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1 Aritmética S-1 Ingreso Directo CICLO 2022 – II ARITMÉTICA “TEORÍA DE CONJUNTOS I” Noción de Conjunto Concepto no definido del cual se tiene una idea subjetiva y se le asocian ciertos sinónimos tales como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados “integrantes” u elementos susceptibles de ser comparados. Ejemplos 01: Los países del continente americano. Notación Ejemplo 02: A = los días de la semana Relación de Pertenencia () “....pertenece a .....” : “... no pertenece a ..”: Determinación de un Conjunto Puede hacerse de 2 formas: a) Por Extensión o forma tabular. Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los integrantes ¡IMPORTANTE! No todos los conjuntos pueden ser expresados por extensión, entonces se recurre a otra forma de determinación. b) Por Comprensión o forma constructiva Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada. Esquema / (se lee “tal que”) A = .......................... Regla de Restricción Correspondencia y/o característica o forma general (propiedad común) del elemento CONJUNTOS NUMERICOS 1. Conjunto de los números naturales IN = 1,2,3,4.... Ejemplo: 17 IN IN O = IN* = 0,1,2,3,.... Observación: Cero (0) es natural 2. Conjunto de los Números Enteros ZZ = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... 3. Conjunto de los Números Racionales Q = a/b / a ZZ b ZZ b 0 3 Q porque : 3 = 1 3 0,5 Q porque 0,5 = 10 5 = 3,141592... Q porque b a Aplicación I 01. Dado el conjunto A={5; 6; {2; 3}; {3}}, determine si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) y elija la secuencia correcta. I. {3} ∉ A … ( ) II. {5; 6} ∈ A … ( ) III. 6 ∈ A … ( ) IV. {2; 3} ∈ A … ( ) A) FVFV B) FFVV C) FVVV D) FVFF E) FFVF 02. Dado el conjunto B={2; 5; {4; 4}; {7}}, indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto de las siguientes proposiciones. I. 7 ∉ B … ( ) II. {4} ∈ B … ( ) III. 5 ∈ B … ( ) IV. {2; 4} ∉ B … ( ) A) VFVV B) VFFV C) VFVF D) VVVV E) FFVV Aplicación II 03. Dado el conjunto M = {(x+1) ∈ Z+ / 3x < 15}, ¿cuál de las siguientes proposiciones es incorrecta? A) 2 ∈ M B) 8 ∉ M C) 10 ∉ M D) 9 ∈ M E) 5 ∈ M 04. Determine la suma de los elementos de M. Semana Nº 1 Equipo de docentes Centro Preuniversitario UNS - CEPUNS 2 Aritmética S-1 Ingreso Directo M = {x ∈ Z/−10 ≤ 2x + 4 < 20} A) 7 B) 15 C) 8 D) 6 E) 0 05. Determine la suma de los elementos de B. B = {x ∈ N /−6 ≤ 3x ≤ 18} A) 12 B) 21 C) 18 D) 16 E) 20 06. Determine por comprensión el siguiente conjunto. M={9; 18; 29; 42; 57; ...; 218} A) M = {x2 / x ∈ Z ∧ 3 ≤ x < 16} B) M = {(x2 – 7) ∈ Z / 4 ≤ x < 15} C) M = {x2+5 / x ∈ Z ∧ 2 ≤ x ≤ 15} D) M = {x2 – 7 / x ∈ Z ∧ 4 ≤ x ≤ 15} E) M = {3x+3 / x ∈ Z ∧ 1 < x ≤ 71} Cardinal de un Conjunto Se llama Número Cardinal de un conjunto A a la clase de los conjuntos coordinables con A (es decir el número cardinal es una clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a señalar que el número cardinal, es el número de elementos del conjunto A y se denota como n(A) ó card(A) Ejemplo 03: A = 3, 6, 9, 12, 15 entonces n (A) = 5 Número Ordinal Teniendo en cuenta una disposición de los elementos dentro del conjunto del cual forman parte, cada uno determina su número ordinal como el lugar que ocupa en el orden establecido. Notación: Ord (x) : número ordinal de x S = 7, a, , 13 