Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Lea materiales sin conexión, sin usar Internet. Además de muchas otras características!
Apremuni TRIGONOMETRIA
Carlos Eduardo
Compartir
Vista previa del material en texto
APREMUNI AMBO-2020
MUNICIPALIDAD PROVINCIAL DE AMBO
TRIGONOMETRÍA
296
CAPITULO I
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos
Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo de un
punto fijo llamado vértice (la rotación se realiza en un mismo
plano).Si la rotación se realiza en sentido antihorario, el ángulo
generado se considera positivo; en cambio, si la rotación se
realiza en sentido horario, al ángulo generado se la considera
negativo. El ángulo trigonométrico puede tomar cualquier valor.
NOTA:
1) Cuando un ángulo trigonométrico se la
invierte el sentido, su signo cambia.
2) Para sumar ángulos trigonométricos en un gráfico, estos
deben tener el mismo sentido.
ÁNGULOS COTERMINALES: Son aquellos ángulos en
posición normal que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado
final sin considerar sus correspondientes sentidos de rotación ni
su medida.
Sean y dos ángulos coterminales, entonces se cumple
que:
La diferencia de dos ángulos coterminales es un número
entero de vueltas de 360º.
360 ;n n Z
Tener en cuenta que “n” me representa el número de vueltas
que un determinado ángulo gira en torno al origen de un
sistema de coordenadas
Si dos ángulos y son coterminales sus razones
trigonométricas serán iguales.
. .RT RT
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
A. Sistema de medida sexagesimal:
1 360m V
Subunidades:
1°: grado sexagesimal
1': minuto sexagesimal
1": segundo sexagesimal
Dónde:
"' ' "1 60 1 60 1 3600
B. Sistema de medida centesimal
1 400gm V
Subunidades:
1g: grado centesimal
1m: minuto centesimal
1s: segundo centesimal
Dónde:
1 100 1 100 1 10000
sg gm m s
C. Sistema de medida radial o Circular
1 2m V rad
D. Relación numérica entre los tres sistemas
Siendo:
S: Número de grados sexagesimales del ángulo .
C: Número de grados centesimales del ángulo .
R: Número de radianes del ángulo
Luego se cumple las siguientes equivalencias:
180º = 200g = π rad
90º = 100g =
π
2
rad
45º = 50g =
π
4
rad
1g< 1º < rad
1rad = 57º 17´45´´
1m< 1´1g< 1º
:
27 50 81 250
p qm n
Además
m: número de minutos sexagesimales
p: número de segundos sexagesimales
n: número de minutos centesimales
q: número de segundos centesimales
CONVERSIÓN DE ALGUNAS UNIDADES
SISTEMA SEXAGESIMAL CENTESIM
AL
RADIAL
Medida del
ángulo
X
gY Zrad
# de
grados
S C R
# de
minutos
60S 100C
# de
segundos
3600s
10000C
a) Sistema Sexagesimal:
Para pasar de una unidad superior a una inferior se
multiplica por la equivalencia respectiva y para pasar de una
unidad inferior a una unidad superior se divide entre la
equivalencia respectiva.
b) Sistema Centesimal:
Es similar al anterior de una unidad mayor a menor se
multiplica y de una unidad menor a mayor se divide.
Grados Minutos Segundos
60 60
6060
3600
3600
x
y
AO Lado inicial
La
do
F
in
al
B
AO
B
Lado inicial
L
a
d
o
F
in
a
l
APREMUNI AMBO-2020
297
APREMUNI AMBO-2020
FORMULA DE CONVERSIÓN
Si: S, C y R representan la medida de un mismo ángulo en los
tres sistemas. Se cumplirá la relación:
180 200
180 200
S C R
k
S k C k R k
K: parámetro
SECTOR CIRCULAR
Es una porción de círculo limitado por dos radios y un arco
comprendido entre ellos.
Área del sector circular AOB:
Tener en cuenta que siempre debe estar en radianes para
utilizar dichas fórmula
ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR
2 2
1
A (R r )
2
a bA h2
a b
h
PROPIEDADES ADICIONALES
1. Del gráfico:
Se cumplirá la relación:
;
En radianes
2. Del gráfico:
Si el radio de un determinado sector circular se prolonga en
longitudes iguales, entonces las áreas de los trapecios
circulares formados seguirán incrementándose siguiendo la
siguiente serie:
A, 3A, 5A, 7A, 9A,…
ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR
Del gráfico:
ÁREA DEL SEGMENTO CIRCULAR
Del gráfico:
PRÁCTICA 1
1. En la figura, hallar x:
5x-20°
-4x-20°
0
A. 10° B. –20° C. 89°
D. 20° E. 77°
2. ¿Para qué valor de “B” se cumple la igualdad?
m
g
B
BB
B
''
'º
A. 16,6 B. 26,6 C. 36,6
D. 46,6 E. 56,6
3. Indicar la alternativa incorrecta:
A. 1rad > 56º B. 54’ = 100m
C. 1rad > 1g > 1º D. (1,75.º = 1º45’
E. /16 rad = 11º 15’
4. ¿Cuántos radianes se tiene en 100 segundos centesimales?
A. 510
2
B. 410
2
C. 310
2
D. 610
2
E. 810
2
5. ¿Qué error cometería un alumno en grados centesimales si
al convertir /9 radianes a grados sexagesimales emplea la
fórmula
RS
9
?
A.
9
910g
B.
9
911g
C.
9
190g
D.
7
180g
E.
17
180g
2 2
r L r L
Área
2 2 2
.
" "
1 1
2 2
A L
A L
y
Cor. Cir( A )
2 2
Cor. Cir. A (R r )
2
Cor. Cir. A b
Seg Cir.( A )
2
Seg. Cir.
r
A ( sen )
2
Grados Minutos Segundos
100
10000
100
100 100
10000
A
B
r
r
O
r
r
1A
2A
1L
2L
A
3A
5A
7A
R
r
2b
r
r
298
APREMUNI AMBO-2020
6. En el siguiente gráfico, calcular “L” en función de “a” y “b”,
AOB: sector circular
A
B
a
O
b
b
b
L
A. ab B. a + b C.
ab
ba
D.
ba
ab
E. 1
b
a
7. Una rueda tiene 6 centímetros de diámetro y gira a razón de
60 revoluciones por minuto. Obtener la distancia recorrida
durante un segundo por un punto en el borde de la rueda.
A. 2cm B. 4cm C. 6cm
D. 8cm E. 12cm
8. Del gráfico mostrado. Calcular el espacio recorrido por la
rueda. Si: BC = 0,85 m, desde “A” hasta “D”. (r = 2m)
B
C D
A
r
9m 9m
8m 8m
45º
70
g
A. 4m B. 5m C. 4,5m
D. 4,6m E. 5,7m
9. ¿Qué parte del perímetro del sector circular mayor,
representa el perímetro del trapecio circular sombreado?
A
O
B
A. ½ B. 2/3 C. 1/6
D. 1/3 E. 1/9
10. Si: "'º
32
CBArad
Calcular en grados sexagesimales rad)
C
A
(
A. 15º B. 30º C. 45º
D. 60º E. 75º
11. Hallar la medida del ángulo en radianes que verifica:
SC
SC
R
R
2
2
Siendo S, C y R los números convencionales
A. rad
9
2
B. rad
9
C. rad
9
20
D. rad
5
2
E. rad
5
12. Si: S, C y R son lo convencional, simplificar:
M =
2340
)40)(20(
R
RSCSRC
A. 10 B. 20 C. 30
D. 40 E. 50
13. Se tiene 3 ángulos y se sabe que la suma de los dos
primeros es 4 /5 rad la suma del segundo y tercero es 120º
y la suma del primero y tercero es 180g. Hallar los ángulos
en grados sexagesimales
A. 30º,60º,90º B. 69º,93º,30º
C. 93º,51º,69º D. 45º,51º,69º
E. 93º,68º,35º
14. La medida de un ángulo inscrito en un círculo es: 90 (x+1)º
y contiene a un arco cuya longitud es (2x+1) metros. Hallar
“x” , si el radio de la circunferencia mide 4/3 metros
A. 2 B. 3 C. 2/3 D. 3/2 E. ½
15. Una rueda de radio 2u está sobre una pista circular de radio
15u y describe sobre dicha pista un ángulo central de 24º.
¿Qué ángulo barre la rueda en ese recorrido?
A. 90º
B. 24º
C. 180º
D. 48º
E. 360º
16. Siendo S, C y R losnúmeros de grados sexagesimales,
centesimales y número de radianes de un mismo ángulo
respectivamente. Reducir la expresión:
M = S( - 200) + C(180 - ) + 20R
A. 0
B. 0,0016
C. 1
D. 0, 246
E. 2,1416
17. Sabiendo que S y R son los números de grados
sexagesimales y radianes de un ángulo, donde:
R
RS
179
181
222
Hallar: “R”
A. 5
B. 3
C. 4
D. 1
E. 2
18. Sabiendo que S y R son los números de grados
sexagesimales y radianes de un ángulo donde:
124
7
5
5
5
RSRS
Hallar: R
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
19. El número de grados sexagesimales de un cierto ángulo
y los 2/3 del número de grados centesimales de otro
ángulo están en la relación de 9 a 10. Hallar el valor de
la diferencia de ellos, sabiendo que son suplementarios:
A. 72°
B. 120°
C. 30°
D. 60°
E. 36°
299
APREMUNI AMBO-2020
20. La suma de dos ángulos está dada por la relación:
g
xxy 0)1(
0
Hallar la medida en el sistema sexagesimal de dichos
ángulos, si su diferencia es:
0
)5( yx
A. 18° y 20°
B. 32° y 5°
C. 31° y 5°
D. 33° y 15°
E. 27° y 30°
21. En la figura, si el perímetro de la región sombreada es
40m. Calcular la suma de las longitudes de las
semicircunferencias.
A. 40m
B. 40m
C. 20m
D. 20m
E. 10m
22. En la figura se observa dos circunferencias concéntricas.
Determine la relación que existe entre las áreas del
trapecio circular y del sector circular sombreados: Dato:
=
5
o
0rad
A. 2/3
B. 1/4
C. 3/4
D. 1/2
E. 1/3
23. En la figura si los radios de los sectores circulares están
en la relación de 2: 3. ¿En que relación se encuentran S2
y S1?
S2: área del trapecio circular
S1: área del sector circular menor
o
S
A
C
B D
1
S2
A. 21/9
B. 21/2
C. 5/2
D. 2/3
E. 5/4
24. En la figura, la región encerrada por el trapecio circular
mide (b4 – a4) 2. Hallar el número de radianes del ángulo
central del sector circular en términos de a y b:
o
b
a
u
u
A. 2(a2 + b2)
B. (a2 + b2)
C. 2(a + b)
D. a2 – b2
E. (a + b) / 2
25. El radio del sector circular COD mostrado es 4R, B es
punto medio de OD, tomando como diámetros las
longitudes de arcos AB y CD se construyeron dos
circunferencias concéntricas, hallar el área de la corona
circular que se forma:
o
A
C
B
D
1rad
A. 5R2
B. 4R2
C. 3R2
D. 2R2
E. R2
26. Dos ángulos centrales d e una circunferencia son
complementario y las longitudes de los arcos que
subtienden suman 11cm luego la longitud del radio de
la circunferencia es aproximadamente:
A. 11cm
B. 22cm
C. 6cm
D. 8cm
E. 7cm
27. Se tiene dos sectores cuyos radio miden 8m y 6m
respectivamente. La longitud del arco del primero es 3m.
