veintena de gases cuyas proporciones relativas se
mantienen constantes hasta una altura aproximada de 25 km. Los dos gases
principales de la atmósfera son el nitrógeno (78%) y el oxígeno (21%). El 1%
restante lo forman una serie de gases como el argón, neón, helio, xenón, ozono
y los gases de efecto invernadero como el dióxido de carbono.
La atmósfera constituye apenas un 1% del radio de la Tierra, aunque los
fenómenos que se producen en su seno son de gran importancia para el
soporte de los ecosistemas. Actúa como escudo protector de la radiación
procedente del sol, efecto imprescindible para la vida en la Tierra. Además
influye de manera determinante en la misma, sobre todo los fenómenos
producidos en los primeros 10 km.
Otro aspecto importante de la atmósfera es su carácter dinámico. No es algo
estático sino que es un sistema reactivo extremadamente complejo en el cual
tienen lugar numerosos procesos físicos y químicos que ocurren
simultáneamente que la condicionan como un sistema en constante cambio. La
interacción entre esta multitud de fenómenos tiene repercusiones en los seres
vivos y sus ecosistemas y en última instancia en el ser humano y sus
actividades, de ahí la necesidad de su estudio en profundidad como medio
para obtener herramientas de predicción de su producción y efectos que serán
la base de la toma de decisiones en cuanto a los mismos.
Estos fenómenos atmosféricos se producen a distintas escalas temporales y
espaciales: desde la escala molecular, donde las reacciones químicas y la
difusión molecular tienen lugar, hasta los procesos de transporte a escala
global, pasando por la microescala, donde los procesos de difusión turbulenta
toman cuerpo, la mesoscala, que es el rango habitual de la problemática en las
grandes zonas urbanas e industriales, y la escala continental con los problemas
de transporte transfronterizo de contaminantes. En la figura Fig. I.1 se puede
observar la variedad de procesos clasificados en sus escalas espaciales y su
correspondiente escala temporal.
I. Introducción

3/284

Fig. I.1 Clasificación de procesos atmosféricos en función de sus escalas temporales y
espaciales.

I.1.1 ESTRUCTURA DE LA ATMÓSFERA
La atmósfera se puede dividir en distintas capas horizontales teniendo en
cuenta la variación de la temperatura con la altura. Según su estratificación se
pueden dividir en cuatro capas:
- Troposfera: es la capa más cercana a la superficie ya que ocupa los
primeros 10 - 12 km y, por tanto, donde se producen los fenómenos
meteorológicos más estudiados, así como la actividad propia de los
seres vivos.
- Estratosfera: ocupa el espacio comprendido entre la tropopausa, hasta
aproximadamente los 50 km. La estratosfera está dividida en dos capas,
la primera se caracteriza por ser isoterma, mientras que en la capa
superior se produce un aumento de temperatura conforme aumenta la
altura. Este aumento se debe a las reacciones exotérmicas en las que el
I. Introducción

4/284

oxígeno molecular (O2) y el ozono (O3) que reaccionan absorbiendo la
radiación ultravioletade longitud de onda dañina para los seres vivos,
por lo tanto, su actividad es indispensable para la vida en la Tierra.

- Mesosfera: es la capa comprendida entre 50 y los 80 km, caracterizada
por una disminución de temperatura con la altitud. Está compuesta por
formas ionizadas de oxígeno atómico, y bajas concentraciones de
ozono.

- Termosfera: se extiende desde la mesopausa hasta el espacio exterior.
En las capas inferiores está compuesta por nitrógeno (N2) y oxígeno
(O2) molecular, mientras que en las zonas altas sobre los 200 km hay
una predominancia de oxígeno atómico (O). Se caracteriza por un
aumento de temperatura con la altura debido a la absorción por parte del
nitrógeno y oxígeno de radiación de longitud de onda muy corta (y por
tanto, muy energética) que no llega a la mesopausa. En esta capa se
dan fenómenos importantes, como la neutralización de la radiación
cósmica, ultravioleta de onda corta y rayos X debido a la acción intensa
del campo magnético de la Tierra.

En la figura Fig. I.2 se puede apreciar la evolución de la temperatura con la
altura, la localización de las distintas capas y las zonas de transición entre
ellas (Sportisse, 2010).

Fig. I.2. Estructura térmica vertical de la atmósfera.
Para el estudio de la contaminación atmosférica nos interesa la capa inferior
que actúa como elemento receptor de la misma y donde se producirán las
I. Introducción

5/284

transformaciones químicas de los contaminantes y fenómenos de transporte
estudiados con posterioridad.
LA TROPOSFERA.
La troposfera es la porción inferior de la atmósfera libre. Su espesor es de
aproximadamente 10 ó 12 km. Se caracteriza por el descenso de la
temperatura con el incremento de la altitud. Por término medio el descenso
de la temperatura en la troposfera libre es de 6.5º /K Km . Además, contiene
la mayor parte de la masa de la atmósfera, entre un 75% y un 90% de la
masa total de la misma.
Adquiere gran importancia por ser la capa atmosférica más próxima a la
superficie y, por tanto, donde se producen los fenómenos meteorológicos
más estudiados, así como la actividad propia de los seres vivos.
La parte de la troposfera más cercana a la superficie terrestre es la capa
límite . Esta capa está influenciada por la superficie terrestre y responde a
fuerzas de la superficie con un tiempo de escala de aproximadamente una
hora o incluso inferior. Aquí la estratificación de temperatura es muy distinta
a la del resto de la troposfera que llamaremos, troposfera libre . Además en
esta capa límite se producen variaciones muy importantes de la temperatura
a lo largo del día y la noche. Suelen aparecer zonas con situaciones de
inestabilidad térmica (decrecimiento de la temperatura con la altitud) por el
día y de estabilidad e incluso de inversión térmica durante la noche
(decrecimiento de la temperatura con la altitud), procesos relacionados con
episodios de contaminación en grandes urbes producidos por efectos
denominados “isla térmica”.

I.1.2. CONTAMINACIÓN ATMOSFÉRICA

La Ley 34/2007, de 15 de noviembre, de calidad del aire y protección de la
atmósfera define como contaminación atmosférica, la presencia en el aire
de sustancias o formas de energía que impliquen riesgo, daño o molestia
grave para las personas y bienes de cualquier naturaleza.
La contaminación atmosférica puede definirse como cualquier condición de
la atmósfera en la que ciertas sustancias (elemento o compuesto natural o
artificial) se incorporan o alcanzan concentraciones lo suficientemente
elevadas sobre su nivel ambiental normal (tabla I.1), como para producir un
efecto negativo en la salud de las personas y de los animales, dañar la
vegetación, ensuciar y deteriorar los materiales, afectar al clima, reducir la
I. Introducción

6/284

visibilidad y la radiación solar, y en general, en la calidad y disfrute de la
vida.
SUSTANCIA CONCENTRACIÓN EN PPM
Nitrógeno 780840
Oxígeno 209460
Argón 9340
Dióxido de carbono 315
Neón 18
Helio 5.2
Metano 1.0-1.5
Criptón 1.1
Óxido nitroso 0.5
Hidrógeno 0.5
Xenón 0.08
Tabla I.1. Composición del aire seco a nivel del mar.

