- UNIDAD 14

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Tranquilate! Junto a la Física 
 UNIDAD 14: Hidrodinámica 
 
 Flujo de los Fluidos: 
 
 Una manera de describir el movimiento de un fluido consiste en dividirlo en elementos de volumen 
infinitesimal, llamadas partículas fluidas, y seguir el movimiento de cada partícula. Si conocemos a las 
fuerzas que actúan sobre cada partícula del fluido, podemos entonces resolver para las coordenadas y 
velocidades de cada partícula en función del tiempo. 
 
 Otro método es especificar la densidad y la velocidad del fluido en cada punto en el espacio y en cada 
instante de tiempo. Este es el método que usaremos. Describiremos al movimiento del fluido especificando la 
densidad ( , , , )x y z t y la velocidad ( , , , )v x y z t en el punto ( , , )x y z en el tiempo t. 
 
 Consideremos algunas características generales del flujo de fluidos. 
 
1. El flujo de los fluidos puede ser estacionario o no estacionario. Describamos al flujo en términos de los 
valores de las variables tales como la presión, la densidad, y la velocidad de flujo en cada punto del 
fluido. Si estas variables son constantes en el tiempo, se dice que el fluido es estacionario. Los valores 
de estas variables cambian por lo general de un punto a otro, pero no cambian con el tiempo en cualquier 
punto en particular. A menudo puede conseguirse esta condición a velocidades de flujo bajas. En el flujo 
no estacionario, como en una ola grande, las velocidades son funciones del tiempo. En el caso del flujo 
turbulento, tal como en los rápidos de un río, las velocidades varían erráticamente de un punto a otro así 
como de tiempo a tiempo. 
 
2. El flujo de un fluido puede ser compresible o incompresible. Si la densidad de un fluido es constante, 
su flujo se llama incompresible. Puede considerarse usualmente que los líquidos fluyen 
incompresiblemente. Pero aun en un gas altamente compresible la variación de la densidad puede ser 
insignificante, y por objetos prácticos podemos considerar que el flujo es incompresible. 
 
3. El flujo de los fluidos puede ser viscoso o no viscoso. En el movimiento de los fluidos la viscosidad es 
el análogo de la fricción en el movimiento de los sólidos. Cuando un fluido fluye de modo que no disipe 
energía por medio de fuerzas viscosas, se dice que el fluido es no viscoso. 
 
4. El flujo de los fluidos puede ser rotatorio o no rotatorio. Si un elemento del fluido en movimiento no 
gira en torno a un eje que pasa por el centro de masa del elemento, se dice que 
el flujo es no rotatorio. Podemos imaginar a una pequeña rueda de paletas 
sumergida en el flujo en movimiento (figura 1). Si la rueda se mueve sin girar, 
el movimiento es no rotatorio; de otro modo será rotatorio. Nótese que un 
elemento en particular del fluido puede moverse en una trayectoria circular y 
experimentar también un flujo no rotatorio. El remolino que se forma cuando 
el agua fluye por el drenaje de la bañera es un ejemplo de esta clase de fluido 
no rotatorio. 
 
Trayectoria de una Corriente y Ecuación de Continuidad: 
 
 En el flujo estacionario la velocidad v en un punto dado es constante en el tiempo. Consideremos al punto 
P (figura 2) dentro de un fluido. Puesto que v en P no cambia con el tiempo en el flujo estacionario, cada 
partícula del fluido que llega a P pasará con la misma velocidad y en la misma dirección. El movimiento de 
cada partícula que pase por P sigue entonces la misma trayectoria, 
llamada línea de corriente. 
 
 La magnitud del vector velocidad de la partícula de fluido cambiará, 
en general, al moverse a lo largo de la línea de corriente. La dirección del vector de la velocidad en cualquier 
punto a lo largo de la línea de corriente es siempre tangente a ella. 
 
