Cálculo II - Oncina

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CÁ
LCULO II
Luis Oncina
Introducción
E l objetivo de estos apuntes de Cálculo II para el grado en F́ısica es el de extender a varias variables
los conceptos aprendidos en la asignatura de Cálculo I.
D urante el curso usaremos el programa de cálculo simbólico Maxima que puede descargarse pin-
chando en el siguiente enlace http://sourceforge.net/projects/wxmaxima/. Mi intención es usar Ma-
xima para ayudarnos a aprender Cálculo; no al contrario. En algunos casos el código Maxima emplea-
do en un ejemplo quizás no sea el más directo. La idea es trasladar nuestros razonamientos matemáticos
al código para facilitarnos las cuentas. Podéis copiar y pegar el código (azul) de Maxima que aparece
en los apuntes. Solamente el apóstrofe da problemas al pegar: borrar y teclearlo en la consola de Ma-
xima . Para aprender más comandos de Maxima podeis descargar, por ejemplo, las siguientes prácticas
http://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Practicas_con_Maxima.pdf. Por supuesto, más infor-
mación a través de www.google.es.
L os apuntes, como los de Cálculo I, están divididos en cuatro partes.
Caṕıtulos 1-7. Constituye la parte fundamental de la asignatura. Desarrollamos los contenidos teóricos
necesarios para aprender a manipular las derivadas parciales, diferenciales, integrales múltiples, de
ĺınea, de superficie,...
Cuando en el texto aparezca el siguiente śımbolo detrás de un teorema, pinchando sobre él iremos a la
prueba.
Una vez léıda la demostración podemos volver donde nos hab́ıamos quedado sin más que pinchar en
Apéndice A: Pruebas. En este apéndice daremos las demostraciones que, por falta de tiempo, no se
pueden dar durante el curso.
Śı merece la pena, en algunos casos, mostrar al alumno alguna de las ideas de la demostración. Tengo
en mente, por ejemplo, las caracterizaciones de los campos vectoriales conservativos: en un caso el
dominio será un conjunto conexo y en otro será convexo, ¿por qué?.
Algunos resultados no tienen su equivalente en el Cálculo de una variable: el teorema de la función
impĺıcita, el de los multiplicadores de Lagrange y el de Fubini. Presentamos las demostraciones de estos
resultados para el caso de dos variables (y para funciones continuas en este último). En estos casos
particulares los alumnos pueden comprender cómo y por qué funciona la demostración (en los casos
generales la notación dificulta bastante la comprensión de las pruebas).
http://sourceforge.net/projects/wxmaxima/
http://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Practicas_con_Maxima.pdf
www.google.es
ii
Apéndice B: Ampliación. En este apéndice nos centramos en el estudio de propiedades del espacio vecto-
rial de las funciones (reales) continuas definidas en el intervalo [0, 1]. El motivo es conocer las diferencias
que surgen al intentar extender lo aprendido en el curso para espacios vectorial de dimensión finita Rp
a un espacio de dimensión infinita.
También comentamos el teorema del punto fijo de Banach y el método de iteración que aparece en
la prueba del mismo. Como ejemplo de la importancia de este resultado proponemos la existencia de
soluciones de una ecuación diferencial.
Sólo tres teoremas se quedan sin demostración en el apéndice de complementos: el teorema de la
función inversa, el teorema del cambio de variable para la integral múltiple y el teorema de Lebesgue
de caracterización de la integral de Riemann. El motivo es la extrema dificultad de la prueba de los
mismos. Le dedicamos una sección a cada uno de ellos en este apéndice. La prueba del primero está
hecha en el caso general y usa el teorema del punto fijo de Banach (otra muestra de la importancia
de este resultado). La prueba del teorema de Lebesgue la hacemos para el caso de una variable (las
ideas en el caso de varias variables son similares, pero la notación dificulta la demostración). También
el teorema del cambio de variable para la integral múltiple se hace en un caso particular.
Finalmente, dedicamos también una sección al estudio de propiedades del operador ∇.
Apéndice C: Autoevaluación. Al final de cada caṕıtulo hay unos ejercicios de autoevaluación. En el
apéndice C están escritas las soluciones de dichos ejercicios. La idea es que una vez completado el
caṕıtulo y sus ejercicios, el alumno pueda practicar un poco más y comprobar qué sabe hacer y dónde
tiene dudas.
E l material que aparece en estos apuntes no sale de un libro. A lo largo de los años se consulta mucha
bibliograf́ıa y con el paso del tiempo es dif́ıcil recordar donde se leyó cada cosa. Recomiendo a continuación
varios libros que se pueden consultar y que en algunos casos aportan distintos puntos de vista sobre un
mismo tema. Si tuviera que elegir de entre los siguientes un libro de referencia este seŕıa el número 5.
1. T. M. Apostol, Análisis Matemático, Reverté, Barcelona, 1991.
2. J. A. Facenda Aguirre y F. J. Freniche Ibáñez, Integración de funciones de varias variables, Pirámide,
Madrid, 2002.
3. J. A Fernández Viña y Eva Sánchez Mañes, Ejercicios y complementos de Análisis Matemático II,
Tecnos, Madrid, 1986.
4. J. E. Marsden y M.J. Hoffman, Elementary classical analysis (Second Edition), W. H. Freeman and
Company, Nueva York, 1993.
5. J. Rogawski, Cálculo. Varias variables, segunda edición original, Ed. Reverté, Barcelona, 2012.
6. G. Vera, Lecciones de Análisis Matemático II, http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-ii/
material-de-clase-1/am-ii.pdf, 2008.
http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-ii/material-de-clase-1/am-ii.pdf
http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-ii/material-de-clase-1/am-ii.pdf
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Contenidos
1. Topoloǵıa en Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. El espacio eucĺıdeo Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Distancia y entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Convergencia en Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1. Interior, adherencia y frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.3. Conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4. Ĺımite de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.5.1. Propiedades globales de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2. Derivadas y diferenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1. Funciones vectoriales de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2.1. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.2. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3. Funciones derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3. Difeomorfismos e Impĺıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.2.1. Difeomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.2. Cambios de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3. Funciones impĺıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4. Optimización de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.1. La fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.3. Los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5. Integrales múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.1. Funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.1.1. Conjuntos medibles Jordan en Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.1.2. Integración sobre conjuntos medibles Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.2. El teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.3. El teorema del cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.4. Cálculo de áreas y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.5. Integrales dependientes de un parámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6. Integrales curviĺıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.1. Caminos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
iv
6.2. Integración sobre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.3. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.4. El Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7. Integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.1. Definición de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.2. Área de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7.3. Integral de un campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.4. El Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
7.5. El Teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
A. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
A.1. Pruebas del Caṕıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
A.1.1. Conjunto conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
A.1.2. Los intervalos son los conexos de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
A.1.3. Conexión y conexión por poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
A.2. Pruebas del Caṕıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
A.2.1. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
A.2.2. Condición suficiente de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
A.3. Pruebas del Caṕıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
A.3.1. Igualdad de las derivadas parciales cruzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
A.3.2. Teorema de la función impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
A.4. Pruebas del Caṕıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
A.4.1. La fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
A.4.2. Resto de Landau de grado dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
A.4.3. Condiciones suficientes de existencia de extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
A.4.4. Test de las derivadas segundas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
A.4.5. Los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
A.4.6. Condiciones suficientes para extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
A.5. Pruebas del Caṕıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
A.5.1. Contenido de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
A.5.2. Teorema de Heine-Borel-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
A.5.3. Integración sobre conjuntos de medida cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
A.5.4. El teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
A.5.5. Integrales dependientes de un parámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
A.6. Pruebas del Caṕıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
A.6.1. Longitud de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
A.6.2. Caracterización de campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
A.6.3. Lema de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
A.6.4. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
A.7. Pruebas del Caṕıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
A.7.1. Vectores normales respecto de dos parametrizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
A.7.2. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
A.7.3. Teorema de Gauss o de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
B. Ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
B.1. C[0, 1] como espacio vectorial normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
B.1.1. Normas en C([0, 1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
B.1.2. Convergencia en (C([0, 1]), ‖ · ‖∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
B.1.3. Diferencias con la dimensión finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
B.2. El teorema del punto fijo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
B.2.1. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
B.3. El teorema de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
B.4. El teorema de Lebesgue de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
B.5. El teorema del cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
B.6. El operador nabla ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 363
C. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
C.1. Autoevaluación 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
C.2. Autoevaluación 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
C.3. Autoevaluación 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
C.4. Autoevaluación 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
C.5. Autoevaluación 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
C.6. Autoevaluación 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
C.7. Autoevaluación 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
1 Topoloǵıa en Rp
1.1. El espacio eucĺıdeo Rp
Comenzamos definiendo el espacio vectorial Rp.
Sea p ∈ N fijo. Definimos Rp := {(x1, x2, . . . , xp) : xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ p}. A los elementos ~x ≡ x =
(x1, . . . , xp) ∈ Rp se les llama vectores de p componentes (o coordenadas) reales. En Rp definimos
dos operaciones: una operación interna, suma, denotada por + y una operación externa, producto
por escalares, denotada por ·. Si x,y ∈ Rp y λ ∈ R (escalar)
x + y = (x1, . . . , xp) + (y1, . . . , yp) := (x1 + y1, . . . , xp + yp) ∈ Rp
λ · x ≡ λx = λ · (x1, . . . , xp) := (λx1, . . . , λxp) ∈ Rp
Definición 1 (Espacio vectorial Rp).
Cuando trabajemos con vectores es necesario (para muchas operaciones) cargar el paquete
“vect”
(%i1) load(vect);
( %o1) C:/ARCHIV 1/MAXIMA 1.0-2/share/maxima/5.28.0-2/share/vector/vect.mac
(%i2) x:[x1,x2,x3];
y:[y1,y2,y3];
( %o2) [x1, x2, x3]
( %o3) [y1, y2, y3]
(%i4) x+y;
a*x;
( %o4) [y1 + x1, y2 + x2, y3 + x3]
( %o5) [a x1, a x2, a x3]
Con estas operaciones, (Rp,+, ·) tiene estructura de espacio vectorial sobre R.
7
1.1 El espacio eucĺıdeo Rp 8 Caṕıtulo 1
Para cualquier x,y, z ∈ Rp y λ, µ ∈ R tenemos
1. (x + y) + z = x + (y + z) (Propiedad asociativa)
2. x + y = y + x (Propiedad conmutativa)
3. x +~0 = x,~0 = (0, . . . , 0) (Existencia de elemento neutro)
4. Dado x existe y : x + y = ~0 (Existencia de opuesto)
5. λ(x + y) = λx + λy (Propiedad distributiva)
6. (λ+ µ)x = λx + µx (Propiedad distributiva)
7. λ(µx) = (λµ)x
8. 1x = x
Proposición 1 (Propiedades de espacio vectorial).
Prueba:
Las pruebas de estas propiedades salen directamente de la definición de Rp y de las propiedades de los
números reales. El vector y (el opuesto de x) de (4) es simplemente (−x1, . . . ,−xp) y se denota por −x.
Fin de la prueba
Dados los vectores x1, . . . ,xn ∈ Rp se llaman combinaciones lineales de ellos a todos los vectores
x que se pueden poner de la forma
x = λ1x1 + . . .+ λnxn,
donde λ1, . . . , λn ∈ R son escalares cualesquiera.
Definición 2 (Combinación lineal).
Se dice que los vectores x1, . . . ,xn ∈ Rp son linealmente independientes si una combinación lineal
suya igual a cero solo puede ocurrir cuando los escalares son todos cero, es decir, si
λ1x1 + . . .+ λnxn = 0 entonces λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
Definición 3 (Linealmente independientes).