Cuando estas materias o fuentes de energía ponen, o es probable que
pongan, en peligro la salud del hombre, su bienestar o recursos, directa o
indirectamente, se denominan contaminantes (Williamson, 1972). De la
definición anterior se deduce que para que una sustancia se pueda
considerar contaminante atmosférico o no, dependerá de los efectos que
produzca sobre sus receptores, por lo que una misma sustancia puede ser
considerada un contaminante en determinadas condiciones y en otras
considerarla como beneficiosa o neutra. Ejemplo de ello es el ozono, que es
elemento esencial para la protección contra la radiación ultravioleta cuando
se encuentra en la estratosfera pero es nocivo cuando supera determinados
niveles en la troposfera.
Los problemas de contaminación atmosférica aparecen por la liberación a la
atmósfera de diferentes especies, a las que se les denomina emisiones y
que pueden tener varios orígenes.
I. Introducción

7/284

La contaminación atmosférica no solo tiene su origen en la actividad
humana (contaminación antropogénica), sino también en fenómenos
naturales como los que se producen como parte de los ciclos elementales
de la materia (ciclos del oxígeno, carbono, o nitrógeno), el vulcanismo, los
procesos de fermentación, los incendios forestales, etc.
Para una completa comprensión del problema es necesario comprender
una serie de procesos que surgen del sistema dinámico complejo que
constituye la atmósfera terrestre. Estos procesos implican la emisión del
contaminante a la atmósfera, el transporte, difusión turbulenta y
transformaciones químicas y físicas, y, por último, su recepción por los
seres vivos.

I.1.2.1. CLASIFICACIÓN DE LOS CONTAMINANTES ATMOSFÉ RICOS
I.1.2.1.1 Clasificación de contaminantes atmosféric os según su
naturaleza físico-química.
Debido a la diversidad de tipos de contaminantes es difícil realizar una
clasificación idónea de los tipos de contaminantes atmosféricos. Una
clasificación frecuentemente utilizada sería la siguiente:
- Óxidos de carbono
- Óxidos de azufre
- Óxidos de nitrógeno
- Partículas y aerosoles
- Oxidantes
- Compuestos orgánicos volátiles
- Substancias radiactivas
- Ruido
- Calor
- Otros contaminantes

I.1.2.1.2 Clasificación de contaminantes atmosféric os según su origen.
Otra aproximación al problema muy útil, se basa en la clasificación de
contaminantes atmosféricos según el método de aparición en la atmósfera. De
esta manera tendríamos:
- Contaminantes primarios.

Son las sustancias que tienen carácter contaminantes y son vertidas
directamente a la atmósfera desde los focos emisores, tanto naturales
como antropogénicos, y provocan alteraciones en la calidad del aire
I. Introducción

8/284

produciendo lo que se conoce a menudo como “contaminación
convencional.

Los principales contaminantes primarios son:

o Los compuestos del carbono: CO2, CO, CH4, VOC’s (Volatile
Organic Compound)
o Compuestos del nitrógeno: NO2, NO, NH3.
o Compuestos del azufre: SO2
o Compuestos halogenados.
o Materia particulada (agrupada en PM10 (materia particulada de 10
micrómetros de diámetro), de baja penetrabilidad en las vías
respiratorias, y PM2.5 (materia particulada de 2.5 micrómetros de
diámetro), de profunda penetrabilidad en las vías respiratorias).

- Contaminantes secundarios.

Los contaminantes secundarios son el resultado de la interacción
química, entre contaminantes primarios y otros compuestos habituales
de la atmósfera, los más importantes son el ácido sulfúrico (H2SO4),
ácido nítrico (HNO3), ozono (O3), peroxiacetilnitrato (PAN) (Jacobson,
2005)..

En la tabla I.2 se expone un resumen de las principales familias de
contaminantes atmosféricos, y una breve descripción de sus fuentes,
características y efectos.I. Introducción

9/284

TIPO CONTAMINANTE FUENTE CARACTERÍSTICAS EFECTOS
Óxidos de
carbono
Monóxido de
Carbono (CO)
Combustión
incompleta de
gasolina o gasoil
Primario
Gas
Incoloro
Inodoro
insípido
Reemplaza al oxígeno
en la unión O2-
hemoglobina
produciendo anoxia y
muerte celular.
Dióxido de
Carbono (CO2)
Combustible de
productos
orgánicos
Primario
Gas incoloro
Inodoro
insípido
Efecto invernadero.
Cambio climático.
Óxidos de
azufre
Dióxido de
azufre SO2
Combustión de
Carbón y petróleo
Aerosol marino
Volcanes
Primario
Incoloro
Olor fuerte e
irritante
No inflamable
Contribuye a la lluvia
ácida.
Trióxido de
azufre SO3
Reacciones de
SO2 con O2
Secundario Contribuye a la lluvia
ácida.
Óxidos de
Nitrógeno
Óxido Nitroso
(N2O)
Descomposición
de materia
orgánica
nitrogenada.
Gas inerte.
Anestésico.
Contribuye al efecto
invernadero, afectando
a la destrucción de la
capa de ozono.
Óxido Nítrico
(NO)
Acción biológica y
procesos de
combustión.
Incoloro.
Inodoro.
Tóxico en elevadas
concentraciones.
Contaminación
fotoquímica.
Dióxido de
Nitrógeno (NO2)
Combustión a
elevadas
temperaturas de
carbón, petróleo y
gasolina.
Irritante.
Precursor de O3
Contribuye a la lluvia
ácida.
Contaminación
fotoquímica.
Partículas Polvos.
Humos.
Nieblas o
brumas.
Natural.
Antropogénico.
Pueden transportar
consigo otros
contaminantes.
Afecta a las vías
respiratorias.
Oxidantes Ozono (O3) Reacciones
químicas de sus
precursores:
- Óxidos de
Nitrógeno.
- Compuestos
Orgánicos
Volátiles.
Secundario Smog fotoquímico.
Irritación de ojos y
membranas. mucosas.
Tabla I.2 Resumen de los principales contaminantes atmosféricos.

I. Introducción

10/284

I.1.2.2. DESCRIPCION DE LOS CONTAMINANTES ATMOSFÉRI COS MÁS
IMPORTANTES.
a) Dióxido de carbono (CO 2)

Es un gas incoloro, inodoro e insípido que se encuentra presente en la
atmósfera de forma natural y no es tóxico. Desempeña un importante papel en
el ciclo del carbono en la naturaleza y enormes cantidades, del orden de 1012
toneladas, pasan por el ciclo natural del carbono, en el proceso de fotosíntesis.
Dada su presencia natural en la atmósfera y su falta de toxicidad, no
deberíamos considerarlo una sustancia que contamina, pero se dan dos
circunstancias que lo hacen un contaminante de gran importancia en la
actualidad:

- es un gas que produce un importante efecto de atrapamiento del calor,
el llamado efecto invernadero; y
- su concentración está aumentando en los últimos decenios por la quema
de los combustibles fósiles y de grandes extensiones de bosques.