ord (a) = 2, ord () = 3 Aplicación III 07. Dados los conjuntos: A = {x –1 / x es par, 2 < x ≤ 13} B = {2x / x ∈ Z, – 4 < x < 3} Calcule n(A)+n(B). A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 08. Dados los conjuntos A = {2x –1 / x ∈ Z+, 3 ≤ x < 8} B = {(2x –1) ∈ Z+ / 3 ≤ x < 8} Halle n(A)×n(B). A) 50 B) 25 C) 65 D) 75 E) 100 Cuantificadores a. Universal: Se denota por “” y se lee “para todo” o “para cualquier” b. Existencial. Se denota por “” y se lee “existe por lo menos un” Aplicación IV 09. Dado M={2; 3; 4; 5} señale la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. ∃ x ∈ M / 3x – 2 ≥ 3 II. ∀ x ∈ M: 2x < 11 III. ∀ x ∈ M: x+3 ≥ 6 A) VVF B) VFF C) VFV D) FVF E) FVV 10. Dado M={2; 3; 4; 5} indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. ∀ x ∈ M / 2x+1 < 11 II. -∃x ∈ M: x+4 ≥ 8 III. ∃ x ∈ M / ∀ y ∈ M: x+y > 5 A) FVF B) VFF C) VFV D) FFV E) FVV Negación de los Cuantificadores (xA : P(x)) x A/ P(x) (xA / P(x)) x A: P(x) Diagramas de Venn – Euler Es la representación geométrica de un conjunto mediante una región de plano limitado por una figura geométrica cerrada en cuyo interior se indican los “elementos” que forman el conjunto Diagrama (Lewis – Carroll) Su verdadero nombre es Charles-Dogston autor de “Alicia en el país de las Maravillas” utilizando un Equipo de docentes Centro Preuniversitario UNS - CEPUNS 3 Aritmética S-1 Ingreso Directo lenguaje lógico – matemático utiliza el Diagrama en conjuntos disjuntos haciendo partición del universo. Ejemplo 04: H : Hombres M : Mujeres S : Solteros C : Casados F : Fuman Diagrama Lineal – Hasse Utiliza segmentos de línea y es utilizado en conjuntos transfinitos e infinitos. Ejemplo 05: Diagrama Lineal Diagrama Hasse Relación de Inclusión () Se dice que un conjunto está incluido en un segundo conjunto, cuando todos los “elementos” del primero forman parte del segundo conjunto. : “incluido o contenido” A B: “A esta contenido en B” “A es subconjunto en B” “B contiene a A” A B x A : x A x B Observación: El vacío está incluído en cualquier conjunto. Conjuntos comparables Se dice que dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro. A B (A B A B) v (B A B A) Conjuntos Iguales Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos “elementos”. A = B A B B A Conjuntos Disjuntos o Ajenos Dos conjuntos se denominan disjuntos cuando no poseen ningún elemento en común Ejemplo 06: C = x / x es un hombre D = x / x es una mujer C y D son disjuntos - Si dos conjuntos son disjuntos ambos serán diferentes. - Si dos conjuntos son diferentes entonces no siempre serán disjuntos. Ejemplo 07: E = 5, 2, a, b , F = 4, 3, c, d E y F son disjuntos E F G = 1, 3, c, d, 7, H = 2, 8, e, f, c G H pero G y H no son disjuntos Conjuntos Coordinables o Equipotentes Dos conjuntos serán coordinables cuando se pueda establecer una correspondencia uno a uno entre todos y cada uno de los elementos del primer conjunto con los del segundo conjunto. A dicha correspondencia se le denomina biunívoca y como consecuencia de estos se tiene que las cardinales de estos conjuntos son iguales (si son finitos). Ejemplo 08: A = Lima, Caracas, Bogotá, Santiago B = Perú, Venezuela, Colombia, Chile Se observa que es posible establecer la correspondencia biunívoca: “.... es capital de ....”De ahí que A y B son coordinables, luego: n(A)=n(B) H M S C F