 Suponiendo un flujo estacionario, elegimos un número finito de líneas de 
corriente para formar un haz, como el patrón de líneas de corriente de la figura 
(3). Esta región tubular se llama tubo de flujo. La frontera de este tubo 
 
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 consiste en líneas de corriente a las cuales la velocidad de las partículas fluidas se siempre tangente. Así 
pues, ningún fluido puede cruzar la frontera de un tubo de flujo, y el tubo se comporta un tanto como una 
tubería de la misma forma. El fluido que entra por un extremo debe salir por el otro. 
 
 Consideremos en detalle el flujo de un fluido por un tubo de flujo como el de la figura (4). El fluido entra 
por P donde el área de la sección transversal es 1A y sale en Q donde el área es 2A . Sea 1v la velocidad de 
las partículas del fluido en P y 2v la de las partículas en Q. En el 
intervalo de tiempo t un elemento de flujo recorre aproximadamente 
la distancia v t . Entonces el fluido que cruce 1A en el intervalo de 
tiempo t tiene un volumen de 1 1Av t aproximadamente. Si su 
densidad en esa ubicación es 1 , entonces la masa de fluido 1m que 
cruza por 1A es, de alrededor de: 
 
 
 El flujo de masa, definido como la masa de fluido por unidad de tiempo que pasa por cualquier sección 
transversal, es entonces 1 1 1 1m t Av   en P, aproximadamente. Si consideramos que 0t  , 
obtenemos el resultado preciso: 
 
 
 Y según un análisis similar: 
 
 
 Hemos supuesto que el fluido entra en el tubo únicamente en P y sale únicamente en Q. Al ser un flujo 
estacionario, la densidad del fluido entre P y Q no cambia con el tiempo. Entonces el flujo de masa en P 
debe ser igual al flujo de masa en Q: 
 
 
 En términos más generales: 
 
 
 Este resultado expresa la ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos. 
 
 Si el fluido es incompresible, como lo supondremos de ahora en adelante, entonces 1 2  , y la ecuación 
(1) adquiere la forma más sencilla: 
 
 
 Al definir Av como la razón de flujo volumétrico (o más conocido como caudal): 
 
 
 La constancia del caudal a lo largo de un tubo de flujo ofrece una 
interpretación grafica importante de las líneas de corriente, como se ve 
en la figura (5). En una parte angosta del tubo, las líneas de corriente 
deben de estar más apretadas que en una parte ancha. De aquí que, 
cuando la distancia entre las líneas de corriente disminuya, la rapidez 
del fluido debe aumentar. 
 
 Ecuación de Bernoulli: 
 
 La ecuación de Bernoulli, que es una relación fundamental en la mecánica de los fluidos, es derivable de 
las leyes básicas de la mecánica newtoniana. 
 
 Consideremos el flujo estacionario, incompresible, no viscoso no rotatorio de un fluido a lo largo de la 
tubería o tubo de flujo de la figura (6). La porción de tubería que se muestra en la figura tiene una sección 
transversal 1A uniforme a la izquierda. Allí es horizontal con una elevación 1y sobre cierto nivel de 
1 1 1 1m Av t  
1 1 1 flujo de masa en P Av
2 2 2 flujo de masa en Q A v
1 1 1 2 2 2 (1)Av A v 
 (2)Av ctte 
1 1 2 2 (3)Av A v
 (4)Caudal Av ctte 
 
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 referencia. Gradualmente se ensancha y se eleva, 
y a la derecha tiene una sección transversal 2A 
uniforme. Allí es horizontal en una elevación 2y . 
En todos los puntos de la parte angosta de la 
tubería a presión es 1p y la velocidad es 1v ; en 
todos los puntos de la porción ancha la presión es 
2p y la velocidad 2v . 
 
 El teorema de trabajo-energía establece: el 
trabajo efectuado por la fuerza resultante que 
actúa sobre un sistema es igual al cambio en la 
energía cinética del sistema. En la figura (6) las 
fuerzas que efectúan un trabajo sobre el sistema 
(despreciando la viscosidad) son las fuerzas de 
presión 1 1p A y 2 2p A , y la fuerza de la gravedad. 
 
