ARITMETICA-SEM6-CEPUNS

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Centro Preuniversitario de la UNS S-6 Ingreso Directo 
 CEPUNS 
 CICLO 2022–II 
 ARITMÉTICA 
“DIVISIBILIDAD” 
 
 
INTRODUCCION: 
En muchas ocasiones no es necesario realizar la 
división para saber si es exacta o no por ejemplo; 
“Un comerciante tiene 1320 naranjas y desea 
empacarlas en bolsas que contengan 5 naranjas 
cada una”. El comerciante sabe de antemano que 
no le va a sobrar ninguna naranja y ello porque 
1320reúne algunas condiciones son justamente las 
que vamos a estudiar y no solamente determinar si 
la división es exacta o no entre 5, sino con otras 
cantidades también. 
 
ECUACIONES DIOFÁNTICAS 
Aplicación 1: 
01. Un comerciante compró medias, camisetas y 
pantalones. Si cada par de medias costó 2 soles, 
cada camiseta 20 soles y cada pantalón 40 soles 
y además compró un total de 100 artículos 
gastando para ello 400 soles. ¿Cuántos pares de 
medias compró? 
Rpta: ....... 
DIVISION ENTERA 
En general: 
dD
qr
 D = d x q + r
Algoritmo de la 
 Divisió entera
 


0Zr
)0d(Z,q,d,D
:Nota
 
CLASES DE DIVISION ENTERA 
División Exacta: (r = 0) 
Ejemplo 1: 
756
80
56 = 7 x 8
  
En general: 
dD
q0
 D = d x q
 
 
División inexacta: (r  0) 
 Por defecto Por exceso
851
63
51 8
75
51 = 8(6) + 3 51 = (7) - 5
dD
qr
dD
q + 1
e
 r
D = dq + r D = d(q + 1) - r
e 
drer.iii
1dr
1r.ii
dresiduo0.i
:cumplese),0r(inexactaenteradivisióntodaEn
:Nota
imomáx
imomín





 
DIVISIBILIDAD: 
DEFINICION: 
Un número entero A es divisible entre otro número 
positivo “B”, si al dividir “A” entre “B” la división es 
entera y exacta. 
Ejemplo: ¿65 será divisible entre 13? 
En general: Sean Zk,ZB,ZA   
BA
k0
Como:
 
Luego se afirma que: “A” es divisible entre “B” 
 (“B” es divisor de “A”) 
Además A = B ( K), luego se afirma que:
Módulo 
“A” es múltiplo de “B” 
(“B” es factor de “A”) 
Notación: 
Si “A” es múltiplo de “B” 
oo
B)K(BBA  
Ejemplo: 
 6424,424 xporque
o
 
  Zbyasibabxa
o
, 
 Semana Nº 06 
 
 Equipo de Docentes de Aritmética. 
 
 
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Conclusiones: 
1. Todo número entero positivo múltiplo de sí 
mismo.  ZB;BB
o
 
 
2. El cero es múltiplo de todo número entero 
positivo.  ZK;K0
o
 
 
Si “A” no es divisible entre “B” 
Ejemplo: ¿30 será divisible entre 7? 
Rpta: No, porque al dividir 30 entre 7 la división es 
inexacta, esto es: 
Por defecto Por exceso
730
4r = 2
730
5 r = 5
e
30 = 7(4) + 2
7
o
30 = 7(5) - 5
7
o
 
Es decir: 
30 = 7 + 2 =7 - 5
r r
e(+)
d = 7
o o
 
En general: 
Si “A” no es divisible entre “B”: 
Defecto Exceso
BA
Kr
A = B(K) + r
BA
K+1 r
A = B(K+1) - r
e
e
 
 e
oo
rBrBA  BrrNota e : 
 
Aplicación 1: 
02. En un barco habían 180 personas, ocurre un 
naufragio y de los sobrevivientes, 2/5 fuman, 
3/7 son casados y los 2/3 son ingenieros. 
Determinar cuántas personas murieron en 
dicho accidente. 
 
A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80 
 
03. A una reunión de 2 países asistieron 400 
personas. De los representantes del primer país, 
se sabe que los 2/5 son economistas, los 3/7 
son agrónomos y los 3/8 son biólogos. ¿Cuántos 
representan al segundo país? 
 
A) 280 B) 260 C) 120 D) 240 E) 140 
 
04. En una academia hay 510 alumnos. De los 
hombres, los ¾ eran menores de 17 años; los 
2/5 estudiaron el ciclo anterior y los 4/9 quieren 
ser ingenieros. Si las mujeres están 
comprendidas entre 100 y 200. Hallar el 
número de hombres menores de 17 años. 
 
