Cálculo I - Oncina

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CÁ
LCULO I
Luis Oncina
2015-2016
GRADO EN FÍSICA
Departamento de Matemáticas
Introducción
E l objetivo de estos apuntes de Cálculo I es el de fundamentar y ampliar los conocimientos sobre
funciones reales de una variable real adquiridos por el alumno en Bachillerato. Estas notas están pensadas
para los alumnos de Cálculo I del Grado en F́ısica de la Universidad de Murcia.
D urante el curso usaremos el programa de cálculo simbólico Maxima que puede descargarse pin-
chando en el siguiente enlace http://sourceforge.net/projects/wxmaxima/. Mi intención es usar Ma-
xima para ayudarnos a aprender Cálculo; no al contrario. En algunos casos el código Maxima emplea-
do en un ejemplo quizás no sea el más directo. La idea es trasladar nuestros razonamientos matemáticos
al código para facilitarnos las cuentas. Podéis copiar y pegar el código (azul) de Maxima que aparece
en los apuntes. Solamente el apóstrofe da problemas al pegar: borrar y teclearlo en la consola de Ma-
xima . Para aprender más comandos de Maxima podeis descargar, por ejemplo, las siguientes prácticas
http://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Practicas_con_Maxima.pdf. Por supuesto, más infor-
mación a través de www.google.es.
L os apuntes están divididos en cuatro partes.
Caṕıtulos 1-6. Son los apuntes propiamente dichos. En ellos presentamos el desarrollo teórico de la asigna-
tura, junto con una gran cantidad de ejercicios resueltos que ayudarán al alumno a adquirir habilidades
de cálculo aśı como a entender mejor el armazón teórico en el que se fundamenta el cálculo de las fun-
ciones reales de una variable.
En muchos casos, damos en el propio texto la demostración de los resultados enunciados. En otros,
dichas pruebas las ponemos en el apéndice C como complemento. De esta forma, conseguimos que los
apuntes sean auto contenidos.
Cuando en el texto aparezca el siguiente śımbolo detrás de un teorema, pinchando sobre él iremos a la
prueba.
Una vez léıda la demostración podemos volver donde nos hab́ıamos quedado sin más que pinchar en
Apéndice A: Complementos. En este apéndice he puesto las demostraciones de los resultados que explico
y que no aparecen en el propio texto. ¿Por qué las demostraciones en unos apuntes de Cálculo? A veces,
surge algún alumno que no se contenta con aprender una fórmula o un enunciado de un teorema y
quiere ver cómo y por qué dicho resultado es cierto. Para este tipo de alumno incluyo las pruebas.
Apéndice B: Ampliación. En la ampliación he tocado dos temas que por falta de tiempo no se pueden
contar en clase. Primero una breve introducción al cuerpo de los números complejos para poder pre-
sentar la función exponencial compleja (es lo que sigue de forma natural al caṕıtulo sobre series de
http://sourceforge.net/projects/wxmaxima/
http://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Practicas_con_Maxima.pdf
www.google.es
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potencias). Esta función nos permite definir de forma rigurosa las funciones trigonométricas reales que
el alumno conoce bien: el seno y el coseno.
Por otro lado presentamos la noción de convergencia para sucesiones de funciones. Este estudio nos
permite demostrar los resultados importantes sobre series de potencias que no probamos en el caṕıtulo
correspondiente.
Apéndice C: Autoevaluación. Al final de cada caṕıtulo hay unos ejercicios de autoevaluación. En el
apéndice C están escritas las soluciones de dichos ejercicios. La idea es que una vez completado el
caṕıtulo y sus ejercicios, el alumno pueda practicar un poco más y comprobar qué sabe hacer y dónde
tiene dudas.
E l material que aparece en estos apuntes no sale de un libro. A lo largo de los años se consulta mucha
bibliograf́ıa y con el paso del tiempo es dif́ıcil recordar donde se leyó cada cosa. Recomiendo a continuación
varios libros que se pueden consultar y que en algunos casos aportan distintos puntos de vista sobre un
mismo tema. Si tuviera que elegir de entre los siguientes un libro de referencia este seŕıa el número 6.
1. T. M. Apostol, Análisis Matemático, Reverté, Barcelona, 1991.
2. B. Cascales, J. M. Mira y S. Sánchez-Pedreño, Análisis Matemático I, http://ocw.um.es/ciencias/
analisis-matematico-i-2009.
3. B. P. Demidóvich, 5.000 problemas de Análisis Matemático, Paraninfo, Madrid, 1985.
4. J. A Fernández Viña y E. Sánchez Mañes, Ejercicios y complementos de Análisis Matemático I, Tecnos,
Madrid, 1986.
5. J. M. Ortega, Introducción al Análisis Matemático, Ed. Labor, 1993.
6. J. Rogawski, Cálculo. Una variable, segunda edición original, Ed. Reverté, Barcelona, 2012.
http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-i-2009
http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-i-2009
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Contenidos
1. Los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. La necesidad de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Definición axiomática de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. N,Z,Q como subconjuntos de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1. Los números naturales. Principio de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2. Números combinatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3. Enteros, racionales. Otras propiedades de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4. Propiedades de densidad en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.1. Ráıces cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.2. Representación decimal de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.3. Ráıces n-ésimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2. Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.1. Ĺımites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.2. Sucesiones monótonas y acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.3. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.4. Sucesiones de Cauchy. Completitud de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2. Potencias de exponente real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.1. Exponente entero y racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.2. Exponente real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.3. La función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3. Ĺımites infinitos. Cálculo de ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1. Ĺımite de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3. Funciones continuas en un intervalo . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.1. Teoremas de Weierstrass y Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.2. La propiedad de los valores intermedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3.3. Función inversa. Continuidad y monotońıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.4. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4. Cálculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1. Funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.1. El teorema de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2. Extremos de funciones. Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.1. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
iv
4.2.2. Teoremas del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3. Desarrollos de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.3.1. El resto de Landau: desarrollos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.3.2. Fórmula de Taylor con resto de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.4. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.5. Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.6. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5. Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.1. Definición de Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.2. Caracterización de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.2.1. Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.2.2. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.3. El Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.4. Cálculo de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.4.1. Primitivas inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.4.2. Primitivas de Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.4.3. Primitivas de Funciones que contienen cos x y sen x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.4.4. Primitivas de Funciones de la forma f(ex) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.4.5. Primitivas de funciones que contienen
√
ax2 + 2bx+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.5. Aplicaciones de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.5.1. Cálculo de áreas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.5.2. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.5.3. Sólidos de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.5.4. Volumen de un cuerpo por secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.6. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.6.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.6.2. Funciones no negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.6.3. Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.7. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6. Series numéricas y de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.1. Series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.1.1. Series de términos no negativos. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.1.2. Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.2. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.3. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
A. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
A.1. Pruebas del Caṕıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
A.1.1. Propiedades de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
A.1.2. Propiedades del valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
A.1.3. Potencias de base real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
A.1.4. La raiz cuadrada de dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
A.2. Pruebas del Caṕıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
A.2.1. Álgebra de ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
A.2.2. El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
A.2.3. Subsucesiones convergentes y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
A.2.4. Exponencial racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
A.2.5. Exponencial real y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
A.2.6. La función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
A.2.7. Tamaños de infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
A.2.8. Criterios de Stolz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
A.3. Pruebas del Caṕıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
A.3.1. Propiedades de otras funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
A.3.2. Resolución numérica de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
A.3.3. Continuidad de senx/x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
A.3.4. Teorema de la función inversa: continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
A.4. Pruebas del Caṕıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
A.4.1. Teorema de la función inversa: derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
A.4.2. Tabla de funciones derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
A.4.3. Monotońıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
A.4.4. Reglade L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
A.4.5. El polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
A.4.6. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
A.4.7. El método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
A.5. Pruebas del Caṕıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
A.5.1. Primeros ejemplos de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
A.5.2. Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
A.5.3. Producto de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
A.5.4. Las funciones integrables tienen puntos de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
A.5.5. El teorema fundamental del cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
A.5.6. Cálculo de algunas primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
A.6. Pruebas del Caṕıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
A.6.1. La serie armónica es divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
A.6.2. Convergencia incondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
B. Ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
B.1. El cuerpo de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
B.2. La exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
B.2.1. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
B.3. Sucesiones de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
B.4. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
C. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
C.1. Autoevaluación 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
C.2. Autoevaluación 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
C.3. Autoevaluación 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
C.4. Autoevaluación 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
C.5. Autoevaluación 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
C.6. Autoevaluación 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
1 Los númerosreales
1.1. La necesidad de los números reales
Todos conocemos los números naturales: N := {1, 2, 3, . . .} y los usamos para contar objetos. El número
cero (que no lo consideramos un número natural) también lo manejamos (al sumarle cero a cualquier número
natural, éste no cambia). Bien pronto aprendemos a sumarlos y multiplicarlos y también, como no, a restarlos.
Aqúı comenzamos a tener problemas.
Si n,m son números naturales de forma que m > n entonces no tiene sentido la diferencia n−m.
Nota.
Creamos aśı otro conjunto de números, los enteros, Z := {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} donde esta ope-
ración tiene sentido. En este conjunto el cero también tiene una propiedad interesante: si n ∈ N entonces
n+ (−n) = 0.
Con este conjunto, podemos resolver ecuaciones del tipo x+ a = b donde a, b ∈ Z y la solución vuelve a
ser un número entero.
Nos planteamos ahora resolver la ecuación 2x = 1. Por desgracia esta ecuación no se puede resolver en
Z, es decir,
No existe ningún número entero x tal que 2x = 1.
Nota.
Este problema lo resolvemos con los números racionales Q := {m · 1n : n ∈ N,m ∈ Z} donde
1
n es
precisamente la solución de la ecuación nx = 1. También conocemos los racionales; los sabemos sumar, restar,
multiplicar y dividir (aqúı la división no tiene problemas). Habitualmente denotamos por mn al número m ·
1
n .
Con los racionales ya podemos hacer bastantes cosas. Por ejemplo podemos medir longitudes; pero ¿po-
demos medir cualquier longitud? La respuesta es no.
El teorema de Pitágoras afirma que en un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos. Si tomamos por el ejemplo el triángulo cuyos catetos tienen longitud
uno, tendremos que la hipotenusa cumple h2 = 1 + 1 = 2. Es conocido por todos que la longitud de h es
mayor que la longitud de cualquiera de los catetos, pero ¿quién o qué es h?. El siguiente resultado muestra
que h no es un número racional.
7
1.2 Definición axiomática de R 8 Caṕıtulo 1
No existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 2.
Proposición 1.
Prueba:
Supongamos que existen p, q ∈ N tales que
p2
q2
= 2.
