ARITMETICA SEM 10 - 2022 III

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Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
ARITMÉTICA 
CICLO 2022 - III 
 
 
Equipo docente 
 
M.C.D – M.C.M 
“MCD - MCM” 
 
Hallando sus divisores: 
24: 1 ,2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 
Semana Nº 10 
INTRODUCCIÓN: 
 
El método de obtención del Máximo Común 
Divisor por divisiones sucesivas aparece ya 
descrito en el siglo IV (antes de nuestra era) 
en la obra “Elementos” del matemático griego 
Euclides. Es sorprendente la estrecha relación 
de este método con la obtención de los 
términos de una fracción continua. 
 
MOTIVACIÓN: 
 
1. Dos ciclistas recorren un circuito circular con 
velocidades de 30 km/h y 50 km/h, si ambos 
ciclistas parten del punto “A” la misma hora. 
¿Después de cuántas horas ambos ciclistas 
volverán a pasar juntos por el punto A? 
 
2. Si las medidas de un ladrillo son 15 cm, 20 
cm y 25 cm. C? Cuántos de estos ladrillos se 
necesitarán para construir un cubo cuyo lado 
sea el menor posible? 
 
3. En una empresa se tiene tres cilindros de 
aceite de 210, 300 y 420 litros de capacidad 
respectivamente. El número de recipientes 
que tengan máxima capacidad y que 
contengan a los tres cilindros sería: 
 
1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD): 
 
Dado un conjunto de cantidades se define al 
MCD de estas como aquel número que cumple 
las siguientes condiciones: 
I. Es un divisor común de las cantidades. 
II. Es el mayor de los divisores comunes. 
 
Ejemplo: 
Sean los números 24; 60 y 84 
60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 
84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 
 
Divisores comunes: 1, 2, 3, 4, 6, 12 
máximo 
Por lo tanto: MCD ( 24 , 60, 84 ) = 12 
Observación: 
Los divisores comunes de un conjunto de 
cantidades son los divisores de su MCD. 
El MCD está contenido en los números. 
 
Aplicación 01: 
 
1. ¿Cuántos divisores comunes tienen los 
números 90 y 120. 
 
2. Si el MCD ( A , B , C ) = 720. ¿Cuántos 
divisores comunes tienen A, B y C? 
3. ¿Cuántos divisores comunes múltiplos de 
35 tienen los números A y B si su MCD es 
840? 
 
El MCD de cantidades PESI es la unidad. 
 
Aplicación 02: 
 
Calcule el MCD de abc y ab(c −1) 
El MCD de cantidades que son múltiplos de un 
módulo, es también múltiplo de dicho módulo. 
 
Aplicación 03: 
 
Halle el MCD de abc! y 8! 
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  
2. MINIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM): 
 
Dado un conjunto de cantidades se define el 
MCD de estas como aquel que cumple lo 
siguiente: 
I. Es un múltiplo común de las cantidades. 
II. Es el menor de estos múltiplos comunes. 
 
Ejemplo: 
Sean los números 10, 15 y 30 
Hallando sus múltiplos: 
10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, … 
15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, … 
30: 30, 60, 90, 1230, 150, 180, … 
 
Múltiplos comunes: 30, 60, 90, … 
 
Por lo tanto: MCM ( 10 , 15, 30 ) = 30 
 
Observación: Los múltiplos comunes de un 
conjunto de cantidades son múltiplos de su 
MCM. 
El MCM es un número que contiene a los 
números. 
 
Aplicación 04: 
 
1. ¿Cuántos múltiplos comunes de 3 cifras 
tienen los números 3, 4 y 5? 
 
2. Calcule la suma de los 10 primeros múltiplos 
de 24 y 36. 
 
Aplicación 05: 
 
1. Si N  2000 además MCD ( N , 1500 ) = 50. 
¿Cuántos valores asume N? 
 
2. Si tenemos que llenar cuatro cilindros de 
capacidad: 72, 24, 56 y 120 galones. ¿Cuál es 
la máxima cantidad del balde que puede 
usarse para llenarlos exactamente? 
 