Si las medidas de sus ángulos centrales son las mismas,
hallar la diferencia de sus longitudes de arco.
A. 2m
B. 2m
C. 3m/4
D. m/2
E. 5m/4
28. Se tiene una rueda de radio “r” que ha dado 15 vueltas
alrededor de una pista circular de radio “R”, la rueda ha
determinado sobre la pista un ángulo de 36°. ¿Qué
relación existe entre el radio de la rueda y el radio de
la pista?
A. 1/75
B. 1/50
C. 3/100
D. 1/500
E. 1/150
300
APREMUNI AMBO-2020
29. Los radio de las ruedas de una bicicleta están en la
relación 1: 5. Si al desplazarse la bicicleta en línea recta
de u lugar a otro, la rueda menor gira 36000°. ¿Cuántas
vueltas dará la rueda mayor?
A. 10
B. 20
C. 30
D. 130
E. 80
30. En la figura, Calcular la menor longitud del arco PQ, siendo
P y Q puntos de tangencia. OA = OB = 2 +2
o
A
P
B
Q
A. /2
B. 2 /2
C. 2
D. 3 /2
E. /3
31. Determine la medida circular de un ángulo que verifica:
S
C
osmintér"n"...........
2R
1
1
1R
1
1
R
1
1
A. rad
10
)1n(
B.
10
n
C.
9
n
D.
9
1n
E. 9n
32. Si:
C
C
C
C
C
C
S
S
S
S
S
S
Hallar el número de radianes de dicho ángulo.
Si: (S y C son lo conocido)
A.
3600
441
B.
3600
551
C.
3600
361
D.
3600
641
E.
3600
241
CAPÍTULO II
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO
AGUDOS
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos
La razón trigonométrica de un ángulo agudo se define como el
cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes
de sus lados del triángulo rectángulo que lo contiene con
respecto a este ángulo agudo. De esta manera, con respecto a
un mismo ángulo agudo, podemos obtener seis distintos
cocientes para los cuales se define:
Observaciones Importantes
En todo ABC (recto en B)
m A+ m C = 90°
Teorema de Pitágoras
En todo ABC (recto en B) se cumple:
a
2
+ c
2
= b
2
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
A.Razones recíprocas
Sen A .Csc A 1
Cos A.Sec A 1
Tan A .Cot A 1
B. Razones complementarias (Co-razones)
De las definiciones; se observa:
Sen A Cos C
Tan A CotC m A m C 90
Sec A Csc C
En general: RT( ) CO RT(90 )
TANGENTE Y COTANGENTE DEL ÁNGULO MITAD
A
Tan Csc A Cot A
2
A
Cot Csc A Cot A
2
ÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
A. Exactos
B. Aproximados
45º
45º
1 k
1 k
k 2
60º
30º
2 k
1 k
k 3
37°
53°
4a
3a
5a
16°
25a 74°
24a
7a
301
APREMUNI AMBO-2020
OTROS
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo rectángulo es calcular dos lados
cualesquiera a partir de dos elementos conocidos (un lado
cualquiera y uno de los ángulos agudos).
Forma de resolver:
Lado incognita
= R.T. ( )
Lado dato
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
El área de un triángulo cualesquiera se puede conocer
conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
abSenC bcSenA acSenB
Área
2 2 2
ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR
1
S m.nSen
2
PRÁCTICA 2
1. En un triángulo rectángulo el menor cateto es el triple de la
diferencia de los otros dos lados. Hallar la tangente del
mayor ángulo agudo.
A. 1 B. 2 /2 C. 3/4
D. 4/3 E. 2
2. En un triángulo rectángulo ABC recto en C se cumple que:
9Sen A .Sen B – Sec A .Sec B = TgA – CtgB
Calcular: TgA + TgB
A. 1 B. 2 C. 1/2
D. 2/3 E. 3
3. De la figura, O es centro AC = a; BC = b. Hallar: Tg θ en
función de a b
A O D
C
B
A.
ba
ba
B.
b
a
C.
ba
ba
D .
a
b
E.
ba
ba
4. Si se cumple que:
Sen 5 θ - Cos 8 φ = 0 Tg θ Ctg 2 φ = 1.
Hallar el valor de:
θ6Sen37Tgφ12Senθ3SenA 02
A. 1 B. 1/2 C. 2/3
D. 3/3 E. 0
5. En la figura, calcular Tgx. Siendo: BC = 2AP
A P
37º
C
X
B
A. 1/2 B. 4/3 C. 1
D. 8/9 E. 10/9
6. De la figura adjunta. Hallar “ctgx” es términos de a y b
x
a
2x
b
A.
ba
a
B.
b2a
a
C.
ba
b
D.
b2a
b2
E.
b2a
a2
7. En un triángulo equilátero ABC se divide el lado BC en tres
partes iguales por los puntos Dy E. Calcular el coseno del
ángulo DAE.
A. 1/2 B. 2/3 C. 2/2
D. 5/13 E. 13/14
Una persona que se desplaza por un camino que forma con
la horizontal un ángulo de 30º. Observa la parte superior de
una antena con un ángulo de elevación de 45º, luego de
subir 4 3 m hacia la antena el nuevo ángulo de elevación
mide 60º. Hallar la altura de la antena.
A. 2m B. 4m C. 1m
D. 8m E. 16m
8. En la figura: AC = 17; AB = 15. Calcular: Tg θ
B
D
C
A
E
A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4
D. 1/6 E. 3/4
B
AC
a
b
c
h
37/2
a
3a
a
8°
5a 82°
7a
a
53°/2
2a
a
a
302
APREMUNI AMBO-2020
9. En la Figura ABCD es un cuadrado y
15
8
Tg .
Calcular: N = 5Tg θ - 4Tg φ
AE D
CB
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
E. 0
10. Un helicóptero vuela en línea recta a una misma altura, en
un instante desde el suelo se le observa con un ángulo de
elevación de 26º30’ y luego de avanzar el helicóptero 100
5 m se le observa al mismo lado de la primera
observación con un ángulo de elevación de 63º30’. ¿A qué
altura vuela el helicóptero (Todos se realiza en un mismo
plano vertical)?
A. m
3
5200
B. m
3
3200
C. m
3
5100
D. m
3
3400
E. m
3
2200
11. Siendo un ángulo agudo y se cumple que:
x
Tg
1
1
x
Sec
1
1
Determine el coseno del complemento de :
A. 3/5 B. 4/5 C. ½
D.
2
3
E.
2
2
12. En un triangulo ABC (C = 90°) de lados a, b y c
Expresar :
2
1
2
1
A
ctg
B
ctg
en términos de a y b
A.
ba
ba
B.
ab
ba
C.
ba
ba
D.
b
a
E.
a
b
13. Si se cumple que:
)3()2(.
4
)3()2(
xyxyTgxTgxTg
son agudos. Calcular sen (x + 27°)
A. ½
B.
2
2
C. 3/2
D.
4
15
E.
4
15
14. Si: 12 tg 05 , determine Tg
4
, siendo un ángulo
agudo
A. 526
B. 526
C. 1/5
D. 5
E. 1
15. Si .:2;0 IIC Calcule “ ”a partir de:
5337
2
3
45
43
30
CosSenSen
CosSenCosSen
Tg
A.
4
5
B.
4
7
C.
D.
3
5
E.
6
11
16. De la figura que se muestra, calcular “ Tg + 3 Tg ”
45°
A. 4
B. 1/3
C. 2
D. 3
E. 32
17. Según la figura, calcular
n
i
tg
1
, siendo:
a1 = a2 = a3 = .....= an
1 2
3
1a
2a
3a
na
A. n
B. n – 1
C. n + 1
D. n –1/2
E. n + ½
303
APREMUNI AMBO-2020
18. Se cumple que:
2
12
tan
x
+
3
31 x
, siendo un
ángulo agudo.
A. 5/12
B. 12/13
C. 5/13
D. 60/61
E. 30/31
19. De la figura ABCD es un cuadrado y BCE es un triangulo equilátero,
obtenga Ctg x
E
x
CD
BA
A. 6 - 3 3
B. 6 + 3 3
C. 3 ( )13
D. 3 ( )13
E. 2 - 3
20. Se obtiene dos triángulos rectángulos, cuyos catetos miden
bseny, asenx y bcosy, acosx respectivamente con las
hipotenusas de dichos triángulos se construye un nuevo
triangulo rectángulo, los cuales son sus catetos. Entonces
¿Cuál es el valor de la hipotenusa del triangulo construido?
A. a2 + b2
B. a2 – b2
C. b2 - a2
D. 22 ba
E. ab2
21. De la figura que se muestra. Calcular: ctg ( csc)
A. 2
B. 3
C. ½
D. 1/3
E. 1
22. Según la figura, calcule tg
17
15
A. ½
B. 1/3
C. 1/4
D. 1/5
E. 1/6
23. Desde la parte superior de un edificio de 40m de altura se
observan dos objetos en tierra en las direcciones NE y SE
con ángulos de depresión de 30° y 45° respectivamente.
Calcular la distancia entre dichos puntos.
A. 40m
B. 60m
C. 70m
D. 80m
E. 100m
24. Un satélite se encuentra en orbita lunar . ¿Con que ángulo
se observará desde el satélite a la luna cuando se encuentre
a una altura igual al radio de la luna?
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 120°
25. Seis individuos se sitúan alrededor de un poste circular y
equidistante respecto al poste.
¿Con qué ángulo de elevación verán el extremo del poste en
un instante en el cual las distancias entre ellos (en forma
consecutiva) sea la misma que la altura del poste?
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
E. 75°
26. Si : sen (3x + 10º) = cos (6x – 10º).
Calcular : E = )º7x3(sec
2
x9
tg
A. 1/2
B. 1
C. 1/12
D. 9/4
E. 3/2
27. Calcular : E =
x6cosx3sen
x8tgx3tgx2tgxtg
siendo :
tg (3x – 10º) = cos (100º - 3x) csc 7x
A. 1
B. 2
C. 1/2
D. 3 /2
E. 3 /3
304
APREMUNI AMBO-2020
x
y
G
A( ;y )x
1 1
B( ;y )x
2 2
C( ;y )x
3 3
CAPITULO III
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO
CARTESIANO
Sean 1 1 1;P x y y 2 2 2;P x y dos puntos del plano cartesiano,
entonces la distancia "d" entre los puntos y está dada por:
2 2
2 1 2 1d x x y y
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA:
Sea 0 0 0;P x y un punto cualquiera sobre un segmento de
extremos 1 1 1;P x y y 2 2 2;P x y tal que:
Las coordenadas de 0P son:
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Las coordenadas del punto medio M del
Segmento de extremos 1 1 1;P x y y 2 2 2;P x y
Se calcula así:
COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO
En el triángulo cuyos vértices son
1 1;A x y , 2 2;B x y y 3 3;C x y .