Subconjunto Conjunto Conjunto Conjunto C IR Q Q́ ZZ IN P IIm A B P C IR Q Q́ ZZ IN IIm Equipo de docentes Centro Preuniversitario UNS - CEPUNS 4 Aritmética S-1 Ingreso Directo Aplicación V 11. Si se sabe que el conjunto es singleton: A = {2a+b; 2b – a; 25} Calcule el valor de a×b. A) 45 B) 60 C) 70 D) 90 E) 75 12. ¿Cuántos subconjuntos tiene el siguiente conjunto? A={2; 3; {2}; 3; {3; 2}; {2}; 3} A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 13. Determine cuántos subconjuntos binarios tiene A. A={x+2 / x ∈ Z+, x2 < 45} A) 24 B) 18 C) 16 D) 21 E) 15 14. Dado el conjunto B={4; 6; 8; 4; 8; 4} indique la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F). I. {8} ∈ P(B) … ( ) II. {6; 4} ⊄ P(B) … ( ) III. n[P(B)]=32 … ( ) IV. f ⊄ P(B) … ( ) V. {4; 4; 4; 4; 4} ⊂ P(B) … ( ) A) VFVVF B) FFVVF C) VVFFF D) VFFFV E) VFFVV Clases de Conjuntos Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen según esto tenemos: Finito: Si posee una cantidad limitada de “elementos” es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento. Infinito: Si posee una cantidad ilimitada de “elementos”. Conjuntos Especiales 1. Vacío o Nulo. Es aquel conjunto que carece de “elementos”. Notación ; . 2. Unitario o Singleton (singular) Es aquel cnjunto que tiene un solo elemento. B = x/x > 0 x² = 9 = 3 Aplicación VI 15. Dado el conjunto: M={3; {{7}}; 8; {9; 6}; 10; {{5}}} ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son correctas? • {6} ⊂ M …( ) • f ⊂ M …( ) • {7} ⊄ M …( ) • {10; {5}} ⊂ M …( ) • {5} ⊄ M …( ) • {7; {{5}}} ⊄ M …( ) • {3; {7}} ⊂ M …( ) • {{5}} ⊄ M …( ) A) 3 B) 5 C) 7 D) 6 E) 4 16. Dados los conjuntos: A={x ∈ N / 1 < x ≤ 9} y 50/ 3 12 yZ y B , determine si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) y elija la secuencia correcta. I. ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ B: x+y ≠ 5 II. ∀ x ∈ A: ∃ y ∈ B / 2x+y=6 III. ∀ x ∈ A: ∀ y ∈ B: x – y < 3 A) VFV B) VVF C) VVV D) FVF E) VFF 17. Los conjuntos B y C son iguales y el conjunto A es unitario. A={2a+3b+2; 30; 4b – 2} B={37; 3x; 16} C={2n+4; m2+1; 81} Calcule el valor de a×b+n×m+x; m ∈ Z+. A) 80 B) 64 C) 56 D) 40 E) 72 18. Dados los conjuntos: A={a; b; c} y B={m2+1; –1; 5; n – 3; 2}, además, {m; n}, ⊂ Z, 3 < n < 8 y A y B son equipotentes. Calcule la suma de valores de m + n. Considere que a ≠ b ≠ c. A) 18 B) 16 C) 11 D) 20 E) 40 19. Los conjuntos A y B son unitarios, donde: A = {3a+b –11; 4m – 4} y B = {5m+2n – 3; 4}. Determine el número de subconjuntos propios de C si C = {(– m)2; n; 3a+b; (– n)2} y {a; b; m; n} ⊂ Z+. A) 7 B) 15 C) 1 D) 3 E) 31 Equipo de docentes Centro Preuniversitario UNS - CEPUNS 5 Aritmética S-1 Ingreso Directo 20. Determine el número de subconjuntos de A. A = {x/√7x ∈ Z 27 < x −1 < 62} A) 8 B) 4 C) 1 D) 2 E) 0 3. Universal: Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto y se le denota generalmente por U. 4. Conjunto de Conjuntos: También se le denomina familia de conjuntos o clase de conjuntos y es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. Ejemplo 09: C = 2,3, 3, a, 6,b, D = a,b,c, 2,3,6, 6, c, 8 Se observa que: C es familia de conjuntos D no es familia de conjuntos 5. Potencia El Conjunto de Potencia de A, llamado también “Conjunto de Partes de A”, es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles que posee el conjunto A. Notación: P(A) Ejemplo 