Si x 6= ~0 y λ 6= 0, decimos que λx tiene la misma dirección que x y si además es λ > 0, decimos que
ambos tienen el mismo sentido.
Luis Oncina, Cálculo II
1.1 El espacio eucĺıdeo Rp 9 Caṕıtulo 1
Denotamos por e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), ..., ep = (0, 0, . . . , 1). Es posible expresar
cualquier vector x ∈ Rp de manera única como combinación lineal de los vectores ei: si x =
(x1, . . . , xp) entonces x = x1e1 + . . .+ xpep. Se dice que {e1, . . . , ep} es la base canónica de Rp.
A los escalares x1, . . . , xp se les llama coordenadas de x en la base canónica.
Definición 4 (Base canónica).
En los casos particulares de R2 y R3 los vectores de la base canónica se suelen representar como sigue:
R2: ~i = e1 = (1, 0), ~j = e2 = (0, 1)
R3: ~i = e1 = (1, 0, 0), ~j = e2 = (0, 1, 0), ~k = e3 = (0, 0, 1).
En R3 dos vectores (x1, x2, x3), (y1, y2, y3) son linealmente independientes si su producto vectorial
u× v 6= 0 o dicho de otra forma si la matriz(
x1 x2 x3
y1 y2 y3
)
tiene rango 2. Esto quiere decir que algún menor de orden 2 de la matriz es no nulo: los menores
de dicha matriz son los determinantes∣∣∣∣∣ x1 x2y1 y2
∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣ x1 x3y1 y3
∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣ x2 x3y2 y3
∣∣∣∣∣
Notad que estos números se corresponden con los que aparecen en el cálculo del producto vectorial
u× v :=
∣∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
x1 x2 x3
y1 y2 y3
∣∣∣∣∣∣∣ =
(∣∣∣∣∣ x2 x3y2 y3
∣∣∣∣∣ ,−
∣∣∣∣∣ x1 x3y1 y3
∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣ x1 x2y1 y2
∣∣∣∣∣
)
Nota.
El producto vectorial con Maxima . Usamos˜que conseguimos pulsando simultáneamente
AltGr y 4
(%i1) load(vect);
( %o1) C : /ARCHIV 1/MAXIMA 1,0− 2/share/maxima/5,28,0− 2/share/vector/vect.mac
(%i2) x:[x1,x2,x3];
y:[y1,y2,y3];
( %o2) [x1, x2, x3]
( %o3) [y1, y2, y3]
(%i4) x~y;
Luis Oncina, Cálculo II
1.1 El espacio eucĺıdeo Rp 10 Caṕıtulo 1
( %o4) [x1, x2, x3] [y1, y2, y3]
(%i5) express(%);
( %o5) [x2 y3− x3 y2, x3 y1− x1 y3, x1 y2− x2 y1]
Continuamos ahora definiendo el espacio af́ın Ep. El espacio geométrico al que llamamos espacio af́ın de
dimensión p es un conjunto de puntos ligado al espacio vectorial Rp. A cada par de puntos P,Q ∈ Ep se le
asocia un vector u ∈ Rp y se pone u = ~PQ o bien Q = P + u. Cuando en Ep se toma un punto fijo O ∈ Ep,
al que se llama origen, y a cada punto X ∈ Ep se le asocia el vector x = ~OX, se establece una biyección
Ep ↔ Rp que permite identificar X con x, y aśı hablaremos indistintamente de punto x (en lugar de punto
X o vector x).
Dados P ∈ Ep y u,v vectores linealmente independientes en Rp, se llama
recta que pasa por P y tiene la dirección de u al conjunto de puntos X que cumplen:
X = P + λu, λ ∈ R.
plano que pasa por P en la dirección de u y v al conjunto de puntos X que cumplen:
X = P + λu + µv
Definición 5 (La recta y el plano).
Ecuaciones de la recta en R2 y en R3. La ecuación del plano en R3.
Ejemplo 1.
Solución:
Dado P = (x0, y0) y u = (u1, u2), los puntos que pertenecen a la recta determinada por P y u son aquellos
que cumplen (x, y) = (x0, y0) + λ(u1, u2) ecuación vectorial. Equivalentemente
(x− x0, y − y0) = λ(u1, u2)⇔
{
x− x0 = λu1
y − y0 = λu2
Si u1 y u2 son distintos de cero el sistema es equivalente a
x− x0
u1
=
y − y0
u2
ecuación continua⇒ y − y0 =
u2
u1
(x− x0) ecuación punto-pendiente
dado que u2
u1
es la pendiente de la recta. Finalmente poniendo m = u2
u1
y b = y0−mx0 nos queda y = mx+ b
ecuación expĺıcita. Si de la ecuación continua ponemos u2x − u1y − u2x0 + u1y0 = 0 y escribiendo A =
u2, B = −u1, C = −u2x0 + u1y0 queda
Ax+By + C = 0 ecuación impĺıcita
donde el vector (A,B) es perpendicular al vector director de la recta u.
Sean ahora P = (x0, y0, z0) y u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3).
Luis Oncina, Cálculo II
1.1 El espacio eucĺıdeo Rp 11 Caṕıtulo 1
La ecuación de la recta que pasa por el punto P en la dirección del vector u tiene como ecuación
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(u1, u2, u3)⇔

x = x0 + λu1
y = y0 + λu2
z = z0 + λu3
Si u1, u2, u3 son todos no nulos, despejando λ en el sistema e igualando quedan dos ecuaciones
x− x0
u1
=
y − y0
u2
=
z − z0
u3
La ecuación del plano que pasa por P con vectores directores u, v (linealmente independientes) tiene por
ecuaciones
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(u1, u2, u3) + µ(v1, v2, v3)⇔

x− x0 = λu1 + µv1
y − y0 = λu2 + µv2
z − z0 = λu3 + µv3
Ahora, dado un punto (x, y, z) ∈ R3, dicho punto estará en el plano si existen λ y µ soluciones del sistema
anterior, es decir, si el rango de la matriz de coeficientes (que tiene rango 2 por ser u y v linealmente
independientes) coincide con el rango de la matriz ampliada. Por tanto el siguiente determinante tiene que
ser cero
0 =
∣∣∣∣∣∣∣
x− x0 u1 v1
y − y0 u2 v2
z − z0 u3 v3∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ u2 v2u3 v3
∣∣∣∣∣ (x− x0) +
∣∣∣∣∣ u3 v3u1 v1
∣∣∣∣∣ (y − y0) +
∣∣∣∣∣ u1 v1u2 v2
∣∣∣∣∣ (z − z0)
Desarrollando estos productos queda una ecuación del tipo
Ax+By + Cz +D = 0
que se conoce como ecuación impĺıcita y cabe destacar que el vector (A,B,C) es normal (perpendicular) al
plano.
Fin de la solución
Producto escalar
Dados dos vectores x,y ∈ Rp, se define el producto escalar de los mismos como:
x · y =< x,y >= (x1, . . . , xp) · (y1, . . . , yp) := x1y1 + . . .+ xpyp =
p∑
i=1
xiyi
Cuando consideramos Rp equipado con el producto escalar se le llama espacio vectorial eucĺıdeo.
Definición 6 (Producto escalar).
El producto escalar se calcula con .
Luis Oncina, Cálculo II
1.1 El espacio eucĺıdeo Rp 12 Caṕıtulo 1
(%i1) x:[x1,x2,x3];
y:[y1,y2,y3];
( %o1) [x1, x2, x3]
( %o2) [y1, y2, y3]
(%i3) x.y;
( %o3) x3 y3 + x2 y2 + x1 y1
Dados x,y, z ∈ Rp y λ ∈ R se verifica:
< x,y + z >=< x,y > + < x, z >
< x,y >=< y,x >
< λx,y >= λ < x,y >
< x,x >> 0, para cualquier x 6= ~0
< x,x >= 0 si, y sólo si, x = ~0
Proposición 2.
Prueba:
Las propiedades distributiva y asociativa de la suma y el producto de números reales nos dan la prueba de
estas propiedades.
Fin de la prueba
Comprobamos la primera propiedad
(%i1) x:[x1,x2,x3];
y:[y1,y2,y3];
z:[z1,z2,z3];
( %o1) [x1, x2, x3]
( %o2) [y1, y2, y3]
( %o3) [z1, z2, z3]
(%i4) x.(y+z);
( %o4) x3 (z3 + y3) + x2 (z2 + y2) + x1 (z1 + y1)
(%i5) expand(%);
( %o5) x3 z3 + x2 z2 + x1 z1 + x3 y3 + x2 y2 + x1 y1
(%i6) x.y+x.z;
( %o6) x3 z3 + x2 z2 + x1 z1 + x3 y3 + x2 y2 + x1 y1
Luis Oncina, Cálculo II
1.1 El espacio eucĺıdeo Rp 13 Caṕıtulo 1
Norma eucĺıdea en Rp
Sea x ∈ Rp, se llama norma eucĺıdea (o longitud) de x, representado por ‖x‖, al número real:
‖x‖ :=
√
< x,x > =
√
x21 + . . .+ x
2
p
Definición 7 (Norma eucĺıdea).
Maxima no tiene un comando para calcular la norma de un vector. La definimos.
(%i1) norm(a):=sqrt(a.a);
( %o1) norm (a) :=
√
a.a
(%i2) x:[x1,x2,x3];
y:[y1,y2,y3];
( %o2) [x1, x2, x3]
( %o3) [y1, y2, y3]
(%i4) norm(x);
( %o4)
√
x32 + x22 + x12
(%i5) norm(x+y);
( %o5)
√
(y3 + x3)
2
+ (y2 + x2)
2
+ (y1 + x1)
2
(%i6) norm(a*x);
( %o6)
√
a2 x32 + a2 x22 + a2 x12
(%i7) factor(%);
( %o7) |a|
√
x32 + x22 + x12
Dados x,y ∈ Rp, y λ ∈ R se cumple:
1. ‖x‖ > 0 si x 6= ~0; ‖x‖ = 0 si, y sólo si, x = ~0
2. ‖λx‖ = |λ|‖x‖
3. ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (Desigualdad triangular o de Minkowski).
4. | < x,y > | ≤ ‖x‖‖y‖ (Desigualdad de Cauchy-Schwartz).
5. |‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖.
Proposición 3.
Luis Oncina, Cálculo II
1.1 El espacio eucĺıdeo Rp 14 Caṕıtulo 1
Prueba:
Las propiedades 1 y 2 son evidentes. La 3 y la 4 ya no lo son tanto. Comenzaremos probando la propiedad
4 y basándonos en ella probaremos 3.
4. Supongamos que x,y 6= 0 (si alguno es cero < x,y >= 0 y ya estaŕıa la prueba). Tenemos pues que
< x,x >> 0 y < y,y >> 0. Para todo α ∈ R:
0 ≤< αx + y, αx + y >= α2 < x,x > +2α < x,y > + < y,y >
Llamando: a =< x,x >, b = 2 < x,y > y c =< y,y >, queda aα2 + bα+ c ≥ 0. Esta ecuación cuadrática,
por ser a > 0, tiene un mı́nimo en el vértice −b
2a
. Por tanto
a
(
−b
2a
)2
+ b
(
−b
2a
)
+ c ≥ 0, es decir, c ≥ b
2
4a
⇔ b2 ≤ 4ac
Sustituyendo los valores de a, b, y c queda
4(< x,y >)2 ≤ 4 < x,x >< y,y >⇔< x,y >2≤ ‖x‖2‖y‖2
y tomando ráıces cuadradas: | < x,y > | ≤ ‖x‖‖y‖.
Veamos que se cumple la desigualdad triangular-.
3. A partir de la definición de la norma eucĺıdea y del producto escalar tenemos que ‖x‖2 =< x,x > .
Entonces
‖x + y‖2 =< x + y,x + y >=< x,x > +2 < x,y > + < y,y >
≤ ‖x‖2 + 2| < x,y > |+ ‖y‖2 ≤ ‖x‖2 + 2‖x‖‖y‖+ ‖y‖2 = (‖x‖+ ‖y‖)2
Finalmente, tomando ráıces cuadradas: ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.