Por estos motivos es uno de los gases que más influye en el calentamiento
global del planeta y el consiguiente cambio climático.

Emisiones de CO2 proceden de combustiones diversas (industriales,
domésticas, comerciales, etc), de las plantas eléctricas, y del transporte.

b) Monóxido de carbono (CO)

Es un gas contaminante primario, sin color, olor ni sabor.

Tiene una reactividad inferior a los óxidos de azufre y de nitrógeno y los
procesos de eliminación por depósito no parecen ser tan efectivos. Ello explica
que el tiempo de permanencia en la atmósfera sea del orden de un mes.

La concentración ambiental en una atmósfera limpia es inferior a 200 µg /m3,
mientras que una atmósfera contaminada puede ser superior a 30.000 µg /m3.

Alrededor del 90% del que existe en la atmósfera se forma de manera natural,
en la oxidación de metano (CH4) en reacciones fotoquímicas. Se va eliminando
por su oxidación a CO2.

Es uno de los contaminantes más abundantes en la baja atmósfera. Su origen
está principalmente en la combustión incompleta de combustibles carbonosos.
Las emisiones antropogénicas, consecuencia de las actividades humanas, lo
genera en grandes cantidades siendo, después del CO2, el contaminante
emitido en mayor cantidad a la atmósfera por causas no naturales. Procede,
principalmente, de la combustión incompleta de la gasolina y el gasoil en los
motores de los vehículos, pero también hay contribuciones significativas de
industrias y centrales de producción de energía.

I. Introducción

11/284

El CO es tóxico porque envenena la sangre impidiendo el transporte de
oxígeno. Se combina fuertemente con la hemoglobina de la sangre y reduce
drásticamente la capacidad de la sangre de transportar oxígeno. Es
responsable de la muerte de muchas personas en minas de carbón, incendios
y lugares cerrados (garajes, habitaciones con braseros, etc.)

c) Dióxido de azufre (SO 2).

El dióxido de azufre es un importante contaminante primario. Es un gas
incoloro y no inflamable, de olor fuerte e irritante.

Su vida media en la atmósfera es corta, de unos 2 a 4 días. Casi la mitad
vuelve a depositarse en la superficie y el resto se convierte en iones sulfato
(���
��), por este motivo es un importante factor en la lluvia ácida.

En conjunto, más de la mitad del SO2 que llega a la atmósfera es emitido por
actividades humanas, sobre todo por la combustión de carbón y petróleo y por
la metalurgia. Otra fuente muy importante es la oxidación del H2S. En la
naturaleza, es emitido en la actividad volcánica.

En algunas áreas industrializadas hasta el 90% del SO2 emitido a la atmósfera
procede de las actividades humanas, aunque en los últimos años está
disminuyendo su emisión en muchos lugares gracias a las medidas adoptadas.

En España sus emisiones se concentran en Galicia y Aragón, al estar situadas
en estas Comunidades importantes instalaciones productoras de electricidad
que usan combustibles de baja calidad. En los últimos años se están
produciendo importantes disminuciones en la emisión de este contaminante
como consecuencia de estar sustituyéndose los carbones españoles (de baja
calidad) por combustibles de importación, más limpios. De todas formas las
cantidades producidas siguen siendo bastante grandes y, de hecho, es el
contaminante primario emitido en mayor cantidad después del CO.

d) Trióxido de azufre (SO 3)
El SO3 es un contaminante secundario que se forma cuando el SO2 reacciona
con el oxígeno en la atmósfera. Posteriormente, este gas reacciona con el agua
formando ácido sulfúrico con lo que contribuye de forma muy importante a la
lluvia ácida y produce daños importantes en la salud, la reproducción de peces
y anfibios, la corrosión de metales y la destrucción de monumentos y
construcciones de piedra.
Algunos otros gases compuestos de azufre, como el sulfuro de hidrógeno
(H2S), son contaminantes primarios, pero normalmente sus bajos niveles de
emisión hacen que no alcancen concentraciones dañinas.
Estos contaminantes son, por tanto, eliminados por la lluvia tanto en el proceso
de formación de gotas, como en el lavado por la lluvia misma. También las
partículas de sulfatos sedimentan sobre la superficie y la vegetación.
I. Introducción

12/284

e) Óxidos de nitrógeno.
De los más de ocho óxidos distintos que forman esta familia, (NOx), tres son los
que están en el aire en cantidades apreciables, N2O (óxido nitroso), NO (óxido
nítrico) y NO2 (dióxido de nitrógeno).
- Óxido nitroso
El N2O es un gas inerte de carácter anestésico que contribuye al efecto
invernadero (absorbe 200 veces más radiación infrarroja que el CO2) y afecta a
la destrucción de la capa de ozono, incrementándose la presencia del mismo
en la atmósfera como consecuencia de las emisiones procedentes de la
descomposición de materia orgánica nitrogenada, alcanzando unos niveles en
el aire de 0,50 ppm.
- Óxido nítrico
El NO es un gas incoloro e inodoro, tóxico a altas concentraciones y presente
en el aire en menos de 0,50 ppm. Aunque a baja concentración su tolerancia
por los seres vivos es aceptable, sin embargo es oxidado por acción del ozono
para producir NO2 y por tanto responsable, en parte, de la contaminación
fotoquímica.
El NO es producido por acción biológica yen los procesos de combustión. El
tiempo de residencia es de solo 5 días.
Las reacciones entre el nitrógeno (tanto del aire como el que está presente en
el combustible) y el oxígeno se resumen en las dos reacciones siguientes:
2 2
2 2
2
1
2
NO O NO
NO O NO
+ →
+ →

- Dióxido de nitrógeno
El NO2 es uno de los contaminantes más peligrosos, en primer lugar por su
carácter irritante y, en segundo lugar, porque se descompone por medio de la
luz solar según la reacción:
2 NO h NO Oυ+ → +
La formación de oxigeno atómico, que es muy reactivo, convierte al oxigeno en
ozono.
En torno al 67% de las emisiones de NOx son de origen antropogénico, de las
cuales, más del 90% se originan en combustiones a elevadas temperaturas,
tanto de fuentes estacionarias como móviles.
I. Introducción

13/284

Estos compuestos junto con el amoniaco pueden reaccionar con el agua de la
atmósfera produciendo ácidos, que, por tanto, contribuyen también a la lluvia
ácida.
Para un efectivo control de emisiones de los NOx se tendrá en cuenta lo
siguiente:
- El exceso de aire incrementa la temperatura y por tanto es mayor la
emisión de NOx.
- El precalentamiento del aire produce idéntico efecto, a pesar del ahorro
energético.
- La recirculación de los gases de combustión fríos rebajan la temperatura
y reducen las emisiones.
Las principales fuentes artificiales de óxidos de nitrógeno son la combustión de
carbón, petróleo y gasolina, con una fuerte contribución de los automóviles.
Son compuestos, en general, bastante reactivos siendo junto con los
compuestos orgánicos volátiles precursores del ozono en la baja troposfera.
Las reacciones químicas que dan lugar al ozono precisan de radiación solar
(especialmente en el ultravioleta) y altas temperaturas. Son conocidas como
reacciones fotoquímicas y los contaminantes como contaminantes
fotoquímicos.
Las concentraciones ambientales en una atmósfera limpia son muy bajas
(aproximadamente 2µg /m3), mientras que en atmósferas contaminadas nos
encontramos concentraciones superiores a 400µg /m3.