Las coordenadas del baricentro están dadas
Por:
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
Para calcular el área "S" de una región
Triangular, se colocan las coordenadas de uno de los vértices y
seguimos el sentido anti horario hasta cerrar la figura y volver a
colocar el primer vértice escogido, finalmente, se procede como
a continuación se indica.
PENDIENTE DE UNA RECTA
La pendiente de una recta “L” se denota por “m” y se define como
la tangente de su ángulo de inclinación “ ”. Es decir: m = tan
PROPIEDAD: Si una recta “L” pasa por los puntos P1(x1;y1) y
P2(x2;y2) la pendiente “m” se calcula como sigue:
ECUACIÓN DE UNA RECTA
Si P(x;y) es un punto cualquiera de una recta “L” y P1(x1;y1) es
un punto conocido de ella, entonces la recta “L” queda
determinada mediante la ecuación:
1 1 y y m x x
PROPIEDADES
I. Dada la ecuación de una recta: Ax + By + C = 0, su pendiente
“m” se calcula como sigue:
A
m
B
II. Si dos rectas “L1” y “L2” son paralelas entonces sus
pendientes son iguales.
1L // 2L m1 = m2
)razón(
b
a
PP
PP
20
01
x
y
a
b
P ( ;y )x
0 00
P ( ;y )x
1 11
P ( ;y )x
2 22
ba
byay
y
ba
bxax
x 12
0
12
0
x
y
M( ;y )x
0 0
P ( ;y )
1 1 1
x
P ( ;y )
2 2 2
x
y
2
xx
x
0
21
0
2
yy
21
3
yyy
;
3
xxx
G 321321
0
30°
L
x
y
m = tan30°
m =
3
3
P (x ;y )11 1
P (x ;y )2 2 2
L
m =
y - y2 1
x - x2 1
L1 L2
x
y
A( ;y )x
1 1
B( ;y )x
2 2
C( ;y )x
3 3
S
A
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
B
yx
yx
yx
13
32
21
11
33
22
11
31
23
12
Luego :
2
BA
S
305
APREMUNI AMBO-2020
III. Si dos rectas “L1” y “L2” son perpendiculares entre sí,
entonces el producto de sus pendientes es -1.
1 2L L m1. m2 = -1
ANGULO ENTRE DOS RECTAS
Sean L1 y L2 dos rectas no verticales cuyas pendientes son m1
y m2 respectivamente; si es el menor ángulo formado por dichas
rectas; entonces:
2 1
1 2
m m
tan
1 m .m
DISTANCIA DEL PUNTO A LA RECTA
Sea: Ax By C 0 la ecuación general deuna recta y
(x1;y1) un punto exterior a ella; la distancia de este punto a la
recta se obtiene del modo siguiente:
DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS
Sean 1 1: Ax By C 0L y 2 2: Ax By C 0L . Las
ecuaciones de dos rectas paralelas; la distancia entre estas
rectas se determina del modo siguiente:
2 1
2 2
C C
d
A B
PRÁCTICA 3
1. los puntos M (
1
3
; 4) Y P (
8
3,5
) son los puntos de triseccion del
segmento AB. halle la longitud del segmento AB.
A. 6 B. 7 C. 8
D. √57 E. √58
2. halla en el eje x, un punto p de manera que la suma de sus
distancias a los puntos A(-3,2) Y B(4,5) sea mínima .
𝐴. (−
4
3
, 0) B. (−
2
3
, 0)
C. (−
3
4
, 0) D. (−
5
3
; 0)
3. Los puntos A =(_2;_2),B=(0;4) Y C =(A,B) son los vértices
de un triángulo equilátero .si C está en el segundo
cuadrante entonces √3 (𝐴 + 𝐵)𝐸𝑆
A. -9 B. -8 C. -6
D. 5 E. -4
4. calcula el área de una región triangular, donde dos de sus
vértices son los puntos (3;2), (5;4) y el baricentro es el punto
(1;4)
A. 12 B. 14 C. 15
D. 16 E. 18
5. sea el triángulo con vértices :A=(2;-1),B=(-1;2),
C=(3;3)Y BARICENTRO G. ADEMAS 𝜃 =m<GAB, calcule
TAN𝜃.
A.
9
5
B.
5
9
C.
3
5
D.
5
3
E.
4
9
6. halle la ecuación de la recta cuya pendiente es – 3 y pasa
por la intersección de las rectas.
X=-1 y Y=4
A. 3x+y+1=0
B. 3y+x+1=0
C. 3x+y-1=0
D. X+3y-1=0
E. X+y-1=0
7. Determine la ecuación de la recta que pasa el punto (-1;1) y
sea paralela a la recta bisectriz del ángulo que forman las
rectas L1 : X-y-3=0 y L2 : Y= 0
A. Y = (√2 + 1)𝑥 + √2
B. Y =(√2 + 1)𝑥 + 2 + √2
C. Y =(√2 − 1)x+ √2
D. Y =(1-√2)𝑋+2-√2
E. Y=(√2 − 1)𝑋 − √2
8. Hallar las coordenadas del punto P de la recta 3x-y+3=0 que
equidista de los puntos A(2,4) y B(6-2).dar como respuesta
la suma de tales coordenadas
A. -6 B. -5 C. -
D. -3 E. -2
9. Calcula las coordenadas del punto de la circunferencia de
ecuaciones 𝑥2 + 𝑦2 = 4 que está más cerca a la recta L:
2𝑥 + 𝑦 − √5 = 0,
De cómo respuesta la distancia de ese punto a la recta L.
A. 5 B. 6 C. 7
D. 8 E. 9
10. Las rectas L: y =3x+3 y al Intersectar con la recta que pasa
por el punto M(3:5) determina el segmento𝐴𝐵̅̅ ̅̅ Cuyo punto
medio es M calcule la pendiente de la tercera recta.
A.
3
4
B.
4
5
C.
2
3
D.
1
2
E.
1
3
11. Los vértices de un hexágono regular pertenece a las rectas
L1, Y-3=√3(𝑋 −3)
L2 Y-3=0
L3 y -3= m(x-3)
CALCULE LA PENDIENTE DE L3
L1 L2
306
APREMUNI AMBO-2020
A.
3
4
B. −
1
√3
C. −
2
3
D. -√3 E. −
1
2
12. Sea ax +by +c= la ecuación de la recta que pasa por el
punto A(-6, 7) y el tercer cuadrante y forma con los ejes
coordenados un triángulo de área igual a 10,5 𝑢2 . Halle la
suma a+ b + c.
A. 35
B. 34
C. 33
D. 32
E. 31
13. Si los vértices de una región triangular son A(-3: 12 ,(6; 9) y
c(3; 12 ): determine la ecuación de la recta paralela a𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y
que pasa por el baricentro de la región triangular
mencionada.
A. 5x+3y+5=0
B. 5x-3y-5=0
C. 5x-3y+5=0
D. 5x3y-5=0
E. 5x+3y+15=0
14. Si los puntos A(2.3), B(4,6) Y C (6,1) forman un triángulo
ABC. Determinada la ecuación de la recta que contiene a la
altura relativa al lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
A. y=3x+1
B. y=2x-2
C. y=x-4
D. y=2x+1
E. y=2x-3
15. Dado los vértices A(-2,4) Y B (6;-2) de un triángulo ABC y el
punto H (1,3) de intersección de sus alturas. Determine el
vértice c.
A. (-4;10)
B. (2;13)
C. (13;19)
D. (10;20)
E. (7;13)
16. Halle el simétrico del punto P(4,8)
con Respecto a la recta L: x –y + 2
A. (3,3)
B. (6,6)
C. (4,4)
D. (9,8)
E. (-6,8)
17. Determine la ecuación (de la recta pendiente negativa)
bisectriz del ángulo que forman las rectas.
L1:3X-4Y+0
L 24X-3Y+40=0
A. X+Y=39
B. X-Y=-39
C. 7X-7Y=-41
D. X=Y+2
E. 2X+3Y+41=0
18. Dos rectas y se intersectan en el punto (5,12) Además
los intercepto de L con el eje X Y L 2 con el eje y están
contenidos en una recta cuya ecuación esY-27X-27=0.
calcule el menor ángulo formando con lasrectas
A. A) 4 𝑈2
B. 6 𝑈2
C. C)8𝑈2
D. 9 𝑈2
E. E)12𝑈2
CAPITULO IV
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos
Un ángulo “ ” está en posición normal, posición estándar o
canónica, si su vértice está en el origen de un sistema de
coordenada rectangular y su lado inicial coincide con el eje x
positivo y su lado final está en cualquier cuadrante.
II. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
x: abscisa del Punto P
y: ordenada del Punto P
r: radio vector
2 2r : x y ;r 0
Un método para hallar las razones trigonométricas de un ángulo
en posición normal es trazar una perpendicular desde el punto
hacia el eje x; y luego hallar dichas razones en el triángulo
rectángulo formado respecto del eje x. A continuación veremos
los cuatro posibles casos; esto es debido al cuadrante que
pertenece al lado final del ángulo.
III. SIGNOS DE LA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN
LOS CUADRANTES
PRÁCTICA 4
1. es un ángulo en posición normal, cos = -5/13 los puntos P
y Q que tiene por coordenada (-15, a) y (b, -24)
respectivamente pertenecen a su lado final. Calcular la
distancia entre dichos puntos.
A. 13
B. 12
C. 25
D. 10
E. 8
2. Sabiendo que = K(90°) + 800°, siendo un ángulo en
posición normal. Indicar lo correcto.
A. Si: K = 2n, n Z III C.
B. Si: K = 2n + 1, n Z IV C.
C. Si: K = 4n + 1, n Z II C.
D. Si: K = 4n - 1, n Z I C.
E. Si: K = 4n + 3, n Z II C.
307
APREMUNI AMBO-2020
3. Indicar verdadero (V) o falso (F).
I. –250° y 830° son ángulos coterminales.
II. El menor ángulo coterminal positivo de 5555° es 150°.
III. El mayor ángulo coterminal negativo de 6666° es – 184°.
A. VVV B. VVF C. VFF
D. VFV E. FVF
4. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son correctas?.
I. Sin y son ángulos coterminales entonces sen = sen
.
II. Si sen = sen entonces y son ángulos coterminales.
III. Si tan = tan entonces y pertenecen al mismo
cuadrante
IV. Si es un ángulo positivo y es negativo entonces dichos
ángulos no deben ser coterminales.