10: Sea A = x,y P(A) = , x, y, x,y n (P(A)) = 4 * Los subconjuntos , x, y son denominados propios. Nº subconj. = n (P(A)) = 2n(A) A Nº subconj. = 2n(A) - 1 Propios A 6. Par Ordenado Es un conjunto de 2 elementos para los cuales se considera el orden en que están indicados. Notación (a, b) Se lee “par ordenado a, b” a: 1º componente b: 2º componente (a,b) = (c,d) a = c b = d PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Dado el conjunto A={8; 12; {5; {3}}; {8}; {1; 2}}, ¿cuántas de las siguientes proposiciones son correctas? I. 2 ∉ A …( ) II. {3; 5} ∈ A …( ) III. {8} ∈ A …( ) IV. {2; 2; 2; 1} ∈ A …( ) V. {12} ∈ A …( ) VI. {1; 5} ∉ A …( ) VII. 5 ∈ A …( ) A) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 2 02. Determine la suma de los elementos de B. B = {(2x+1) ∈ N / – 8 ≤ 3x < 21} A) 91 B) 150 C) 82 D) 105 E) 120 03. Dado el siguiente conjunto, determine la suma de los elementos de M. M = { 2 22 x / x ∈ N 4 ≤ 5 34 x < 8} A) 160 B) 162 C) 185 D) 176 E) 168 04. Dados los conjuntos: A = {a/a ∈ N ∧ 6 < a ≤ 19} B = {2b / b ∈ Z ∧ –1 ≤ 2b+1 < 9} C = { 3 12c ∈ N/ 2 < c < 9 } Calcule n(A)+n(B)+n(C). A) 20 B) 22 C) 18 D) 19 E) 23 05. Dados los conjuntos: A = 1915/ 2 13 xN x B = )(4/ 2 AnxAxZ n Calcule la suma de los elementos de B. A) 36 B) 41 C) 37 D) 39 E) 43 06. Sean los conjuntos: A = 129616/2 2 nZn B = {(3m–2) ∈ A / 4 ≤ 4m+3 ≤ 17} Equipo de docentes Centro Preuniversitario UNS - CEPUNS 6 Aritmética S-1 Ingreso Directo Calcule el valor de n(A)×n(B). A) 20 B) 32 C) 30 D) 48 E) 40 07. Determine por compresión el siguiente conjunto. C={2; 6; 12; 20; ...; 420} A) C={n(n+1) / n ∈ Z ∧ 1 ≤ n < 20} B) C={(n+1)(n+2) / n ∈ Z+ ∧ 0 ≤ n ≤ 18} C) C={n(n –1) / n ∈ Z ∧ 0 ≤ n ≤ 20} D) C={(n+1)(n+2) / n ∈ Z+ ∧ 1 ≤ n < 20} E) C={n(n+1) / n ∈ Z ∧ 0 < n < 21} 08. Se cumple que: 9:4:3:2:1: 9494 x oxxxxZx Determine la suma de los elementos de M. 117/ 3 14 nnN n M A) 45 B) 55 C) 48 D) 50 E) 60 09. Dados los conjuntos: 85/ 2 xxN x A 2 )(/ 3 12 AnxN x B Calcule el valor de n(A)+n(B). A) 8 B) 9 C) 12 D) 6 E) 7 10. Sean los conjuntos: 19/ 5 13 2xZx x A 19/ 5 13 2xZxZ x B 191/ 5 13 xZ x C Calcule n(A)+n(B)+n(C). A) 15 B) 19 C) 20 D) 24 E) 18 11. Respecto a los siguientes conjuntos, señale lo correcto. 501/1 xNxxM 132/ 3 12 nZ n N A) n(M)+n(N)=15 B) M y N son disjuntos C) M y N son comparables D) M y N son equipotentes E) n(P(M))=64 12. Si A={2; {4}; {{7; 9}}; φ}, ¿cuántas de las siguientes proposiciones son correctas? • 4 ∈ A …( ) • 7 ∉ A …( ) • f ∈ A …( ) • {2} ∈ A …( ) • {2; f} ⊂ A …( ) • f ⊂ A …( ) • {A} ⊂ A …( ) • {{{7; 9}}} ⊂ A …( ) • {2; 7; f} ⊄ A …( ) A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 7 13. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) y elija la secuencia correcta. I. Si A={{3}; {8}}, entonces {3; 8} ⊂ P(P(A)). II. Si A={f}, entonces A ⊂ P(A); P(A) es la potencia de A. III. {f} es el conjunto vacío. A) FVF B) VVV C) VFV D) VVF E) VFF 14. Sean los siguientes conjuntos, indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). A={x ∈ N / 0 < x < 8} B={y ∈ N / 0 < y <7} I. ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ B: x+y ≠ 8 II. ∀ x ∈ A: ∃ y ∈ B / x+y=5 III. ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ B: x+y > 6 IV. ∀ x ∈ A: ∃ y ∈ B / xy ≠ 0 A) VFFF B) VFVF C) FVFV D) VVVF E) VFVV
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