5.
‖x‖ = ‖x− y + y‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖y‖ ⇔ ‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x− y‖
‖y‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x‖ ⇔ ‖y‖ − ‖x‖ ≤ ‖x− y‖ ⇔ ‖x‖ − ‖y‖ ≥ −(‖x− y‖)
Obtenemos aśı que
−(‖x− y‖) ≤ ‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x− y‖ ⇔ |‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖
Fin de la prueba
Se dice que un vector u ∈ Rp es unitario si ‖u‖ = 1. Si x ∈ Rp, x 6= ~0, entonces el vector u = x‖x‖ es
unitario y tiene la misma dirección y sentido que x.
Ángulo de dos vectores
Dados x,y ∈ Rp dos vectores no nulos, el ángulo (ang(x,y)) que forman estos dos vectores queda
caracterizado por su coseno:
cos(ang(x,y)) :=
< x,y >
‖x‖‖y‖
Dos vectores se dice que son ortogonales (o perpendiculares) si < x,y >= 0 (o equivalentemente
si ang(x,y) = π
2
. (El vector nulo es ortogonal a cualquier vector).
Definición 8.
Luis Oncina, Cálculo II
1.1 El espacio eucĺıdeo Rp 15 Caṕıtulo 1
1.1.1. Distancia y entornos
Distancia eucĺıdea
Se llama distancia eucĺıdea de un punto x = (xi) a otro y = (yi) al número real positivo
d(x,y) := ‖y − x‖ = ‖ ~XY ‖ =
√
(y1 − x1)2 + . . .+ (yp − xp)2
Definición 9 (Distancia eucĺıdea).
Dados x,y, z puntos de Rp se verifica
d(x,y) > 0 si x 6= y, siendo d(x,x) = 0
d(x,y) = d(y,x)
d(x,y) ≤ d(x, z) + d(z,y) (desigualdad triangular)
Proposición 4.
Prueba:
Las dos primeras propiedades son obvias. Solo hemos de detenernos en la desigualdad triangular. Pero esta
propiedad de la distancia eucĺıdea es consecuencia directa de la correspondiente propiedad de la norma:
d(x,y) := ‖x− y‖ = ‖(x− z) + (z− y)‖ ≤ ‖x− z‖+ ‖z− y‖ = d(x, z) + d(z,y)
Fin de la prueba
Bolas y entornos
Sea a ∈ Rp y un número real r > 0. Se llaman bolas de centro a y radio r a los conjuntos:
Bola abierta: B(a, r) := {x ∈ Rp : d(x, a) < r}
Bola cerrada: B(a, r) := {x ∈ Rp : d(x, a) ≤ r}
Bola reducida: B∗(a, r) := {x ∈ Rp : 0 < d(x, a) < r} = B(a, r) \ {a}
Definición 10 (Bolas).
1. Dados dos puntos a,b ∈ Rp, a 6= b existen r1 > 0, r2 > 0 tales que B(a, r1)∩B(b, r2) = ∅.
2. Si b ∈ B(a, r) entonces existe r′ > 0 tal que B(b, r′) ⊂ B(a, r).
Proposición 5.
Luis Oncina, Cálculo II
1.1 El espacio eucĺıdeo Rp 16 Caṕıtulo 1
Prueba:
1. Gráficamente es fácil ver el significado de la propiedad. Dados dos puntos distintos podemos trazar bolas
con centro en dichos puntos que no se cortan.
Vamos a probarlo ahora. Sea ε = ‖b−a‖/3. Tomamos r1 = r2 = ε y vamos a probar queB(a, ε)∩B(b, ε) = ∅.
Para ello sea x ∈ B(a, ε) cualquiera, hemos de probar que x 6∈ B(b, ε), es decir, ‖b− x‖ ≥ ε. Supongamos,
para llegar a una contradicción, que ‖x− b‖ < ε. Tendŕıamos que
‖a− b‖ ≤ ‖x− a‖+ ‖x− b‖ < ε+ ε = 2
3
‖a− b‖ ⇒ 1 < 2
3
lo cual es absurdo.
2. Gráficamente, la propiedad dice que si tomo un punto dentro de una bola, puedo meter una bola más
pequeña centrada en dicho punto en la bola original.
Sea r′ = r−‖a−b‖
2
> 0 (en la gráfica la ĺınea discontinua mide r − ‖a− b‖). Veamos que B(b, r′) ⊂ B(a, r),
es decir, si y ∈ B(b, r′) entonces y ∈ B(a, r). Para probarlo estimamos
‖a− y‖ ≤‖a− b‖+ ‖b− y‖ < ‖a− b‖+ r′ < ‖a− b‖+ r
2
− ‖a− b‖
2
=
‖a− b‖
2
+
r
2
<
r
2
+
r
2
= r
Fin de la prueba
Se dice que U ⊂ Rp es un entorno (reducido) de un punto a ∈ Rp si existe algún r > 0 tal que
B(a, r) ⊂ U (B∗(a, r) ⊂ U).
Definición 11 (Entornos).
Sea p(x) una propiedad que se refiere a un punto genérico x ∈ Rp y sea a ∈ Rp un punto fijo. Se dice
que la propiedad p(x) se verifica “cerca de a” o “localmente en a” si p(x) se verifica para todos los puntos
de algún entorno reducido de a.
Luis Oncina, Cálculo II
1.1 El espacio eucĺıdeo Rp 17 Caṕıtulo 1
El punto del infinito y sus entornos
Denotaremos por ∞ al punto del infinito. Se dice entonces que Rp ∪ {∞} ≡ Rp es el espacio ampliado.
A la distancia eucĺıdea usual de Rp añadimos, para x ∈ Rp, d(x,∞) = +∞.
Se llaman bolas abiertas (entornos) del punto del infinito a los conjuntos del tipo (para k > 0)
B(∞, k) := {x ∈ Rp : d(0,x) ≡ ‖x‖ > k} ≡ Rp \B(0, k)
Definición 12.
Se llaman intervalos de Rp a los conjuntos de la forma: I = I1 × I2 × . . .× Ip donde Ii ⊂ R son
intervalos de la recta real.
Definición 13 (Intervalos).
Si todos los intervalos Ii son abiertos, diremos que I es un intervalo abierto de Rp; mientras que si todos los
Ii son compactos, es decir, cerrados y acotados, diremos que I es un intervalo compacto de Rp.
Un conjunto C ⊂ Rp se dice que está acotadosi se verifica una de las condiciones siguientes
(equivalentes entre si):
C ⊂ I para algún intervalo compacto I ⊂ Rp.
C ⊂ B(0, k) para algún k > 0.
Definición 14 (Conjuntos acotados).
La prueba de que estas dos definiciones son equivalentes la veremos después de la proposición 6.
Prueba que la curva C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1, x+ y + z = 1} es un conjunto acotado.
Ejemplo 2.
Solución:
Dibujamos el cilindro, el plano y la curva intersección de los mis-
mos, C. Si (x, y, z) ∈ C, z = 1− x− y y por tanto
|z| =|1− x− y| ≤ 1 + |x|+ |y| ≤ 1 +
√
x2 + y2 +
√
x2 + y2 =
=1 + 1 + 1 = 3
De donde z2 ≤ 9. Aśı, si (x, y, z) ∈ C√
x2 + y2 + z2 ≤
√
1 + 9 =
√
10
es decir, C ∈ B(~0, 10).
Luis Oncina, Cálculo II
1.2 Convergencia en Rp 18 Caṕıtulo 1
Dibujamos la bola de radio
√
10 y la curva y observamos como esta última queda dentro de la bola, es decir,
está acotada.
Fin de la solución
1.2. Convergencia en Rp
El concepto de sucesión convergente (ĺımite finito) es equivalente al de R
Diremos que la sucesión (xn) ⊂ Rp es convergente hacia a ∈ Rp o que tiene ĺımite a, y lo
denotaremos por a = ĺımn→∞ xn, si se verifica:
Para cualquier ε > 0, existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 entonces ‖a− xn‖ < ε (⇔ xn ∈ B(a, ε)).
Definición 15 (Ĺımite).
Notad que esto equivale a que dado ε > 0 sólo hay un número finito de términos de la sucesión (xn) fuera
de B(a, ε)
 0.65
 0.7
 0.75
 0.8
 0.85
 0.9
 0.95
 1
 1.05
 1.1
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
ε
Para la prueba del siguiente resultado necesitamos demostrar primero la siguiente observación:
Luis Oncina, Cálculo II
1.2 Convergencia en Rp 19 Caṕıtulo 1
Sea x = (x1, x2, . . . , xp). Definimos ‖x‖∞ := máx{|xi| : i = 1, 2, . . . , p}. ‖ · ‖∞ es una norma en
Rp, es decir, verifica las propiedades 1, 2, 3 que cumple la norma eucĺıdea (ver la Proposición 3).
Tenemos que:
‖x‖∞ ≤ ‖x‖2 ≤
√
p‖x‖∞
Donde ‖ · ‖2 denota la norma eucĺıdea.
Proposición 6.
Prueba:
Es fácil comprobar que ‖ · ‖∞ satisface las propiedades 1, 2 y 3 de la norma eucĺıdea. Efectivamente dados
x = (x1, . . . , xp), y = (y1, . . . , yp), λ ∈ R.
1. ‖x‖∞ = máx{|xi| : i = 1, 2, . . . , p} pero cada |xi| ≥ 0 luego ‖x‖∞ ≥ 0. Además como ‖x‖∞ ≥ |xi| para
cualquier i, si ‖x‖∞ = 0 entonces |xi| = 0 para cualquier i.
2. ‖λx‖∞ = ‖(λx1, . . . , λxp)‖∞ = máx{|λxi| : i = 1, . . . , p} = máx{|λ||xi| : i = 1, . . . , p} = |λ|máx{|xi| :
i = 1, . . . , p} = |λ|‖x‖∞.
3. Para cada i ∈ {1, . . . , p} |xi + yi| ≤ |xi|+ |yi| ≤ ‖x‖∞ + ‖y‖∞, luego
‖x + y‖∞ = ‖(x1 + y1, . . . , xp + yp)‖∞ = máx{|xi + yi| : i = 1, . . . , p} ≤ ‖x‖∞ + ‖y‖∞
Probamos ahora las desigualdades: para cada i ∈ {1, . . . , p}, |xi| ≤
√
x21 + . . .+ x
2
i + . . .+ x
2
p y por tanto
‖x‖∞ = máx{|xi| : i = 1, . . . , p} ≤
√
x21 + . . .+ x
2
i + . . .+ x
2
p = ‖x‖2
Como para cada i ∈ {1, . . . , p}, |xi| ≤ ‖x‖∞ tenemos que x2i ≤ ‖x‖2∞ y por tanto
‖x‖2 =
√
x21 + . . .+ x
2
p ≤
√
‖x‖2∞ + . . .+ ‖x‖2∞ =
√
p‖x‖2∞ =
√
p‖x‖∞
Fin de la prueba
En el caso p = 2 si llamamos B∞(0, 1) = {(x, y) ∈ R2 : ‖(x, y)‖∞ < 1}, es decir, la bola abierta para
la norma infinito, estas desigualdades se traducen gráficamente de la siguiente forma: en rojo dibujamos
B∞(0, 1), en negro B(0, 1) y en verde B(0,
√
2).
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Luis Oncina, Cálculo II
1.2 Convergencia en Rp 20 Caṕıtulo 1
Si volvemos a la definición 14 nos damos cuenta que es equivalente tener un conjunto dentro de
un cuadrado (dentro de un intervalo acotado) que tenerlo dentro de una bola.