A. I y II B. II y III C. sólo I
D. sólo II E. I y IV
5. Marque lo incorrecto: (n Z)
A. II (4n + 1) /2 < < (2n + 1) .
B. es una frontera cuadrantal si y solo si: = /2.
C. IV C (4n + 3) /2 < < 2(n + 1).
D. Si <(2n + 1) ; (4n + 3) /2 > tan > 0
E. Si cos < 0 entonces: <(2n +1) ; (4n + 3) /2>
6. Si: Sen = 3
2
; siendo “” pertenece al segundo cuadrante.
Hallar el valor de:
A = 2 cot2 - 7 sec
A. 3 B. 7 C. 9
D. 10 E. 4
7. Indique el cuadrante al que pertenece “” si:
|Sen | = Sen ;
|Tan + cot | = - Tan - Cot
A. I B. II C. III
D. IV E. F.D.
8. Si:
1
cos1351
1
; 270° < < 360°
Hallar el valor de: n = sec - tan
A. 1 B. 3 C. 5
D. 7 E. 9
9. Dada la ecuación:
(cos )2cos - 1 = 4; 90° < < 360°
Entonces “” e que cuadrante no se ubica.
A. IC B. IIC C. IIIC
D. IV C E. Absurdo
10. Sabiendo que:
1Tan2
32
1Tan4
; sen < 0
Calcular el valor de:
P = 13 sen + 5 cot
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
E. 11
11. Si: 2Tg - 9 = |Tg - 3|, IIIC
Calcular: 37 Sen + 6 Ctg
A. – 1
B. – 2
C. 1
D. 2
E. – 5
12. Hallar el signo de:
E = Tg + Ctg - Cos
Si: 0Sec.Sen 3
A. + B. - C. + ó -
D. + y - E. No se puede determinar
13. Si: 17
15Sen
Calcular: E = Tg + Tg + Tg( - )
A. 3, 5
B. 3, 75
C. –3, 5
D. –3, 75
E. 4, 5
14. Determinar dos ángulos coterminales, sabiendo que el
mayor es a la suma de ambos como 13 es a 17 y que la
suma de estos es mayor que 2 800° pero mayor que 1 900°
A. 480° Y 1 560° B. 470° Y 1 570°
C. 455° Y 595° D. 819° Y 1 071°
E. 365° Y 1 725°
15. Si: P(a; a) es un punto de lado final de un ángulo en
posición normal “”. Calcular:
)0a(;Sen1aE
aa
aSec
2
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
16. Si y son las medidas de los ángulos cuadrantales,
positivos diferentes y menores de una vuelta tales que
Sen < Tg.
Calcular:
Csc)9/(Sec)6/(Ctg
)3/(Tg)2/(CosSenE
A. 1
B. 2
C. 0, 6
D. 1, 5
E. 0, 3
17. Si y son ángulos coterminales y complementarios
además; “” toma su mínimo valor positivo. Calcular.
K = Sen - Cos + Tg Tg
A. 1
B. 0
C. 2
D. 2
E. 3
18. Según el gráfico mostrado. Calcular.
Sec + Csc
A. 2
B. 22
C. -2
D. -22
E. 1
308
APREMUNI AMBO-2020
19. Calcular: Tg + 3
A. 1/6
B. –1/6
C. 1/12
D. –1/12
E. 3/5
20. Si: /2 < < ; 0 < < 3/2
01997TgSenCos
1)(Sen
33
2
Entonces:
A. 0 < < /2
B. < < 3/2
C. /2 < <
D. 3/2 < < 2
E. < < 2
21. Si: P = (-2; 3) es un punto que pertenece al lado final de un
ángulo en posición normal “”. Calcular “k”.
CtgTg Csc
k
A. - 7 B. 7/6 C. -7/6
D. 3/3 E. 6/7
22. Si los puntos A(a –b; a) y B(b; a + b) pertenecen al lado
terminal de un ángulo en posición normal. Calcular Tg.
A. 2
15
B. 2
15
C. 2
35
D. 2
25
E. 2
25
23. De la figura calcular:E = Tg + Ctg
A. 1
B. 2
C. 3/2
D. 5/2
E. 2/5
24. Siendo “” un ángulo positivo menor que una vuelta, que no
pertenece al IC y ] – 180°; 0°[, además:
TgCos1 2 luego evaluar:
1CosSen2
SenCtgK
A. 0
B. 1
C. –1
D. -2
E. 2
25. Del gráfico. Hallar Tg si 3m
n
A. 3
B. –1/3
C. – 3
D. 1/3
E. 33
26. Dado: |Sen| = - Sen y Tg = 0, 5; hallar m, si:
CosSen
CtgmCsc
A. – 1
B. – 1/2
C. 1
D. 1/2
E. 2
27. Si: (a; b) es un punto perteneciente al tercer cuadrante y al
lado final de un ángulo canónico , reducir la siguiente
expresión:
CtgbCosbaE
22
A. – a
B. b
C. a
D. – b
E. a/b
28. Sea “x0” un número entero que satisface la desigualdad (x –
2Sen45°) (Tg2 60° - x) > 0 haciendo x0 = Tg, donde “” es
un ángulo de IIIC. Calcular:
H = Sen . Cos
A. 2/3
B. 2/5
C. 3/4
D. 5/6
E. 7/8
29. Si Tg = .....
27
8
9
4
3
2
además IIIC
calcular: 10 Cos + Tg
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
30. Del gráfico calcular: E = tg + cot
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2/3
E. 3/2
(a-b;
b)
(a; a-
b)
309
APREMUNI AMBO-2020
(4K+1)
2
2K(2K–1)
(4K–1)
2
K Z
CAPITULO V
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos
1.- CONCEPTO
Reducción al primer cuadrante significa expresar la razón
trigonométrica de un ángulo agudo.En este capítulo
estudiaremos métodos de reducción al primer cuadrante para
los siguientes casos.
2.- CASOS DE REDUCCIÓN
2.1.-ÁNGULOS POSITIVOS MENORES DE UNA VUELTA
1ra Forma 2da Forma
II
180° -
-
90° +
/2 +
III
180 +
+
270° -
3/2-
IV
360 -
2 -
270° +
3/2 +
EN GENERAL
R.T. ).(T.R
180
360
R.T. ).(T.R
2
R.T. ).(Comp.R
90
270
R.T. ).(Comp.R
2/
2/3
2.2.- ÁNGULOS POSITIVOS MAYORES DEUNA VUELTA
Procedimientos
a) Se divide él ángulo dado entre el ángulo equilátero a una
vuelta en su respectivo sistema (360°, 2).
b) Si fuera necesario se reduce al primer cuadrante utilizando
el 1er caso.
2.3.- ÁNGULOS NEGATIVOS
En general:
1) Sen(-x) = -Senx
2) Cos(-x) = Cosx
3) Tan(x) = -Tanx
4) Cot(-x) = -Cotx
5) Sec(-x) = Secx
6) Csc(-x) = -Cscx
RECORDAR
PRÁCTICA 5
1. Si los ángulos internos de un triángulo ABC están en
progresión aritmética (A < B < C), reducir:
)CB(Cos
)C3A2B(Cos
)CB(Sen
)B3C2A(Sen
K
A. -1/2 B. 1/2 C. 0
D. -2 E. 1
2. Reducir la expresión:
K = Sen(Tgx) + Tg(Senx) + Sen(Ctgy) -Tg(Cosy)
Si: x - y = -3,5
A. Cos(x-y) B. Sen(x-y) C. Cos(2x-2y)
D. Sen(y-x) E. Cos(2y-2x)
3. Si; y son suplementarios y y son revolucionarios,
reducir:
)
2
3
(Cos
)
2
(Cos
)(Sen
)32(Sen
F
φγλ
λ
φα
φγλ
A. -2 B. -1 C. 0
D. 3/2 E. 2
4. Si; Cos10° = n
Hallar en términos de "n":
F =
|2150Sen|640Cos90Sen
260Sen350Cos|170Cos|
A. -
n
2n1
B.
n
2n1
C.
n3
2n12
D.
n2
2n13
E.
3
2n12
5. Si; Sen = -
5
3
^ IIIC, Cos = -
13
5
̂ IIC
Calcular.
)(Csc)
2
3(Tg)tg(C
)
2
(Sec)(Cos)
2
3(Sen
N
A. -11/40 B. 11/40 C. 33/40
D. -33/40 E. -3/40
6. Calcular.
2400Sec1710Sen2290Sen2630Cos
3280tgC3550Cos2680Tg3130Sen
Q
A. 2 /2 B. 3 /2 C. - 3 /3
D. -1/2 E. 1
7. Hallar una relación entre "a" y "b" que hace posible la
igualdad:
Tg 0)
10
ba15
tg(C)
7
b3a2
(
π
A.
23
13
b
a
B.
13
23
b
a
C.
33
13
b
a
D.
13
33
b
a
E.
43
13
b
a
8. Si; A - B =
2
3π
Reducir la expresión:
)AB(Sen
)A
2
3(Tg
TgB
)B
2
5(Sen
SenA
F π
ππ
A. -3 B. -1 C. 1
D. 3 E. TgA
310
APREMUNI AMBO-2020
9. Para que valores de "", "F" siempre es positivo:
F()=Csc(-3
2
π
)= - Tg(-); 0 < < 2
A. [0, /2>
B. [0; /2> U <3/2; 2]
C. <3/2; 2]
D. </2; ]
E. </2; ] U <3/2; 2]
10. Si:
2K
)
2
99(Sec)
2
123(Sen)68tg(C)777(Sen)175tg(C)
2
37(Tg
λ
π
λ
π
λπ
απλπλ
π
K <0; 1>, además IIIC
Calcular: T = Csc + Ctg
A.
2K1
K1
B.
2K1
K2
C.
2K1
1K
D.
2K1
1K
E.
2K1
2K
11. Hallar “PQ” en términos de “” y "r"
2
L//
1
L :
A. r(CosCtg+Sen+1)
B. r(Cos+Sen+1)
C. r(CosCtg+Sen)
D. r(Sen-Sec)
E. r(Tg.Sec+Sen+1)
12. Reducir la expresión:
))1K3((Tg)K(Tg
]
2
)1K2)[(K(Sen
E
φπφπ
φ
π
φπ
; K Z
A.
K)1(
2
1
Sen B.
K)1( Cos C. K)1(
A.
K)1( Sen E. K)1(
2
1
13. Si: ^ son las medidas de dos ángulos complementarios
(agudos), hallar el intervalo de:
)32(CIs).2(Tg
)23(Tg).2(Sen
Y
; Si: 8° < < 49°
A. [-7; -1] B. [-1; 7] C. [-49; -1]
D. [1; 49] E. [1/49; 1]
14. Si: 2Tg(
2
π
+x)+3Tg(3
2
π
+x)+5Tg(5
2
π
+x) = a
Hallar: T=
2
1
Ctg(
2
π
-x)+
3
1
Ctg(3
2
π
-x)+
5
1
Ctg(5
2
π
-x)
A.
a20
31
B.
a10
21
C.
a10
31
D.
a10
31
E.
a3
31
15. Según el gráfico mostrado calcular:
)x
4
tg(C
)x(Tg
)x
4
(Cos
)x
2
(Sen
K
βθα
βθα
βθα
βθα
A. -2
B. -3/2
C. 0
D. 2
E. 3
16. Si: x.Sen( - 17
2
π
) = y.Sen( - 17)
Hallar en términos de "x", "y" la expresión:
)
2
7(ySen)
2
27(yCos
)7(yCos)6(xSen
T
π
θ
π
θ
πθπθ
A.
xy2
2y2x
B.
xy2
2y2x
C.
xy2
2x2y
D.