3. Halle ( a + b ) si el MCM de los números 
 
 
a(b − 6) y a(b − 3) es 90. 
3. RELACIÓN ENTRE EL MCD Y EL MCM: 
 
En general : Sean los números A , B y C. 
MCD (A , B , C ) = k 
 
A = p.k B = q.k C = r.k 
Donde: p, q y r son PESI. 
En general : Sean los números A , B y C. 
MCM (A , B , C ) = m 
 
m = A.p m = B.q m = C.r 
 
En general para dos números A y B se cumple: 
Entonces: m = k.p.q 
A.B = k.m 
 
Aplicación 06: 
¿Cuántos pares de números cumplen la 
condición de que su MCD sea 36 y el MCM de 
ellos es 4284? 
 
4. PROPIEDADES: 
 
a) Si MCD ( A , B , C ) = k 
MCD ( n.A , n.B , n.C) = n.k 
b) Si MCM ( A , B , C ) = m 
MCM ( n.A , n.B , n.C) = n.m 
Aplicación 07: 
1. Si: MCD ( 36A , 4B ) = 64 
MCD ( 12B , 4C ) = 36 
 
Calcule el MCD ( 27A , 3B , C ) 
 
2. Sea N un número entero positivo tal que: 
MCD
 N 
, 
3N 
, 
4N  
= 21 
 2 5 7  
Calcule la suma de cifras de N. 
 
3. Halle A.B si el MCM ( 42A , 6B ) = 1218 y 
MCD ( 77A , 11B ) = 132 
 
4. SI: A = 20 x 30n y B = 30 x 20 n. 
Calcule el valor de “N para que se cumpla que 
su MCM sea igual a 18 veces su MCD. 
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5. DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO 
DE EUCLUDES: 
Teorema: En toda división entera inexacta el 
MCD del dividendo y el divisor es el MCD del 
divisor y el residuo. 
 
Aplicación 08: 
1. Calcule el MCD de 156 y 120. 
2. Al calcular el MCD se A y B por divisiones 
sucesivas los cocientes fueron: 2, 1, 3, y 2 
respectivamente. Halle los números si su MCD 
es 10. 
3. Dos números suman 312 y al calcular su 
MCD por divisiones sucesivas los cocientes 
fueron: 3, 1, ,3 y 3. Calcule los números, si la 
penúltima división se realizó por exceso. 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
1. El MCD de dos números es 14 si la suma 
de los números es 182. ¿Cuántos pares de 
números cumplen la condición? 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
2. Halle dos números enteros sabiendo que su 
MCD es igual a 36 y su suma es 216. Indicar 
el mayor de dichos números. 
 
a) 140 b) 180 c) 120 d) 160 e) 150 
 
3. La suma del MCD y el MCM de dos 
números es 612. Si la razón de los números 
es 11/3. Halle la suma de los números. 
 
a) 225 b) 243 c) 252 d) 248 e) 280 
 
4. Dos números naturales son entre sí como 5 
es a 9. Si su MCM es 945. ¿Cuánto vale el 
menor de dichos números? 
 
a) 130 b)110 c) 125 d) 105 e) 135 
 
5. El producto de 2 números es 160. El 
cociente de dividir la media aritmética por la 
media armónica del MCD y MCM de dichos 
6. Halle dos números enteros sabiendo que su 
producto es igual a 12 veces su MCM y que 
su suma es igual a 6 veces su MCD. Indique 
el menor de dichos números. 
 
a) 10 b) 14 c) 16 d) 12 e) 20 
 
7. Si el producto del MCM de dos números por 
5 veces su MCD es igual a 100 y el MCM 
más 10 veces el MCD es igual a 30, uno de 
los números será: 
 