f) Partículas
Por partículas entendemos cualquier sustancia, a excepción del agua, presente
en la atmósfera en estado sólido o líquido bajo condiciones normales y cuyo
tamaño es microscópico o submicroscópico, pero siempre superior a las
dimensiones moleculares. Se utilizan varios términos en relación con las
partículas en el aire:
1. Polvos . Partículas sólidas dispersas en un gas, originadas por la
desintegración mecánica de algún material (trituración de rocas,
polvaredas de polvo resuspendido por ráfagas de aire, etc), con tamaño
entre 0,1 y 0,5 micrones.
2. Humos. Pequeñas partículas originadas por condensación de un vapor
sobresaturado conteniendo concentraciones elevadas de sustancias con
baja presión de vapor, por sublimación o bien producidas en las
reacciones químicas. El tamaño aproximado es de 1 micrón.
I. Introducción

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3. Nieblas o Brumas. Suspensión de pequeñas gotas líquidas formadas
por la condensación de gases o vapores sobre núcleos adecuados. El
tamaño aproximado de estas partículas es de 10 micras.
Cada partícula es diferente en forma, tamaño y composición. Al mismo tiempo
tiene su historia particular si nos fijamos en su origen, crecimiento, interacción y
desaparición. El proceso de generación de partículas y su posterior eliminación
es continuo y depende de las específicas fuentes contaminantes, ya sean
naturales o antropogénicas, interviniendo de manera importante la
meteorología y la topografía de la zona en estudio.
Al conjunto de partículas que pueden encontrarse en la atmósfera se les
conoce con el nombre de Aerosoles (Nubes de partículas diversas en el aire de
tamaño microscópico y submicroscópico).
En una atmósfera limpia, su concentración natural sería de unos 10 a 20µg /m3,
mientras que en atmósferas contaminadas puede superar los 500µg /m3.
Las partículas tienen la particularidad de poder transportar consigo otros
contaminantes, tales como metales, sulfatos, etc. El tamaño de la partícula es
un factor importante ya que cuanto más pequeño sea este, mayor es la
penetración de la partícula en las vías respiratorias. También la procedencia de
la partícula va a marcar su tamaño. Se distinguen dos grupos fundamentales:
- Partículas gruesas . Tamaño superior a 2 micras con un máximo
alrededor de 10 micras. Su origen es principalmente natural, aunque
también puede ser liberadas por la acción del hombre. Las partículas
mayores se depositan de forma rápida por acción de la gravedad.

- Partículas finas. Tamaño inferior a 2 micras. Su origen es diverso pero
tienen una alta componente antropogénica. La eliminación se hace
principalmente por acción de la lluvia.
Las partículas de tamaño inferior a 10 micras se las conoce como PM10 y son
las habitualmente legisladas, aunque también lo son las partículas totales y
próximamente las PM2.5.
g) Ozono.
Este es quizá el más importante de los contaminantes secundarios. Se origina
por las reacciones químicas de sus precursores: óxidos de nitrógeno y
compuestos orgánicos volátiles. En estas reacciones juega un importante papel
la radiación solar, ya que las reacciones son de tipo fotoquímico y precisan de
altas temperaturas para que sean efectivas. Por ello, la formación de ozono en
la baja troposfera suele presentarse en días soleados y calurosos. Debido al
tiempo necesario para la formación de ozono y a otros factores, los niveles
I. Introducción

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altos de ozono suelen presentarse alrededor de las ciudades, en las zonas
donde el viento ha transportado los precursores emitidos desde las mismas.
Produce juntos con otros compuestos lo que conocemos como niebla o smog
fotoquímico.
En atmósferas limpias podemos encontrar niveles de ozono de entre 30 a 70µg
/m3, en situaciones episódicas de ozono se pueden superar los 360µg/m3.
Cuando hay acumulación de este gas o bien de otros oxidantes, como
peróxidos, en las capas bajas de la atmósfera se producen efectos nocivos
para la salud, como irritación en los ojos y membranas mucosas.
h) Compuestos Orgánicos Volátiles
Los compuestos orgánicos volátiles, COVs, (no metánicos, excluidos CFCs y
halones) tienen una procedencia natural considerable (aunque cada día tiene
más importancia las emanaciones procedentes de industrias y vertederos de
residuos sólidos urbanos) y contribuyen a la contaminación fotoquímica, sobre
todo los aldehidos de bajo peso molecular, siendo precursores de la formación
de NOx y por tanto corresponsables en la producción de lluvia ácida así como
de la contaminación fotoquímica, además de contribuir al efecto invernadero.
i) Metales
Algunos metales y sus derivados presentan valores suficientemente altos de
presión de vapor y, por tanto, pueden existir como gases en la atmósfera. Un
ejemplo típico es el mercurio, cuya emisión a la atmósfera se debe
principalmente a los procesos de obtención del metal y, en segundo término, a
la combustión de fuel con un elevado contenido de mercurio.
Otro ejemplo es el plomo, principalmente en forma de sus alquilderivados
utilizados en las gasolinas y emitidos a la atmósfera por los motores de
automóviles.
j) Hidrocarburos.
Las emisiones de hidrocarburos están asociadas, fundamentalmente, a una
mala combustión de derivados del petróleo.
No se describen sus efectos sobre los seres vivos, salvo para el etileno
(detiene el crecimiento de las plantas) y los hidrocarburos aromáticos (resultan
cancerígenos).
Contribuyen junto a los NOx y la luz UV a la contaminación fotoquímica y al
efecto invernadero. Las emisiones de metano y gas natural suponen alrededor
de 500 GKg/año procedentes de descomposiciones anaerobias, extracciones
mineras y escapes de instalaciones industriales y domésticas.
II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

16/284

CAPÍTULO II.MODELIZACIÓN DEL TRANSPORTE ADVECTIVO DE
CONTAMINANTES EN LA ATMÓSFERA.