2y2x
xy2
E.
22 xy
xy2
17. Si, AOB es un cuadrante, calcular:
V = 3 Cos + Csc
A. -1
B. 1
C. 0
D. -2
E. 2
18. Del gráfico mostrado calcular:
K = TgCtg + TgCtg
A. -13/6
B. -6/13
C. 13/6
D. 6/13
E. -5/6
19. Si: =
4
π
Calcular:
)
2
111(Tg)
2
27(Sen)
2
35(Cos
)
2
417tg(C)
2
65tg(C)
2
73(Csc
H
π
α
π
α
π
α
π
α
π
α
π
α
A. -2 2 B. 2 2 C. -4 2
D. -8 2 E. - 2
20. A = Cos1° + Cos2° + Cos3° + ..... + Cos 180°
B = Cos2n+1 17
Cos2n+1 4 17
+ Cos2n+1 17
n16
+ Cos2n+1
17
13
;
n Z+. Hallar: E = A + B
A. 0 B. – 1 C. – 2
D. 1 E. 2
L2
L1
r
P
M(a;b)
P(2|a|;3b)
x
y
B
O
A
O1
311
APREMUNI AMBO-2020
CAPITULO VI
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos
LÍNEA SENO:
El seno de un arco se representa en la C.T. mediante la
ordenada trazada por su extremo.
Rango de valores del seno:
1 sen 1
Máx (sen ) = 1
Mín (sen ) = –1
LÍNEA COSENO:
El coseno de un arco se representa en la C.T. mediante la
abscisa trazada por su extremo.
Rango de valores del coseno:
1 cos 1
Máx (cos ) = 1
Mín (cos ) = –1
LÍNEA TANGENTE:
Para representar la tangente de un arco en la C.T.
trazamos primero el eje de tangentes (recta tangente a la
C.T. trazada por el origen de arcos), luego se prolonga el
radio que pasa por el extremo del arco hasta que corte el
eje en un punto: la ordenada de este punto de intersección
nos representará la tangente de arco.
Rango de valores de la tangente:
tan
Lo cual implica que: tan R
Sugerencias Importantes
2
2
2
1 senx 1 0 sen x 1
Si 1 cos x 1 0 cos x 1
tan x 0 tan x
LÍNEA COTANGENTE:
Para representar la cotangente de un arco en la C.T. trazamos
primero el eje de cotangentes (recta tangente a la C.T. trazada
por el origen de complementos), luego se prolonga el radio que
pasa por el extremo del arco hasta que corte al eje en un punto:
la abscisa de este punto de intersección será la cotangente del
arco.
Rango de valores de la cotangente:
cot
Lo cual implica que: cot R
LÍNEA SECANTE:
La secante de un arco se representa en la C.T. mediante la
abscisa del punto que se determina al intersectar la recta tangente
trazada a la C.T. por el extremo del arco y el eje de abscisas.
Observación:
sec 0 IC o IVC
Si
sec 0 IIC o IIIC
312
APREMUNI AMBO-2020
Rango de valores de la secante:
sec 1 sec 1
Máx (sec ) =1
Mín (sec ) = -1
LÍNEA COSECANTE:
La cosecante de un arco se representa en la C.T. mediante
la ordenada del punto al que se determina al intersecar la
recta tangente a la C.T. trazada por el extremo del arco y
el eje de ordenadas.
csc 0 IC o IIC
Si
csc 0 IIIC o IVC
Rango de valores de la cosecante:
csc 1 csc 1
Máx (csc ) =-1 Mín (csc ) = 1
PRÁCTICA 6
1. Dada la igualdad :
n2
3
1n5
Sen
Hallar el intervalo de “n” de tal manera que el “Sen” exista
A. -1; 3 B. -2; 4 C. -4, 2
D. -2; 2 E. 0; 4
2. Si :
2
3
;
4
3
x
. Calcular la variación de :
1
3
x
Sen2A
A. -1; 1 B. -1; 1> C. <-1; 1
D. <-1; 1 > E. <1/ 2: 1
3. Sabiendo que :
4
,0y
4
3
;
2
Indicar Verdadero (V) o Falso (F)
I. Sen > Sen
II. Cos > Cos
III. Sen > Sen 2
A. VFF B. VFV C. VVV
D. FFF E. FVV
4. Si:
24
11
4
.
Hallar la variación de:
2
1
4
22Sen3E
A.
2
7
;
2
1
B.
2,
4
5
C.
2,
2
1
D.
2;
4
5
E.
2;
2
1
5. Indicar la extensión de :
2
4
SenY . Si :
24
;
24
7
A. <0, 1 B. 0; 1 C. <- 2 , 1
D. <1/ 2; 1 > E. <1/ 2; 1
6. Determinar la extensión de :
4
;
4
3
;
4
CosE
A. <0, 1 B. 0; 1 C. <-1; 1>
D. -1; 1 E. <-1/ 2; 1/ 2>
7. Si:
6
5
;
4
3
. Hallar la extensión en la que se
encuentra el área sombreada :
1;
2
3
)E
2
3
;
2
1
)D
2
3
;
2
2
)C
2
2
;
2
1
)B
1;
2
2
)A
8. Indicar verdadero(v) o falso según corresponda:
I. sen( 2 ) sen (1) ………. ( )
II. cos(3) cos (4) …………. ( )
III. sen (3.29) sen (4.93)....… ( )
A. VVV B. VFF C. FFV
D. VFV E. FFF
9. Sabiendo que cos =
3
2+n
Además ε 60; 120, determine en el intervalo al que
pertenece “n” :
A. 0,3 B. - 3
4,2
1 C. -1,3]
D. - 3
1,2
1 ] E. [- ;2
7 - 2
1 ]
x
y
C.T.
313
APREMUNI AMBO-2020
10. Hallar la suma de las medidas de los menores ángulos
positivos que no pertenecen al IC y que verifiquen :
sen =
2
1
: cos = -
2
1
: tg = -1
A. -
4
17π
B.
4
11π
C.
4
3π
D.
4
13π
E.
4
9π
11. Determinar el área de la región sombreada
Cos1Sen.
2
1
)E
Sen1Cos.
2
1
)D
1Sen.Cos.
2
1
)C
Cos1Sen.
2
1
)B
Cos1Sen.
2
1
)A
12. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) Según corresponda. Si:
- < < < - /2
I. Tg < Tg
II. Tg < Tg
III. Tg > Tg
A. VFF B. VVF C. FFV
D. VVV E. FFF
13. Determinar la extensión de :
2;0:Si.2
12
Sen.
4
2TgM
A. 7/3, 5 B. 0; 5 C. 2; 5
D. 5/3; 5 E. 2/ 3; 7
14. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda:
I. Ctg70º > Ctg40º
II. Ctg3 > Ctg2
III. Si : < < < 3 /2 Ctg > Ctg
A. VFV B. VVV C. FVV
D. FVF E. VVF
15. Determine la extensión de:
2
Sen.
2
tgCE
ππ
, sabiendo que :x
3
7
;
3
5 ππ
A. < - 1; 4 > D. < - 3.3>
B. R - 1;1
C. R - 3;3 E. ]3;1
16. Determine la superficie de la región sombreada en términos
de ""
A. 1/2 Ctg, Cos
B. - 1/ 2. Sen
C. 1/2. Cos
D. 1/2. Sen
E. 1/2. Tg Sen
17. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda:
I. 3Sec2Sec
II. Sec200º < Sec230º
III. Si : αθθα
π
SecSec0
4
A. FFF B. VFV C. VFF
D. FFV E. FVF
18. Si:
3
4
4
3
. Hallar todos los valores que toma "n" en
la igualdad:
3n
1n2
Sec
α
A.
4
7
;2[ B. 2; C.
4
7
;
3
4
[
D.
3
4
;2[ E. ]7;
3
4
19. Si:
5
x
9
4 ππ
. Hallar la extensión de :
2
3
x3
4
1
SecJ
π
Indicar el menor valor:
A. 5 B. 22 C. 3
D. 32 E. 52
20. Si : - 2 < Sec < - 2
Entonces. Hallar la extensión de "Csc"
cuando : < < 3/2
A. < -2; - 2 3/3 > D. 1;
3
3
B. 1;2 C.
3
32
;2
E.
1;
2
2
21. Si : 0 < < < 2 ; Sen = Sec
Calcular el valor de : A = Sen3 + Sec2
A. - 1 B. 1 C. 2
D. - 2 E. 0
22. Sabiendo que se cumple:
RxCCos ;0tg3
Calcular la variación de "x" en el intervalo de 0 a 2
DBED
BACBA
)
3
2
;
3
)
)
6
10
;
6
7
)
6
5
;
6
)
23. En la C.T mostrada. Hallar el área de la región sombreada
1tg.
2
1
)
2tg.
2
1
)
1tg.
2
1
)
tg.
2
1
)
2tg.
2
1
)
CTgE
CTgD
CTgC
CTgB
CTgA
x
y
C.T.
y
x
y
x
314
APREMUNI AMBO-2020
CAPITULO VII
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos
Es una igualdad establecida entre expresiones que involucran
razones trigonométricas de una o más variables, las cuales se
verifican para todo valor admisible de dichas variables.
La igualdad: , se verifica para cualquier
valor real que le asignemos a la variable x; por consiguiente:
es una identidad .