 Podemos hallar el trabajo W efectuado sobre el sistema por la fuerza resultante como sigue: 
 
1. El trabajo efectuado sobre el sistema por la fuerza de presión 1 1p A es 1 1 1p A l . 
2. El trabajo efectuado sobre el sistema por la fuerza de presión 2 2p A es 2 2 2p A l  . 
3. El trabajo efectuadosobre el sistema por la gravedad está asociado con la elevación del elemento de 
fluido en sombreado intenso desde la altura 1y hasta la altura 2y , y es 2 1 ( )m g y y  donde m es la 
masa de fluido en cualquiera de las áreas con sombreado intenso. 
 
 El trabajo neto W efectuado sobre el sistema por todas las fuerzas es: 
 
 
 El cambio en la energía cinética del elemento de fluido es: 
 
 
 Partiendo del teorema de trabajo-energía CW E  , y entonces tenemos: 
 
 
 Lo que, después de cancelar al factor común de m , puede reacomodarse para leerse como sigue: 
 
 
 De donde podemos concluir que: 
 
 
 La ecuación (8) recibe el nombre de ecuación de Bernoulli para el flujo estacionario, incompresible, no 
viscoso y no rotatorio. 
 
 Si el fluido está en reposo, entonces 1 2 0v v  y la ecuación (7) se convierte en: 
 
 
 Reacomodando términos, obtenemos: 
 
 
 Que es la misma ecuación del teorema fundamental de la hidrostática. De la ecuación (7) se deduce otro 
resultado básico cuando 1 2y y . Entonces: 
 
 
1 2 2 1( )( ) ( ) (5)W p p m m g y y    
1 12 2
2 12 2
 CE m v m v    
1 12 2
1 2 2 1 2 12 2
( )( ) ( ) (6)p p m m g y y m v m v       
1 12 2
1 1 1 2 2 22 2
 (7)p v gy p v gy       
1 2
2
 (8)p v gy ctte   
1 1 2 2p gy p gy   
1 2 2 1( )p p g y y   
1 12 2
1 1 2 22 2
 (9)p v p v   
 
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 Cuando la velocidad es grande, la presión debe ser pequeña, y a la inversa. En la ecuación (8) todos los 
términos tienen la dimensión de una presión. La presión p gy , la cual estaría presente aun cuando no 
hubiese flujo ( 0v  ), se llama presión estática; el termino 
1 2
2
v se denomina presión dinámica. 
 
 Teorema de Torricelli: 
 
 Es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un fluido contenido en un recipiente, a 
través de un pequeño orificio, bajo la acción de la fuerza de gravedad 
(figura 7). Consideremos al flujo del fluido estacionario, incompresible, no 
viscoso y no rotatorio, contenido en un recipiente de sección 2A , que se 
vacía lentamente a una velocidad 2v , que fluye a través de un orificio 
pequeño de sección 1A , y sale con una velocidad de 1v . Consideremos que 
las partículas fluidas en la sección grande, están ubicadas a un nivel 2y , y 
las partículas fluidas en el orificio están ubicadas a un nivel 1y , respeto de 
la base del recipiente que consideraremos como nivel de referencia. 
 
 Podemos considerar que 2 1A A , reemplazando este valor en la ecuación (3), también podemos afirmar 
que 2 1v v ; es decir que podemos considerar a 2 0v  . 
 
 Analizando las presiones, vemos que sobre la sección 2A se ejerce una presión 2p , mientras que en el 
orificio de sección 1A se ejerce (o debe vencer) una presión 1p . Analizando la situación, sobre la primer 
sección se ejerce una presión atmosférica p, y sobre la sección del orificio se ejerce una presión atmosférica 
0p . Si bien la presión atmosférica varia con la altura, por lo general las alturas que manejamos en problemas 
cotidianos nos permiten comparar estas presiones atmosféricas exactamente iguales, es decir que 0p p , y 
por lo tanto 1 2p p . 
 