A) 280 B) 200 C) 270 D) 150 E) 240 
 
05. En una fiesta donde asistieron 280 personas 
entre damas, caballeros y niños, la cantidad de 
caballeros que no bailaban en un momento 
dado era igual a la cuarta parte del número de 
damas; la cantidad de niños asistentes era igual 
a la sétima parte del número de damas. Si la 
quinta parte de las damas están casadas, se 
desea saber cuántas damas no bailaban en 
dicho momento. 
 
A) 55 B) 65 C) 45 D) 75 E) 80 
 
06. Si: a + b + c = 6. 
Entonces: bcacababc  Siempre es múltiplo 
de: 
 
 A) 11 B) 74 C) 7 D) 13 E) 27 
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES: 
Las operaciones aritméticas respecto a un mismo 
módulo. 
A. Adición:    
oooo
5555
75351525  
En general: 
ooooo
nnnnn  
 
B. Sustracción:   
ooo
444
361248  
En general: 
ooo
mmm  
 
C. Multiplicación: 
25 x 7 = 175
5 x 7 = 5
o o
 
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En general: 
oo
n)k(n  ; k Z 
 
D. Potenciación: 
6 = 36
2
(3) = 3
o o2
 
En general: 
o
r
o
m)m(  ; r  Z+ 
Nota: 
1.  )37)(27(
oo
…………………………………….. 
En general: cxbxan)cn)(bn)(an(
oooo
 
 
2. )8(4253 …………………………………….. 
3. )6(3152 …………………………………….. 
 
En general: fnabcbdef
o
n )( 
 
NOTA: Si: A =
o
B , entonces “A” es múltiplo de todos 
los divisores de “B” 
 
Ejemplo: 
 * )k(2121N
o
 divisores 21 = 1, 3, 7, 21 
 
oooo
21731N
)k(21)k3(7)k7(3)k21(1N

 
 
 * 
o
1560  divisores 15 = 1, 3, 5, 15 
 
oooo
1553160  
Aplicación 2: 
07. Un alfarero cuenta el número de jarrones que 
ha vendido, y nota que si los agrupa de 7 en 7 
sobra 1; de 9 en 9 sobran 2 y de 13 en 13 
sobran 3. Si cada jarrón lo vendió a S/.15 y 
recaudó entre S/.12 000 y S/.13 000, calcule el 
número de jarrones que vendió. Dé como 
respuesta la suma de sus cifras. 
 
A) 17 B) 15 C) 29 D) 11 E) 20 
 
08. Una empresa tiene 450 empleados, y un cierto 
número de ellos sale de vacaciones. Si se 
agrupan los que quedan de a 10, de a 12, de a 
15 y de a 20, sobran siempre 6; pero 
agrupándolos de a 71 no sobra ninguno. 
¿Cuántos empleados están de vacaciones? 
 
A) 6 B) 16 C) 21 D) 23 E) 24 
 
09. ¿Cuántos numerales de tres cifras existen, tal 
que al ser divididos entre 6; 8 y 9; generan un 
mismo residuo no nulo? 
 
A) 48 B) 65 C) 60 D) 13 E) 12 
 
Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton 
* 2
ooo
2
o
29)29)(29()29(  
* 3
oooo
3
o
29)29)(29)(29()29(  
En general: k
o
k
o
rn)rn(  ; k Z 
* ...........................................................)213( 2 
o
 
* ..........................................................)213( 3 
o
 
En general: 
(13 - r)n
o a - r ; n : impar
a + r ; n : par
o n
no
; a ,r, n Z+
 
Aplicación 3: 
10. Calcule el máximo valor de a si se cumple que 
48...
0
2012
   
sumandos
aaaaaaaaaa 
 
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
11. ¿Cuántos múltiplos de 3 hay en 1; 2; 3; 4; 5; ...; 
284? 
 
A) 90 B) 91 C) 92 D) 93 E) 94 
 
12. ¿Cuántos múltiplos de 3 y 4 hay en 1; 2; 3; 4; 5; 
6; ...; 87? 
 
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 
 
13. Del 1 al 2000, ¿cuántos números son divisibles 
entre 13, pero no entre 7? 
 
A) 153 B) 150 C) 130 D) 131 E) 132 
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14. Del número 2000 al 3000, ¿cuántos números 
son 
o
7 , pero no 
o
13? 
 
A) 132 B) 134 C) 139 D) 143 E) 151 
 
15. ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 
6 y terminan en 2? 
 