INTRODUCCIÓN

En este capítulo vamos a realizar una introducción a los modelos de dispersión
de los contaminantes químicos centrándonos en las ecuaciones diferenciales
parciales (EDP) que modellizan los fenómenos advectivos de la dispersión de
contaminantes en la atmósfera. A continuación vamos a introducir un método
racional conservativo para la resolución de la parte advectiva de la EDP que
modeliza la dispersión de contaminantes. Este método está basado en un
método de interpolación racional y en el método de volúmenes finitos.
La ventaja del método racional conservativo con respecto a otros métodos
numéricos desarrollados para obtener la solución de la parte advectiva de la
EDP de dispersión de contaminante está en que realiza el transporte de una
función ( , )f x t o ( , , )f x y t a lo largo del tiempo conservando la masa durante
el desplazamiento. El método racional conservativo emplea una discretización
del espacio en celdillas o volúmenes finitos, y en cada paso calcula la
aproximación de la función mediante una interpolación racional que hace uso
de los valores de la función en las interfases de la celdilla y de la integral
ponderada en la celdilla.
El cálculo evolutivo en el tiempo de la integral ponderada se realiza mediante
una formulación de flujo, que contempla los valores de la integral ponderada en
un instante de tiempo, y actualiza el valor en el siguiente instante de tiempo,
agregándole a este valor el balance entre el flujo saliente y el flujo entrante.
Esta es la razón por la que el método racional conservativo conserve la masa
transportada durante el proceso de integración de la ecuación. El uso de la
interpolación racional elimina las oscilaciones que suelen producirse
empleando otros métodos numéricos.
Para el tratamiento de problemas advectivos en 2D se hace uso de la técnica
de separación de operadores y de un mallado especial denominado Arakawa
C-grid.

II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

17/284

II.1 Tipos de modelos de transporte de contaminante s
Los modelos atmosféricos, pueden dividirse, en un sentido amplio, en dos tipos
de modelos, los modelos físicos y los modelos matemáticos (Seinfeld & Pandis,
1997)..

Los modelos físicos se utilizan para simular los procesos atmosféricos por
medio de la representación a pequeña escala del sistema real. Por ejemplo,
una réplica a pequeña escala de una zona urbana.

Los modelos matemáticos, a su vez, pueden clasificarse en modelos basados
en la descripción de los procesos físicos y químicos atmosféricos, y modelos
basados en el análisis estadístico.

De aquí en adelante, nos referimos como modelos de dispersión a aquellos que
se basan en la representación mediante una expresión matemática de los
procesos físicos y químicos que afectan la concentración de las especies
químicas en la atmósfera.

Los usos más representativos de los modelos de dispersión de contaminantes
son:

- simular la dispersión de los contaminantes emitidos desde una o varias
fuentes, con objeto de estimar la concentración que se espera encontrar
en lugares de interés.
- gestión de la calidad del aire en tiempo real, como por ejemplo, en el
control de emisiones o protección de la salud humana, sirviendo de
herramienta para conocer si se cumple o no la legislación vigente.

Los modelos de contaminación simulan cuantitativamente los distintos
procesos que afectan a la evolución de los contaminantes en la atmósfera. Los
principales procesos físico-químicos que afectan a la distribución de
contaminantes en la atmósfera y que los modelos de dispersión tratan de
representar, son:

- la advección de contaminantes (transporte por el viento)
- la difusión
- los procesos de depósito (deposición seca o húmeda)
- las transformaciones químicas y las emisiones.
- Otros procesos como los efectos aerodinámicos del terreno o la
sobreelevación del penacho de emisión que también deben ser
considerados a la hora de simular el movimiento de un determinado
contaminante.

Las información de entrada que necesitan los modelos de dispersión incluye un
inventario de emisiones, con las variaciones espaciales y temporales
necesarias, datos meteorológicos, como el viento, altura de capa de mezcla,
coeficientes de difusión, etc, características de la región, como la topografía o
los usos del suelo e información de concentraciones de los contaminantes en
los contornos del área de estudio y en el instante inicial.
II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

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II.2 Modelos Eulerianos y Lagrangianos
La solución de la ecuación de dispersión de contaminantes permite conocer la
magnitud f en cada punto del espacio (x, y, z) y en el instante de tiempo t.
Existen dos aproximaciones numéricas para el tratamiento de la dispersión de
los contaminantes atmosféricos: la aproximación euleriana y la aproximación
lagrangiana .
• La aproximación euleriana implica la simulación de los cambios de
concentración de los contaminantes sobre una malla espacial fija,
basándose en la solución numérica explícita de la ecuación de
conservación de masa, resuelta en función de condiciones iniciales y de
contorno adecuadas. Esta aproximación permite tratar directamente
procesos no-lineales, como es la química atmosférica que surge de la
interacción entre contaminantes de múltiples y diferentes fuentes. La
principal desventaja de esta aproximación está relacionada con la
complejidad computacional y la obtención de datos de entrada en la
escala espacial requerida.
• La aproximación lagrangiana es más apropiada para el tratamiento de
emisiones de fuentes individuales puntuales, pudiendo seguirse el
desplazamiento y la trayectoria de dichas emisiones. Las emisiones
suelen ser representadas por “plumas” o puntos de partículas, como se
verá más adelante .
II.2.1 MODELOS EULERIANOS
En este tipo de modelos el área modelada se divide en celdas o cajas, tanto en
la dirección horizontal como vertical. Las concentraciones se calculan en
posiciones geográficas fijas y en momentos temporales concretos, basándose
en concentraciones iniciales, nuevas emisiones, transporte hacia dentro y hacia
fuera de cada caja o celda, dilución y reacciones químicas.
Aunque al principio esta aproximación estaba centrada principalmente a
regiones urbanas, en seguida se desarrollaron modelos regionales de tipo
euleriano. La necesidad de modelos a escala regional se puso de manifiesto en
situaciones donde el transporte a largas distancias juega un papel importante
para determinar la concentración de contaminantes en varias localidades.
Características principales
Los modelos eulerianos utilizan directamente la ecuación de dispersión.
( ) ( )f uf k f P L
t
∂ +∇ = ∇ ∇ + −
∂ (2.1)
II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

19/284

Donde f es la cantidad de contaminante transportado, u es la velocidad del
viento, el término ( )uf∇ representa el transporte advectivo, el término ( )k f∇ ∇
representa la difusión del contaminante y los términos P y L representan la
pérdida y producción de contaminante respectivamente, correspondiente a
diferentes procesos como las emisiones, la generación química de
contaminantes secundarios, o el depósito seco y húmedo y el consumo de
contaminantes dentro de las reacciones químicas.

El dominio espacial (un área geográfica o un volumen de aire) en el cual se van
a aplicar las ecuaciones, se divide en pequeñas celdas (ver Fig. 3.1).

Fig.2.1 . Discretización del dominio espacial en el modelo euleriano.

Por este motivo, estos modelos son conocidos también como modelos de
celdas o modelos de malla. Las derivadas parciales que conforman la ecuación
(2.1) se discretizan enla malla seleccionada. Esto quiere decir que cada uno
de los procesos (advección, difusión vertical, reacciones químicas, depósito y
emisiones) debe ser descrito para cada celda con respecto a un sistema de
referencia fijo.

La figura 2.2 muestra los diversos flujos de contaminantes posibles: Entrada
por advección por el oeste (HW), salida por advección hacia el este (HE),
entrada por advección desde el sur (HS), salida hacia el norte (HN), pérdida por
depósito (D), entrada por emisiones (E), variaciones por transformaciones
químicas en el interior de la celda (Q), y entrada y salida de la celda en la
dirección vertical (V).
II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

20/284

Fig. 2.2 Discretización de los flujos de contaminantes a través de una
celda del dominio

El sistema de ecuaciones debe ser resuelto para cada paso temporal. Se
emplean métodos numéricos, como diferencias finitas, volúmenes finitos, etc.