CLASIFICACIÓN DE LAS IDENTIDADES
1. Identidades pitagóricas:
2. Identidades recíprocas:
3. Identidades de división:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
Aparte de las identidades trigonométricas fundamentales, hay
aquellas igualdades que aparecen frecuentemente en la
resolución de problemas y su conocimiento sería de mucha
utilidad para facilitar la resolución de estos problemas; estas
igualdades son de simple verificación y en muchos casos son
consecuencia directa de operaciones algebraicas elementales;
dentro de estas tenemos:
PRÁCTICA 7
1. Reducir la expresión:
CscxSecx
xtgCTgx
Cosx1
xSen
Senx1
xCos
K
22
A. Senx B. Cosx E. 1
D. 1 E. Senx + Cosx
2. Reducir la expresión:
xCtgxCtgxCscxxCscCtgxCtgW 1688222 ))(12)(12(
A. Csc8x C. Csc32x
B. Csc16x D. Csc24x E. 1+ Csc16x
3. Si:
3
2
2
3
a
b
1
a
b
TgxSecx ; 0 < x /2
Calcular en términos de a y b la expresión:
E = aSecx + bCscx
A. (a3/2 + b3/2)2/3 D. (a1/3 + b2/3)3/2
B. (a2/3 + b2/3)3/2
C. (a1/3 + b1/3)3 E. (a3/4 + b3/4)4/3
4. Del gráfico, calcular el valor de:
)cb(bc
ad
T
A. |a|.m
B. d.|n|
C. nc
D. |b|.c
E. |m|.a
5. Hallar “n” en la igualdad.
n
Senx1
n
Cosx.Senx
Senx1
xtgC
A. Senx B. Cosx C. Tgx
D. Ctgx E. Secx
6. Si:
bacxbCosxaSen 22 ; a > c > b
Hallar: Tgx; si xIIIC
A.
ba
ac
D.
bc
ba
B.
ac
bc
C.
ca
ab
E.
bc
ca
2 2Sen x Cos x 1
2 2Sen x Cos x 1
2 2Sen x Cos x 1
2 21 Tan x Sec x
2 21 Cot x Csc x
SenxCsc x 1
Cos x.Sec x 1
Tanx.Cot x 1
Senx
Tanx
Cos x
Cos x
Cot x
Senx
4 4 2 2Sen x Cos x 1 – 2Sen x Cos x
6 6 2 2Sen x Cos x 1 – 3Sen x.Cos x
Tanx Cot x Sec x.Csc x
2 2 2 2Sec x Csc x Sec x.Csc x
4 4 2 2Sen x – Cos x Sen x – Cos x
4 4 2 2Sec x – Tan x Sec x Tan x
4 4 2 2Csc x – Cot x Csc x Cot x
2
Senx Cos x 1 2Senx Cos x
2
1 Senx Cos x 2 1 Senx 1 Cos x
2 2De:Sen x 1–Cos x 1 Cos x 1–Cos x
Senx 1 Cos x Senx 1 – Cos x
1 – Cos x Senx 1 Cos x Senx
2 2De:Cos x=1–Sen x= 1+Senx 1–Senx
Cos x 1 Senx Cos x 1 – Senx
1 – Senx Cos x 1 Senx Cos x
2 2
2 2 2 2
Si:a Senx bCos x a b
a b
Senx Cos x
a b a b
y
x
P(0,d) k(b,1)
M(a,0)
R(m,n)
N(1,c) x2 + y2 = 1
315
APREMUNI AMBO-2020
7. Si:
;
CosaCosy
Seny.Sena
Tgx
/2 > y > a > 0
Hallar Cosa en términos de x , y
A. (Cosx Cosy) / (Cosx.Cosy1)
B. (Cosx + Cosy) / (1+ Cosx.Cosy)
C. (Cosx + Cosy) / (1 Cosx.Cosy)
D. (Cosx Cosy) / (1+ Cosx.Cosy)
E. (Senx + Seny) / (1+ Senx.Seny)
8. Eliminar “x” de las ecuaciones:
)2..(..........mCosxSenx
)1.....(nCosxSenx
A. m4 + n8 8n4 + 6m2n4 = 0
B. m4 + n8 8m4 + 6m4n2 = 0
C. m4 + n4 8n2 + 6mn2 = 0
D. m8 + n8 8n4 + 6m2n4 = 0
E. m4 + n4 8n2 + 6m2n = 0
9. Si: Secx + Cscx = M(Tgx + Ctgx), xIIC
Hallar:
xtgCCscx
1
TgxSecx
1
K
A. 2(n+1)/ 1n2
B. 2(n+1)/ 1n2
C. 2(n1)/ 1n2
D. 2(n1)/ 1n2
E. (n+1)/ 1n2
10. Si:
)2.........(2Sen.Cos8,1Cos.Csc2
)1.........(3Cos5Sen2
Calcular “Sen”
A. (2 3 6 ) / 10 D) (2 3 6 ) / 20
B. (3 2 6 ) / 20
C. (3 2 6 ) / 10 E) (3 6 ) / 10
11. Eliminar “” de las ecuaciones:
Ctg + Tg = x ..........(1)
Sec Cos = y .......(2)
A. x2/3 + y2/3 = 1
B. x4/3 y4/3 = 1
C. x4/3y2/3 x2/3y4/3 = 1
D. x4/3y2/3 + x2/3y4/3 = 1
E. x3/4y xy3/4 = 1
12. Si: Senx.Cosx = 0,3
Calcular:
2xtgCxTg
7xtgCxTg
K
55
33
A. 0,1 B. 0,2 C. 0,3 D. 0,4 E. 0,5
13. Si: /6 < < /4
Hallar el intervalo de:
2SecSec2Cscf 422
A. <1;1/3> D. <1/9;3>
B. <1/2;3>
C. <1/4;26/5> E. <0;26/9>
14. Calcular Cos en términos de a y b.
Si: Sen = a Sen .........(1)
Tg = bTg ..............(2)
A. [(1a2)/(1b2)]1/2
B. [(1b2)/(1a2)]1/2
C. [(a2b2)/(1b2)]1/2
D. (1/a).[(a2b2)/(1b2)]1/2
E. (1/b).[(a2b2)/(1a2)]1/2
15. Calcular el máximo valor de:
F(x) = Versx.Covx
A. 1,5 + 3 D. 3 + 2
B. 1,5 + 2
C. 3 3 E. 3 + 2 2
16. Si: n
xCosxSen
xCosxSen
44
66
Hallar:
xCosxSen
xCosxSen
T
66
44
A. (2n1) / (3n1)
B. (2n1) / (3n2)
C. (2n+1) / (3n+1)
D. (4n1) / (6n1)
E. (2n3) / (3n3)
17. Si: 3/6 < x < 11/6
Hallar el intervalo de:
xtgCCscx
xtgCCscx
.2
Cosx1
Senx22
Cosx1
Cosx1
T
A. < 1;3 > B. < 2;3 > C. < 3;5 >
D. < 4;5 > E. < 5,6 >
18. Si: Ctgx Cosx = 1
Calcular:
E = Cosx Senx + Secx.Cscx
A. 2 2 B. 2 C. 2
D. 2 2 E. 2 2
19. Si “f” es independiente de “x”:
2323 ]aCosxxbCos[]xbSenaSenx[)x(f
(a b constantes)
Entonces f es igual a:
A. a2/9 B. a2/4 C. 3a2/4
D. 4a2/3 E. 16 a2/9
20. Expresar tgx en términos de a, b y c a partir de :
asenx + ccosx = c-a ....... (1)
bsenx + ccosx = b-c …...(2)
Además: ab0, x IIC
A. -
ab
c
B. -
2.cb
a
C.
2c
ab
D. -
2c
ab
E. -
ab
c2
316
APREMUNI AMBO-2020
CAPITULO VIII
ARCOS COMPUESTOS
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos
1. LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Estas igualdades se verifican para todos los valores admisibles
de sus variables y son las siguientes:
2. DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
Estas igualdades se verifican para todos los valores admisibles
de sus variables y son las siguientes:
3. IDENTIDADES AUXILIARES
Sen(x y)
Tanx Tany
CosxCosy
2 2
2 2
Sen(x y)Sen(x y) Sen x Sen y
Sen(x y)Sen(x y) Cos y Cos x
2 2Cos(x y)Cos(x y) Cos x Sen y
Tan(x y) Tanx Tany Tanx.Tany.Tan(x y)
Importante:
2 2 2 2
f(x) aSenx bCosx
a b f(x) a b
4. PROPIEDADES PARA TRES ÁNGULOS
Estas propiedades se cumplen siempre que los tres ángulos
estén relacionados bajo una condición:
Siendo; x y z ó K , K Z
Tanx Tany Tanz TanxTanyTanz
CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1
Siendo
x y z ó (2K 1) ; K Z
2 2
Cotx Coty Cotz CotxCotyCotz
TanxTany TanxTanz TanyTanz 1
Observación:
Si:
π
± β=45°=
4
se cumple:
Tan ±Tanβ ±Tan Tanβ=1
PRÁCTICA 8
1. Si: Sen=
5
3
^ IIIC; Tg=
12
5
̂ IIIC
Calcular el valor de Cos( + )
A. 63/65 B. 24/25 C. 15/17
D. 20/29 E. 40/41
2. Si: Tg(x + y) = 5
Tg(x - y) = 4
Calcular: K = 21Tgt2y + 19Tg2x
A. -1 B. -4 C. -8
D. 8 E. 10
3. Del gráfico hallar Tg:
A. 0,5
B. 0,3
C. 0,2
D. 2
E. 3
4. Si:
Cosy
)zx(Cos2
Cosx
)zy(Cos
Cosz
)yx(Cos
Calcular. T = Tgx + Tgz - 2Tgy
A. -1 B. -1/2 C. 0
D. 1/2 E. 1
5. Si; Tg4 = M
Calcular:
tgC3tgC
1
Tg3Tg
1
W
A. n B.
n
1
C.
1n
1
D. n+1 E.
1n
1n
6. Calcular el valor aproximado de:
32Sen32Cos7
14Sem52614Cos5210
T
A. 0,1 2 B. 0,2 2 C. 0,3 2
D. 0,4 2 E. 0,5 2
7. Si:
Sen(x + y + z9 = SenxSenySenz
Calcular: F = CtgxCtgy + CtgxCtgz + CtgyCtgz
A. 0 B. 0,5 C. 1
D. 1,5 E. 2
M S R Q
P
3 2 1
317
APREMUNI AMBO-2020
8. En un triángulo rectángulo ABC (B=90°), se traza la mediana
AM y la altura BH, formando el ángulo agudo "". Hallar Tg
en términos de los lados del triángulo ABC:
A.
ac
2c2a
B.
ac
2c2b
C.
ac
2c2b
D.
ab
2c2a
E.
ab
2c2b
9. Si:
aSenx + bSeny + cSenz = 0
aCosx + bCosy + cCosz = 0
Calcular:
)zy(Sen
)zx(Sen
A. a/b B. b/a C. -a/b
D. -b/a E. a/c
10. Reducir la expresión:
K=
y2Sen)zyx(Cos)zyx(Cos
y2Cos)zyx(Sen)zyx(Sen
A. Sen(x+z) B.
2Cos (x+z) C. 1
D. -1 E. Tg(x+z)
11. Del gráfico mostrado, hallar Tg:
A. 4/5
B. 11/3
C. 3/11
D. 7/9
E. 9/7
12. Calcular el máximo valor de:
K = Sen(x+
6
) + Sen(
3
+x) + Cos(2
3
-x)
A. 4- 3 B. 34 C. 4+ 3
D. 34 E. 32
13. Calcular el máximo valor de "F".
F(x) = aSen(x + ) + bCos(x - )
Si, a, b, y son constantes:
A. |a + b|Sen
B. abSen4
2b2a
C. cosabSen2
2b2a
D. CosabSen4
2b2a
E. CosabSen
2b2a
14. Sean m, y los tres ángulos de un triángulo Tg
2
, Tg
2
, Tg
2
son proporcionales a 6, 2 y 3 respectivamente.