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 4 
 
8. El cociente de 2 números es igual a su MCD. Si su 
MCM es igual a 81. El menor de dichos números 
es: 
 
a) 9 b) 18 c) 15 
D. 81 e) 36 
 
9. Al dividir 300 y 400 entre “k” los residuos 
respectivos fueron 20 y 8. Halle el mayor 
valor de “k”. 
 
a) 56 b) 58 c) 60 d) 62 e) 64 
 
10. La cantidad de valores naturales que 
puede tomar “a” tal que: 
 
M.C.D ( a ; 360 ) = 20 , ( a  300 ) , es: 
a) 5 b) 7 c) 11 d) 12 e) 16 
11. ¿Cuántos divisores comunes de 2592 ; 
2304 y 1440 son múltiplos comunes de 6; 8 y 
9? 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
12. Si: MCD ( 2m, 4m, 2m + 1, 3m ) = 3m – 20; 
m  N, entonces la suma de las cifras del 
MCM ( 2m, 2m + 1, 3m ) es: 
 
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
números es el número mixto 3 
1 
. 
40 
 
 
13. El MCD de 18xy y 1yyc 
x + y + c es: 
es 126, luego 
Calcule la suma de los números. 
 
a) 40 b) 60 c) 36 d) 28 e) 32 
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 20 
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5   
  
14. Si el número abcabc(7) es el menor 
múltiplo de 83; entonces ( a + b + c ) es: 
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 
 
15. Si MCD ( 540 ; ab ) = 9 . Halle a – b. 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
16. Si MCM ( A , B ) = A2 y 
MCD ( A , B ) = 21. 
Luego la suma de cifras de B es: 
 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 
 
17 Hallar “K” sabiendo que: 
 
MCD ( 210K ; 300K ; 420K ) = 1200 
 
a) 20 b) 30 c) 35 d) 40 e) 25 
 
18. Determine el valor de k si: 
23. Se tiene: 8B + 1 = A2 y MCM ( A, B ) = 
3720 
Hallar A + B. 
 
a) 131 b) 151 c) 170 d) 141 e) 149 
 
24. El MCMde dos números es 15120, si se 
desea obtener el MCD mediante el algoritmo 
de Euclides, los cocientes sucesivos son: 1, 
1, 6 y 2. Luego la diferencia de los números 
es: 
a) 458 b) 460 c) 468 d) 470 e) 560 
 
25. Al calcular el MCD de los números a2b y 
cd6 por el método del algoritmo de Euclides, 
se obtuvo por cocientes a: 2, 3; 1 y 5. 
Calcular el valor de ( a + b + c + d ) 
 
a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 
 
26. Al calcular el MCD de los números 
(a +1)bcd y aa(a + 6)(a + 6) por 
MCM 
 21k 
, 
7k 
, 
9k  
= 630 
10 5 
a) 20 b) 30 c) 50 d) 40 e) 60 
 
20. Si: MCD ( A , B ) = k 
MCD ( C ,D ) = k/4 
MCD ( A , B , C , D ) = 15 
 
El valor de “k” es: 
 
a) 30 b) 36 c) 48 d) 60 e) 90 
 
21. Se tiene 2 números A y B tales que: 
 
MCD ( 3A ; 3B ) = 24 
MCM ( A/4 ; B/4 ) = 30 
 
Halle A + B sabiendo que no son divisibles 
entre sí. 
a) 48 b) 60 c) 64 d) 72 e) 84 
 
22. Si el MCM ( 42A , 6B ) = 8064 y 
además: MCD ( 77A ; 11B ) = 88 
Hallar A x B. 
 
a) 1346 b) 1546 c) 1586 d) 1576 e) 1536 
divisiones sucesivas, los cocientes fueron: 1, 
1, 2 y 3. Calcule el mayor de los números si 
la tercera división se hizo por exceso. 
 
a) 3718 b) 1817 c) 3917 d) 2288 e) 2188 
 
24. Halle el MCD de A y B. 
 
A = 66 … 6(7) ( 10 cifras) 
 