II.2.2 Modelos Lagrangianos

Características principales

Esta aproximación se basa en el cálculo de las trayectorias del viento y en el
transporte de parcelas de aire a lo largo de esas trayectorias. Por este motivo
son conocidos también como modelos de trayectoria. La trayectoria puede
calcularse desde el momento en que se produce la emisión hasta alcanzar la
zona de interés o, por el contrario, desde el punto de interés hacia atrás, hasta
llegar al origen de la emisión. Esta posibilidad de seguir la trayectoria de una
nube de contaminantes originada por una emisión determinada hace que los
modelos lagrangianos se empleen frecuentemente en la modelización de las
emisiones de fuentes puntuales.
Matemáticamente, los modelos lagrangianos calculan la difusión de los
contaminantes en un sistema móvil ligado a una determinada parcela de aire
mientras es transportada por el viento. Las emisiones son representadas por
una serie de elementos discretos transportados por la velocidad media del
viento. Los modelos que utilizan esta aproximación se diferencian entre sí en el
N
S
O E
AMv
AMD
AMQ
AME
AM HO
AM HE
AM HN
AM HS
II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

21/284

elemento lagrangiano que emplean para representar la emisión (pluma,
penacho, partículas), en las características de dicho elemento y en cómo
responde éste a los cambios del campo de viento a gran escala, Asimismo
también se diferencian en las simplificaciones que se utilizan para reducir el
tiempo de cálculo y los requisitos computacionales.

II.3. – Ecuación de dispersión de contaminantes en la atmósfera
A partir de este punto nos centraremos en la definición y la resolución de la
ecuación de transporte advectivo.
Para el caso de una dimensión, el transporte advectivo se puede representar
como
0
f f
u
t x
∂ ∂+ =
∂ ∂
(2.2)
Donde ( , )f x t es la concentración de sustancia transportada y u es la
velocidad del viento. Esta ecuación en derivadas parciales es lineal, de primer
orden con un coeficiente, u correspondiente a la velocidad del viento. Con una
velocidad del viento constante la solución de la ecuación es la translación de la
función f con una velocidad u sin cambio de forma.
Para el caso de dos dimensiones se tiene:

0
f f f
u v
t x y
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
(2.3)

siendo ( , , )f f x y t=

Para el caso de tres dimensiones se tiene:

0
f f f f
u v w
t x y z
∂ ∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
(2.4)

siendo ( , , , )f f x y z t=
Esta ecuación, sin embargo, no es suficiente para describir todos los
fenómenos físicos que ocurren en la atmósfera. Además de la advección o
transporte tendremos un fenómeno de difusión y por tanto la ecuación anterior
cambia a:
2 2 2
2 2 2
0
f f f f f f f
u v w
t x y z x y z
α β γ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(2.5)

siendo ∝, β y γ , los coeficientes de dispersión en las direcciones , x y y z
II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

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La emisión de contaminantes a la atmósfera se representa como Q. Además
existen procesos a través de los que se produce una disminución de la
cantidad de contaminantes y que, por tanto, deben ser incorporados en el
balance de masas. Se trata de los procesos de depósito de material (D), que
pueden producirse sobre el suelo o sobre otros receptores. Si añadimos estas
emisiones y pérdidas de masa a la ecuación (2.5), ésta se transforma en:

2 2 2
2 2 2
0
f f f f f f f
u v w Q D
t x y z x y z
α β γ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + − =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(2.6)

Por último, para concluir con el balance de masas representativo de los
procesos físicos y químicos que se producen en la atmósfera, es necesario
considerar las reacciones químicas que pueden tener lugar, bien entre el
contaminante que estamos considerando y otras especies químicas presentes,
o reacciones de fotolisis en presencia de luz solar. Si incluimos el término
relativo a las reacciones químicas, R, la expresión (2.6) se convierte en:

2 2 2
2 2 2
0
f f f f f f f
u v w Q D R
t x y z x y z
α β γ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + − + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(2.6)

Esta ecuación es la ecuación de dispersión de un contaminante en la
atmósfera, para un fluido incompresible y en régimen turbulento. Lo que esta
ecuación nos dice es que la variación de la concentración de un contaminante,
f , asociada a un flujo turbulento, por unidad de masa y de tiempo, se debe
fundamentalmente a cinco efectos:

1) Advección f f fu v w
x y z
 ∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂ 
, es decir, el transporte de los
contaminantes por la acción del viento.

2) Difusión ,
2 2 2
2 2 2
f f f
x y z
α β γ ∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂ 
que representa las variaciones que,
como consecuencia del estado turbulento del fluido, pueden producirse en el
volumen de control

3) La emisión del contaminante , ( )Q , debida a la presencia de fuentes en el
volumen. Un ejemplo es la emisión desde chimeneas.

4) La eliminación del contaminante , ( )D , producida especialmente por
procesos de depósito sobre la superficie terrestre.

II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

23/284

5) La transformación química , ( )R , del contaminante, que puede conducir a
la eliminación del contaminante si éste reacciona con otros compuestos en la
atmósfera, o a su producción, si otros compuestos reaccionan entre sí para
formar el contaminante considerado.

La Figura 2.3 muestra un esquema simplificado del conjunto de procesos que
pueden tener lugar, de forma simultánea, en la atmósfera.

Fig. 2.3 . Esquema de los procesos que intervienen en la
distribución de la concentración de los contaminantes
atmosféricos.

II.3.1. Descripción de los procesos de dispersión

A continuación se expone brevemente la relación que tiene cada uno de los
términos que aparece en la ecuación de dispersión de contaminantes en la
atmósfera (2.6) con la concentración final de los contaminantes y qué factores
son necesarios conocer para su resolución.

• Término de advección.

Este término, como ya se ha indicado, está relacionado con la llegada de
contaminante al volumen de estudio procedente del exterior y que entra
transportado por el viento. Del mismo modo se produce una pérdida de
material, que sale del volumen de estudio arrastrado también por el viento. Una
mayor intensidad de viento desplazará los contaminantes con mayor velocidad
y favorecerá el transporte. Para resolver este término de la ecuación es
necesario conocer el campo de velocidades del flujo atmosférico (viento). Este
es el motivo de la importancia de los modelos meteorológicos, bien de tipo
diagnóstico o de pronóstico, ya que permiten generar los camposde vientos
II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

24/284

necesarios para la resolución de la ecuación de dispersión. Para un resumen
de los modelos meteorológicos ver Apéndice I.

• Término difusivo.