Hallar el valor de:
2
z
Tg2
2
y
Tg3E
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
15. Si PQRS es un cuadrado, calcular el máximo valor de Tg:
A. 3
B. 3 /3
C. 4/3
D. 3/4
E. 1
16. En un triángulo ABC se cumple:
TgA + TgB = x
TgB + TgC = y
TgC + TgA = z
Hallar: SecASecBSecC
A.
xyz
zyx
B.
xyz2
zyx
C.
xyz
)zyx(2
D.
zyx
xyz2
E.
zyx
xzyzxy
17. Hallar Tgx en términos de "", si PM=3MQ:
A. 3Tg
B. 3Ctg
C.
3
1
Tg
D. 2Tg
E. 2Ctg
18. Si:
Sec1°Sec3°+Sec3°Sec5°+Sec5°Sec7°+...+Sen84°Sec81°
Es equivalente a KmCscn
Calcular: P = n + K - m
A. 2 B. 4 C. 6
D. 8 E. 10
19. Si:
Ctg =
2/1)x2x3x(
Ctg =
2/1)11xx(
Ctg =
2/1)1x2x3x(
Hallar + en términos de :
A. +
4
B. C. -
3
D. -
4
E. +
3
20. En un triángulo ABC, se cumple que:
Cos (A – B) = 2 SenA SenB; luego el triángulo es:
A. Escaleno B. Isósceles
C. Equilátero D. Rectángulo
E. Obtusángulo
21. Si : x + y + z = π / 4
Reducir :
Tgz.Tgy.Tgx1
Tgz1Tgy1Tgx1
E
A. 1/2 B. 1 C. 2
D. 3 E. 1/3
M
x
Q P
N
P Q
R S
6
2
13
318
APREMUNI AMBO-2020
CAPITULO IX
ÁNGULOS MÚLTIPLES
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos
I. IDENTIDADES FUNDAMENTALES
II. IDENTIDADES AUXILIARES
2 22Sen x 1 Cos2x 2Cos x 1 Cos2x
Cotx Tanx 2Csc2xCotx Tanx 2Cot2x
III. ÁNGULO DOBLE EN FUNCIÓN DE TANGENTES
Otras identidades auxiliares:
– 4 4 3 1Sen x+Cos x= + Cos4x
4 4
– 6 6 5 3Sen x+Cos x= + Cos4x
8 8
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁNGULO
MITAD
Observación:
El signo que aparece en los radicales depende del cuadrante en
el cual se ubique el ángulo mitad y del operador que lo
afecte; así por ejemplo:
Si:
x x
IIC Sen será ( )
2 2
Si:
x x
IIIC Cos será ( )
2 2
Si:
x x
IVC Tan será ( )
2 2
II. IDENTIDADES AUXILIARES
Otras identidades Auxiliares:
–
n
n –1 radicales
π
2Sen = 2 – 2 + 2 +...+ 2
2
–
n
n–1 radicales
π
2Cos = 2 + 2 + 2 +...+ 2
2
IV. FÓRMULA RACIONALIZADA DEL ÁNGULO MITAD
A.
x
Tan Cscx – Cotx
2
B.
x
Cot Cscx Cotx
2
V. IDENTIDADES AUXILIARES
Sabemos:
•
x
Cscx Cotx Cot ..... I
2
•
x
Cscx – Cotx Tan ..... II
2
x x
I II 2Cscx Cot T an
2 2
x x
I – II 2Cotx Cot – T an
2 2
ÁNGULOS TRIPLES
I.
3Sen3x 3Senx – 4Sen x
Sen3x Senx 2Cos2x 1
Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60 x
II.
3Cos3x 4Cos x –3Cosx
Cos3x Cosx 2Cos2x –1
Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60 x
III.
3
2
3Tanx – Tan x
Tan3x
1– 3Tan x
Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60 x
VI.
Cot3x CotxCot 60 – x Cot 60 x
Triángulo notable
1
+
T
an
x2
1 - Tan x
2
2Tanx
2x
Sen2x =
2Tanx
1 + Tan x
2
Cos2x =
1 - Tan x
2
1 + Tan x
2
Sen =
x
2
1 - Cosx
2
+
-
Cos =
x
2
1 + Cosx
2
+
-
Tan =
x
2
1 - Cosx
1 + Cosx
+
-
Cot =
x
2
1 + Cosx
1 - Cosx
+
-
x Rl
x Rl
x R - {(2n + 1) }; n Zl
x R - {2n }; n Zl
x 1 Cosx
Tan Cscx Cotx
2 Senx
-
= - =
x 1 Cosx
Cot Cscx Cotx
2 Senx
+
= + =
5 – 1
18°
4 72°
10 + 2 5
319
APREMUNI AMBO-2020
PRÁCTICA 9
1. Reducir la expresión:
W = Cos2x (Sen4 x+ Cos4x) + Sen8x
A. Cos8x B. Sen8x C. Tg8x
D. Ctg8x E. Csc8x
2. Calcular el valor de:
F = Sen6
8
π
+ Sen6
8
π3
A.
8
5
B.
8
1
C.
8
3
D.
4
1
E.
4
3
3. Siendo: aSen2x - bCos2x = 0
Hallar: Sec2x
A.
ba
ba
B.
ba
ba
C.
ba
ab
D.
ab
ba
E.
ba
ba
4. Los catetos de un triángulo rectángulo miden:
( 1 + Cos20º ) y Sen20º. Calcular los ángulos agudos de
dicho triángulo.
A. 20º y 70º B. 30º y 60º C. 25º y 65º
D. 10º y 80º E. 15º y 75º
5. Si: aθCotθTg , hallar : "θ2Csc"
A. a B. a/2 C. 1/a D. a + 1 E. 2/a
6. Calcular: º10Sec3º10Csc
A. 2 B. 1 C. –2 D. 4 E. – 4
7. Si se cumple la igualdad:
x4CosBAxCosxSen 44 , hallar: “A-B”
A. 1/4 B. 3/4 C. 1/2
D. 3/2 E. 1
8. Simplificar: θ4Tg4θ2Tg2θTgθCot
A. θ8Cot B. θ8Tg C. θ8Cot8
D. θ8Tg8 E.
8
θ8Cot
9. Reducir: θ8Cos2222
A. θSen2 B. θCos2 C. θSen
D. Cos E. 2 Sen
10. Simplificar: θTg
θ2Sec1
θ2Tg
A. Tg B. 1 + Tg C. 0
D. Sen E. Cos
11. Simplificar:
x2Cosx2Sen1
x2Cosx2Sen1
A. Secx B. Tgx C. Ctgx
D. Sen x E. Cosx
12. Si: Senx – Cosx =
5
1
; 0 < x <
4
π
Hallar: Sen 2x - Cos 2x
A.
5
3
B.
25
16
C.
25
17
D.
26
25
E.
26
23
13. Simplificar: Cotx.
2
x
Sen2
2
x
Tg 2
A. Cosx B. Senx C. Tgx
D. Secx E. Cscx
14. Si:
2
π
;0x . Simplificar:
Senx1
2
x
Sen
Senx1
2
x
Cos
A. Cosx B. Secx C. Senx
D. Cscx E. Tgx
15. Calcular: “Tg112º30’”
A. 21 B. 12 C. 12
D. 12 E. 32
16. Siendo: Cosx = -0,1
x <180º; 270º>
Hallar: Tg
2
x
A.
2
11
B.
3
11
C.
3
11
D.
2
11
E.
2
11
3
17. Hallar el valor de “M” para que se verifique:
2
CosA.SenAM
A
4
π
SenA
4
π
Cos 22
A. 4 B. 2 C. 8
D. 3 E. 5
18. Se sabe que: Sen2x = a , hallar:
CosxSenx
xCosxSen
E
33
A.
4
a
1 B.
2
a
1 C.
2
a
1
D.
a
2
1
E.
3
a
1
19. Reducir: α2Sec.
αSen
α3Sen
αCos
α3Cos
P
A. 2 B. 5 C. 8
D. 6 E. 4
20. Si: n
Cotx
3
Tgx
2
x2Sen
1
Hallar: “Sen4x”
A.
25n
n8 2
B.
25n
n8 2
C.
225n
n10
D.
25n
n10
2
E.
25n
n10
2
21. Calcular el valor de:
K = Cos4
12
π
+Cos4
12
π5
+ Cos4
12
π7
+ Cos4
12
π11
A. 7/3 B. 7/4 C. 7/6 D. 8/3 E. 5/4
22. Simplificar:
Cotx
2
x
Tan
2
1
2
x
Tan
2
1
Cscx
K
A. 1 B. 2 C. 1/2 D. –1 E. -2
320
APREMUNI AMBO-2020
A B A B
SenA SenB 2Sen Cos
2 2
A B A B
SenA SenB 2Sen Cos
2 2
A B
A B
A B A B
CosA CosB 2Cos Cos
2 2
A B A B
CosA CosB 2Sen Sen
2 2
A+B A-B
CosB-CosA = 2Sen Sen
2 2
A B
2SenACosB Sen(A B) Sen(A B)
2SenBCosA Sen(A B) Sen(A B)
2CosACosB Cos(A B) Cos(A B)
2SenASenB Cos(A B) Cos(A B)
2SenASenB Cos(A B) Cos(A B)
CAPITULO X
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos
I. DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO
Se le suele llamar también factorización trigonométrica y
consiste en expresar mediante un producto una de-terminada
suma o diferencia.
Para transformar a producto una expresión, esta deberá estar
compuesta por la suma o diferencia de dos senos o cosenos con
ángulos ordenados de mayor a menor. Los ángulos resultantes
en los factores del producto serán la semisuma y la
semidiferencia de los ángulos iniciales.
A. Suma o diferencia de senos a producto
Considerando:
A. Suma o diferencia de cosenos a producto
Considerando:
Se debe tener en cuenta que:
Si A>B
II. DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA
Se le suele llamar también desdoblamiento del producto y
consiste en expresar mediante una suma o diferencia un
determinado producto.
Para efectuar el desdoblamiento se deberá tener el doble
producto de senos y/o cosenos.
Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la suma y
la diferencia de los ángulos iniciales.
Considerando:
Es importante tener presente :
2 2Cos(x+y).Cos(x-y)=1-Sen x - Sen y
2 2Sen x-Sen y
Sen(x+y).Sen(x-y)=
2 2Cos y-Cos x
PRÁCTICA 10
1. Si 10g , calcular el valor de:
5 9
5 9
Sen Sen Sen
M
Cos Cos Cos
A. 2
B. -2
C. -1
D. 0
E. 1
2. Si:
2. 8 4 4 2RPCos Qx Cos Sx Cos x Cos x Sen x
Determine el valor de: Q R P S
A. 7
B. -7
C. 1
D. -3
E. 3
3. Si A B C , simplifica:
. .
2 2
A A
SenA Sec SenB SenC Tg
W
SenB SenC
A.
2
B
Ctg
B.
2
C
Ctg
C.
2
B C
Ctg
D.
2
B C
Ctg
E.