 Teniendo en cuenta la ecuación de Bernoulli, y considerando las circunstancias explicadas anteriormente, 
podemos reducirla a: 
 
 
 
 
 Eliminando el factor común  , y reacomodando términos obtenemos: 
 
 
 Si expresamos la diferencia de niveles de las partículas fluidas 2 1y y h  , podemos expresar esta última 
ecuación como: 
 
 
 Esta ecuación representa el teorema de Torricelli: “La velocidad de un líquido en un recipiente abierto, 
por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del 
líquido hasta el centro de gravedad del orificio” 
 
 Aplicaciones de las Ecuaciones de Bernoulli y de Continuidad: 
 
 En esta sección consideraremos un número de aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, que ilustran su uso 
y demuestran la amplitud de su aplicabilidad. 
 
1 12 2
1 1 1 2 2 22 2
1 2
1 1 22
 (10)
p v gy p v gy
v gy gy
   
  
    
 
1 2 12 ( )v g y y 
1 2 (11)v gh
 
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 Medidor o Tubo de Venturi: Este aparato (figura 8) es un 
medidor de la velocidad del flujo de un fluido en una tubería. Un 
fluido de densidad  fluye por una tubería de área de su sección 
transversal A. El área se reduce a a en el cuello, y allí se acopla 
un tubo manométrico, como se muestra. Hagamos que el liquido 
del manómetro, digamos mercurio, tenga una densidad ' . Al 
aplicar la ecuación de Bernoulli y la igualdad del caudal en los 
puntos 1 y 2, puede demostrarse que la velocidad del flujo en el 
punto 1 es: 
 
 
 
 
 
 Tubo de Pitot: Este aparato (figura 9) se usa para medir la velocidad del flujo de un gas. 
Consideremos que el gas (por ejemplo, aire) fluye con una densidad  y una velocidad av paralelas a los 
planos de las aberturas en a. La presión en el brazo izquierdo del manómetro, que está conectado a estas 
aberturas, es entonces la presión estática en la línea de gas 0p . La abertura del brazo derecho del manómetro 
está en ángulo recto con la corriente. La velocidad se reduce a cero en b, y el gas está estancado en ese punto. 
Al aplicar la ecuación de Bernoulli a los puntos a y b, obtenemos: 
 
 
 Sustituyendo la lectura ' gh del manómetro por la diferencia de presión b ap p , podemos resolver para 
av y obtener: 
 
 
 
 Este aparato puede calibrarse para que dé una lectura de av directamente. El indicador de la velocidad de 
aire que se encuentra en las puntas de las alas de un aeroplano se en este principio. 
 
Régimen Laminar y Turbulento: 
 
 La experiencia nos comprueba la existencia de una fuerza de 
resistencia que se opone al movimiento de los cuerpos en el 
seno de los fluidos. Para estudiar esta fuerza de resistencia es 
independiente considerar el movimiento del cuerpo estando el 
fluido en reposo que el caso inverso, ya que las velocidades 
que intervienen en este fenómeno son las relativas entre el 
cuerpo y el fluido. El estudio de los fenómenos originados en 
el movimiento de cuerpos en fluidos es complicado y en la 
práctica se recurre a los ensayos efectuados en túneles 
aerodinámicos y canales hidrodinámicos. En los túneles 
aerodinámicos las maquetas de los aviones están quietas y es 
el aire el que se lanza contra ellas con una velocidad contraria a la que debería llevar el avión; por lo 
contrario, en los canales hidrodinámicos el agua esta quieta y son las maquinas de los barcos y los 
submarinos los que se mueven. 
 
 Ya sea el cuerpo o el fluido es que se mueva, el régimen de este ultimo puede ser laminar o turbulento, 
según sean las fuerzas de resistencia, deformándose las líneas de corriente. 
 
 La resistencia al movimiento en un fluido con movimiento laminar es directamente proporcional a la 
velocidad y al coeficiente de viscosidad (tema que veremos más adelante) del medio. Para cuerpos de figura 
semejante e igual orientados, la resistencia es directamente proporcional a sus dimensiones lineales. 
 