Podemos suponer además que la fracción p/q es irreducible (es decir, que no se puede expresar como un
cociente p′/q′ con p′ < p y q′ < q). De p2 = 2q2 se obtiene que p es un número par, es decir, existe k ∈ N tal
que p = 2k. Efectivamente, si fuera p un número impar, es decir, p = 2m+ 1 para algún m ∈ N tendŕıamos
que
p2 = (2m+ 1)2 = 4m2 + 4m+ 1 = 2(2m2 + 2m) + 1
seŕıa impar lo cual no es cierto.
Sustituyendo este valor de p tenemos que 4k2 = 2q2 de donde obtenemos que q2 = 2k2 y por tanto que q ha
de ser par también. Esto contradice el hecho de que p/q es irreducible.
Fin de la prueba
Vemos aśı que una ecuación tan sencilla como x2 = 2 no tiene solución en los números racionales. Creamos
aśı el conjunto de los números reales R donde si podemos resolver esta ecuación (las ecuaciones formadas
por un polinomio igualado a cero se conocen como algebraicas). Pero en este nuevo conjunto aparecerán
números que no son soluciones de ecuaciones de este tipo. Dos números conocidos por todos cumplen esto
último: π, e.
¿Todas las ecuaciones algebraicas tienen solución en R? La respuesta es no y un ejemplo sencillo nos lo
da la ecuación x2 + 1 = 0. Para resolverla necesitaremos otro conjunto de números: los complejos C... pero
esto es otra historia.
La construcción que vamos a hacer a continuación sigue el camino contrario al que hemos presentado
hasta ahora. Definiremos los números reales y veremos como los naturales, los enteros y los racionales están
en este conjunto que hemos definido.
1.2. Definición axiomática de R
Existe un cuerpo totalmente ordenado y completo al que denotaremos por R.
Axioma (El cuerpo de los números reales).
¿Qué significa cada cosa en el axioma?
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 9 Caṕıtulo 1
Significa que hay dos operaciones internas en R, + : R×R→ R, · : R×R→ R llamadas suma y
producto que cumplen las siguientes propiedades:
1. x+ (y + z) = (x+ y) + z para todo x, y, z ∈ R (asociativa),
2. x+ y = y + x para todo x, y ∈ R (conmutativa),
3. existe un elemento en R denotado con 0 con la propiedad de que x+ 0 = x para todo x ∈ R
(elemento neutro de la suma),
4. para cada x ∈ R existe x′ ∈ R con la propiedad de que x + x′ = 0, dicho x′ se denota con
−x (elemento opuesto),
5. x · (y · z) = (x · y) · z para todo x, y, z ∈ R (asociativa),
6. x · y = y · x para todo x, y ∈ R (conmutativa),
7. existe un elemento en R distinto de 0, denotado con 1, con la propiedad de que 1 · x = x
para todo x ∈ R (elemento neutro del producto),
8. para cada x ∈ R con x 6= 0 existe x′′ ∈ R con la propiedad de que x · x′′ = 1, dicho x′′ se
denota con 1
x
(elemento inverso),
9. (x+ y) · z = x · z + y · zpara todo x, y, z ∈ R (distributiva).
Definición 1 (Cuerpo).
(El śımbolo ∈ es el de pertenencia de conjuntos, es decir, x ∈ R significa que x es un elemento de R).
Los neutros de la suma y el producto son únicos. Los elementos opuesto e inverso son únicos.
Proposición 2.
Prueba:
Entre paréntesis ponemos la propiedad que usamos para pasar de un lado a otro de la igualdad.
Comencemos con el neutro de la suma. Si existiera α ∈ R tal que x + α = x para todo x ∈ R tenemos, en
particular, por un lado que 0 + α = α pero por otro lado 0 + α = 0 por tanto α = 0.
El opuesto es único. Dado x ∈ R si existiera x′′ ∈ R tal que x+x′′(∗)=0 sumando en ambos lados −x tenemos
−x+ (x+ x′′) (1)= (−x+ x) + x′′ (4)= 0 + x′′ (3)= x′′(∗)=0 + (−x) (3)= −x
La unicidad para el producto se hace de forma similar.
Fin de la prueba
Maxima conoce las operaciones algebraicas
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 10 Caṕıtulo 1
Asociativa de la suma
(%i1) x+(y+z);
(x+y)+z;
( %o1) z + y + x
( %o2) z + y + x
0 es el elemento neutro de la suma
(%i3) x+0;
( %o3) x
Buscamos el número real y que al sumar a x da como resultado cero. El comando solve nos ayuda a
resolver ecuaciones (hay que indicar quien es la variable a despejar)
(%i4) solve(x+y=0,y);
( %o4) [y = −x]
Asociativa del producto
(%i5) x*(y*z);
(x*y)*z;
( %o5) x y z
( %o6) x y z
1 es el elemento neutro del producto
(%i7) 1*x;
( %o7) x
Buscamos el inverso del número x.
(%i8) solve(x*y=1,y);
( %o8) [y =
1
x
]
Distributiva
(%i9) (x+y)*z;
( %o9) (y + x) z
Le pedimos que haga la multiplicación. Aplicar un comando al % significa aplicar dicho comando al último
resultado obtenido.
(%i10) expand(%);
( %o10) y z + x z
(%i11) x*z+y*z;
( %o11) y z + x z
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 11 Caṕıtulo 1
Vamos a sacar factor común.
(%i12) factor(%);
( %o12) (y + x) z
Claro, también podemos comprobarlo aśı.
(%i13) compare((x+y)*z,x*z+y*z);
( %o13) =
Significa que existe una relación binaria denotada con ≤ con las siguientes propiedades:
10. x ≤ x para todo x ∈ R (reflexiva),
11. x ≤ y e y ≤ x implican x = y (antisimétrica),
12. x ≤ y e y ≤ z implican x ≤ z para todo x, y, z ∈ R (transitiva),
13. para cada dos elementos x, y ∈ R se cumple una de las dos relaciones: x ≤ y ó y ≤ x,
14. x ≤ y implica x+ z ≤ y + z para todo x, y, z ∈ R,
15. x ≤ y y 0 ≤ z implica x · z ≤ y · z para todo x, y, z ∈ R.
Definición 2 (Totalmente ordenado).
Maxima sabe manejar desigualdades. Comenzamos cargando el paquete ineq
(%i1) load(ineq);
( %o1) C:/PROGRA 2/MAXIMA 2.0/share/maxima/5.30.0/share/simplification/ineq.mac
La propiedad 15.
(%i2) z*(x<=y);
Is z positive, negative or zero?positive;
( %o2) x z <= y z
La propiedad 14.
(%i3) z+(x<=y);
( %o3) z + x <= z + y
La propiedad transitiva.
(%i4) assume(x<=y and y<=z);
( %o4) [y >= x, z >= y]
(%i5) is(x<=z);
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 12 Caṕıtulo 1
( %o5) true
(%i6) assume(y<=x);
( %o6) [x >= y]
(%i7) is(x=y);
( %o7) false
Con la propiedad antisimétrica tiene problemas. Pero hay otra forma de resolverlo.
(%i8) is(equal(x,y));
( %o8) true
Las propiedades 10–12 son la definición de orden; 13, relación de orden total; 14–15, compatibilidad con
las operaciones del cuerpo.
Significa que satisface el siguiente:
16. Axioma del supremo: todo subconjunto no vaćıo de R acotado superiormente tiene supremo.
Definición 3 (Completo).
Un conjunto no vaćıo A ⊂ R se dice que está acotado superiormente si existe M ∈ R tal que
a ≤M para todo a ∈ A.
Si A está acotado superiormente, el número α ∈ R se dice que es el supremo de A, y lo denotaremos
α = supA si α es la menor cota superior de A, es decir,
a ≤ α para todo a ∈ A y si β ∈ R con a ≤ β para todo a ∈ A entonces se cumple α ≤ β.
Definición 4.
La relación x ≥ y significa, por definición, lo mismo que y ≤ x. Y si x ≤ y siendo x 6= y entonces
escribiremos x < y o, indistintamente, y > x. En lo sucesivo, por comodidad de notación, el producto x · y
se escribirá como xy. Si x > 0 diremos que x es positivo, mientras que si x < 0 diremos que x es negativo.
En lo que sigue dados a, b ∈ R denotaremos por a− b := a+ (−b).
A continuación vamos a ver algunas de las propiedades que se pueden deducir de los axiomas de R.
1. a · 0 = 0 para todo a ∈ R. 2. a = b ⇔ a− b = 0.
3. (−1)a = −a y por tanto (−a)b = −(ab). 4. c < 0 ⇔ −c > 0.
5. Si a ≤ b y c ≤ d entonces a+ c ≤ b+ d. 6. a ≤ b⇔ −a ≥ −b.
7. a ≤ b y c < 0 ⇔ ac ≥ bc. 8. aa ≥ 0 y por tanto 1 > 0.
9. a > 0⇒ 1
a
> 0. 10. a ≥ b > 0⇔ 1
a
≤ 1
b
.
Proposición 3 (Propiedades).
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 13 Caṕıtulo 1
Maxima es capaz de operar de forma simbólica. Comprobamos las propiedades anteriores.
Las demostraciones rigurosas en la sección de pruebas.
(%i1) load(ineq);
( %o1) C:/PROGRA 2/MAXIMA 2.0/share/maxima/5.30.0/share/simplification/ineq.mac
Propiedad 1
(%i2) a*0;
( %o2) 0
Propiedad 2
(%i3) -b+(a=b);
( %o3) a− b = 0
Propiedad 3
(%i4) -1*a;
( %o4) − a
Propiedad 4
(%i5) assume(c<0);
( %o5) [c < 0]
(%i6) is(-c>0);
( %o6) true
Propiedad 5
(%i7) (a<=b)+(c<=d);
( %o7) c+ a <= d+ b
Propiedad 6
(%i8) -a+(a<=b);
( %o8) 0 <= b− a
(%i9) -b+%;
( %o9) − b <= −a
Propiedad 7
(%i10) c*(a<=b);
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 14 Caṕıtulo 1
( %o10) a c >= b c
Propiedad 8
(%i11) is(a^2>=0);
( %o11) true
Propiedad 9
(%i12) assume(a>0);
( %o12) [a > 0]
(%i13) is(1/a>0);
( %o13) true
Propiedad 10
(%i14) assume(b>0);
( %o14) [b > 0]
(%i15) 1/a*(a>=b);
( %o15) 1 >=
b
a
(%i16) 1/b*%;
( %o16)
1
b
>=
1
a
Dado a ∈ R al número real a · a lo denotaremos por a2.
Nota.