4
B C
Ctg
4. Si: 1 2W Cos x Cosx
Determine una expresión equivalente de W en factores:
A. 4 .
2
x
Cosx Cos
B. 4 .
2
x
Senx Cos
C. 4 .
2 6
x
Cosx Cos
D. 4 .
2 6
x
Cosx Cos
E. 4 . .
2 6 2 6
x x
Cosx Cos Cos
5. De la figura determine el valor de :
7
0
8
0
S
en
S
en
70 80Cos Cos
A. 30°
B. 45°
C. 53°
D. 60°
E. 75°
6. Si en un triángulo ABC se cumple:
2.
2
A
SenB SenC Cos
Entonces dicho triángulo es:
A. Isósceles
B. Equilátero
C. rectángulo
D. acutángulo
E. oblicuángulo
321
APREMUNI AMBO-2020
7. Si:
. .
2
Cosx Cosy Cosz m
x y z
Calcular:
2 2 2W Sen x Sen y Sen z
A. m
B. 2m
C. 2 1 m
D. 2 1 m
E. 2 1m
8. Reducir:
7
2 2 2 4 2 6
Sen x
E Cos x Cos x Cos x
Senx
A. Senx
B. Cscx
C. Tgx
D. 1
E. 1
9. Determine el mínimo valor de la expresión E definida por:
3 4 4 3 .E Cos x Sen x Senx
A. -3/2
B. 1/2
C. -1/2
D. 0
E. 3/2
10. Calcular:
24
34 52 88
25
E Sen Sen Sen
A.
1
4
B.
1
4
C. 4
D. 4
E. 1
11. Si: os( 120º ) os( 120º )m C C
os . osn C C y 60º
Hallar el valor de la expresión: E m n
A. 1/2
B.
1
os( )
2
C
C.
1
os( )
2
C
D. -1/2
E.
1
os( )
2
C
12. Hallar el área del cuadrilátero PQRS .
3
4
x
P
Q
S
A.
2 5
7
2 2
x
Sen Cos
B.
2
7
2
x
Sen Cos
C.
2 11 5
2 2 2
x
Sen Cos
D.
2 11 5
2 2 2
x
Cos Cos
E.
2 5
7
2 2
x
Cos Cos
13. Si
2
3
Cos .
Calcular:
5
2 . 3 . .
2 2
R Sen Sen Cos Cos Sen Sen
A.
1
9
B.
1
9
C.
25
162
D.
25
162
E.
1
162
14. Hallar el valor de k en la expresión:
os130º 100º os70ºkC Sen kC
A. -1
B. 0
C. 1
D. 3
E. 1/3
15. Calcular el valor de E donde:
322
APREMUNI AMBO-2020
1
70º os100º 50º 20º os140º
3
E Sen C Sen Cos C
A. 10ºSen
B. 3 os10ºC
C. 3 os10ºC
D. 20ºSen
E. 0
16. Simplificar :
( )
os( ) os( )
Sen x y z Sen x y z
E
C x y z C x y z
A. Tanx
B. Ctgx
C. Tan x y
D. Tan x z
E. ( )Tan y z
17. En un triangulo ABC, A-B=60º hallar :
os 2 os 2
os 2
C A C B
E
C C
,
A. 1
B. 2
C. 1
D. 2
E. 3
18. Si:
2 2 2os ( ) ( ) 2Sen C x Sen x
Calcular 2Sen x en términos de
A.
2
Ctg
B.
2
Tan
C. 2Tan D. 2Ctg
E.
2
Tan
19. Simplificar:
( )
os os os( ) 1
SenA SenB Sen A B
C A C B C A B
A. ( )Tan A B
B. ( )Tan A B
C. ( )
2
A B
Tan
D.
2
A B
Ctg
E. ( )
2
A B
Tan
20. Determine el intervalo de M definida como :
1
os 2 . os os
2
M C x C x C x ;
2
,
3 3
x
A.
1 1
,
4 2
B.
1 1
,
4 2
C.
1 1
,
412
D.
1 1
,
2 2
E.
1
,0
4
21. Dado x y z
Además:
24 osSen x Cosy C z
Entonces el valor de:
2 2
y z
Tan Tan
A.
3 4 os
5 4 os
C x
C x
B.
3 4 os
5 4 os
C x
C x
C.
4 3 os
4 5 os
C x
C x
D.
4 3 os
5 4 os
C x
C x
E.
4 3 os
4 5 os
C x
C x
22. Si A B C , simplifique:
2 2
A A
SenASec SenB SenC Tan
L
SenB SenC
A.
2
B C
Ctg
B.
4
B C
Ctg
C.
3
B C
Ctg
D.
2
B C
Ctg
E.
4
B C
Ctg
323
APREMUNI AMBO-2020
CAPITULO XI
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos
A. FUNCIÓN SENO:
2Sen x;y R | y Senx
D(Sen):x R
Es continua en todo su dominio, es decir x R
Es periódica y su período es ;
Es variable con respecto a su crecimiento (crece y decrece por
tramos).
Es función impar:
B. FUNCIÓN COSENO:
2Cos x;y R | y Cosx
D (Cos): x R
R (Cos): y = Cos
Es continua en todo su dominio, es decir x R .
Es periódica y su período es ;
Es variable con respecto a su crecimiento (crece y decrece por
tramos).
Es función par:
C. FUNCIÓN TANGENTE:
2Tan x;y R | y Tanx
D (Tan): x R (2k 1) ;k Z
2
R (Tan): y = Tanx
Es continua en todo su dominio, es decir
x R (2k 1) ; k Z
2
Es discontinua para osea
Para
x (2k 1) k Z
2
Es creciente en todos los intervalos continuos de su dominio.
Es periódica y su periodo es
Es función impar:
D. FUNCIÓN COTANGENTE:
2Cot {(x; y) R | y Cotx}
D (Cot): x R k ; k Z
R (Cot): y = Cot x R
Es continua en todo su dominio, es decir
x R k ,k Z .
Es discontinua para x = 0, osea para x k ; k Z .
Es decreciente en todos los intervalos continuos de su dominio.
Es periódica y su periodo es
Es función impar
E. FUNCIÓN SECANTE:
2Sec {(x; y) R | y Sec x}
D (Sec): x R (2k 1) ;k Z
2
R (Sec): y =
Es continua en todo su dominio, es decir:
x R k (2k 1) ; k Z
2
Es discontinua para , ... osea para
; k Z
Es variable con respecto a su crecimiento (crece y decrece por
tramos).
Es periódica y su periodo es ;
Es función par:
F. FUNCIÓN COSECANTE:
2Csc {(x; y) R | y csc x}
D (Csc): x R k ; k Z
R (Csc): y =
Es continua en todo su dominio, es decir x R k ; k Z .
Es discontinua para x = 0, , ... osea para
x k ; k Z
Es variable con respecto a su crecimiento (crece y decrece)
Es periódica y su periodo es ;
Es función impar:
R(Sen):y Senx [ 1;1]
2 T(Senx) 2
Sen( x) Senx
x [ 1;1]
2
T(Cosx) 2
Cos( x) Cosx
3
x ; ;...
2 2
T(Tanx)
Tan( x) Tanx
2
T(Cot x)
Cot( x) Cotx
x ; 1] [1;
x ; 3
2 2
x (2k 1)
2
2 T(sec x) 2
Sec( x) Sec x
Csc x : 1] [1;
2
2
T(Csc x) 2
Csc( x) Csc(x)
324
APREMUNI AMBO-2020
PRÁCTICA 11
1. Hallar el dominio de: 2 5 3f x Tg x
A. / 2 1 ;
9
x x n n
B. / 2 1 ;
10
x x n n
C. / 3 1 ;
13
x x n n
D. / 2 1 ;
15
x x n n
E. / 2 1 ;
11
x x n n
2. Hallar el rango de:
2
4
4 4 , ,3
3
f x Cos x Cos x x
A. 1, 2
B. 1,8
C. 1,1
D. 1,3
E. 1,6
3. Si
3
,
2
x
, determine el rango de la función:
2
2
1
3
1
Tgx
f x
Tg x
A. 4,5
B. 4,5
C. 4,5
D. 4,0
E. 4,5
4. Sean las funciones f y g definidas por:
2 1f x Sen x
g x ExSecx
Hallar
f gD R .
A. 5, B. 4, C. 3,
D. 2, E. 1,
5. Esbozar la gráfica de la función f definida por:
2
.
Sen x
f x Tgx Cosx
Cosx
A. B.
y
x
0
2
2
y
x
0
1
2
C. D.
y
x
0
2
1
3
2
2
y
x
0
2
1
3
2
2
E.
y
x
0
2
1
3
2
2
6. Determine el área de la región sombreada del gráfico
adjunto.
y
x
0
4
2
x
y Sen
A.
28 u
B.
26 u
C.
24 u
D.
22 u
E.
210 u
7. Determine el rango de la siguiente función:
.Cosx Ctgx
f x
Ctgx
A. 1,1 0,2
B. 1,0 0,1
C. 1,0 0,5
D. 1,0 0,2
E. 1,1 0,3
325
APREMUNI AMBO-2020
8. Calcular el período mínimo de la función f definida por:
2 2
1
.
4
f x Sec x Secx Cscx Csc x
A.
6
B.
3
C.
3
3
D.
3 E.
9. Halle el período mínimo de la función G definida por:
24 12
48 1
3 5 7
x x
G x Sen x Cos Sen
A.
12
B.
5
12
C.
35
6
D.
7
6
E.
24
10. Hallar el dominio de la siguiente función:
21 6
5
x
f x Sec
A.
B.
2 1
;
2
n
x n
C.
2 1 5
;
2
n
x n
D. ;x n n
E.
2 1 5
;
2
n
n
11. Hallar el dominio de la siguiente función:
4 3 , 0,2f x Versx Covx x
A.
5
,
2 2
B.
5
,
7 7
C. ,
3
D.
5
,
4 4
E. ,
5
12. Dada la función:
3
3 , ,
2 2
f x Senx Cos x x
Hallar un valor de " "x para que la función sea nula.
A.
3
4
B.
5
2
C. 4 D.
5
4
E. 2
13. Determine el rango de la función:
5 3f x Cos x
A. 5,5 B. 5,5 C. 0,5
D. 5,0 E. 1,1
14. Un objeto se mueve de acuerdo a la ecuación :
2 8
4
y Sen t
donde " "t está medido en minutos. ¿Cuál es el periodo,
cuántos ciclos se completan en 10 minutos y cuál es la
distancia que hay desde el objeto hasta el origen cuando
0t ?
A. 1/4, 20 ciclos, 2m. B. 1/2, 40 ciclos, 1m.
C. 1/4, 40 ciclos, 1m. D. 1/4, 10 ciclos, 1m.
E. 1/2, 20 ciclos, 2m.
15. Hallar el rango de la función:
1 2
4
f x Cos Senx
A. 1,1 2 B. 1, 2
C. 1,1 2 D. 1,1 2
E. 1, 2
16. Sea f la función definida por:
f x Ctg Cosx
Hallar el dominio de f
A. ;
2
k
k
B.
C. ;k k
D.
2 1
;
2
k
k
E.
Continuar navegando
Materiales relacionados
Preguntas relacionadas
Compartir