- UNIDAD 2

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Tranquilate! Junto a la Física 
 UNIDAD 2: Vectores 
 
Magnitudes escalares y vectoriales: 
 
 Las magnitudes escalares son aquellas que quedan completamente determinadas por un número que 
especifica su cuantía (módulo o magnitud) y un símbolo de la unidad. Operan según las reglas del cálculo 
algebraico. Ejemplo: volumen, masa, tiempo, etc. 
 
 Las magnitudes vectoriales son aquellas que, además del coeficiente numérico (módulo o magnitud) y del 
símbolo de la unidad, necesitan especificar su dirección y sentido. Estas cantidades se llaman vectores y 
operan de acuerdo al cálculo vectorial. Ejemplo: vector desplazamiento, 
vector velocidad, vector fuerza, etc. 
 
 El vector se representa gráficamente por un segmento orientado por 
una flecha y una longitud proporcional de su magnitud o módulo. 
 
 El vector desplazamiento mide el desplazamiento de un cuerpo 
especificando la distancia que se ha movido, la dirección y el sentido en 
el cual se mueve: 
 
Clasificación de vectores: 
 
 Vectores Libres: Son aquellos que cumplen la condición de igualdad y no 
necesariamente son coincidentes. Pueden ser trasladados paralelamente, sin variar. 
Ejemplo: Momento de rotación τ, impulso angular L. 
 
 La fuerza no es un vector libre, pues la acción de un cuerpo 
depende de su punto de aplicación. Las F1 y F2 si bien son iguales en 
módulo, dirección y sentido producen un momento de rotación 
distinto. 
 
 
 
 
 
 Vectores Deslizantes: Además de la condición de igualdad pueden 
actuar sobre la misma recta de acción, pero pueden tener distintos orígenes por 
ejemplo: el vector fuerza se puede aplicar en A o tirar con una cuerda en B. La 
fuerza es un vector deslizante. 
 
 
 Vectores Fijos o Aplicados: Son los que además de la propiedad de 
igualdad, tienen el mismo origen. Por ejemplo: el vector velocidad v , el vector desplazamiento D . 
 
 Vectores Opuestos: Son los que tienen igual módulo, igual dirección y sentido opuesto. (es el negativo 
de un vector A y A ). 
 
Vectores Unitarios o Versores: 
 
 Son vectores cuya magnitud es igual a 1 (uno). 
 
 Son adimensionales y se utilizan para señalar una dirección 
determinada. 
 
 
 
 
 
Tranquilate! Junto a la Física 
  Es conveniente emplear vectores unitarios en las direcciones 
de los ejes coordenados. 
 
 Supongamos dos vectores A y B en el plano x-y, ambos 
pueden escribirse en función de sus componentes y de los 
versores como sigue: 
 
 
 
 
 
Operaciones con Vectores: 
 
 Hay dos maneras de operar: gráficamente y analíticamente 
 
 Método Grafico: 
 
 Suma de Vectores: 
 
 
 
 
 
 
 
Arriba el Método del Polígono, y abajo el Método del Paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resta de Vectores: 
 
 Para restar un vector A de otro B se suma el opuesto de este último ( B ): 
 
que se puede considerar como 
 
 Cuando se suman o restan vectores debe cuidarse que sean de la misma 
naturaleza. 
 
 Método Analítico: 
 
 Componentes de un vector: “Todo vector puede ser considerado como resultante de dos vectores de 
direcciones arbitrarias concurrentes en un punto sobre su recta de acción”. 
 
 Es esta propiedad la que permite transformar la suma geométrica en algebraica, por lo tanto, para sumar o 
restar vectores se procede a encontrar las componentes ortogonales del vector dado, designadas con los 
índices x e y. 
 
 Los componentes son colineales en las direcciones x e y por lo que se puede operar algebraicamente con 
ellas y no son otra cosa que las proyecciones ortogonales de los vectores A y B sobre los ejes dados. 
ˆ ˆ( )
ˆ ˆ( )
x y
x y
A i A j A
B i B j B
   
   
D A B  ( )D A B  
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 
 
 
 
 Los vectores componentes del vector resultante son: 
 
 
 
 
 
 
 El módulo de C es: 
 
 
 Y su dirección es: 
 
Producto vectorial: 
 
 El producto vectorial de dos vectores A y B (simbólicamente: A B ), se define como el vector 
perpendicular al plano determinado por A y B en la dirección de avance de un tornillo de rosca derecha que 
ha sido rotado de A hacia B . Un tornillo de rosca derecha es aquel que, si colocamos nuestra mano 
derecha como se muestra en la figura con los dedos señalando en la dirección de la rotación, el tornillo 
avanza en la dirección del pulgar. La mayoría de los tornillos ordinarios son de rosca derecha. 
 
 La magnitud del producto vectorial A B está dada por A B A B sen    
 Otra regla sencilla útil para establecer la dirección de A B es la siguiente: Colocar el pulgar, 
índice y el dedo mayor de la mano derecha en la posición mostrada en la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 De la definición del producto vectorial, llegamos a la conclusión de que: 
 
 
 
 Ya que el sentido de rotación del tornillo se invierte cuando el orden de los vectores se cambia, de modo 
que el producto vectorial es anticonmutativo. 
 
 Producto Escalar: 
 
 Es posible definir otras operaciones con vectores además de la suma. Una de estas operaciones es el 
producto escalar; otra es el producto vectorial. Entonces dados los vectores: 
 
 
 
 
 Donde  es el ángulo que se forma entre los vectores A y B . 
cosxA A  
yA A sen 
cosxB B  
yB B sen 
cos cosx
y
C A B
C A sen B sen
 
 
   
   
2 2
x yC C C 
1 y
x
C
tg
C
 
( )A B B A   
ˆˆ ˆ( )
ˆˆ ˆ( )
x y z
x y z
A A i A j A k
B B i B j B k
  
  
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 El producto escalar de dos vectores A y B , representado por el símbolo A B , se define como la 
cantidad escalar obtenida hallando el producto de las magnitudes de A y B , con el coseno del ángulo entre 
los dos vectores. 
 
 
 Escribiendo ambos vectores en sus componentes rectangulares, obtenemos: 
 
 
 Aplicando propiedad distributiva, obtendremos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos A B A B   
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( )( )x y z x y zA B A i A j A k B i B j B k     
x x y y z zA B A B A B A B   