Un conjunto no vaćıo A ⊂ R se dice que está acotado inferiormente si existe α ∈ R tal que α ≤ a
para todo a ∈ A.
Definición 5.
Sea A ⊂ R no vaćıo acotado inferiormente. Existe el ı́nfimo de A, es decir, existe α := ı́nf A tal
que si β ≤ a para todo a ∈ A se tiene β ≤ α.
Proposición 4.
Prueba:
Si A está acotado inferiormente por β, entonces −A := {−a : a ∈ A} está acotado superiormente por −β
(como β ≤ a para todo a ∈ A entonces −β ≥ −a para todo a ∈ A) y si α es el supremo de −A es inmediato
que −α es el ı́nfimo de A.
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 15 Caṕıtulo 1
Fin de la prueba
1.2.1. Valor absoluto
La estructura de cuerpo conmutativo totalmente ordenado lleva asociada la nociones de valor absoluto y
de ((distancia)).
Para cada x ∈ R se define el valor absoluto |x| := x si x ≥ 0 y |x| = −x si x ≤ 0.
Definición 6.
Para cada par de elementos x, y de R se cumplen:
1. |x| = | − x| ≥ 0 y |x| > 0 si x 6= 0. 2. |x| = máx{x,−x}.
3. |x · y| = |x| · |y|. 4. | 1
x
| = 1|x| .
5. |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a 6. |x+ y| ≤ |x|+ |y| (desigualdad triangular).
7. ||x| − |y|| ≤ |x− y|
Proposición 5.
Las primeras se demuestran según sean los números positivos o negativos. La desigualdad triangular se
deduce de 5. y 7. de la desigualdad triangular.
Comprobamos con Maxima las propiedades.
(%i1) plot2d(abs(x),[x,-2,2]);
( %o1)
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
abs(x)
x
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 16 Caṕıtulo 1
Propiedad 1
(%i2) is(abs(x)=abs(-x));
( %o2) true
Propiedad 3
(%i3) abs(x*y);
( %o3) |x| |y|
Propiedad 4
(%i4) abs(1/x);
( %o4)
1
|x|
Propiedad 5
(%i5) assume(a>0);
( %o5) [a > 0]
(%i6) assume(abs(x)<=a);
( %o6) [a >= |x|]
(%i7) is(x<=a);
( %o7) true
(%i8) is(x>=-a);
( %o8) true
(%i9) compare(a,x);
( %o9) >=
(%i10) compare(-a,x);
( %o10) <=
(%i11) forget(a>0);
( %o11) [a > 0]
(%i12) forget(abs(x)<=a);
( %o12) [a >= |x|]
Lo vamos a hacer de otra forma. Cargamos el siguiente paquete. Con él podemos intentar resolver
inecuaciones.
(%i13) load(fourier_elim);
( %o13) C:/PROGRA 2/MAXIMA 2.0/share/maxima/5.30.0/share/fourier elim/fourier elim.lisp
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 17Caṕıtulo 1
(%i14) fourier_elim(abs(x)<=a,[x,a]);
( %o14) [x = 0, a = 0] ∨ [x = a, 0 < a] ∨ [x = −a, 0 < a] ∨ [−a < x, x < a, 0 < a]
Qué significan estos resultado: Por ejemplo [x = a, 0 < a] quiere decir que es cierto si x = a y a > 0. El
signo ∨ es la unión de conjuntos y lo podemos leer como o. El que nos interesa es el último [−a < x, x <
a, 0 < a]: cierto para −a < x < a y a > 0.
Propiedad 6. La desigualdad triangular
(%i15) is(abs(x+y)<=abs(x)+abs(y));
( %o15)unknown
No es de extrañar. Intentamos resolver con fourier elim
(%i16) fourier_elim(abs(x+y)<=abs(x)+abs(y),[x,y]);
( %o16) [x = 0, y = 0] ∨ [y = 0, 0 < x] ∨ [x = 0, 0 < y] ∨ [0 < x, 0 < y] ∨ [x < 0, y < 0] ∨ [x = 0, y < 0]
∨ [y = 0, x < 0] ∨ [x < −y, 0 < y] ∨ [0 < x, x < −y, y < 0] ∨ [x = −y, 0 < y] ∨ [−y < x, x < 0, 0 < y]
∨ [x = −y, y < 0] ∨ [−y < x, y < 0]
Hay que leer los resultados: con paciencia uno se da cuenta que todas las posibilidades para x e y están
cubiertas.
Propiedad 8
(%i17) is(abs(abs(x)-abs(y))<=abs(x-y));
( %o17)unknown
(%i18) fourier_elim(abs(abs(x)-abs(y))<=abs(x-y),[x,y]);
( %o18) [y < x, x < 0, y < 0]∨ [x = 0, y < 0]∨ [x = 0, y = 0]∨ [x = y, 0 < y]∨ [x = y, y < 0]∨ [x = 0, 0 < y]
∨ [0 < x, x < y, 0 < y] ∨ [y = 0, 0 < x] ∨ [y < x, 0 < y] ∨ [x < y, y < 0] ∨ [y = 0, x < 0] ∨ [x < −y, 0 < y]
∨ [−y < x, y < 0] ∨ [x = −y, 0 < y] ∨ [−y < x, x < 0, 0 < y] ∨ [x = −y, y < 0] ∨ [0 < x, x < −y, y < 0]
También aqúı todas las posibilidades están cubiertas. Compruébalo.
A la propiedad 6 se la conoce con el nombre de desigualdad triangular. Este nombre proviene de la
propiedad que tienen los triángulos de que la longitud de cualquier lado es menor que la suma de las de los
otros dos lados. Aśı, si X,Y, Z son los tres vértices del triángulo
l(XY ) ≤ l(XZ) + l(ZY )
siendo l(AB) la longitud del segmento AB.
Resolver la siguiente inecuación |x+ 1|+ |x− 1| ≤ 4.
Ejemplo 1.
Solución:
Se trata de encontrar aquellos números reales x que satisfacen la inecuación dada. Para poder resolverla hay
que “quitar” el valor absoluto. Para ello procedemos de la siguiente forma.
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 18 Caṕıtulo 1
Si x− 1 ≥ 0⇔ x ≥ 1 tenemos que x+ 1 > 0 y por lo tanto la inecuación queda
(x+ 1) + (x− 1) ≤ 4⇔ 2x ≤ 4⇔ x ≤ 2
Luego si x ≥ 1 los números reales que cumplen x ≤ 2 son solución. Esto lo podemos resumir diciendo
si x ∈ [1, 2] entonces satisface la inecuación. Recordad que el intervalo cerrado [1, 2] := {y ∈ R : 1 ≤
y ≤ 2}.
Si x − 1 < 0 ⇔ x < 1 es |x − 1| = −(x − 1). Si además es x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 tenemos que la
inecuación queda
(x+ 1)− (x− 1) ≤ 4⇔ 2 ≤ 4
lo cual es cierto. Esto nos dice que si x < 1 cualquier x ∈ R que sea x ≥ −1 satisface la inecuación.
Esto lo resumimos diciendo que si x ∈ [−1, 1) entonces es solución.
Finalmente, si x + 1 < 0 ⇔ x < −1 es |x + 1| = −(x + 1) y |x − 1| = −(x − 1). Sustituyendo la
inecuación queda
−(x+ 1)− (x− 1) ≤ 4⇔ −2x ≤ 4⇔ 2x ≥ −4⇔ x ≥ −2
Lo cual sucede cuando x ∈ [−2,−1).
Repasando ahora los tres apartados concluimos que x ∈ R es solución de la inecuación si
x ∈ [−2,−1) ∪ [−1, 1) ∪ [1, 2] = [−2, 2] 1
Maxima nos puede ayudar a resolver este tipo de problemas. Vamos a dibujar la función
f(x) = |x+ 1|+ |x− 1| y la recta y = 4 para ver dónde la gráfica de la función queda por debajo
de la recta.
(%i1) f:abs(x+1)+abs(x-1);
( %o1) |x+ 1|+ |x− 1|
(%i2) wxplot2d([f,4],[x,-4,4],[y,0,8]);
( %o2)
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
x
abs(x+1)+abs(x-1)
4
1Recordad que si A y B son dos conjuntos de R, se define la unión de ambos A ∪ B = {x ∈ R : x ∈ A o x ∈ B} y la
intersección como A ∩B = {x ∈ R : x ∈ A y x ∈ B}
Luis Oncina, Cálculo I
1.2 Definición axiomática de R 19 Caṕıtulo 1
Es claro que solo para valores de x entre -2 y 2 la función está por debajo de y = 4. Ese es precisamente el
conjunto [−2, 2]. Notad que en x = −2 y en x = 2 se da la igualdad f(−2) = f(2) = 4.Maxima tiene un
comando que nos permite resolver desigualdades.
(%i3) load(fourier_elim);
( %o3) C:/PROGRA 2/MAXIMA 1.0/share/maxima/5.30.0/share/fourier elim/fourier elim.lisp
(%i4) fourier_elim([abs(x+1)+abs(x-1)<=4],[x]);
( %o4) [x = 2] ∨ [x = −2] ∨ [−2 < x, x < −1] ∨ [x = −1] ∨ [−1 < x, x < 1] ∨ [x = 1] ∨ [1 < x, x < 2]
Ahora hay que leer los resultados y entenderlos:
[x = 2],[x = −2], [x = −1], [x = 1] dice que los números son solución.
[−2<x, x< − 1] es el intervalo abierto (-2,-1); [−1<x, x<1] es (−1, 1); [1<x, x<2] es (1, 2). La unión de todos
ellos es [−2, 2].
Fin de la solución
1. Decir si son ciertas o falsas cada una de las afirmaciones siguientes sobre números reales:
a) Si x < y + ε para todo ε > 0, entonces x ≤ y b) Si x < y, z < w entonces xz < yw
c) (x+ y)2 = 0⇔ x = y = 0 d) x2 + y2 = 0⇔ x = y = 0
e) Si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0 f) Si 0 < ε < 1 entonces ε2 < ε
2. Hallar todos los valores reales de x que cumplen las siguientes desigualdades:
(i)x2 > x, (ii) 2
3
(4x− 6) + 1
2
(3x+ 2) ≤ 3
4
(2x− 7), (iii)x2 − 5x+ 4 ≤ 0,
(iv) |x2 − x|+ x > 1, (v) 5 < |2x− 7| < 35 (vi) 2x−1
3x+2
≤ 1
3. Desarrollar las siguientes expresiones hasta que desaparezcan todos los paréntesis, simplifi-
cando el resultado:
(i) x2 − (3x(x2 − 2)− 2x2(x+ 1)).