Nota.
Volvamos al concepto de ĺımite a la luz de esta proposición. Si ĺımn→∞ xn = a, dado ε > 0 existe n0 ∈ N
tal que si n ≥ n0 se tiene ‖xn − a‖ ≤ ε ⇒ ‖x − a‖∞ ≤ ε. Es decir, se cumple la definición de ĺımite si
cambiamos la norma eucĺıdea por la norma infinito.
Rećıprocamente, si aplicamos ahora la definición de ĺımite a la sucesión (xn) usando la norma infinito
dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 se tiene ‖xn − a‖∞ ≤ ε/
√
p⇒ ‖x− a‖ ≤ ε, es decir, se cumple
que a es el ĺımite de la sucesión para la norma eucĺıdea. Conclusión: No importa la norma con que se mida
la distancia para calcular el ĺımite y como consecuencia obtenemos la proposición 7.
Gráficamente vemos que no importa qué bola elegimos, a partir de un momento todos los términos de la
sucesión se meten dentro.
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
ε
Si llamamos (x0, y0) al ĺımite de la figura, dado ε > 0 como el cuadrado rojo es el conjunto
[x0 − ε, x0 + ε]× [y0 − ε, y0 + ε]
decir que los términos de la sucesión (xn, yn) están dentro a partir de un cierto n0 quiere decir que
xn ∈ [x0 − ε, x0 + ε] e yn ∈ [y0 − ε, y0 + ε] simultáneamente
o equivalentemente |xn − x0| ≤ ε e |yn − y0| ≤ ε para n ≥ n0. Es decir
ĺım
n→∞
xn = x0 y ĺım
n→∞
yn = y0
Razonando ahora con la bola verde si tenemos ĺımites en las coordenadas tendremos ĺımite de los vectores.
Vamos a hacer esto en el caso general.
Si xn = (x
n
1 , . . . , x
n
p ) y a = (a1, . . . , ap). Tenemos que
a = ĺım
n→∞
xn ⇔ ai = ĺım
n→∞
xni , para todo i ∈ {1, . . . , p}
Proposición 7 (Reducción al caso real).
Luis Oncina, Cálculo II
1.2 Convergencia en Rp 21 Caṕıtulo 1
Prueba:
Dado que ‖xn − a‖∞ ≤ ‖xn − a‖ dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 se tiene
máx{|xni − ai| : i = 1, . . . , p} = ‖xn − a‖∞ ≤ ‖xn − a‖ ≤ ε
luego para cualquier i ∈ {1, . . . , p} ĺımn→∞ xni = ai. Rećıprocamente, dado ε > 0 para cada i ∈ {1, . . . , p}
existe ni ∈ N tal que si n ≥ ni se cumple |xni − ai| ≤ ε√p . Tomando n0 = máx{ni : i = 1, . . . , p} si n ≥ n0
se cumplen todas las desigualdades simultáneamente y por tanto
‖xn − a‖∞ = máx{|xni − ai| : i = 1, . . . , p} ≤
ε
√
p
.
Usando ahora la otra desigualdad que relaciona ambas normas tenemos
‖xn − a‖ ≤
√
p‖xn − a‖∞ ≤
√
p
ε
√
p
= ε
lo cual nos da la convergencia de la sucesión de vectores a a.
Fin de la prueba
Calcular el ĺımite de la sucesión un = (
1
n
, n
n+1
).
Ejemplo 3.
Solución:
Si llamamos xn =
1
n
e yn =
n
n+1
para calcular ĺımn→∞ un solo nos tenemos que preocupar de calcular los
ĺımites
ĺım
n→∞
xn = ĺım
n→∞
1
n
= 0, ĺım
n→∞
yn = ĺım
n→∞
n
n+ 1
= 1
y por tanto el ĺımn→∞ un = (0, 1).
Ĺımite de vectores con Maxima
(%i1) limit([1/n,n/(n+1)],n,inf);
( %o1) [0, 1]
Fin de la solución
Sea (xn)n una sucesión en Rp. Si ϕ : N → N es estrictamente creciente decimos que la sucesión
(xϕ(n))n∈N es una subsucesión de (xn). Habitualmente la denotaremos por (xnk) donde n1 <
n2 < . . . < nk < . . . son nk = ϕ(k) para k ∈ N.
Definición 16 (Subsucesión).
Luis Oncina, Cálculo II
1.2 Convergencia en Rp 22 Caṕıtulo 1
Algunas propiedades
1) a = ĺımn→∞ xn ⇔ ĺımn→∞(a− xn) = 0⇔ ĺımn→∞ ‖a− xn‖ = 0
2) Si (xn) es una sucesión convergente, entonces:
(xn) está acotada, es decir, existe K > 0 tal que ‖xn‖ < K para todo n ∈ N.
(xn) tiene un único ĺımite.
Toda subsucesión de (xn) converge hacia el ĺımite de (xn).
3) Si ĺımn→∞ xn = a, ĺımn→∞ yn = b entonces ĺımn→∞(xn + yn) = a + b.
Si ĺımn→∞ xn = a, entonces ĺımn→∞(λxn) = λ ĺımn→∞ xn = λa para cualquier λ ∈ R.
Si ĺımn→∞ xn = a, entonces ĺımn→∞ ‖xn‖ = ‖a‖.
Proposición 8.
Las pruebas de la proposición anterior siguen las mismas ideas que las correspondientes a las sucesiones
de números reales sin más que substituir el valor absoluto por la norma.
Una sucesión (xn) ∈ Rp se dice que es de Cauchy si para cada ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si
n ≥ n0,m ≥ n0 entonces ‖xn − xm‖ < ε.
Definición 17 (Sucesión de Cauchy).
La siguiente condición de Cauchy nos da un criterio para saber si una sucesión es convergente sin necesidad
de conocer el candidato a ĺımite.
Una sucesión (xn) ∈ Rp es convergente si, y sólo si, es de Cauchy.
Proposición 9 (Condición de Cauchy).
Prueba:
Si ĺımn→∞ xn = a dado ε > 0 existe n0 tal que si n ≥ n0 entonces ‖xn − a‖ ≤ ε2 . Entonces si n,m ≥ n0
tenemos ‖xn − xm‖ = ‖xn − a + a− xm‖ ≤ ‖xn− a‖+ ‖a− xm‖ ≤ ε2 +
ε
2
= ε.
Rećıprocamente, si (xn) es una sucesión de Cauchy, dado ε > 0 existe n0 tal que si n,m ≥ n0 tenemos
‖xn − xm‖ ≤ ε. Pero entonces también se cumple que
máx{|xni − xmi | : i = 1, . . . , p} = ‖xn − xm‖∞ ≤ ε
Luego, para cada i ∈ {1, . . . , p} la sucesión de números reales (xni )n es de Cauchy y por lo tanto convergente
hacia un cierto ai ∈ R. Aśı ĺımn→∞ xni = ai para cada i o, equivalentemente, ĺımn xn = (a1, . . . , ap), es
decir, (xn)n es convergente.
Luis Oncina, Cálculo II
1.2 Convergencia en Rp 23 Caṕıtulo 1
Fin de la prueba
El enunciado anterior se resume con frecuencia diciendo que Rp es un espacio métrico completo.
Una sucesión (xn) ⊂ Rp se dice que es divergente o que tiene ĺımite ∞, ĺımn xn = ∞, si para
cualquier K > 0 existe n0 ∈ N de manera que si n ≥ n0 entonces ‖xn‖ > K.
Definición 18 (Sucesiones divergentes: ĺımite infinito).
Dada una sucesión (xn) ⊂ Rp, se dice que x ∈ Rp es un punto de aglomeración de (xn) si se
verifica cualquiera de las dos condiciones (equivalentes entre si) siguientes:
En cualquier entorno de x hay infinitos elementos de (xn).
Hay alguna subsucesión de (xn) que converge hacia x.
Definición 19.
Se dice que ∞ es un punto de aglomeración de (xn) si la sucesión no está acotada. Vamos a ver la
equivalencia entre las definiciones.
Prueba:
Supongamos en primer lugar que en cualquier entorno de x hay infinitos elementos de xn. En particular,
para cualquier n ∈ N en la bola abierta B(x, 1
n
) (que es un entorno abierto de x) hay infinitos elementos de la
sucesión. Para n = 1 elegimos cualquier xn1 ∈ B(x, 1). Para n = 2, como el conjunto {n ∈ N : xn ∈ B(x, 12 )}
es infinito podremos encontrar n2 > n1 tal que xn2 ∈ B(x, 12 ). De forma recursiva definimos una sucesión
de números naturales n1 < n2 < . . . < nm < . . . de forma que xnm ∈ B(x, 1m ), es decir, ‖xnm − x‖ <
1
m
lo
cual implica que ĺımn xnm = x.
Rećıprocamente, dado U ⊂ Rp entorno cualquiera de x existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ U . Por hipótesis
existe (xnk) subsucesión de (xn) con ĺımk→∞ xnk = x. Por tanto ha de existir k0 tal que si k ≥ k0 se tiene
xnk ∈ B(x, ε) y por tanto en U hay infinitos elementos de la sucesión (xn).
Fin de la prueba
La prueba del siguiente teorema se basa (como en la completitud de Rp) en la reducción al caso real. Los
comandos que necesitamos para dibujar una sucesión de puntos en el plano están a continuación (la sucesión
no se corresponde con la del ejemplo previo a la demostración del teorema).
Dibujamos ahora una sucesión en el plano que no es convergente
(%i1) a[n]:=[1+1/n,sin(%pi*(n/2))];
( %o1) an := [1 +
1
n
, sin
(
π
n
2
)
]
(%i2) suc:makelist(a[n],n,1,20);
Luis Oncina, Cálculo II
1.2 Convergencia en Rp 24 Caṕıtulo 1
( %o2) [[2, 1], [
3
2
, 0], [
4
3
,−1], [ 5
4
, 0], [
6
5
, 1], [
7
6
, 0], [
8
7
,−1], [ 9
8
, 0], [
10
9
, 1], [
11
10
, 0], [
12
11
,−1], [ 13
12
, 0],
[
14
13
, 1], [
15
14
, 0], [
16
15
,−1], [ 17
16
, 0], [
18
17
, 1], [
19
18
, 0], [
20
19
,−1], [ 21
20
, 0]]
(%i3) plot2d([discrete,suc],[style,[points,2,1]]);
( %o3)
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
y
x
Toda sucesión acotada de puntos de Rp tiene, al menos, un punto de aglomeración.
Teorema 10 (Bolzano-Weierstrass).
Vamos a ver gráficamente la prueba del teorema. Consideramos (xn, yn) una sucesión acotada en R2.
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Dibujamos la sucesión xn.
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 5 10 15 20 25 30 35 40
y
x
Luis Oncina, Cálculo II
1.2 Convergencia en Rp 25 Caṕıtulo 1
Como podemos observar la sucesión formada por los términos pares converge a 1 mientras que la sucesión
de impares converge a −1. (El teorema de Bolzano-Weierstrass en R nos asegura que hay al menos una
subsucesión convergente). Nos quedamos con la sucesión de los pares y dibujamos ahora (x2n, y2n).
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Como vemos en la gráfica, la subsucesión (x2n, y2n) no es convergente. Vamos a dibujar ahora la sucesión
(y2n). Como es una sucesión acotada tiene que tener alguna subsucesión convergente.
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 5 10 15 20 25 30 35 40
y
x
Como vemos tiene subsucesiones convergentes, por ejemplo, para k = 5, 10, 15, . . . (y2k)k converge a 0. Los
números k los podemos escribir como k = 5n (progresión aritmética) con n = 1, 2, . . ., y por tanto la
subsucesión la escribimos (y10n)n∈N. Tomamos ahora (x10n, y10n) que converge a (1, 0).