 
2 2
2( ' )
 (12)
( )
gh
v a
A a
 




1 2
2a a b
p v p 
2 '
 (13)a
gh
v



 (14)R Cv l
 
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 La resistencia al movimiento en un fluido con movimiento turbulento, es proporcional al cuadrado de la 
velocidad; es, prácticamente, independiente de la viscosidad del medio y proporcional a la densidad de éste. 
Para cuerpos de figura semejante e igualmente orientados, la resistencia es directamente proporcional a las 
secciones normales a la dirección del movimiento. 
 
 
 
 
 Donde K es el coeficiente de forma del cuerpo. 
 
 Viscosidad: 
 
 La viscosidad en el flujo de los fluidos es similar a la fricción en el movimientode los cuerpos sólidos. En 
el caso del movimiento de los fluidos podemos considerar a un fluido 
entre dos placas paralelas (figura 9). Una fuerza F está aplicada a la 
capa superior, de modo que esté en movimiento a velocidad constante 
v respecto a la placa inferior, la cual suponemos esta en reposo. La 
fuerza F se opone al arrastre viscoso de la placa superior para 
mantener constante su velocidad. 
 
 Podemos imaginar que el fluido está dividido en capas paralelas a las placas. La viscosidad actúa no 
solamente entre el fluido y la placa superior, sino entre cada capa de fluido y sobre las capas adyacentes. La 
velocidad de cada capa difiere en una cantidad dv de la velocidad de la que está bajo de ella. El flujo de 
fluido en el que la velocidad varía capa a capa se denomina flujo estacionario. En esta exposición, 
suponemos que la capa de fluido más alta tiene la misma velocidad v que la placa de arriba y que la capa de 
fluido del fondo tiene la misma velocidad que la placa del fondo (cero). 
 
 Podemos definir que el esfuerzo cortante sobre el fluido es F/A. Un fluido responde a este esfuerzo 
mediante el movimiento, o sea, mediante un cambio de velocidad dv a través de cada capa de espesor dy. La 
razón entre el esfuerzo y la deformación en el fluido se llama coeficiente de viscosidad  del fluido: 
 
 
 
 Según nuestra hipótesis de que la capa superior se mueve a velocidad v y que la capa del fondo lo hace a 
v = 0, el gradiente de velocidad dv/dy es simplemente v, donde D es el espaciamiento entre las dos placas. 
 
 
 
 La unidad SI de la viscosidad es el 
2/N s m . La unidad cegesimal equivalente es la 2/dina s cm , 
llamada poise. Al comparar estas unidades vemos que 
21 0.1 /poise N s m  . 
 
 Una aplicación práctica de la viscosidad tiene lugar en el flujo de 
fluidos en tuberías cilíndricas. El flujo es estacionario, pero en este 
caso las capas del fluido son cilindros de paredes delgadas de radios 
diversos. La velocidad del flujo varía con el radio; su valor máximo 
se da en el eje y su valor mínimo en las paredes. El flujo de la figura 
es rotatorio, aunque los elementos del fluido viajen en línea recta. Si colocamos una pequeña rueda de 
paletas en cualquier parte del flujo, excepto en el eje, se pondría a girar debido a la variación en la velocidad 
de las partículas fluidas que inciden en sus paletas. 
 
 En el caso de un tubo cilíndrico la variación de la velocidad con la posición a lo largo del tubo no es lineal. 
Suponiendo que la capa cercana a las paredes esta en reposo, puede demostrarse que la velocidad en el 
cuerpo cilíndrico de radio r es: 
 
 
 
 
 (16)
F A
dv dy
 
 (17)
F A FD
v D vA
  
2
0 2
1 (18)
r
v v
R
 
  
 
2 (15)
2
K
R v A
 
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 Donde 0v es la velocidad en el centro del tubo. En términos de la diferencia de presión p a lo largo de la 
longitud L del tubo, la velocidad central es: 
 
 
 
 Al considerar el flujo en cada cuerpo cilíndrico delgado, podemos demostrar que el flujo de masa total 
dm/dt es: 
 
 
 
 Este resultado se conoce como la ley de Poiseuille. 
 