(ii) 4a((1− a)2a2 + (3a+ 1)3a2).
(iii) 5a(4a− 2(3a− 4b) + 5(4a− 3b)).
(iv) −4x(2x2 + 3x((x− 1)− 5(x− 2))).
4. Sea B ⊂ R un conjunto no vaćıo acotado superiormente y sea b = supB. Entonces para
cualquier a ∈ R, con a < b, existe x ∈ B tal que a < x ≤ b.
5. Sean A y B dos subconjuntos no vaćıos de R. Probar:
(i) Si A ⊂ B entonces supA ≤ supB e ı́nf A ≥ ı́nf B.
(ii) Si a ≤ b para cualesquiera a ∈ A y b ∈ B entonces: supA ≤ supB e ı́nf A ≤ ı́nf B.
Ejercicios 1.
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 20 Caṕıtulo 1
1.3. N,Z,Q como subconjuntos de R
1.3.1. Los números naturales. Principio de inducción
Un conjunto de I ⊂ R se llama inductivo si cumple las siguientes condiciones: 1 ∈ I y si x ∈ I
entonces x+ 1 ∈ I.
Definición 7.
Claramente R es un conjunto inductivo (ya que la suma de dos números reales vuelve a ser un número
real). Aśı pues la colección de los subconjuntos inductivos de R es no vaćıa y, por tanto tiene sentido la
siguiente definición.
Se llama conjunto de los números naturales y se denota con N al siguiente conjunto
N :=
⋂
{I : donde I es un conjunto inductivo de R}.
Definición 8.
N es un conjunto inductivo, y por su propia definición, es el menor conjunto inductivo de R.
Proposición 6.
Prueba:
X N es inductivo. Es claro, por definición, que si I ⊂ R es un conjunto inductivo cualquiera entonces 1 ∈ I.
Por lo tanto 1 ∈ N (por estar en todos los conjuntos de la intersección).
Ahora, si n ∈ N, tenemos que n ∈ I para cualquier conjunto I inductivo. Por tanto, n+1 ∈ I para cualquier
I inductivo lo que nos permite concluir que n+ 1 ∈ N por ser la intersección de todos ellos.
X N es el menor conjunto inductivo contenido en R. Supongamos que A ⊂ N es inductivo. Como A ⊂ R,
por la propia definición de N si x ∈ N, x pertenece a todos los subconjuntos inductivos de R. En particular,
x ∈ A, con lo que hemos probado que N = A.
Fin de la prueba
Como consecuencia N viene caracterizado por la siguiente propiedad.
Cualquier subconjunto S ⊂ N que satisfaga las siguientes propiedades
(X) 1 ∈ S,
(XX) Si n ∈ S entonces n+ 1 ∈ S,
verifica que S = N.
Corolario 7 (Método de inducción).
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 21 Caṕıtulo 1
Por cierto, los primeros números naturales se denotan de la siguiente manera:
1, 2 := 1 + 1, 3 := 2 + 1, 4 := 3 + 1, . . .
Notad que 1 ∈ N y, como N es inductivo, resulta que 1+1 ∈ N y le llamamos 2 y aśı sucesivamente.
Por inducción describimos todos los naturales.
Nota.
A veces sucede que una cierta propiedad P (n) no se cumple para 1, 2, . . . ,m pero queremos
probar que si se satisface para cualquier número natural n > m. ¿Nos puede ayudar el principio
de inducción para probar que la propiedad se cumplepara todo natural n > m?. La respuesta es
si y vamos a ver cómo hacerlo.
Nota.
Prueba:
Supongamos que se cumple P (m + 1) y que si suponemos que se satisface P (n) para algún n > m somos
capaces de probar que también se cumple P (n+ 1). Entonces definimos el conjunto
S = {1, 2, . . . ,m} ∪ {n ∈ N : se cumple P (n)}
El conjunto S es inductivo. Es claro que 1 ∈ S. Si suponemos que un cierto natural k ∈ S entonces k+1 ∈ S
ya que si 1 ≤ k < m entonces 1 ≤ k + 1 ≤ m mientras que si k ≥ m tenemos que k + 1 ≥ m + 1 pero
suponemos que se cumple P (k + 1).
Por lo tanto S = N luego {n ∈ N : se cumple P (n)} = {n ∈ N : n > m}.
Fin de la prueba
Potencias de exponente natural
Sea x ∈ R, definimos x1 := x.
Supongamos que para un cierto número natural n ≥ 1 hemos definido xn entonces definimos
xn+1 := xn · x
El método de inducción nos permite pues definir la potencia natural de cualquier número real.
Definición 9.
A continuación enumeramos las propiedades, por todos conocidas, que tienen las potencias con números
naturales. Siendo rigurosos, para poder escribir los apartados 1. y 3. de la siguiente proposición, hemos de
probar previamente que dados dos números naturales cualesquiera n,m son n+m y n ·m de nuevo números
naturales. Esto lo haremos en los complementos.
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 22 Caṕıtulo 1
Si a, b ∈ R y n,m ∈ N se cumplen las siguientes propiedades.
1. an+m = anam 2. (ab)n = anbn
3. (an)m = anm 4. Si 0 < a < b entonces an < bn
5. Si a > 1 y n < m, entonces an < am 6. Si 0 < a < 1 y n < m, entonces an > am.
Proposición 8.
Demostraciones por inducción
Usando el método de inducción, demostrar que se verifica la siguiente igualdad para cualquier
número natural n.
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
.
Ejemplo 2.
Solución:
¿En primer lugar, cómo averiguamos una fórmula como esta? Bueno, hay varias formas, pero vamos a pedirle
a Maxima que la calcule.
Cargando primero el paquete simplify sum el comando con el mismo nombre nos simplifica
la suma.
(%i1) S[n]:=sum(k,k,1,n);
( %o1) Sn :=
n∑
k=1
k
(%i2) load(simplify_sum);
( %o2) C : /PROGRA 2/MAXIMA 2,0/share/maxima/5,24,0/share/contrib/solve rec/
simplify sum.mac
(%i3) simplify_sum(S[n]);
( %o3)
n2 + n
2
Vamos a probar ahora, usando el método de inducción, que la fórmula es cierta.
Sea S := {n ∈ N : n verifica la fórmula del enunciado}. Comprobamos en primer lugar que 1 ∈ S.
1∑
k=1
k = 1
?
=
1(1 + 1)
2
= 1 se cumple la fórmula
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 23 Caṕıtulo 1
Supongamos ahora que un cierto número natural n cumple la fórmula del enunciado, es decir, n ∈ S (hipótesis
de inducción, H. I.), tenemos que probar que entonces n+ 1 ∈ S.
n+1∑
k=1
k =(n+ 1) +
n∑
k=1
k
(H.I.)
= (n+ 1) +
n(n+ 1)
2
=
2(n+ 1) + n(n+ 1)
2
=
(n+ 1)(n+ 2)
2
=
=
(n+ 1)((n+ 1) + 1)
2
⇒ (n+ 1) ∈ S
El método de inducción nos asegura que S = N, es decir, la fórmula se cumple para cualquier número natural.
Fin de la solución
Demostrar que 4n > n2 para cualquier número natural n.
Ejemplo 3.
Solución:
Vamos a comprobar con Maxima que la desigualdad puede ser cierta.
Para ello sustituiremos valores en 4n y n2 y veremos que se cumple.
(%i1) a[n]:=4^n;
b[n]:=n^2;
( %o1) an := 4
n
( %o2) bn := n
2
(%i3) makelist([a[n],b[n]],n,1,9);
( %o3) [[4, 1], [16, 4], [64, 9], [256, 16], [1024, 25], [4096, 36], [16384, 49], [65536, 64], [262144, 81]]
Ahora lo demostramos. Sea S := {n ∈ N : 4n > n2}. En primer lugar, 1 ∈ S ya que 41 = 4 > 12 = 1.
Podemos preguntarnos si en verdad es 4 > 1. Claro, hay que probarlo ya que de números concretos sabemos,
por ejemplo, que 1 > 0. Aśı que podemos usar el siguiente razonamiento:
1 > 0⇒ 1 + 1 > 0 + 1⇔ 2 > 1⇒ 3 > 2 > 1⇒ 4 > 1
(usando la transitividad del orden y la compatibilidad del orden con las operaciones).
Vale, una vez visto cómo se demuestra algo aśı no lo haremos más. Los números naturales tienen su orden,
el que conocemos, que concuerda con el que heredan de la definición que hemos dado de números reales.
Volvamos a la prueba de la desigualdad. Hemos visto que 1 ∈ S y supongamos ahora que un cierto número
natural 1 < n ∈ S (H. I.).
4n+1 = 4n · 4 > n2 · 4 = n2 + 2n2 + n2
(∗)
> n2 + 2n+ 1 = (n+ 1)2, (†)
En (∗) hemos usado un par de cosas: 2n2 > 2n ya que al ser n > 1 y cualquier número natural es (por ser
mayor que 1) n > 0 tenemos n2 = n · n > 1 · n = n. Al ser 2 > 0, 2n2 > 2n.
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 24 Caṕıtulo 1
Por otro lado como n > 1, n2 > n. La propiedad transitiva nos dice que n2 > 1.
La fórmula (†) nos dice que n+ 1 ∈ S. El principio de inducción nos permite concluir que S = N, es decir,
4n > n2 para cualquier número natural n ∈ N.
Fin de la solución
Probad que
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
xk
∣∣∣∣∣ ≤
n∑
k=1
|xk| para cualesquiera x1, . . . , xn ∈ R y cualquier n ∈ N.
Ejemplo 4.
Solución:
Lo probamos por inducción en el número de sumandos.
Para n = 1 es claro que |x1| = |x1|. Supongamos pues que la desigualdad es cierta para n sumandos, con
n ≥ 1 y sean x1, x2, . . . , xn, xn+1 números reales. Tenemos∣∣∣∣∣
n+1∑
k=1
xk
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
xk + xn+1
∣∣∣∣∣ (1)≤
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
xk
∣∣∣∣∣+ |xn+1| (2)≤
n∑
k=1
|xk|+ |xn+1| =
n+1∑
k=1
|xk|
En (1) hemos usado la desigualdad triangular del valor absoluto.
En (2) hemos usado la hipótesis de inducción.
Fin de la solución
1.3.2. Números combinatorios
Ya dijimos al comienzo del caṕıtulo que los números naturales nos sirven para contar. Para resolver
problemas de contar (por ejemplo ¿cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con 1,2,3,4,5 y
6?) son útiles las fórmulas de la combinatoria. Recordamos las dos más sencillas, que nos permitirán escribir
la fórmula del binomio de Newton:
Sea n ∈ N. Definimos, por inducción, el factorial de n. Para n = 1 definimos 1! := 1. Supongamos
ahora que hemos definido, para un cierto número natural n ≥ 1 el número n!, entonces se define
(n+ 1)! := (n+ 1) · n!