-0.15
-0.1
-0.05
 0
 0.05
 0.1
 0.15
 0.8 0.9 1 1.1 1.2
Luis Oncina, Cálculo II
1.2 Convergencia en Rp 26 Caṕıtulo 1
Este trabajo de tomar sub́ındices dos veces no lo podemos evitar ya que lo queremos conseguir es que
la subsucesión de vectores sea convergente, no que cada coordenada “converja cuando quiera”. Esta es la
sucesión (yn).
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 10 20 30 40 50 60 70 80
y
x
La subsucesión (y5n)n es convergente (A) mientras que la (x5n)n no lo es (B), luego los vectores (x5n, y5n)
no convergen (C).
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 0 10 20 30 40 50 60 70 80
y
x
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 10 20 30 40 50 60 70 80
y
x
(A) (B)
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
-1 -0.5 0 0.5 1
(C)
Prueba:
Por simplicidad en la notación, la prueba la haremos para p = 2. Sea pues una sucesión un = (xn, yn)
acotada, es decir, tal que existe M > 0 con ‖un‖ ≤ M para todo n ∈ N. Como ‖un‖∞ ≤ ‖un‖ ≤ M
Luis Oncina, Cálculo II
1.2 Convergencia en Rp 27 Caṕıtulo 1
tenemos que las sucesiones (xn) e (yn) son acotadas. Haciendo uso del teorema de Bolzano-Weierstrass en
R, la sucesión (xn) posee una subsucesión (xnk)k∈N convergente a un cierto a ∈ R. Usando esos sub́ındices,
la sucesión (ynk)k, por ser acotada, admite una subsucesión (ynkj )j∈N convergente hacia un cierto b ∈ R. La
sucesión (xnkj )j∈N por ser subsucesión de (xnk) es convergente y converge hacia a. Finalmente la sucesión
(unkj )j∈N es una subsucesión de (un)n∈N es convergente a (a, b).
Fin de la prueba
Notad que si la sucesión no está acotada el punto del infinito es punto de aglomeración.
Si (xn) ⊂ Rp está acotada, entonces (xn) tiene alguna subsucesión convergente.
Si (xn) ⊂ Rp no está acotada, entonces (xn) tiene alguna subsucesión divergente (ĺımite
infinito).
Corolario 11.
Si (xn) es una sucesión acotada, entonces: (xn) tiene ĺımite x ∈ Rp si, y sólo si, (xn) tiene un
único punto de aglomeración y éste es x ∈ Rp.
Si (xn) es una sucesión no acotada, entonces: ĺımn xn =∞ si, y sólo si, (xn) tiene un único punto
de aglomeración que será ∞.
Proposición 12.
Prueba:
Sea (xn)n una sucesión acotada. Si la sucesión es convergente a x entonces cualquier subsucesión suya
converge también a x y por lo tanto solo puede tener un punto de aglomeración que es el x.
Rećıprocamente si x es el único punto de aglomeración de (xn)n vamos a probar que x = ĺımn→∞ xn.
Supongamos, por reducción al absurdo, que xn no converge a x. Tiene que existir, por la definición de
ĺımite, un número positivo ε tal que para cualquier n ∈ N existe m > n con ‖xm − x‖ > ε.
Tomando n = 1 existe n1 ∈ N, n1 > 1 tal que ‖xn1 − x‖ > ε.
Tomando n = n1 existe n2 ∈ N, n2 > n1 con ‖xn2 − x‖ > ε.
De forma recursiva definimos una sucesión creciente de números naturales n1 < n2 < . . . < nk < . . . tal que
‖xnk−x‖ > ε para todo k ∈ N. La sucesión (xnk)k∈N es una subsucesión de (xn)n acotada (por serlo (xn)n)
a la que le aplicamos el teorema de Bolzano-Weierstrass y obtenemos (xnkj )j∈N una subsucesión convergente
hacia un punto a ∈ Rp. Pero (xnkj )j∈N es también subsucesión de (xn) que tiene, por hipótesis, un único
punto de aglomeración, luego x = a pero esto es imposible porque ‖xnkj− x‖ > ε para todo j ∈ N lo cual
indica que x = a no puede ser ĺımite de la sucesión (xnkj )j .
Fin de la prueba
Luis Oncina, Cálculo II
1.3 Abiertos y cerrados 28 Caṕıtulo 1
1. Halla, si existen, los ĺımites de las siguientes sucesiones en R2: xn =
(
(−1)n, 1
n
)
, yn =
(
1, 1
n
)
,
zn =
(
cos(nπ)
n
,
sen(nπ+π2 )
n
)
, un =
(
1
n
, n−n
)
2. Hallar los puntos de aglomeración de las siguientes sucesiones de números reales. ¿Son
convergentes?
a) an = sen(nπ/4)
b) 1, 2, 1
2
, 1 + 1
2
, . . . , 1
n
, 1 + 1
n
+ . . ..
c) 1, 1, 2, 1
2
, 3, 1
3
, . . .
d) La sucesión cuyos primeros términos son:
1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
Ejercicios 1.
1.3. Abiertos y cerrados
1.3.1. Interior, adherencia y frontera de un conjunto
Sea X ⊂ Rp, a ∈ Rp. Se dice que:
a es un punto interior de X si existe ε > 0 tal que B(a, ε) ⊂ X.
Denotaremos por X̊ = {x : x es interior de X} y se llama interior de X.
a es un punto de adherencia de X is para cualquier ε > 0 se cumple B(a, ε) ∩ X 6= ∅.
Denotaremos por X = {x : x es de adherencia de X} y se llama adherencia de X.
a es un punto frontera de X si para cualquier ε > 0, B(a, ε) 6⊂ X y B(a, ε) ∩ X 6= ∅.
Denotaremos por ∂X = {x : x es de frontera de X} y se llama frontera de X.
Definición 20.
Dado X ⊂ Rp, se cumple: X̊ = X \ ∂X, X = X ∪ ∂X.
Proposición 13.
Prueba:
X X̊ = X \ ∂X. Sea x ∈ X̊ por definición x ∈ X (existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ X) por lo que x /∈ ∂X
(para estar en la frontera en cualquier bola centrada en x tienen que haber puntos de Rp \X).
Luis Oncina, Cálculo II
1.3 Abiertos y cerrados 29 Caṕıtulo 1
Si x ∈ X \ ∂X, como x ∈ X para cualquier ε > 0 B(x, ε) ∩X 6= ∅. Pero x /∈ ∂X luego ha de existir ε > 0
tal que B(x, ε) ⊂ X, es decir, x ∈ X̊.
X X = X ∪ ∂X. Si x ∈ X para cualquier ε > 0, B(x, ε)∩X 6= ∅. Si x /∈ X entonces B(x, ε) 6⊂ X, es decir,
x ∈ ∂X.
Si x ∈ X ∪ ∂X y x /∈ X (si x ∈ X entonces claramente para cualquier ε > 0, B(x, ε) ∩X 6= ∅ y por tanto
x ∈ X). Como x ∈ ∂X para cualquier ε > 0, B(x, ε) ∩X 6= ∅ y por tanto x ∈ X.
Fin de la prueba
Calcular el interior, frontera y adherencia de los siguientes conjuntos:
1. En R2, B(0, 1), B(0, 1).
2. En R, A = { 1
n
: n ∈ N}
3. En R2, B = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x ≤ 1, 0 < y < 1}
4. En R2, C = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x ≤ 1, y = sen( 1
x
)}
Ejemplo 4.
Solución:
1.
Vamos a usar la proposición 5. La bola abierta es la zona azul del
dibujo mientras que la bola cerrada se corresponde con la unión de
la azul y la roja.
Si a ∈ B(0, 1) existe una bola centrada en a contenida en B(0, 1),
es decir, a ∈
˚︷ ︸︸ ︷
B(0, 1). Si b es tal que ‖b‖ = 1 entonces en cualquier
bola alrededor de b hay puntos de la bola abierta y puntos que
quedan fuera, es decir, b ∈ ∂B(0, 1). Por lo tanto, la bola abierta
coincide con su interior y la adherencia de la bola abierta es
B(0, 1) = B(0, 1) ∪ {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} = B(0, 1)
la bola cerrada.
En el caso de la bola cerrada, su interior es
˚︷ ︸︸ ︷
B(0, 1) = B(0, 1) mientras que la frontera es ∂B(0, 1) =
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}. La adherencia es pues B(0, 1) = B(0, 1) ya que la frontera está contenida en la
bola cerrada.
Aśı pues el interior de ambas bolas es el conjunto azul y la frontera la zona roja.
2. Recordad que en la recta real B(a, ε) = (a − ε, a + ε). En azul hemos dibujado el conjunto A y en rojo
hemos puesto el 0.
( ))(
Luis Oncina, Cálculo II
1.3 Abiertos y cerrados 30 Caṕıtulo 1
Si x ∈ A en cualquier intervalo centrado en x hay puntos que no pertenecen al conjunto (de hecho esto lo
podemos hacer para cualquier punto de R) luego Å = ∅.
Si x ∈ A entonces x ∈ ∂A ya que en cualquier entorno suyo hay puntos de A (el propio x) y puntos que no
están en A. Pero la frontera de A contiene un punto que no está en A: el cero. Como la sucesión 0 = ĺımn→∞
1
n
en cualquier entorno de A hay infinitos términos de la sucesión, es decir, hay puntos de A y además en dicho
entorno hay puntos que no están en A (por ejemplo, el propio cero). Luego ∂A = A ∪ {0} = A.
3. En la gráfica dibujamos el conjunto B (las ĺıneas discontinuas indican que los puntos de las mismas no
pertenecen al conjunto, mientras que la ĺınea continua indica que sus puntos si pertenecen). Sea a un punto
de B que no pertenezca a la ĺınea x = 1, podemos trazar una bola alrededor que se queda entera dentro
de B, es decir, a ∈ B̊. Está claro que si c tiene coordenada x = 1 cualquier bola que tracemos alrededor
de c contiene puntos de B y de su complementario, es decir, c ∈ ∂B. Los puntos que están sobre las ĺıneas
discontinuas también cumplen esto último, luego b ∈ ∂B. Luego
B̊ = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, 0 < y < 1},
∂B = {(x, 0) : x ∈ [0, 1]} ∪ {(1, y) : y ∈ [0, 1]} ∪ {(x, 1) : x ∈ [0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [0, 1]}
es decir, los cuatro lados del cuadrado unidad.
Finalmente
B = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
4. El conjunto C es la gráfica de la función y = sen(1/x) con x ∈ (0, 1]. Dibujamos en azul la gráfica y en
rojo el segmento vertical {0} × [−1, 1]
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
sin(1/x)
x
Luis Oncina, Cálculo II
1.3 Abiertos y cerrados 31 Caṕıtulo 1
Es claro que C no tiene puntos interiores (¡una bola no puede quedar entera dentro de la gráfica!). Todos
los puntos de la gráfica son puntos frontera de C pero también los puntos del segmento vertical son puntos
frontera ya que al no existir el ĺımx→0+ sin(1/x) y recorrer todos los valores entre [−1, 1] dado cualquier
punto del segmento (0, y) siempre podemos encontrar una sucesión de puntos en C que converja a (0, y)
y por tanto en cualquier entorno de dicho punto hay elementos del conjunto. Esto se hace de la siguiente
forma: dado y ∈ [−1, 1] tomamos c = arc sen(y) y tomamos xn = 1c+2πn . Aśı la sucesión de puntos de la
gráfica (
xn, sen(
1
xn
)
)
=
(
1
c+ 2πn
, sen(c+ 2πn)
)
=
(
1
c+ 2πn
, sen c
)
=
(
1
c+ 2πn
, c
)
converge a (0, c). Resumiendo: C̊ = ∅, ∂C = C ∪ {0} × [−1, 1] = C
Fin de la solución
Abiertos y cerrados, propiedades
Un conjunto A ⊂ Rp se dice que es abierto si A = Å, es decir, si para cualquier x ∈ A existe
ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ A; (⇔ A ∩ ∂A = ∅).