A) 300 B) 1499 C) 2300 D) 1066 E) 1666 
 
16. Los números de la forma )2)(2( baab 
siempre son divisibles entre: 
 
A) 8 B) 12 C) 9 D) 51 E) 68 
 
17. ¿Cuántos números de la siguiente sucesión son 
311
0
 ? 
35; 39; 43; 47; ...; ...247 
 
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 
 
18. Si abx7 es múltiplode 5 más 2, halle la suma 
de todos los valores de x. 
 
A) 2 B) 3 C) 7 D) 8 E) 9 
 
19. Si 28
0
A y 58
0
B , ¿cuál es el residuo 
de dividir (A+3)B entre 8? 
 
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 
 
20. Un número de la forma abba )3)(3( es 
siempre múltiplo de: 
 
A) 41 B) 43 C) 11 D) 17 E) 9 
 
21. En un barco había 180 personas. Ocurre un 
naufragio y de los sobrevivientes 2/5 fuman, 
3/7 son casados y 2/3 son ingenieros. 
Determine cuántas personas fallecieron en 
dicho accidente. 
 
A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80 
 
22. A un congreso asisten entre 100 y 200 
médicos. Si se sabe que 2/7 de los asistentes 
son ginecólogos y los 5/11 son cirujanos, 
¿cuántos no son cirujanos? 
 
A) 154 B) 70 C) 84 D) 96 E) 154 
 
23. Si: 
     
0
179663  abababab  
¿cuál es la suma de todos los valores de ab? 
 
A) 330 B) 270 C) 140 D) 180 E) 210 
 
24. Halle cuántos valores puede tomar ab si: 
0
912032  abababab  
 
A) 6 B) 13 C) 14 D) 15 E) 7 
 
25. En la siguiente sucesión: 
6·16; 6·17; 6·18;...; 6·115, ¿cuántos términos 
no son 45? 
 
A) 6 B) 94 C) 93 D) 98 E) 10 
 
26. ¿En qué día de la semana habrá nacido Miriam 
si la fecha fue el 15 de enero de 1968? 
 
A) domingo B) lunes C) martes 
D) miércoles E) jueves 
 
27. Halle un número de 3 cifras que es igual a 5 
veces el producto de sus cifras. Dé como 
respuesta el producto de sus cifras. 
 
A) 45 B) 35 C) 25 D) 30 E) 40 
 
28. Si 3525
00

ba
abab , ¿cuál será el 
resultado al dividir 
ab
ab entre 5? 
 
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 
 
29. Un gerente al ser preguntado por el número 
de personas que trabajan en su empresa 
contesta: “El personal masculino está 
comprendido entre 170 y 200, la tercera parte 
de ellos usan anteojos y la mitad son casados. 
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En cuanto al personal femenino, estas son la 
onceava parte del personal masculino”. Halle 
el total de empleados. 
 
A) 198 B) 200 C) 208 D) 216 E) 218 
 
30. La cantidad de alumnos que se han 
matriculado en el ciclo anual está comprendida 
entre 1700 y 1900. Si estos se agrupan de 45 
en 45 sobran 34, si se hace de 18 en 18 sobran 
7, y si se agrupan de 60 en 60 sobran 49. Halle 
la cantidad de alumnos matriculados. 
 
A) 1709 B) 1711 C) 1789 
D) 1809 E) 1891 
 
31. Halle la suma de las dos cifras de menor orden 
al convertir 123456789 al sistema cuaternario. 
 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 
 
32. Si se cumple que: 
)3(
3354
)6(3254333 abcmn
cifras


  halle el 
valor de a+b+c. 
 
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 
 
33. Un comerciante dispone de S/.132 para 
comprar 3 clases de juguetes cuyos precios son 
S/.18; S/.8,4 y S/.12. Si compró la mayor 
cantidad de juguetes, calcule cuántos juguetes 
compró en total, si compró al menos uno de 
cada tipo. 
 
A) 15 B) 13 C) 14 D) 10 E) 12 
 
34. Determine el residuo de dividir N entre 7. 
N=2533+3236+3939+...+23071011 
 
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 
 
34. Calcule la suma del menor y mayor valor 
posible de ab ; sabiendo que 8995
0
ab . 
 
A) 112 B) 113 C) 114 
D) 115 E) 117 
35. Si el número entero: 





 

2
19
7
abcabc al ser 
dividido entre 64 deja como residuo 55, calcule 
el menor valor que toma abc . 
 
A) 119 B) 115 C) 101 D) 120 E) 122 
 
36. Si los números n y p no son múltiplos de 5, 
entonces la expresión 
 
32p32n+28p28n+24p24n+...+4p4n será 
 
A) 25
0
 B) 15
0
 C) 15
0
 D) 25
0
 E) 
0
5