Aśı, para cualquier n ∈ N se tiene: n! := n(n− 1)(n− 2) · · · 3 · 2 · 1. Finalmente definimos 0! := 1.
Definición 10 (Factorial de un número natural).
Supongamos que elegimos elementos de un conjunto que tiene n elementos.
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 25 Caṕıtulo 1
El número de listas ordenadas con m elementos distintos (m ≤ n) que se pueden formar se denota
por V (n,m) y se llama variaciones sin repetición o permutaciones de n elementos tomados de m
en m. Tenemos n formas de elegir el primero de la lista; hecho esto tenemos n−1 formas de elegir
el segundo, y de este modo se observa que
V (n,m) = n(n− 1) . . . (n−m+ 1) = n!
(n−m)!
en particular V (n, n) = n!
Nota (Variaciones sin repetición).
El número de subconjuntos con m elementos que se pueden formar (m ≤ n) se denota por C(n,m)
o por
(
n
m
)
o por y se llama combinaciones de n elementos tomados de m en m. Cada uno de
estos conjuntos da lugar a m! listas ordenadas, luego
C(n,m) =
(
n
m
)
=
n!
(n−m)! m!
A estos números se les llama números combinatorios.
Nota (Combinaciones).
Describir todos los subconjuntos con tres elementos y todas las listas ordenadas con tres elementos
distintos que tiene el conjunto {a, b, c, d, e}.
Ejemplo 5.
Solución:
El número de subconjuntos es C(5, 3) = 10, y éstos son:
{a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}
Las listas ordenadas son muchas más, V (5, 3) = 60, pues cada uno de los conjuntos anteriores da lugar a
3! = 6 listas ordenadas, que para el primer conjunto son
(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a)
Fin de la solución
El cálculo de estos números combinatorios se simplifica si se tienen en cuenta las siguientes propiedades
(las tres primeras se siguen directamente de las definiciones; la última es más laboriosa):
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 26 Caṕıtulo 1
Sean n,m ∈N (
n
n
)
=
(
n
0
)
= 1,
(
n
1
)
=
(
n
n− 1
)
= n
(
n
m
)
=
(
n
n−m
)
,
(
n
m
)
=
(
n− 1
m− 1
)
+
(
n− 1
m
)
Proposición 9.
La prueba de la proposición la haremos en ejercicios. Estos números combinatorios aparecen en la fórmula
del binomio de Newton:
Sean a, b ∈ R, n ∈ N.
(a+ b)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
an−kbk =
(
n
0
)
an +
(
n
1
)
an−1b+ · · ·+
(
n
n− 1
)
abn−1 +
(
n
n
)
bn
Proposición 10 (Fórmula del binomio).
Prueba:
La demostración de la fórmula del binomio se hace por inducción en n.
Para n = 1, es claro que
(a+ b)1 = a+ b =
(
1
0
)
a+
(
1
1
)
b
Supongamos ahora que la fórmula es cierta para algún natural n ≥ 1. Veamos que también se verifica para
el número natural n+ 1.
(a+ b)n+1 =(a+ b)(a+ b)n
H.I.
=
=(a+ b)
[(
n
0
)
an +
(
n
1
)
an−1b+ · · ·+
(
n
n− 1
)
abn−1 +
(
n
n
)
bn
]
=
=
(
n
0
)
an+1 +
(
n
1
)
anb+
(
n
2
)
an−1b2 + . . .+
(
n
n− 1
)
a2bn−1 +
(
n
n
)
abn+
+
(
n
0
)
anb+
(
n
1
)
an−1b2 +
(
n
2
)
an−2b3 + . . .+
(
n
n− 1
)
abn +
(
n
n
)
bn+1 =
=
(
n
0
)
an+1 +
[(
n
0
)
+
(
n
1
)]
anb+
[(
n
1
)
+
(
n
2
)]
an−1b2 + . . .+
[(
n
n− 1
)
+
(
n
n
)]
abn +
(
n
n
)
bn+1 =
=
(
n+ 1
0
)
an+1 +
(
n+ 1
1
)
anb+
(
n+ 1
2
)
an−1b2 + . . .+
(
n+ 1
n
)
abn +
(
n+ 1
n+ 1
)
bn+1
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 27 Caṕıtulo 1
Vemos ahora cómo nos puede ayudar Maxima Vamos a comprobar con Maxima que se da
la igualdad anterior.
(%i1) suma[n]:=sum(binomial(n,k)*a^(n-k)*b^k,k,0,n);
( %o1) suman :=
n∑
k=0
(
n
k
)
an−k bk
(%i2) diferencia[n]:=(a+b)^n-suma[n];
( %o2) diferencian := (a+ b)
n − suman
Queremos ver que la diferencia es cero.
(%i3) diferencia[n];
( %o3) (b+ a)
n −
n∑
k=0
an−k bk
(
n
k
)
(%i4) diferencia[2];
( %o4) (b+ a)
2 − b2 − 2 a b− a2
Le pedimos que desarrolle la potencia (a+ b)2.
(%i5) expand(%);
( %o5) 0
Probamos con otro valor concreto
(%i6) diferencia[10];
( %o6) (b+ a)
10−b10−10 a b9−45 a2 b8−120 a3 b7−210 a4 b6−252 a5 b5−210 a6 b4−120 a7 b3−45 a8 b2−
10 a9 b− a10
(%i7) expand(%);
( %o7) 0
Lo vemos para cualquier valor de n. Maxima maneja bien las sumas y las potencias. Cargamos para ello el
siguiente paquete.
(%i8) load(simplify_sum);
( %o8) C : /PROGRA 2/MAXIMA 1,0/share/maxima/5,30,0/share/solve rec/simplify sum.mac
(%i9) simplify_sum(diferencia[n]);
( %o9) 0
Fin de la prueba
Las propiedades de los números combinatorios que hemos visto anteriormente, permiten usar el triángulo
de Tartaglia (o de Pascal) para encontrar los coeficientes del binomio de Newton sin hacer más que unas
pocas sumas. El triángulo empieza aśı:
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 28 Caṕıtulo 1
1
1 1
↘↙
1 2 1
↘↙ ↘↙
1 3 3 1
↘↙ ↘↙ ↘↙
1 4 6 4 1
↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙
1 5 10 10 5 1
Cada fila empieza y termina en 1, y el resto de números se obtienen sumando los dos de arriba (gracias a la
última propiedad de la proposición 9). Entonces, por ejemplo, en la fila 1 4 6 4 1 los números se corresponden
en orden con (
4
0
)
,
(
4
1
)
,
(
4
2
)
,
(
4
3
)
,
(
4
4
)
que son precisamente los que se necesitan en el desarrollo de (a+ b)4.
Calculad (x+ y)3, (a− b)4 y (2z + 3t)5.
Ejemplo 6.
Solución:
(x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(a− b)4 = a4 + 4a3(−b) + 6a2(−b)2 + 4a(−b)3 + (−b)4 = a4 − 4a3b+ 6a2b2 − 4ab3 + b4
(2z + 3t)5 = 32z5 + 240z4t+ 720z3t2 + 1080z2t3 + 810zt4 + 243t5
Con Maxima
(%i1) expand((x+y)^3);
( %o1) y3 + 3x y2 + 3x2 y + x3
(%i2) expand((a-b)^4);
( %o2) b4 − 4 a b3 + 6 a2 b2 − 4 a3 b+ a4
(%i3) expand((2*z+3*t)^5);
( %o3) 32 z5 + 240 t z4 + 720 t2 z3 + 1080 t3 z2 + 810 t4 z + 243 t5
Fin de la solución
Luis Oncina, Cálculo I
1.3 N,Z,Q como subconjuntos de R 29 Caṕıtulo 1
1.3.3. Enteros, racionales. Otras propiedades de R
El conjunto de los números enteros Z y el de los números racionales Q se definen como:
1. Z := {0}
⋃
{n ∈ R : n ∈ N, o bien − n ∈ N}
2. Q := {m · 1
n
: m ∈ Z y n ∈ N}. El número real m · 1
n
se denota como m
n
o como m/n.
Definición 11.
R tiene la propiedad arquimediana, es decir, dados x ∈ R, 0 < y ∈ R existe n ∈ N tal que x < ny.
Proposición 11.
Prueba:
De no cumplirse la tesis, el conjunto A := {ny : n ∈ N} estaŕıa acotado superiormente por x (seŕıa x ≥ ny
para todo n ∈ N). Sea pues α := supA. Tenemos en particular que para todo n ∈ N es ny ≤ α. Por otra
parte, α − y no seŕıa cota superior de A y por tanto existe n0 ∈ N tal que α − y < n0y. En consecuencia
seŕıa α < (n0 + 1)y, lo cual es contradictorio con el hecho de que A está acotado superiormente por α.
Fin de la prueba
N no está acotado superiormente. Z no está acotado ni superior ni inferiormente.
Corolario 12.
Prueba:
Si N estuviera acotado superiormente, llamando α = supN, como 1 > 0 la propiedad arquimediana de los
números reales nos proporcionaŕıa n0 ∈ N tal que α < n0 · 1 = n0, contradiciendo el hecho de que α sea cota
superior de N
Fin de la prueba
Todo subconjunto no vaćıo A ⊂ N tiene primer elemento.
Proposición 13 (Principio de la buena ordenación).
Prueba:
Utilizaremos el método de inducción. Supongamos (reducción al absurdo) que A no tuviera primer elemento
y sea B := N \ A el complementario del conjunto A. Es claro que 1 /∈ A, pues en caso contrario A tendŕıa
primer elemento. Aśı pues 1 ∈ B.
Además, si n ∈ B entonces n + 1 ∈ B ya que si, por el contrario, se tuviera n + 1 ∈ A entonces A tendŕıa
primer elemento, que seŕıa, concretamente mı́n{1, 2, . . . , n+ 1} ∩A.
El método de inducción garantiza que B = N y, por tanto, que A = ∅, lo que contradice la hipótesis.
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 30 Caṕıtulo 1
Fin de la prueba
1. Demostrar las siguientes fórmulas siendo n ∈ N:
a)
∑n
j=1 j
2 = n(n+1)(2n+1)
6
b) n(n2 + 5) es un múltiplo de 6.
c) 32n+2 + 26n+1 = 1̇1 (múltiplo de 11)
d) (1 + x)n > 1 + nx, donde x > 0 y n > 1.
e) Si 0 < ε < 1 y n ∈ N se cumple (1 + ε)n < 1 + 3nε
2. Sean n,m ∈ N. Probad(
n
n
)
=
(
n
0
)
= 1,
(
n
1
)
=
(
n
n− 1
)
= n
(
n
m
)
=
(
n
n−m
)
,
(
n
m
)
=
(
n− 1
m− 1
)
+
(
n− 1
m
)
3. Probad que no existe n ∈ N tal que 1 < n < 2.
Ejercicios 2.