B = 66 … 6(7) ( 12 cifras) 
 
a) 40 b) 45 c) 48 d) 342 e) 343 
 
25. Halle en qué cifra termina el MCM de: 
A = 7862 – 1 ; B = 71293 - 1. 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
26. Si: A = MCM ( 75!, 76!, 77!, …, 84! ) 
B = MCD ( 83!, 84!, … , 98! ) 
Calcule en cuántas cifras ceros termina A x B. 
a) 32 b) 34 c) 36 d) 38 e) 40 
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27. ¿Cuántos números de 2 cifras existen tal que 33. Al calcular el MCD de abbc y cbba por 
el MCD de dichos números y sus 
complementos aritméticos es 10? 
 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 2 
 
28. Un ciclista da 12 vueltas en 7 minutos en 
una pista circular, mientras que otro ciclista 
da 13 vueltas en 9 minutos. ¿En cuántos 
el algoritmo de Euclides, los cocientes 
sucesivos fueron: 2, 2; 1, 1 y 2 
respectivamente. Hallar “b”, sabiendo que 
a – c = 4. 
 
a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 3 
 
34. Hallar el valor de. X + y + a si los cocientes 
obtenidos al calcular el MCD de los números minutos el ciclista más veloz sacará una 
ventaja de 68 vueltas? a(a + 2)(a + 4) y 6xy por divisiones 
sucesivas han sido 1; 3 y 4. 
a) 231 b) 245 c) 250 
d) 252 e) 258 a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 3 
 
29.Si las medidas de un ladrillo son 15 cm, 20 
cm y 25 cm. C? Cuántos de estos ladrillos se 
necesitarán para construir un cubo cuyo lado 
sea el menor posible? 
 
a) 2301 b) 3245 c) 2500 
d) 2520 e) 3600 
35. Al calcular el MCD de 2 A y B por el 
método de algoritmo de Euclides se observó 
que los dos primeros residuos 54 y 36. 
Además la suma de los cocientes sucesivos 
fue 17, si el numeral “A” es el mayor posible. 
¿Cuál es su valor? 
 
a) 2952 b) 2852 c) 2972 
d) 2978 e) 2752 
30. Calcular la suma de las cifras de a y b, que son 
diferentes, si se sabe que el MCM de los núme3ro6s. Hallar ( a + b ), sabiendo que los cocientes 
ab ; bb y aa es 1287? sucesivos al calcular el MCD por el algoritmo 
de Euclides de los números: 
a) 4 b) 10 c) 12 (a +1)ab y (a − 2)(b +1)0 
d) 13 e) 16 
 
31. Si 2 números enteros se multiplican por 4, su 
MCD y MCM aumentan en 54 y 11934 
respectivamente. 
fueron: 1, 1; 1, 3 y 2 
 
a) 10 b) 11 c) 14 d) 12 e) 13 
 
37. Si al calcular el MVD de ab(a −1) y 3b8 
Determinar el mayor número si es de 3 cifras. 
 
a) 308 b) 310 c) 306 
d) 316 e) 286 
 
32. Al calcular el MCD de dos números por el 
algoritmo de Euclides, se obtienen como 
cocientes 2, 1, 3 y 2. Si el primer y tercer 
restos fueron por exceso y el producto de 
dichos números es 197568. El menor de 
 
por el algoritmo de Euclides se obtuvo; 1; 2, 
2 y 3 como cocientes en dicho orden. 
Calcular “a – b”. sabiendo que la 
segunda división se realizó por exceso y 
a  3. 
 
a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 83 
dichos números es: 
 
a) 390 b) 391 c) 392 
d) 393 e) 394 
38. Encontrar el mayor número “n”, tal que si: 
1200; 1671; 1985 y 3084 se divide entre 
“n” dejan el mismo residuo. 
 
a) 137 b) 141 c) 149 d) 157 e) 153 
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