Definición 21 (Abierto).
Veamos la equivalencia que hay en la definición.
Prueba:
Si A es abierto, A = Å = A \ ∂A (proposición 13) luego no puede haber puntos comunes a A y a ∂A, es
decir, A ∩ ∂A es el conjunto vaćıo.
Ahora si A ∩ ∂A = ∅ si tomamos x ∈ A entonces x /∈ ∂A, es decir, x ∈ Å. Hemos probado que A ⊂ Å y
como por definición Å ⊂ A tenemos que ambos conjuntos son iguales y por tanto A es abierto.
Fin de la prueba
Un conjunto C ⊂ Rp se dice que es cerrado si C = C, (⇔ ∂C ⊂ C), (⇔ dada cualquier sucesión
convergente de puntos de C, su ĺımite pertenece a C).
Definición 22 (Cerrado).
Prueba:
Por la proposición 13, C = C ⇔ ∂C ⊂ C. La parte importante a probar es la caracterización de conjuntos
cerrados mediante sucesiones. Sea (xn) ∈ C, con ĺımn→∞ xn = x. Sea ε > 0 cualquiera, por la definición de
ĺımite existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 xn ∈ B(x, ε) lo cual implica que B(x, ε) ∩ C 6= ∅, por tanto x ∈ C.
Rećıprocamente, si x ∈ C para todo n ∈ N tenemos que B(x, 1
n
) ∩ C 6= ∅. Podemos elegir, para cada n,
xn ∈ B(x, 1n ) ∩ C y entonces ‖x− xn‖ <
1
n
. Por tanto (xn) converge a x y entonces x ∈ C. Luego C = C
porque siempre C ⊂ C.
Luis Oncina, Cálculo II
1.3 Abiertos y cerrados 32 Caṕıtulo 1
Fin de la prueba
Siguiendo las ideas de la prueba anterior uno se da cuenta de que si C ⊂ Rp y x ∈ Rp, x ∈ C si,
y solo si, existe una sucesión (xn)n ⊂ C tal que x = ĺımn xn.
Nota.
1. Un conjunto de Rp es abierto si, y sólo si, su complementario es cerrado.
2. ∅ y Rp son conjuntos abiertos y cerrados.
3. Si {Gi}i∈I , {Fi}i∈I son familias arbitrarias de conjuntos abiertos y de conjuntos cerrados,
respectivamente, entonces ∪i∈IGi es un conjunto abierto mientras que ∩i∈IFi es un conjunto
cerrado.
4. La intersección de una colección finitade conjuntos abiertos es un conjunto abierto. La
unión de una colección finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
5. Sea X ⊂ Rp. Entonces, X̊ es abierto (es el mayor conjunto abierto contenido en X) y X es
cerrado (es el menor conjunto cerrado que contiene a X).
Proposición 14.
Prueba:
1. Supongamos que G ⊂ Rp es abierto y sea F = Rp \ G el complementario de G. Sea (xn)n ⊂ F que sea
convergente a x ∈ Rp. Vamos a probar que x ∈ F y por tanto F es cerrado. Supongamos, para llegar a
una contradicción que x /∈ F , es decir, x ∈ G. Como G es abierto ha de existir ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ G.
Pero ha de existir n0 ∈ N tal que si n ≥ n0, xn ∈ B(x, ε) ⊂ G, en particular si n ≥ n0, xn /∈ F . Lo cual
contradice el hecho de la sucesión estuviera formada por puntos de F .
Rećıprocamente, sea G ⊂ Rp tal que F = Rp \ G es cerrado. Si x ∈ G ⇔ x /∈ F tenemos que x /∈ F luego
existe ε > 0 tal que B(x, ε) ∩ F = ∅ ⇒ B(x, ε) ⊂ G, y por tanto G es abierto.
2. Claramente Rp es abierto pero también es cerrado los ĺımites de sucesiones convergentes de Rp tienen que
pertenecer a Rp.
El conjunto vaćıo es el complementario de Rp y como Rp es abierto tenemos que ∅ es cerrado. Como Rp es
cerrado, y Rp es el complementario del conjunto vaćıo tenemos que ∅ es abierto.
3. Sea x ∈ ∪i∈IGi. Ha de existir un sub́ındice i ∈ I tal que x ∈ Gi; pero este Gi es un conjunto abierto,
luego existe B(x, ε) ⊂ Gi, esto implica que B(x, ε) ⊂ ∪i∈IGi por lo que el conjunto unión es abierto.
Dado A un conjunto en Rp denotamos por Ac = Rp \ A al complementario de A. Usando las leyes de De
Morgan ⋂
i∈I
Fi =
(⋃
i∈I
F ci
)c
Pero como los Fi son cerrados, sus complementarios F
c
i son abiertos (notad que Fi = (F
c
i )
c, como el
complementario de F ci es cerrado, él tiene que ser abierto). Hemos probado antes que la unión arbitraria de
abiertos es un conjunto abierto, luego su complementario será un conjunto cerrado.
Luis Oncina, Cálculo II
1.3 Abiertos y cerrados 33 Caṕıtulo 1
4. Sean G1, . . . Gn una colección finita de abiertos. Supongamos que G1 ∩ . . . ∩ Gn es no vaćıa (si lo fuera
seŕıa un conjunto abierto y la prueba ya estaŕıa).
Sea x ∈ ∩{Gi : i = 1, . . . , n}. Para cada i = 1, . . . , n existe εi > 0 tal que B(x, εi) ⊂ Gi. Sea ahora
ε = mı́n{εi : i = 1, . . . , n}. Entonces B(x, ε) ⊂ ∩ni=1Gi.
Sea ahora Fi, i = 1, . . . , n una colección finita de cerrados.(
n⋃
i=1
Fi
)c
=
n⋂
i=1
F ci
los Fi son cerrados por lo que los F
c
i son abiertos. La intersección finita de abiertos es un conjunto abierto,
aśı el complementario de ∪ni=1Fi es abierto, luego él es cerrado.
5. Solo hay que probar que
X̊ =
⋃
{U ⊂ X : U es abierto }, X =
⋂
{F ⊃ X : F es cerrado }
La unión es el mayor abierto contenido en X mientras que la intersección anterior es el menor cerrado que
contiene a X.
Fin de la prueba
Puntos de acumulación
Dado un conjunto infinito X ⊂ Rp, se dice que a ∈ Rp es un punto de acumulación de X (y se
denota por a ∈ X ′) si se verifica (una de las tres condiciones siguientes, equivalentes entre si):
1. En cualquier entorno abierto de a hay infinitos puntos de X.
2. Existe una sucesión formada por puntos de X \ {a} que converge hacia a.
3. En cualquier entorno reducido de a hay algún punto de X.
Definición 23 (Punto de acumulación).
La equivalencia entre las tres definiciones es fácil de probar. Vamos a ver ahora un resultado importante.
Todo conjunto infinito y acotado, X ⊂ Rp, tiene algún punto de acumulación en Rp.
Teorema 15.
Prueba:
Dado que X es un conjunto infinito, podemos tomar una sucesión (xn)n ⊂ X de manera que xn 6= xm si
n 6= m. Esta sucesión está acotada, por el teorema de Bolzno-Weierstrass admite una subsucesión convergente
hacia x ∈ Rp. Es claro que para cualquier ε > 0 en la bola B(x, ε) hay infinitos términos de la subsucesión
(distintos de x, ¡a lo sumo solo puede haber un término igual a x!). x es pues un punto de acumulación de
X.
Luis Oncina, Cálculo II
1.3 Abiertos y cerrados 34 Caṕıtulo 1
Fin de la prueba
Si X es no acotado infinito, se dice que ∞ es un punto de acumulación de X.
Los puntos de un conjunto X que no son de acumulación de X se les denomina puntos aislados.
1.3.2. Compacidad
En Rp, un conjunto K ⊂ Rp se dice que es compacto si es cerrado y acotado.
Definición 24 (Compacto).
Los intervalos cerrados y acotados de Rp, I = [a1, b1]× . . .× [ap, bp] son compactos.
Ejemplo 5.
Solución:
Solo tenemos que ver que I es un conjunto cerrado. Sea entonces (xn)n = ((x
1
n, . . . , x
p
n))n una sucesión de
puntos de I convergente hacia x = (x1, . . . , xp) ∈ Rp. Esto es equivalente a decir que para cada i = 1, . . . , p,
xi = ĺımn x
i
n pero (x
i
n)n ⊂ [ai, bi] que es cerrado en R, luego xi ∈ [ai, bi] y por tanto x ∈ I.
Fin de la solución
K ⊂ Rp es compacto si, y solo si, toda sucesión de puntos de K tiene algún punto de aglomeración
que pertenece a K, es decir, toda sucesión de puntos de K admite una subsucesión convergente
hacia un punto de K.
Teorema 16 (Bolzano-Weierstrass).
Prueba:
Supongamos que K es compacto y sea (xn)n ⊂ K. Como K es acotado, existe (xnk)k una subsucesión de
(xn) convergente hacia x ∈ Rp. Como K es cerrado y la sucesión (xnk)k ⊂ K es convergente su ĺımite
también pertenece a K.
Vamos a probar ahora el rećıproco. SiK no fuera acotado, para cada n ∈ N existiŕıa xn ∈ K con ‖xn‖ > n. La
sucesión (xn)n tiene, por hipótesis, una subsucesión convergente (a un punto de K). Pero dicha subsucesión,
por ser convergente, seŕıa acotada lo cual es falso ya que ‖xnk‖ > nk para todo k ∈ N siendo nk estrictamente
creciente. Vamos a probar que K es también cerrado. Sea (xn)n ⊂ K convergente hacia un cierto x ∈ Rp.
Por hipótesis, esta sucesión admite una subsucesión convergente hacia un punto y ∈ K. Pero la subsucesión
tiene que converger a x, luego y = x ∈ K.
Fin de la prueba
Luis Oncina, Cálculo II
1.3 Abiertos y cerrados 35 Caṕıtulo 1
1.3.3. Conexión
La última propiedad topológica de Rp que vamos a estudiar es la conexión. No vamos a entrar en las
demostraciones de algunos resultados que citamos pero si que interesa conocer los conceptos.
Un conjunto X ⊂ Rp se dice que es conexo si para cualquier partición no trivial de X, es decir,
para cualquier par ∅ 6= X1, ∅ 6= X2 ⊂ X, con X1 ∪X2 = X, X1 ∩X2 = ∅ entonces X1 ∩X2 6= ∅
o X1 ∩X2 6= ∅.
Definición 25 (Conexo).
El conjunto verde de la figura, X ⊂ R2, no es conexo (“está dividido en dos trozos”).
En R, un conjunto es conexo si y solo si es un intervalo.
Teorema 17.
Sean a,b ∈ Rp el segmento que une a y b es [a,b] = {ta + (1− t)b : 0 ≤ t ≤ 1}. Una poligonal
P = {x1,x2, . . . ,xk} en Rp es una unión finita de segmentos [x1,x2] ∪ [x2,x3] ∪ . . . ∪ [xk−1,xk]
Definición 26 (Poligonal).
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Un conjunto X ⊂ Rp se dice que es conexo por poligonales si para cualesquiera a,b ∈ X existe
alguna poligonal contenida enteramente en X, uniendo a con b.
Definición 27 (Conexo por poligonales).
Luis Oncina, Cálculo II
1.3 Abiertos y cerrados 36 Caṕıtulo 1
a
b
La bola abierta B(0, 1) es un conjunto conexo y también conexo por poligonales.
Ejemplo 6.