1.4. Propiedades de densidad en R
La función parte entera
Para cada x ∈ R existe un único número entero m que verifica m ≤ x < m+ 1.
Corolario 14.
Prueba:
Supongamos inicialmente que x ≥ 1. Aplicando la propiedad arquimediana a la pareja compuesta por x y 1 se
tiene que el conjunto {n ∈ N : x < n} no es vaćıo y en consecuencia aplicando la proposición inmediatamente
anterior podemos concluir que dicho conjunto tiene un primer elemento, digamos k ∈ N. Haciendo m := k−1
se obtiene el resultado en este caso. Si x < 1 basta tomar k ∈ N tal que x + k ≥ 1 y aplicar el resultado
anterior. La unicidad es consecuencia de que no existe, como es fácil probar por inducción, ningún número
natural entre 1 y 2 (ver ejercicios más arriba).
Fin de la prueba
Esta proposición da sentido a la siguiente
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 31 Caṕıtulo 1
Sea x ∈ R, el único número entero m que verifica m ≤ x < m+ 1 se llama parte entera de x y se
denota con [x], es decir [x] := m.
Definición 12.
Dibujamos la función parte entera
Vemos ahora otro comando para realizar gráficos con Maxima Cargamos el paquete draw.
--> load(draw);
--> draw2d(explicit(entier(x),x,-3,3),
xaxis=true,yaxis=true,
terminal=pdf,
xrange=[-4,4],yrange=[-4,4]);
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Notad las ĺıneas verticales que dibuja Maxima donde se produce el “salto” de la función.
explicit(entier(x),x,-3,3): dibuja la función y=entier(x) dada de forma expĺıcita.
xaxis=true,yaxis=true: se dibujan los ejes coordenados.
terminal=pdf: exporta el gráfico a un fichero llamado maxima out.pdf (dónde se guarda el fichero
depende de la configuración del ordenador. Búscalo en la carpeta donde está instalado Maxima dentro
de la subcarpetawxmaxima, o bien en la carpeta personal de usuario).
Usando la propiedad arquimediana y la función anterior se puede probar.
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 32 Caṕıtulo 1
Si x, y ∈ R, y se verifica x < y, entonces existe r ∈ Q tal que x < r < y.
Corolario 15.
Prueba:
Por la propiedad arquimediana existe n ∈ N tal que 1 < n(y − x), es decir, 1/n < y − x. Sea m := [nx], se
tiene m ≤ nx < m+ 1, es decir, m
n
≤ x < m+1
n
y, por tanto,
x <
m+ 1
n
=
m
n
+
1
n
≤ x+ 1
n
< y.
Tomando r = (m+ 1)/n se obtiene el resultado buscado.
Fin de la prueba
Si representamos a los números reales en una recta de longitud infinita: colocamos el cero, a la derecha
los números que son mayores que cero y a la izquierda los que son menores, el corolario anterior nos dice que
no hay “huecos”.
1.4.1. Ráıces cuadradas
Si x = y2 se dice que y es una ráız cuadrada de x.
Definición 13.
Es muy fácil observar que si y es una ráız cuadrada de x, −y también es una ráız cuadrada de x, y que x no
puede tener más ráıces cuadradas.
Si 0 < r ∈ Q cumple r2 < 2, entonces existe t ∈ Q tal que r < t y r2 < t2 < 2.
Si 0 < s ∈ Q cumple s2 > 2, entonces existe w ∈ Q tal que 0 < w < s y s2 > w2 > 2.
Además, las afirmaciones anteriores son también ciertas si los números reales r y s son números
reales cualesquiera.
Proposición 16.
De lo anterior podemos deducir que el conjunto A := {0 ≤ r ∈ Q : r2 < 2} no tiene supremo en Q. Sin
embargo, A es un subconjunto no vaćıo de R (1 ∈ A) acotado superiormente por 2 (como es fácil comprobar)
y por tanto existe
α := sup{0 ≤ r ∈ Q : r2 < 2}
que necesariamente ha de cumplir (razonando como en la proposición que acabamos de demostrar) α2 = 2.
Denotando
√
2 := α, se verifica que
√
2 ∈ R\Q. Aśı, tenemos que R\Q 6= ∅, es decir, hay números reales que
no son racionales.
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 33 Caṕıtulo 1
A los elementos de R\Q se les llama números irracionales.
Definición 14.
Como todos sabemos:
los números naturales los usamos para contar;
los enteros para poder resolver ecuaciones de la forma n + m = 0 con n,m ∈ N (o para
poder restar);
los racionales para resolver q · r = 1 con q, r ∈ Q (o para poder dividir números enteros).
La última definición (y los comentarios previos) nos dicen que con los números racionales
no podemos medir longitudes ya que la longitud de la diagonal del cuadrado unidad no es
un número racional.
Los números reales nos ayudan a resolver ese problema.
Sin embargo, no todo se resuelve con los reales. Una ecuación del tipo x2 +1 = 0 no tiene solución
en R ya que si x ∈ R entonces
x2 ≥ 0⇒ x2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0
Para poder resolver estas ecuaciones necesitaremos otro conjunto de números más grande: los
números complejos, C.
Nota.
Extendemos ahora el corolario 15 para irracionales.
Si x, y ∈ R, x < y, entonces existe z ∈ R\Q tal que x < z < y.
Corolario 17.
Prueba:
Sea w ∈ Q de modo que x < w < y. Por la propiedad arquimediana existe n ∈ N de modo que
√
2
n
< y−w.
Tomando z := w +
√
2
n
se obtiene el resultado buscado.
Fin de la prueba
El siguiente resultado es una consecuencia directa del corolario 15.
Cada elemento x ∈ R es el supremo del conjunto de números racionales que son menores que él,
es decir, x = sup{r : r ∈ Q con r < x}.
Corolario 18.
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 34 Caṕıtulo 1
Maxima maneja y simplifica expresiones con ráıces
(%i1) sqrt(4+sqrt(144))+sqrt(2);
( %o1)
√
2 + 4
(%i2) a:(sqrt(2)+sqrt(3))/(sqrt(2)-sqrt(3));
( %o2)
√
3 +
√
2√
2−
√
3
(%i3) radcan(%);
( %o3) −
√
3 +
√
2√
3−
√
2
(%i4) ratsimp(a);
( %o4) −
√
3 +
√
2√
3−
√
2
No ha hecho nada (solo cambiar un signo). Usamos el siguiente comando.
(%i5) algebraic:true;
( %o5) true
(%i6) radcan(a);
( %o6) − 2 32
√
3− 5
(%i7) ratsimp(a);
( %o7) − 2 32
√
3− 5
De nuevo los dos comandos hacen lo mismo. Pero el resultado es diferente al de antes. Ha racionalizado
la expresión.
(%i8) b:sqrt(5*x/y)+sqrt(5*y/x)+(1/x-1/y)*sqrt(5*x*y);
( %o8)
√
5
(
1
x
− 1
y
)
√
x y +
√
5
√
y
x
+
√
5
√
x
y
(%i9) radcan(b);
( %o9)
2
√
5
√
y
√
x
(%i10) ratsimp(b);
( %o10)
√
5x y
√
y
x
+
√
x y
(√
5 y −
√
5x
)
+
√
5x
√
x
y
y
x y
(%i11) algebraic:false;
( %o11) false
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 35 Caṕıtulo 1
(%i12) ratsimp(b);
( %o12)
√
5x y
√
y
x
+
√
x y
(√
5 y −
√
5x
)
+
√
5x
√
x
y
y
x y
(%i13) radcan(b);
( %o13)
2
√
5
√
y
√
x
En este caso no hay diferencia entre algebraic:true o false. Si que la hay, sin embargo, en las respuestas
dadas por radcan y ratsimp.
(%i14) c:(9*x-x^2)/( sqrt(x)*(sqrt(x) + sqrt(6)));
( %o14)
9x− x2(√
x+
√
6
) √
x
(%i15) algebraic:true;
( %o15) true
(%i16) radcan(c);
( %o16)
−x2 +
√
x
(√
2
√
3x−
√
2 3
5
2
)
+ 9x
x− 6
(%i17) ratsimp(c);
( %o17)
−x2 +
√
x
(√
6x− 9
√
6
)
+ 9x
x− 6
(%i18) algebraic:false;
( %o18) false
(%i19) ratsimp(c);
( %o19) − x
2 − 9x
x+
√
6
√
x
(%i20) radcan(c);
( %o20) − (x− 9)
√
x
√
x+
√
2
√
3
1.4.2. Representación decimal de los números reales
Volvemos ahora a la pregunta ¿quién es
√
2? El siguiente resultado que no probaremos nos habla de cómo
representar en base 10 los números reales: los números racionales son aquellos que tienen una cantidad finita
de cifras decimales o bien a partir de un momento un “bloque” de dichas cifras se repite infinitas veces. Los
irracionales son aquellos que no cumplen lo anterior.
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 36 Caṕıtulo 1
La unicidad de la expresión decimal viene dada por el hecho de que no todos los términos sean 9 a partir
de un cierto lugar. Si permitieramos esto el número 0, 99999999 . . . y el 1 que son el mismo número (si fueran
distintos, entre ambos habŕıa otro número real pero no es posible!) tendŕıa dos expresiones.
Sea x ≥ 0 un número real.
1. Existe una sucesión única de números enteros (an)n tal que a0 ≥ 0, 0 ≤ an ≤ 9 para n ≥ 1
que verifica para cada n ∈ N la siguiente propiedad:
a0, a1a2 . . . an ≤ x < a0, a1a2 . . . an +
1
10n
(†)
donde a0, a1a2 . . . an :=
∑n
k=0 ak
1
10k
recibe el nombre de número decimal finito. Además,
en esta sucesión no todos los términos son 9 a partir de un cierto lugar.
2. Rećıprocamente, dada una sucesión de números naturales (an) con 0 ≤ an ≤ 9 para n > 0,
tales que en esta sucesión no todos los términos son 9 a partir de un cierto lugar, existe un
único real x ≥ 0 que cumple las relaciones (†) para todo n.
Diremos que la expresión a0, a1a2 . . . an . . . es la representación decimal del número real x. a0 es
la parte entera de x y se verifica x = sup{a0, a1a2 . . . an : n ∈ N}.
Proposición 19.