 Sabiendo que dV dm  , y reacomodando la ecuación, obtenemos que: 
 
 
 
 Si representamos al caudal como dV/dt (caudal Q es la cantidad de fluido que avanza en una unidad de 
tiempo), podemos despejar de la ecuación (21) este valor, obteniendo: 
 
 
 
 
 La viscosidad en los líquidos se origina por las fuerzas de cohesión intermoleculares. Al aumentar la 
temperatura, el coeficiente de viscosidad de un líquido disminuye, porque la energía cinética creciente de las 
moléculas debilita el efecto de las fuerzas intermoleculares. Al contrario, en los gases la viscosidad aumenta 
con el aumento de la temperatura, porque las propias moléculas pueden desplazarse entre las capas. A 
temperaturas más elevadas, existe más movimiento molecular y por lo tanto más mezclado. Sin embargo, 
nótese que en un tubo existen siempre mas moléculas lentas cerca de las paredes que moléculas rápidas cerca 
del eje central, de modo que mayor mezcla significa siempre más moléculas lentas que se mueven hacia el 
eje e impiden el movimiento de las moléculas que se mueve más rápidamente. 
 
 Viscosímetro de Ostwald: 
 
 El viscosímetro de Ostwald sigue siendo el más utilizado a la hora de 
determinar la viscosidad de un líquido por comparación con la de otro que 
se toma como referencia, operando a temperatura constante (generalmente 
T=25°C, en un baño termostático). 
 
 En el viscosímetro de Ostwald se pone a través de la entrada del tubo 
más ancho una cantidad perfectamente medida de líquido, que es fija para 
cada viscosímetro. Succionando por el extremo opuesto se lleva el nivel 
del líquido hasta el enrase y, a continuación se mide el tiempo t que tarda en descender el menisco hasta el 
enrase inferior (nivel inferior). 
 
 Para el líquido que intentamos determinar su viscosidad, se puede escribir que: 
 
 
 
 Y para el líquido de referencia: 
 
 
 
 Dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones, obtenemos que: 
 
 
 
2 
 (19)
4
p R
v
L


4
 (20)
8
dm R p
dt L




2
1 1
1
8
r t p
LV

 
2
2 2
2
8
r t p
LV

 
4 
 (21)
8 
R p dt
L dV




4
 (22)
8
R p
Q
L




1 1 1
2 2 2
 (23)
t p
t p



 
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 Como la presión hidrostática ejercida por la columna de líquido viene dada por p gh . Ahora bien, 
como se hacen las dos medidas en el mismo viscosímetro, h es la misma en ambos casos y, en consecuencia, 
si se sustituyen en 1p y 2p , resulta que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Obteniendo así el coeficiente de viscosidad del líquido en función de otro líquido tomado como referencia. 
 
 Ley de Stokes: 
 
 La ley de Stokes es un caso particular de las leyes que rigen el 
movimiento de un cuerpo de un fluido cuando el régimen es 
laminar. 
 
 “La resistencia al movimiento de os cuerpos esféricos en un 
fluido viscoso, es directamente proporcional al radio del cuerpo, a su velocidad y al coeficiente de 
viscosidad del medio”. 
 
 La fórmula (14) aplicada a la esfera se transforma en: 
 
 
 La fuerza que hace caer un cuerpo esférico es su peso menos el empuje del fluido; si  y 0 son las 
densidades del cuerpo y del fluido respectivamente, tal fuerza es: 
 
 
 
 Esta fuerza provoca un movimiento de caída acelerado; al aumentar la velocidad aumenta la resistencia al 
movimiento dada por la formula (25) cuando ambas se igualan el cuerpo se mueve con velocidad constante, 
cuyo valor obtendremos igualando las expresiones (25) y (26): 
 
 
 
 
 
 
 Si el cuerpo esférico cae produciendo una estela de torbellinos (régimen turbulento) la formula (15) para 
esta situación, sabiendo que 
2A r , está dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1
1 2
2 2
 (24)
t gh
t gh
t
t
t
t
 
 
 
 

 




6 (25)R v r 
3
0
4
( ) (26)
3
F Mg E r g     
3
0
2
0
4
( ) 6
3
( )2
 (27)
9
r g v r
r g
v
    
 

 


2 2 (28)
2
K
R v r 