Existen diversas parametrizaciones para la estimación de estos términos. Una
aproximación muy frecuente utilizada en los modelos eulerianos es la teoría K o
del gradiente. En general, este término está relacionado con los procesos
turbulentos que producen movimientos verticales en la atmósfera y por tanto
originan una mezcla vertical de contaminantes. Estos procesos tendrán mayor
o menor importancia en función de ciertos factores meteorológicos, como son
la estabilidad atmosférica (si la atmósfera es estable los movimientos
verticales estarán más impedidos) o la altura de capa de mezcla , que indica el
espesor de la atmósfera en el cual se producen los procesos de mezcla (si la
altura de capa de mezcla es alta, los procesos de mezcla vertical se
extenderán a una mayor altura, es decir, los contaminantes se dispersarán más
verticalmente y por tanto en zonas próximas a la superficie su concentración
será menor).

• Término relativo a las reacciones químicas .

Este término incluye las transformaciones químicas que sufren los distintos
compuestos en el interior del volumen. Pueden conducir a un aumento de la
masa de contaminante en el sistema, si otros contaminantes reaccionan entre
sí causando la formación del contaminante que nos interesa o puede
producirse su desaparición, si dicho contaminante es el que reacciona con
otros para producir nuevas especies. Se consideran también las reacciones de
origen fotoquímico, es decir, producidas por la presencia de radiación
ultravioleta. Muchos modelos no incorporan este término y, por tanto, su
aplicabilidad se reduce al estudio de contaminantes inertes, o, lo que es lo
mismo, al estudio de contaminantes que no sufren reacciones químicas en la
atmósfera. Sin embargo, para los contaminantes reactivos (NOx, O3) es
imprescindible la inclusión de este término. A los modelos que contienen la
descripción de las reacciones químicas atmosféricas se les conoce como
modelos fotoquímicos.

El grado de sofisticación de los diferentes esquemas fotoquímicos varía de
acuerdo a los modelos y los problemas en estudio.

II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

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• Término relativo a las emisiones

Otro término de la ecuación de continuidad es el correspondiente a las
emisiones de sustancias a la atmósfera. Las emisiones pueden producirse bien
por fuentes naturales o por fuentes antropogénicas. Otro criterio de
clasificación permite distinguir entre fuentes primarias y fuentes secundarias.
Las primeras son las emisiones directas de contaminantes, por ejemplo
emisiones de SO2 por una chimenea. Las segundas se refieren a emisiones
que ocurren por transformación química de los compuestos emitidos, por
ejemplo la formación de sulfatos a partir de la oxidación de dióxido de azufre.

• Procesos de depósito o deposición.

Además de las reacciones químicas, existen otros procesos por los cuales se
eliminan contaminantes de la atmósfera. Son los procesos de depósito, y se
producen a través de dos mecanismos diferentes:

� Depósito seco (deposición seca) , o captura de gases o partículas
directamente por la vegetación u otras superficies, mediante impacto,
sedimentación o difusión
� Depósito húmedo (deposición húmeda) o absorción de la
contaminación por hidrometeoros y posterior precipitación hacia el suelo.

Tanto el depósito seco como el húmedo limitan el tiempo de permanencia en el
aire de los contaminantes, controlan la distancia a la que pueden ser
transportados y, en definitiva, determinan sus concentraciones finales.

En esta Tesis nos interesa la modelización del transporte, difusión y reacciones
químicas de los contaminantes, por lo que no trataremos los procesos de
depósito o deposición.

II.4 Resolución numérica del módulo de advección

En esta Tesis se propone en primer lugar realizar una modelización del
transporte mediante un método racional (empleando una función interpoladora
racional) que sea a la vez conservativa, es decir, que conserve la masa o
volumen del fluido durante el transporte.

II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

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II.4.1 Resolución de la ecuación de transporte adve ctivo en 1- D

II.4.1.1 Discretización del dominio – mallado unifo rme.

Se muestra en la figura 2.4 un esquema de mallado que representa los nodos
en el eje de tiempo t y de espacio x, las separaciones de los nodos en el eje x
son de valor fijo ∆x (definido para cada simulación, es un dato de entrada) y su
nomenclatura es con subíndices numerados a partir del nodo 1. Lo mismo pasa
para el eje t, las separaciones se notan con superíndices numerados a partir
del instante inicial (0, 1....n) y se define su duración para cada simulación. Se
define igualmente el número total de pasos de tiempo en cada simulación.

Fig. 2.4. Discretización del dominio. Mallado uniforme

Datos de entrada:
∆x = separación de los nodos en el eje x.
∆t = duración de cada paso de tiempo
Nx = número de incrementos de x
Nt = número total de pasos de tiempo.

n
i-1 i+1 i
x
t
∆x
n+1
II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

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II.4.1.2 Método racional conservativo o método CSLR 0

El método racional conservativo (CSLR0) (Gavete et al., 2012), (Molina et al.,
2011a), (Molina et al., 2011b), aproxima el flujo dentro de cada celda por
funciones de interpolación racionales. Tanto el valor de la integral de la celda
como los valores en las dos fronteras de celda se emplean para la construcción
de la función de interpolación. El valor de la integral de la celda se obtiene
calculando el valor de flujo de entrada y salida.
Los esquemas conservativos tienen reducidos errores de dispersión y difusión.
Las interpolaciones racionales suprimen las oscilaciones producidas por las
funciones interpoladoras polinomiales y se puede obtener un perfil continuo con
mayor suavidad en todo el dominio computacional. Sin ninguna manipulación
explícita del flujo, como el limitador de pendiente, los esquemas son
computacionalmente más eficientes que los del Piecewise Parabolic Method
(PPM) (Colella & Woodward, 1984).
El esquema PPM construye la interpolación utilizando solamente los valores
medios de celda, y requiere manipulaciones extra para suprimir la oscilación
numérica. El perfil de reconstrucción es, por tanto, a trozos (ver figura 2.5).

Fig. 2.5 : perfil PPM

En el esquema CSLR0, la función de interpolación se construye usando la
integral en la celda y únicamente determinando los valores de límite de celda
1+if , los cuales se calculan mediante una aproximación semi-lagrangiana. Se
obtiene así un perfil de reconstrucción bien conectado (ver figura 2.6). El
esquema CSLR0 proporciona valores no solo en los nodos sino también entre
ellos y es más efectivo para el caso en que requiera resolución dentro de una
malla de tamaño variable.

fi-1
fi
fi+1
II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

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Fig. 2.6: Perfil CSLR0

El esquema CSLR0 es un esquema conservativo pero en él la interpolación a
trozos se realiza utilizando una función racional (cociente de polinomios).
Se considera la ecuación de advección:( )
0
∂ ∂+ =
∂ ∂
f fu
t x
(2.7)

Para el programa numérico se tomará la velocidad u como un valor constante,
por lo que u sale de la parcial de x por no depender de esa variable. En
adelante se distinguirá el caso u < 0 del u > 0.
Un esquema numérico se puede construir utilizando directamente una forma de
flujo, como:
( )( ) 1ρ∂ −+=
∂ ∆
fu fu ii i
t x
i
(2.8)
donde iii xxx −=∆ +1 .