Maxima es una buena calculadora. Podemos trabajar con números decimales o con sus
expresiones exactas. Por defecto, trabaja con valores exactos pero podemos modificar esto usando
numer:true. Para volver al estado original usamos numer:false. Si queremos conocer la expresión
decimal de algún número concreto escribimos float( ).
(%i1) sqrt(2);
( %o1)
√
2
(%i2) float(%);
( %o2) 1,414213562373095
(%i3) 5/7;
( %o3)
5
7
(%i4) float(%);
( %o4) 0,71428571428571
(%i5) sqrt(3)+sqrt(2);
( %o5)
√
3 +
√
2
(%i6) numer:true;
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 37 Caṕıtulo 1
( %o6) true
(%i7) sqrt(3)+sqrt(2);
( %o7) 3,146264369941973
(%i8) numer:false;
( %o8) false
(%i9) %i5;
( %o9)
√
3 +
√
2
Los números e y π
(%i10) float(%e);
( %o10) 2,718281828459045
(%i11) float(%pi);
( %o11) 3,141592653589793
Para que Maxima nos devuelva un número concreto de decimales usamos el siguiente comando (9 es el
número de cifras que usará)
(%i12) fpprintprec:9;
( %o12) 9
(%i13) float(%pi);
( %o13) 3,14159265
1.4.3. Ráıces n-ésimas
Ahora vamos a analizar la existencia de ráıces n-ésimas de cualquier número real positivo. Usando las
mismas ideas que en el caso de
√
2 se puede probar.Sea x ∈ R, x > 0, y sea p ∈ N.
1. Si r ∈ R, r > 0 cumple rp < x entonces existe t ∈ Q tal que r < t y rp < tp < x
2. Si s ∈ R, s > 0 cumple sp > x entonces existe w ∈ Q tal que 0 < w < s y sp > wp > x.
3. Existe un único número real positivo α tal que αp = x. De hecho
α = sup{r : r ∈ Q, rp < x}
Proposición 20.
Esta proposición da sentido a la siguiente definición.
Luis Oncina, Cálculo I
1.4 Propiedades de densidad en R 38 Caṕıtulo 1
Para cada x ∈ R, x > 0 y cada p ∈ N, se define la ráız p-ésima de x como el único número real
positivo α tal que αp = x. Se denota x
1
p := p
√
x := α = sup{r : r ∈ Q, rp < x}.
Definición 15.
Obsérvese que si x > 0 y p es par, entonces y = p
√
x e y = − p
√
x son los dos únicos números reales
que cumplen yp = x. Mientras que si p es impar, aunque x sea negativo, y = signo(x). p
√
| x |, donde
signo(x) = 1 si x ≥ 0 y signo(x) = −1 si x < 0, es el único número real que cumple yp = x.
Maxima conoce la función signo. Le decimos a Maxima que x es positivo
(%i1) assume(x>0);
( %o1) [x > 0]
(%i2) signum(x);
( %o2) 1
Ahora le decimos que se olvide de la hipótesis sobre x
(%i3) forget(x>0);
( %o3) [x > 0]
(%i4) assume(x<0);
( %o4) [x < 0]
(%i5) signum(x);
( %o5) − 1
1. Si a es racional y b es irracional, ¿es a+ b necesariamente irracional?. Si a es irracional y b
es irracional, ¿es ab necesariamente irracional?. Probar que
√
3 y
√
6 son irracionales.
2. Completar las siguientes expresiones:
3
√
. . . = a2bc4, 4
√
5a . . . = 5a3c,
√
. . . = 7 + a, ...√
5+
√
3
=
√
5−
√
3.
3. Calcular, simplificando el resultado:
a) (2
√
8 + 3
√
5− 7
√
2)(
√
72− 5
√
20− 2
√
2).
b) (3
√
2− 3
√
3 + 6
√
5)(2
√
2 + 2
√
3 + 4
√
5).
c) (
√
3 +
√
5)(2
√
3 + 3
√
5)− (3
√
3− 2
√
5)(
√
3 + 2
√
5).
d)
(√
1− x+ 1√
1 + x
)
:
(
1 +
1√
1− x2
)
.
Ejercicios 3.
Luis Oncina, Cálculo I
1.5 Autoevaluación 39 Caṕıtulo 1
1.5. Autoevaluación
1. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sobre números reales son verdaderas?
a) La suma de dos números irracionales es un número irracional.
b) El producto de un número racional no nulo por un número irracional es un número
irracional.
c) Todo número irracional tiene un inverso que es también un número irracional.
d) Si a+
√
b = c+
√
d, entonces a = c y b = d.
e) Para todo n ∈ N, la ráız n-ésima de un irracional positivo es un irracional.
2. Consideremos el conjunto A = {x ∈ R : |x2−3| ≤ 1}. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas?
a) supA = 2, ı́nf A =
√
2
b) supA = 2, ı́nf A = −2
c) ı́nf{x ∈ A : x ≥ 0} =
√
2
d) supA = −
√
2, ı́nf A =
√
2
3. Sea A = {x ∈ R : |x2 − x| − x > 8} y B = R \A, entonces:
a) supB = ı́nf A
b) supB = ı́nf{x ∈ A y x > 0}.
c) ı́nf B = −2 y supB = 4.
d) El conjunto A no está acotado ni superior ni inferiormente.
e) sup{x ∈ A y x < 0} ∈ A.
4. Demostrad que para cualquier número natural n se verifica
∑n
j=0 j(j + 1) =
n(n+1)(n+2)
3
5. Demostrad que para cualquier número natural n se cumple
∑n
j=1 j
3 > n
4
4
6. Demostrad que para cualquier número natural n si 0 < x < 1 se cumple la desigualdad
(1 + x)n < 1 + 3nx.
7. Para cada n ∈ N definimos
Sn :=
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+
1
3 · 4
+ . . .+
1
n(n+ 1)
Calculad S1, S2, S3, S4, . . . e inducid un probable valor de Sn. Probad por inducción que Sn
coincide efectivamente con el valor obtenido anteriormente.
Autoevaluación 1.
Luis Oncina, Cálculo I
2 Sucesiones denúmeros reales
2.1. Sucesiones
Se llama sucesión en R a cualquier aplicación ϕ : N → R. Si an := ϕ(n) la sucesión se denota
con (an)n∈N o brevemente (an)n. El número real an recibe el nombre de término general de la
sucesión.
Definición 16 (Sucesión).
Cuando el término general de una sucesión es conocido, es decir, la fórmula que a cada número natural
n le asigna un valor ϕ(n) es inmediato conocer cualquier término de la sucesión: solo tenemos que sustituir
en la fórmula el valor de n deseado.
Otras veces tenemos información de los primeros términos de la sucesión y queremos averiguar el valor
para “n mayor”. Para ello es imprescindible conocer el término general de la sucesión. Aunque esto no
siempre es posible, en algunos casos lo podremos conseguir.
Veamos algunos ejemplos. Sean d, r ∈ R. Hallar el término general de:
1. La sucesión cuyos primeros miembros son a, a+ d, a+ 2d, a+ 3d, . . .. Se conoce como pro-
gresión aritmética.
2. La sucesión cuyos primeros términos son a, ar, ar2, ar3, . . .. Se conoce como progresión
geométrica (de razón r).
Ejemplo 7.
Solución:
1. Tenemos
a1 = a, a2 = a+ d, a3 = a+ 2d = a+ (3− 1)d, a4 = a+ 3d = a+ (4− 1)d . . .
Es claro que la fórmula que nos da esta sucesión es ϕ(n) = a + (n − 1)d. El término general es entonces
a+ (n− 1)d.
2. Tenemos
b1 = a, b2 = ar, b3 = ar
2 = ar3−1, b4 = ar
3 = ar4−1
40
2.1 Sucesiones 41 Caṕıtulo 2
y por tanto el término general es bn = ar
n−1.
Este tipo de sucesiones se dice que están definidas por recurrencia. Notad que en el primer caso, empezamos
con a1 = a y a2 lo conseguimos sumando a a1 el número d. Para hallar a3 le sumamos a a2 de nuevo d. Aśı,
para cualquier n ∈ N el término n-ésimo lo conseguimos an = an−1 + d.
En el caso de la progresión geométrica es bn = rbn−1.
Maxima sabe manejarlas
(%i1) load(solve_rec);
( %o1) C : /PROGRA 2/MAXIMA 2,0/share/maxima/5,30,0/share/solve rec/solve rec.mac
(%i2) solve_rec(a[n]=a[n-1]+d,a[n],a[1]=a);
( %o2) an = d (n− 1) + a
(%i3) solve_rec(b[n]=r*b[n-1],b[n],b[1]=a);
( %o3) bn = a r
n−1
Fin de la solución
Maxima sabe encontrar el término general de otras sucesiones definidas por recurrencia (de muchas otras
no, claro).
Hallar el término general de las siguientes sucesiones definidas por recurrencia.
1. cn =
n
1 + n
cn−1, n ≥ 2 c1 = 1.
2. dn+1 =
(dn + dn−1)
2
, n ≥ 2, d1 = 2, d2 = 4.
3. en =
√
en−1 + 2, n ≥ 2, e1 = 1.
Ejemplo 8.
Vamos a ver los ejemplos
(%i1) load(solve_rec);
( %o1) C : /PROGRA 2/MAXIMA 2,0/share/maxima/5,30,0/share/solve rec/solve rec.mac
(%i2) solve_rec(c[n]=n*c[n-1]/(1+n),c[n],c[1]=1);
( %o2) cn =
2
n+ 1
(%i3) solve_rec(d[n+1]=(d[n]+d[n-1])/2,d[n],d[1]=2,d[2]=4);
( %o3) dn =
23−n (−1)n
3
+
10
3
(%i4) solve_rec(e[n]=sqrt(e[n-1]+2),e[1]=1);
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 42 Caṕıtulo 2
( %o4) false
Vale, esta última no la sabe resolver. Volveremos a ella más adelante en el caṕıtulo.
Nos planteamos ahora obtener de forma gráfica información de una sucesión. ¿Cómo podemos represen-
tarla gráficamente? Veamos dos formas: la primera será representar en la recta real el conjunto de valores de
(an)n, es decir, dibujaremos los puntos del conjunto {an : n ∈ N}. La segunda forma será representar (an)
como una función, es decir, pondremos en el eje de abscisas la n y en el de ordenadas ϕ(n).
Vamos a estudiar las sucesiones an =
1
n y bn = cos(
nπ
9 ).
Ejemplo 9.
Dibujamos el conjunto de valores de an y bn
Para hacer gráficas cargamos en primer lugar el paquete draw. También se puede usar el comando plot2d
(ver ayuda de Maxima) para hacer gráficos.