Solución:
Es fácil ver que la bola abierta es conexa por poligonales, de hecho dados dos puntos x,y ∈ B(0, 1) el
segmento que los une [x,y] ⊂ B(0, 1) (ver más adelante la definición de convexo).
Efectivamente, si z ∈ [x,y], es decir, z = tx + (1− t)y, t ∈ [0, 1] resulta que
‖z‖ ≤ t‖x‖+ (1− t)‖y‖ < t+ (1− t) = 1,
lo cual implica que z ∈ B(0, 1).
Que la bola abierta es un conjunto conexo (que se puede dividir en dos “trozos”) lo vemos con el siguiente
resultado.
Fin de la solución
Relación entre conexión y conexión por poligonales:
1. Si X ⊂ Rp es conexo por poligonales, entonces es conexo.
2. Si X ⊂ Rp es abierto y conexo, entonces es conexo por poligonales.
Teorema 18.
Un conjunto X ⊂ Rp se dice que es convexo si dados dos puntos cualesquiera de X, x,y, el
segmento que los une está enteramente contenido en X, es decir,[x,y] := {λx + (1− λ)y, 0 ≤ λ ≤ 1} ⊂ X
Definición 28 (Convexo).
Las bolas en Rp son conjuntos convexos. El ejemplo de la figura es el de un conjunto no convexo ya que
existen a,b ∈ X de forma que el segmento que los une no está contenido en X.
Luis Oncina, Cálculo II
1.4 Ĺımite de una función en un punto 37 Caṕıtulo 1
1. Sean A,B subconjuntos no vaćıos de Rp. Probad que
a) A ∪B = A ∪B.
b) A ∩B ⊂ A ∩B.
2. Discutir si los siguientes conjuntos son cerrados o abiertos y en cada caso hallar su interior,
adherencia, frontera y puntos de acumulación.
a) En R2: {(x, y) ∈ R2 : ‖(x, y)‖ = 1}, {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sen(x)}.
b) Estudiar en R los siguientes conjuntos: A =
⋂∞
n=1
[
−1, 1
n
)
, B =
⋂∞
n=1
(
− 1
n
, 1
n
)
, C =⋃∞
n=2
[
1
n
, 1− 1
n
]
, D = {r ∈ (0, 1) : r ∈ Q}.
c) Sea Sn = {(x, y) ∈ R2 : n−1n ≤ x ≤
n+1
n
, y = 1
n
}, y sea U = ∪∞n=1Sn. Estudiar el
conjunto U.
d) Si f : R→ R es continua y a ∈ R, considerar el conjunto A = {x ∈ R : f(x) < a}
Ejercicios 2.
1.4. Ĺımite de una función en un punto
Sea f : C ⊂ Rp → Rq una función (campo vectorial).
f(x) = f(x1, x2, . . . , xp) = y = (y1, y2, . . . , yq) = (f1(x1, . . . , xp), . . . , fq(x1, . . . , xp))
Las funciones fi : C ⊂ Rp → R se llaman funciones coordenadas (o componentes) de f (campos escalares).
Consideramos la función f : Ω ⊂ R2 → R3, Ω = {(x, y) ∈ R2 : x > 0} definida mediante
f(x, y) = (log x, ey + senx, x2 + y2)
Sus funciones coordenadas son
f1(x, y) = log x, f2(x, y) = e
y + senx, f3(x, y) = x
2 + y2
Ejemplo 7.
Luis Oncina, Cálculo II
1.4 Ĺımite de una función en un punto 38 Caṕıtulo 1
Sea a ∈ C ′ (un punto de acumulación de C), b ∈ Rq. Diremos que f : C ⊂ Rp → Rq tiene
ĺımite b cuando x tiende hacia a (y escribiremos b = ĺımx→a f(x)) si cumple cualquiera de las
dos condiciones (equivalentes) siguientes:
(1)∀ε > 0 ∃δ > 0 : [x ∈ C, 0 < ‖x− a‖p < δ]⇒ ‖f(x)− b‖q < ε
(2)∀ (xn)∞n=1 ⊂ C,xn 6= a, ĺımn→∞xn = a,⇒ ĺımn→∞ f(xn) = b
Definición 29 (Ĺımite).
Primeras propiedades
Sea a ∈ C ′, b ∈ Rq y f : C ⊂ Rp → Rq. Si b = (b1, . . . , bq),
b = ĺım
x→a
f(x)⇔ bi = ĺım
x→a
fi(x), para todo i ∈ {1, . . . , q}
Aśı, reducimos el estudio de ĺımites al caso de campos escalares.
Proposición 19.
Prueba:
La demostración se basa en la proposición 7, la reducción al caso real.
Sea ε > 0 y δ > 0 tal que si x ∈ B∗(a, δ) ∩ C entonces ‖f(x) − b‖ < ε. Entonces, como para todo
i ∈ {1, . . . , q} es |fi(x)− bi| ≤ ‖f(x)− b‖ < ε tenemos que ĺımx→a fi(x) = bi.
Rećıprocamente, sea ε > 0. Para cada i ∈ {1, . . . , q} existe δi > 0 tal que si
x ∈ B∗(a, δi) entonces |fi(x)− bi| ≤
ε
√
q
Sea δ = mı́n{δ1, . . . , δq} > 0, si x ∈ B∗(a, δ), dado que ‖x − a‖ < δi para todo i ∈ {1, . . . , q} se cumple
|fi(x)− bi| ≤ ε√q para todo i y en particular ‖f(x)− b‖∞ ≤
ε√
q
. Pero entonces, si x ∈ B∗(a, δ) tenemos
‖f(x)− b‖ ≤ √q‖f(x)− b‖∞ ≤
√
q
ε
√
q
= ε
lo cual demuestra que ĺımx→a f(x) = b.
Fin de la prueba
Volvemos al ejemplo 7.
Luis Oncina, Cálculo II
1.4 Ĺımite de una función en un punto 39 Caṕıtulo 1
Consideramos la función f : Ω ⊂ R2 → R3, Ω = {(x, y) ∈ R2 : x > 0} definida mediante
f(x, y) = (log x, ey + senx, x2 + y2)
(1, 2) ∈ Ω′ y ĺım(x,y)→(1,2) f(x, y) = (0, e2 + sen 1, 5).
Ejemplo 8.
Gracias a las propiedades ya conocidas de ĺımites de sucesiones se pueden probar fácilmente las siguientes:
Sean f, g : Ω ⊂ Rp → R y x0 ∈ Ω′. Supongamos que existen ĺımx→x0 f(x) y ĺımx→x0 g(x).
Entonces:
1. ĺımx→x0(f + g)(x) = ĺımx→x0 f(x) + ĺımx→x0 g(x).
2. ĺımx→x0(fg)(x) = ĺımx→x0 f(x) ĺımx→x0 g(x).
3. Si ĺımx→x0 g(x) 6= 0, ĺımx→x0
(
f
g
)
(x) =
ĺımx→x0 f(x)
ĺımx→x0 g(x)
.
Proposición 20 (Operaciones con ĺımites).
Extendemos ahora la definición de ĺımite a los casos involucrando el infinito.
Sea f : C ⊂ Rp → Rq, C no acotado. Diremos que b = ĺımx→∞ f(x) si
para todo ε > 0 existe K > 0 : [x ∈ C, ‖x‖ > K], entonces ‖f(x)− b‖ < ε.
Sea f : C ⊂ Rp → Rq, a ∈ C ′. Diremos que ĺımx→a f(x) =∞ si
para todo K > 0 existe 0 < δ : [x ∈ C, 0 < ‖x− a‖ < δ], entonces ‖f(x)‖ > K.
Definición 30 (Ĺımites en el infinito y ĺımites infinitos).
Obsérvese que el ĺımite, si existe, es único y que en la definición no interviene el valor f(a) cuando a ∈ C.
Si a es un punto de acumulación de A ⊂ C y f |A : A → Rq tiene ĺımite bA, cuando x tiende
hacia a, se dice que bA es el ĺımite de f(x), cuando x tiende hacia a, a través del conjunto A, y
se escribe ĺımA3x→a f(x) = bA. Es obvio que si existe el ĺımite ĺımx→a f(x) = b también existe
ĺımA3x→a f(x) = bA.
Nota.
Luis Oncina, Cálculo II
1.4 Ĺımite de una función en un punto 40 Caṕıtulo 1
Esta simple observación es muy útil en la práctica para decidir que el ĺımite no existe. Basta encontrar
un conjunto A ⊂ C, con a ∈ A′, a través del cual no exista el ĺımite, o dos conjuntos A1, A2 ⊂ C, con
a ∈ A′1, a ∈ A′2, a través de los cuales existan y sean distintos los ĺımites. Por otra parte, para estudiar la
existencia de ĺımite, la primera tarea consiste en averiguar el candidato a ĺımite (un punto b ∈ Rq del que
se pueda asegurar que si existe el ĺımite vale b) con el fin de someterlo a la definición. Si a través de un
conjunto A ⊂ C existe el ĺımite y vale b, este será el candidato a ĺımite.
Ĺımites iterados
Se introduce aśı el concepto de ĺımites iterados, el de ĺımite a través de rectas y el uso de coordenadas
polares en el plano para el estudio de ĺımites de funciones reales de dos variables.
Sea f : M ⊂ R2 → R, con (0, 0) ∈M ′ y para ciertos (x0, y0), (x1, y1) ∈M los conjuntos
A = [(x0, y0), (x0, 0)] ∪ [(x0, 0), (0, 0)] \ {(0, 0)} ⊂M
B = [(x1, y1), (0, y1)] ∪ [(0, y1), (0, 0)] \ {(0, 0)} ⊂M
En las condiciones anteriores se definen los ĺımites iterados de f en (0, 0) (cuando existen) como
ĺım
B3(x,y)→(0,0)
= ĺım
y→0
(
ĺım
x→0
f(x, y)
)
= λ1,2, ĺım
A3(x,y)→(0,0)
= ĺım
x→0
(
ĺım
y→0
f(x, y)
)
= λ2,1
Definición 31 (Ĺımites iterados).
En las condiciones de la definición anterior, si λ1,2 6= λ2,1 entonces no existe ĺım(x,y)→(0,0) f(x, y).
Puede ocurrir que λ1,2 = λ2,1 y sin embargo no exista el ĺımite doble.
Nota.
Estudiar los ĺımites iterados de la función: f(x, y) =
xy
x2 + y2
Ejemplo 9.
Solución:
Vamos a comenzar representando gráficamente la función f con la ayuda de Maxima
¿Cómo dibujar superficies?
--> load(draw);
--> draw3d(enhanced3d=true,explicit(x*y/(x^2+y^2),x,-1,1,y,-1,1));
Luis Oncina, Cálculo II
1.4 Ĺımite de una función en un punto 41 Caṕıtulo 1
--> draw3d(explicit(x*y/(x^2+y^2),x,-1,1,y,-1,1));
--> draw3d(surface_hide=true,explicit(x*y/(x^2+y^2),x,-1,1,y,-1,1));
La gráfica de la función f alrededor del origen es la siguiente según las distintas opciones.
-1
-0.5
 0
 0.5
 1-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
-0.6
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
 0.6
-1
-0.5
 0
 0.5
 1-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
-1
-0.5
 0
 0.5
 1-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
En la siguiente gráfica hemos fijado el punto (1/2, 1/2) y hemos dibujado los conjunto A y B que aparecen
en la definición de los ĺımites iterados (sobre el plano z = 0). En rojo aparece el conjunto A y en azul el B.