Aquí iρ denota el promedio de la integración de celda de la cantidad
transportada, mientras que ( ) 1+ifu y ( )ifu son los flujos que atraviesan los
límites de celda. La formulación numérica resultante es en general
automáticamente conservativa.
fi-1
fi
fi+1
II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

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Dados los valores de la integral ponderada en cada celda nip y los valores de la
función en la interfase de cada nif y
n
if 1+ , se puede construir una función de
interpolación con tres grados de libertad en el interior de la celda ( )1, +ii xx .
Asignaremos a la función f un subíndice para indicar la posición en el espacio
(eje x) y un superíndice para indicar el instante de tiempo (eje temporal, t ): nif
. El esquema de mallado es el mismo que el que viene representado en la
figura 2.4.

II.4.1.2.1 Desarrollo del método

Interpolación

El método utiliza un esquema de interpolación integral en el que se emplean los
valores de f(x,t) en los puntos x1, x2, (f(x1, t) y f(x2, t)) y la integral de la
función en ese intervalo ( )f x dx∫ como se observa en la figura 3.4.
Según (Feng Xiao & Yabe, 2001), (F. Xiao, 2002)(F. Xiao) (Feng Xiao & Peng,
2004), una función racional es capaz de producir resultados menos oscilatorios
comparada con las funciones de interpolación en su forma polinómica. A
continuación se van a obtener los valores de la función correspondientes a
puntos intermedios a los del mallado utilizando una función racional.
Partiendo de la figura 2.7, la función interpoladora entre los puntos x1 y x2 será:

Fig.2.7 : Interpolación CSLR0

f(x, (Feng f(x1,t)=F(x1)
x1 x2
F(x)
2
1
1
1
( ) ρ=
∆
∫
x
x
F x dx
x
II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

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La función racional interpoladora es (para el intervalo ∆x1 = x2 – x1):
( )
( )
2
1 1
2
1
2 ( ) ( )
1
F
a b x x b x x
x
x x
β
β  
+ − + −=
+ −
(2.9)
Usando las condiciones de contorno:
1 1( )
nF x f= (2.10)
2 2( )
nF x f= (2.11)
2
1
1
1
( )
1 ρ=
∆ ∫
x
n
x
F x dx
x
(2.12)
La función racional interpoladora (2.9) se puede determinar de forma única
siendo sus coeficientes (este es el esquema general de cálculo que se
particulariza posteriormente para los casos u > 0 y u < 0):

Coeficiente 1: 1
na f= (2.13)
Coeficiente 2: 2b , donde 1 1 1
1
1
( )ρβ ρ= + −
∆
n n nb f
x
(2.14)
Coeficiente 3: bβ , donde 1 1 11
1 2
( )
1
( )
ρβ
ρ
−  
 
 
−= ∆ −
−
n n
n n
f
x
f
(2.15)

Es importante resaltar que puede aparecer una singularidad al aproximar
1 2( )ρ −n nf a cero. Este es el caso en el que un pico o depresión de la onda es
transportado. Para evitar esta situación se introduce un modificador de β en:

11
2
1
ρ
ρ
ε
β
ε
−
 −
 +
−  
+
= ∆
+
n n
n n
f
f
x (2.16)

donde ε es una cantidad muy pequeña y positiva que evita que aparezca la
indeterminación al hacer 1 2 0ρ − =
n nf en el denominador. ε puede ser tan
II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

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pequeño como el límite aceptado por el ordenador y no hay necesidad de
modificarlo para las diferentes aplicaciones.

Caso u >0
La onda en este caso se desplaza en el sentido positivo del eje x. Utilizando el
polinomio interpolador para aproximar la solución de la ecuación de advección
( ) ( , )= − ∆ = − ∆i iF x x u t f x u t t , en este caso la interpolación se realiza entre los
puntos i-1 e i .
1 ix x=
2 1ix x −= para u >0
1i i ix x x−∆ = −
( ) ( )
( )
2
2
2 ( )
1
i i i ii
i i
F
a b x x b x x
x
x x
β
β  
+ − + −
=
+ −
(2.17)
1
( )
1ρ
−
=
∆ ∫
i
i
x
n
i
xi
F x dx
x
(2.18)
Los coeficientes de ( )F x pueden se obtienen como:

Coeficiente 1: nia f= (2.19)
Coeficiente 2: 2 ib donde
1
( )ρβ ρ= + −
∆
n n n
i i i i i
i
b f
x
(2.20)
Coeficiente 3: i ibβ donde
1
1
1
ρ
ρ
ε
β
ε
−
−
 −
 −
−  
+
= −∆
+
n n
i i
i i n n
i i
f
f
x (2.21)

Después de que todos los intervalos de la función de interpolación ( )F x hayan
sido determinados, la solución numérica de f en el paso de tiempo t t+ ∆ es:
( )2
2
1
t t i i i
i
i
a b b
f
ξ β ξξ β ξξ β ξξ β ξ
β ξβ ξβ ξβ ξ
+∆ + +=
+
(2.22)
II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

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siendo 1 ix x x x U tξ = − = − = − ∆ (esto es igual para u <0 y u >0.
El valor de la integral ponderada de cada celda ρ i se calcula en el instante
siguiente por la formulación de flujo:

1
1( ) /ρ ρ+ −= − − ∆n ni i i i ig g x (2.23)

Finalmente hay que interpolar en el siguiente paso de tiempo para determinar
el valor en la interfase como una función de la media en la celda

(2.24)

El valor medio de la pendiente en la celda, ifδ para la función racional se
calcula como

1 1 1 1min( ,3 ,3 )sgn( ), si ( )( ) 0
0, resto de casos
+ − + − − − − − >= 

i i i i i i i i i i
i
f f
f
δ ρ ρ ρ ρ δ ρ ρ ρ ρ
δ (2.25)

siendo 1 1( ) / 2i i ifδ ρ ρ+ −= −
donde 1ig − representa el flujo de f en el paso 1ix x −= . Como puede verse en la
figura 2.8, el área que constituye 1ρ +ni es la resultante de sumar el área
correspondiente al flujo 1ig − (indicada por la parcela “sumar” en la figura) y
restar el área correspondiente al flujo ig (correspondiente a la parcela “restar”).

1 1 1
2
1 1
( ) ( )
2 6i i i ii
f f fρ ρ δ δ+ −+ = + − −
II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

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Fig.2.8. Esquema 1ρ +ni , U>0
Utilizando (2.12) para realizar la integración se obtiene:
(2.26)

Caso u < 0
En el caso u < 0 el polinomio calcula ( ) ( , ) +∆= − ∆ = − ∆ = t ti i iF x x u t f x u t t f
interpolando entre los puntos i e i+1 (ver figura 2.13).
1 ix x=
2 1ix x += para u <0
1i i ix x x+∆ = −
( ) ( )
( )
2
2
2 ( )
1
i i i ii
i i
F
a b x x b x x
x
x x
β
β  
+ − + −
=
+ −

1
( )
1ρ
+
=
∆ ∫
i
i
x
n
i
xi
F x dx
x
(2.27)

xi-1 D D xi
x
suma resta
ρ ni
t t
if
+∆
2
1
t t i i
i
i
a b
g
ξ ξ
β ξ
+∆ +=
+

II Modelización