(%i1) load(draw);
( %o1) C:/PROGRA 2/MAXIMA 1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/draw/draw.lisp
Definimos dos sucesiones
(%i2) a[n]:=1/n;
b[n]:=cos(n*(%pi/9));
( %o2) an :=
1
n
( %o3) bn := cos
(
n
π
9
)
Creamos a continuación la lista de puntos a dibujar para cada sucesión. Usamos el comando makelist.
(%i4) an:makelist([a[n],0],n,1,80)$
bn:makelist([b[n],0],n,1,80)$
Dibujamos la primera sucesión an =
1
n .
(%i6) draw2d(point_type=filled_circle, point_size=0.4, points(an));
( %o6) [gr2d (points)]
-0.01
-0.005
 0
 0.005
 0.01
 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 43 Caṕıtulo 2
Dibujamos la segunda sucesión bn = cos(n
π
9 ).
(%i7) draw2d(color=red, point_type=filled_circle, point_size=0.4,
points(bn));
( %o7) [gr2d (points)]
-0.01
-0.005
 0
 0.005
 0.01
-1 -0.5 0 0.5 1
Dibujamos las sucesiones como funcionesde la variable n.
(%i1) a[n]:=1/n;
b[n]:=cos(n*(%pi/9));
( %o1) an :=
1
n
( %o2) bn := cos
(
n
π
9
)
(%i3) sucan:makelist([n,a[n]],n,1,80)$
sucbn:makelist([n,b[n]],n,1,80)$
(%i5) load(draw);
( %o5) C:/PROGRA 2/MAXIMA 1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/draw/draw.lisp
(%i6) draw2d(color=blue, point_type=filled_circle, point_size=0.3,
points(sucan), color=red, points(sucbn));
( %o6) [gr2d (points, points)]
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 10 20 30 40 50 60 70 80
La segunda forma de representar gráficamente una sucesión nos da una información relevante: en el caso
azul, es decir, la sucesión an =
1
n , cuando n se hace suficientemente grande los valores de an se aproximan a
cero (y cuanto más avanzamos están más cerca). Sin embargo, en el otro caso los puntos rojos van oscilando
sin parar, dicho de otro modo, no hay ningún número real al cual se aproximen los valores de la sucesión a
partir de un cierto momento.
Vamos a ser más precisos.
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 44 Caṕıtulo 2
2.1.1. Ĺımites de sucesiones
Se dice que la sucesión (an)n tiene por ĺımite a ∈ R si para cada ε > 0 existe un número natural
n0 tal que si n > n0 entonces |an − a| < ε. La notación que se utiliza es la siguiente:
a = ĺım
n→∞
an = ĺım
n
an.
Una sucesión se dice convergente cuando tiene ĺımite.
Definición 17 (Ĺımite).
Vamos a ilustrar la definición con algunos ejemplos.
1. La sucesión constante dada por an := a es convergente y su ĺımite es a.
2. La sucesión dada por an :=
1
n
es convergente y su ĺımite es 0.
3. La sucesión dada por an :=
n
n6 + 5n3 + 2n+ 1
tiene ĺımite cero.
4. Si a = ĺımn an entonces se cumple que |a| = ĺımn |an|.
5. Si an > 0 para todo n y existe a = ĺımn an entonces ĺımn
√
an =
√
a.
Ejemplo 10.
Solución:
1. Para cada ε > 0 dado se cumple que |an − a| = |a− a| = 0 < ε para todo n ∈ N.
2. Dado ε > 0 si n0 := [
1
ε ] + 1 se cumple que |an − 0| =
1
n <
1
n0
< ε siempre que n > n0, ya que
1
ε <
[
1
ε
]
+ 1 = n0 implica
1
n0
< ε
3. Dado ε > 0 si n0 := [
1
ε ] + 1 se cumple que |an − 0| < ε siempre que n > n0, ya que
|an − 0| =
n
n6 + 5n3 + 2n+ 1
<
n
n6
=
1
n5
≤ 1
n
<
1
n0
< ε
4. Fijado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que |a − an| < ε si n > n0; pero como por el último apartado de la
proposición 5 se tiene
||a| − |an|| ≤ |a− an| < ε si n > n0,
lo cual significa que |a| = ĺımn |an|.
5. Supongamos inicialmente que a > 0 y entonces fijado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que |a − an| <
√
aε si
n > n0; pero por otra parte se tiene la siguiente estimación
|
√
a−
√
an| =
|a− an|√
a+
√
an
≤ |a− an|√
a
<
√
aε√
a
= ε
si n > n0, que demuestra precisamente que, en este caso, ĺımn
√
an =
√
a.
Para el caso en que sea a = 0 dado ε > 0, como ĺımn an = 0 existe n0 ∈ N tal que si n > n0 se cumple
an < ε
2. Por lo tanto para n > n0
|
√
an −
√
0| =
√
an <
√
ε2 = ε
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 45 Caṕıtulo 2
Notad que en la última desigualdad hemos usado que si 0 < x < y entonces
√
x <
√
y. Para probar esta
afirmación supongamos, por reducción al absurdo, que
√
x ≥ √y. Entonces, al ser ambos positivos,
√
y
√
x ≤
√
x
√
x = x
por otro lado
y =
√
y
√
y ≤ √y
√
x
de donde y ≤ x, contradicción.
Los ejemplos 4 y 5 son importantes y más adelante haremos mención a ellos.
Maxima calcula ĺımites de sucesiones
(%i1) limit(a,n,inf);
( %o1) a
(%i2) limit(1/n,n,inf);
( %o2) 0
(%i3) limit(n/(n^6+5*n^3+2*n+1),n,inf);
( %o3) 0
Fin de la solución
El concepto que sigue es útil para muchos fines y, en particular, para “visualizar” el concepto de ĺımite, como
luego veremos. Aunque ya los hemos usado conviene definirlos de nuevo.
Si a ≤ b son números reales:
Se llama intervalo cerrado de extremos a, b al conjunto [a, b] := {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}.
Se llama intervalo abierto de extremos a, b al conjunto (a, b) := {x ∈ R; a < x < b}.
Los conjuntos [a, b) y (a, b] reciben el nombre de intervalos semiabiertos por la derecha e
izquierda respectivamente.
Se llama longitud del intervalo al número real b− a.
Definición 18 (Intervalo).
Conectado con estos conceptos está la noción de bola de centro x0 y radio r > 0.
1. Se llama bola cerrada de centro x0 y radio r > 0 y se denota con B[x0, r] al siguiente
conjunto B[x0, r] := {x ∈ R; |x− x0| ≤ r} = [x0 − r, x0 + r].
2. Se llama bola abierta de centro x0 y radio r > 0 y se denota con B(x0, r) al siguiente
conjunto B(x0, r) := {x ∈ R; |x− x0| < r} = (x0 − r, x0 + r).
Definición 19 (Bola).
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 46 Caṕıtulo 2
Obsérvese que, utilizando estos conceptos, el que la sucesión (an)n tenga ĺımite a puede expresarse
diciendo que para cualquier ε > 0 la bola abierta B(a, ε) contiene a todos los términos de la sucesión (an)n
salvo a lo más un número finito.
En el caso visto anteriormente de la sucesión ( 1n )n vemos gráficamente que el ĺımite es cero. Dado ε1 > 0
observamos que solo los siete primeros términos de la sucesión se quedan fuera de la bola B(0, ε1) = (−ε1, ε1).
Tomando ahora otro radio más pequeño, ε2, fuera de la bola de radio ε2 quedan algunos más, pero siempre
un número finito.
-0.01
-0.005
 0
 0.005
 0.01
 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
)
ε1
)
ε2
Usando la otra forma de representar la sucesión, la definición de ĺımite queda aśı: dado ε > 0 a partir de
un término de la sucesión todos quedan dentro de la franja centrada en cero y de radio ε.
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 10 20 30 40 50 60 70 80
Veamos ahora un ejemplo de sucesión que no es convergente. Volvamos a la sucesión bn = cos(
πn
9 ).
Tenemos que probar que dado a ∈ R cualquiera a no cumple la definición de ĺımite, es decir, existe un
número positivo ε tal que fuera de la bola B(a, ε) caen infinitos términos de la sucesión bn. (De momento
nos contentamos con hacer la prueba gráficamente. Más adelante daremos la prueba correcta (anaĺıtica)).
Es fácil ver que si |a| > 1 podemos encontrar ε > 0 de manera que en la franja de radio ε centrada en a
(de color rojo) no hay ningún término de la sucesión y por tanto este a no puede ser ĺımite de la misma.
Si |a| ≤ 1 encontramos una franja (color azul) que contiene infinitos términos de la sucesión. Pero fuera
de la misma hay infinitos y por tanto a tampoco puede ser ĺımite de bn.
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
10 20 30 40 50 60 70 80
Lo que acabamos de hacer resulta más dif́ıcil si representamos los valores que toma la sucesión. En
este caso no podemos saber cuántos términos de la sucesión se corresponden con cada valor y por tanto
desconocemos si dada una bola centrada en un punto quedan fuera una cantidad finita de términos de la
sucesión.
Luis Oncina, Cálculo I
2.1 Sucesiones 47 Caṕıtulo 2
-0.01
-0.005
 0
 0.005
 0.01
-1 -0.5 0 0.5 1
Un primer hecho que se deduce de forma inmediata de la definición de ĺımite es el siguiente.
El ĺımite de una sucesión convergente es único.
Proposición 21.
Prueba:
Supongamos, por reducción al absurdo, que la sucesión (an)n tuviera dos ĺımites distintos, digamos a 6= b.
Gráficamente es fácil de ver. Trazamos sendas bolas centradas en a y en b que sean disjuntas. Como a cumple
la definición de ĺımite fuera de su bola solo hay una cantidad finita de términos de an. Pero lo mismo ha
de suceder en la bola centrada en b y esto es imposible ya que dentro de la bola centrada en a hay infinitos
términos.
( ( (
(
Vamos a probarlo. Sea ε = |a− b|/3 > 0. Entonces, de acuerdo con la definición existen números naturales
n1 y n2 para los que se verifica que |an − a| < ε si n > n1 y |an − b| < ε si n > n2. Aśı pues, llamando
n0 := máx{n1, n2} se debe cumplir que |an − a| < ε si n > n0 y |an − b| < ε si n > n0. De donde se deduce
que si n > n0 ha de ser
|a− b| = |a− an + an − b| ≤ |a− an|+ |an − b| < ε+ ε = 2
|a− b|
3
y por tanto que 1 < 23 , lo cual no es cierto.
Fin de la prueba
Sucesión acotada
Una sucesión (an) se dice
acotada superiormente si