-1
-0.5
 0
 0.5
 1-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
En la siguiente gráfica evaluamos f sobre esos conjuntos para hacer los ĺımites iterados:
-1
-0.5
 0
 0.5
 1-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
Sobre el conjunto rojo, dejamos fija la x = 1/2 y haciendo y → 0 evaluamos f . Como vemos la función
tiende a cero (los valores que toma se aproximan a cero). Si ahora hacemos que x→ 0, como f vale cero, el
Luis Oncina, Cálculo II
1.4 Ĺımite de una función en un punto 42 Caṕıtulo 1
ĺımite será cero. Vamos ahora a calcularlo:
ĺım
x→0
(
ĺım
y→0
xy
x2 + y2
)
= ĺım
x→0
0
x2
= 0
El otro ĺımite iterado también vale cero por la simetŕıa que hay en la fórmula que define a f .
Calculamos el ĺımite iterado con Maxima
(%i1) limit(x*y/(x^2+y^2),y,0);( %o1) 0
(%i2) limit(%,x,0);
( %o2) 0
Fin de la solución
Para obtener la última gráfica hemos usado el siguiente código.
Parametrizando curvas.
--> load(draw);
--> draw3d(color=green,
explicit(x*y/(x^2+y^2),x,-1,1,y,-1,1),
color=red,
parametric(1/2,y,0,y,0,1/2),
parametric(x,0,0,x,0,1/2),
parametric(1/2,y,(y/2)/(1/4+y^2),y,0,1/2),
color=blue,
parametric(x,1/2,0,x,0,1/2),
parametric(0,y,0,y,0,1/2),
parametric(x,1/2,(x/2)/(x^2+1/4),x,0,1/2));
¿Qué significa cada cosa? Por ejemplo, parametric(x,1/2,0,x,0,1/2) significa que dibujemos la recta
(x, 1
2
, 0) con x ∈ [0, 1
2
]. (en el plano z = 0, y = 1
2
y la x variando).
También puede suceder que aun no pudiendo calcular uno de los ĺımites iterados exista el ĺımite de la
función en el punto.
Calcular el ĺımite en (0, 0) de la función f(x, y) = y sen(1/x) si x 6= 0.
Ejemplo 10.
Solución:
En este caso el conjunto B no está en el dominio de la función, luego no podemos plantearnos el calcular
ĺımy→0 ĺımx→0 f(x, y). Si podemos, sin embargo, calcular ĺımx→0 ĺımy→0 f(x, y) = ĺımx→0 0 · sen(1/x) = 0
Luis Oncina, Cálculo II
1.4 Ĺımite de una función en un punto 43 Caṕıtulo 1
El cero es nuestro candidato a ĺımite aśı que vamos a aplicar la definición
|f(x, y)− 0| = |y sen( 1
x
)| ≤ |y|
Por lo tanto dado ε > 0 si tomamos δ = ε si
√
x2 + y2 ≤ δ ⇒ |y| ≤ δ y por tanto |f(x, y)− 0| ≤ ε. Luego
ĺım(x,y)→(0,0) y sen(1/x) = 0.
Fin de la solución
Ĺımites direccionales
Sea g : I ⊂ R → R, con 0 un punto de acumulación de I y ĺımx→0 g(x) = 0. Definimos el ĺımite
de f : M ⊂ R2 → R a lo largo de g (cuando exista) como λg = ĺımx→0 f(x, g(x)).
Definición 32 (Ĺımites direccionales).
Si hallamos dos funciones g1, g2 cumpliendo las condiciones de la definición anterior y tales que
λg1 6= λg2 entonces no existe el ĺımite de f en (0, 0).
Es habitual tomar, como “función g”, rectas que pasan por el origen de coordenadas (y = mx),
parábolas (y = x2, x2 = y), etc.
Nota.
Mostrar, mediante el uso de ĺımites direccionales, la no existencia de ĺımite en el origen de las
funciones:
1. f(x, y) = xy
x2+y2
.
2. g(x, y) = xy
2
x2+y4
.
Ejemplo 11.
Solución:
1. Ya hemos visto antes que la función para la función f(x, y), los ĺımites iterados existen y valen ambos
cero. Tomamos ahora la función y = x y calculamos el ĺımite cuando x→ 0 en esa dirección.
En la siguiente gráfica, en rojo dibujamos la función y = x sobre el plano z = 0 y en azul la evaluación de
f en los puntos de dicha recta. Notad que la altura siempre vale 1
2
, luego el ĺımite en x = 0 ha de ser . 1
2
,
ĺım
x→0
x · x
x2 + x2
= ĺım
x→0
x2
2x2
=
1
2
Como el valor del ĺımite direccional no coincide con el valor de los ĺımites iterados el ĺımite doble no existe.
Luis Oncina, Cálculo II
1.4 Ĺımite de una función en un punto 44 Caṕıtulo 1
Hallamos el ĺımite direccional sustituyendo la y por x
(%i1) f:x*y/(x^2+y^2);
( %o1)
x y
y2 + x2
(%i2) subst(x,y,f);
( %o2)
1
2
-1
-0.5
 0
 0.5
 1-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
Aunque ya no sea necesario (para saber que el ĺımite doble no existe) vamos a hacerlo a través de alguna
dirección más.
Comenzamos con la recta y = −x. De nuevo en rojo la gráfica de y = −x en z = 0 y en azul la evaluación
de f .
-1 -0.5 0 0.5 1-1 -0.5
 0 0.5
 1
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
Vemos ahora que el valor de la función sobre los puntos de esta recta es − 1
2
luego ese será el valor del ĺımite
ĺım
x→0
x(−x)
x2 + (−x)2
= ĺım
x→0
−x2
2x2
= −1
2
Sustituimos y por −x
(%i1) f:x*y/(x^2+y^2);
( %o1)
x y
y2 + x2
(%i2) subst(-x,y,f);
( %o2) − 1
2
Vamos a hacerlo también a lo largo de la parábola y = x2 con x > 0.
En rojo la gráfica de la parábola sobre el plano XY (parametric(x, x2, 0, x, 0, 1) y en azul la evaluación de
f (parametric(x, x2, x3/(x2 + x4), x, 0, 1)).
Luis Oncina, Cálculo II
1.4 Ĺımite de una función en un punto 45 Caṕıtulo 1
-1
-0.5
 0
 0.5
 1-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
Como podemos observar, los valores de f se acercan a cero. Vamos a calcular el ĺımite:
ĺım
x→0
x · x2
x2 + (x2)2
= ĺım
x→0
x3
x2 + x4
= ĺım
x→0
x
1 + x2
= 0
Sustituimos y por x2 para hallar el ĺımite direccional
(%i1) f:x*y/(x^2+y^2);
( %o1)
x y
y2 + x2
(%i2) subst(x^2,y,f);
( %o2)
x3
x4 + x2
(%i3) limit(%,x,0);
( %o3) 0
2. Comenzamos con la gráfica de g desde dos puntos de vista distintos.
-1
-0.5
 0
 0.5
 1-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
Es claro que los ĺımites iterados valen 0:
ĺım
x→0
( ĺım
y→0
xy2
x2 + y4
) = ĺım
x→0
0
x2
= 0 , ĺım
y→0
( ĺım
x→0
xy2
x2 + y4
) = ĺım
y→0
=
0
y4
= 0.
En la dirección de y = x,
ĺım
x→0
x · x2
x2 + x4
= ĺım
x→0
x3
x2 + x4
= ĺım
x→0
x
1 + x2
= 0.
Luis Oncina, Cálculo II
1.4 Ĺımite de una función en un punto 46 Caṕıtulo 1
En la dirección de y = x2,
ĺım
x→0
x · (x2)2
x2 + (x2)4
= ĺım
x→0
x5
x2 + x8
= ĺım
x→0
x3
1 + x6
= 0.
En la dirección de y2 = x,
ĺım
y→0
y2 · y2
(y2)2 + y4
= ĺım
y→0
y4
2y4
=
1
2
.
Como este ĺımite direccional es distinto de los anteriores, no existe el ĺımite de g(x, y) en (0, 0).
-1
-0.5
 0
 0.5
 1 -1
-0.5
 0
 0.5
 1
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
Fin de la solución
Demostrar que existe el ĺımite de la función f(x, y) = 2x
3−y3
x2+y2
en (0, 0) y dar su valor.
Ejemplo 12.
Solución:
-0.4 -0.2
 0
 0.2
 0.4
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
Aparentemente la función no tiene ningún problema en (0, 0). Vamos a buscar un candidato al cual aplicar
la definición de ĺımite. Comenzamos con los ĺımites iterados:
ĺım
x→0
( ĺım
y→0
2x3 − y3
x2 + y2
) = ĺım
x→0
2x3
x2
= ĺım
x→0
2x = 0
ĺım
y→0
( ĺım
x→0
2x3 − y3
x2 + y2
) = ĺım
y→0
−y3
y2
= ĺım
y→0
−y = 0
En la dirección de y = x
ĺım
x→0
2x3 − x3
x2 + x2
= ĺım
x→0
x3
2x2
= ĺım
x→0
x
2
= 0
Luis Oncina, Cálculo II
1.4 Ĺımite de una función en un punto 47 Caṕıtulo 1
Vamos ya a aplicar la definición de ĺımite con el candidato 0. Para ello dado ε > 0 hemos de encontrar δ > 0
tal que si 0 <
√
x2 + y2 < δ entonces |f(x, y)− 0| = |f(x, y)| ≤ ε.
|f(x, y)| =
∣∣∣∣2x3 − y3x2 + y2
∣∣∣∣ = |2x3 − y3|x2 + y2 ≤ 2|x|3 + |y|3x2 + y2 (∗)≤ 2(
√
x2 + y2)3 + (
√
x2 + y2)3
x2 + y2
=
=
3(
√
x2 + y2)3
x2 + y2
= 3
√
x2 + y2
Por lo tanto tomando δ = ε
3
tenemos que si 0 <
√
x2 + y2 < δ, |f(x, y)− 0| < ε, es decir,
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0
Gráficamente, tomando ε = 1, si (x, y) ∈ B(0, 1/3) (disco gris), entonces z = f(x, y) está comprendido entre
z = −1 y z = 1 (los discos rojos).
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 -0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
Fin de la solución
Sea f : R2 → R, ` ∈ R. Consideremos la función que resulta de ‘cambiar a coordenadas polares las
variables en f ’ f̃(θ, ρ) = f(ρ cos θ, ρ sen θ) . Si |f̃(θ, ρ)− `| ≤ ϕ(ρ) con ĺımρ→0 ϕ(ρ) = 0, entonces
ĺım(x,y)→(0,0) f(x, y) = `.
Proposición 21.
Prueba:
Dado que ĺımρ→0 ϕ(ρ) = 0 dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < ρ =
√
x2 + y2 ≤ δ entonces |f(x, y)− `| =
|f̃(θ, ρ)− `| ≤ |ϕ(ρ)| ≤ ε.
Fin de la prueba
Estudiar la existencia de ĺımite en (0, 0) para:
1. f(x, y) = xy
2
x2+y2
;
2. g(x, y) =
√
x2 + y2 sen( 1√
x2+y2
).
Ejemplo 13.
Luis Oncina, Cálculo II
1.4 Ĺımite de una función en un punto 48 Caṕıtulo 1
Solución:
1. Es claro que los ĺımites iterados valen cero. En la dirección de y = x, ĺımx→0
x3
2x2
= ĺımx→0
x
2
= 0. Vamos
a cambiar a coordenadas polares
|f(θ, ρ)− 0| =
∣∣∣∣ρ cos θρ2 sen2 θρ2
∣∣∣∣ = ρ| cos θ| sen2 θ ≤ ρ
(en la desigualdad hemos usado el hecho de que las funciones seno y coseno está acotadas en valor ab-
soluto por 1). Ahora es claro que ĺımρ→0 ρ = 0. Podemos aplicar la proposición anterior y concluir que
ĺım(x,y)→(0,0) f(x, y) = 0. (No es dif́ıcil hacerlo aplicando directamente la definición de ĺımite).
Definimos con