GEOMETRIA SEM 01 - 2022 III

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1 Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
 
 GEOMETRIA 
Ciclo 2022 – III 
 LÍNEA RECTA / SEGMENTO Y ÁNGULO 
 
 
 
Semana Nº 1 
 DOCENTE EQUIPO DOCENTE 
SEGMENTO.- Es la porción de recta limitada por 
los puntos llamados extremos. 
A B 
Regla práctica: 1ro 
2do 
Teorema de Renato Descartes: 
Total 
 
 
3ro 
El segmento AB de la figura, se denota: AB ó BA 
y se lee: segmento AB. Los puntos A y B son 
extremos. 
Los segmentos se miden en unidades de longitud. 
Poligonal.- se da este nombre al conjunto de dos 
o más segmentos consecutivos trazados en 
diferentes direcciones, sin interceptarse dos no 
consecutivos. 
C 
B D Poligonal 
convexa 
 
A E 
Postulado de la distancia mínima.- La mínima 
distancia entre dos puntos, es la longitud del 
segmento que los une. Fig. (a) 
Teorema de Poligonales.- Toda poligonal 
envolvente es mayor que su respectiva 
envuelta, de la misma naturaleza. Fig. (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIVISIÓN ARMONICA.- Si los puntos 
consecutivos A, B, C y D se encuentran sobre 
una recta y constituyen una cuaterna armónica, 
se cumple la siguiente relación: 
AB 
 
AD 
y además B y D son los conjugados 
 
1 
 
1 
 
2 
AB AD AC 
 
PROBLEMAS ILUSTRATIVOS 
 
01. Sobre una línea recta se consideran los 
puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal que: 
AC + BD = 5(AB + CD) y AD = 12. Calcular 
BC. 
 
A. 8 B. 10 C. 12 
D. 14 E. 16 
 
02. Sobre una línea recta se consideran los 
puntos consecutivos A, B y C; de manera que 
AB – BC = 12. Calcular la longitud del 
segmento que tiene por extremos el punto B y 
el punto medio del segmento que se forma al 
unir los puntos medios de AB y BC. 
 
A. 2 B. 3 C. 4 
D. 7 E. 8 
 
03. Sobre una recta se tienen los puntos 
consecutivos A, B, C, D, E, F, G, … y así 
indefinidamente de tal modo que AB = 1/3; 
BC = 2/9; CD = 1/9; DE = 4/81; EF = 5/243; … 
y así sucesivamente. Hallar la suma límite de 
todos los segmentos. 
 
A. 2/3 B. 3/4 C. 1 
D. 4/3 E. 2 
 
04. En una recta se consideran los puntos 
consecutivos P, Q, R y S los cuales forman 
47 una cuaterna armónica. Si: QR = y PS = 
 
BC CD 𝑅𝑆 
armónicos de A y C. 
Total 
 96 
, calcular PR. 
𝑃𝑄 
 
A B C D 
 
1ro 2do 3ro 
 
A. 5 B. 6 C. 7 
D. 8 E. 9 
C 
C 
R 
O 
M 
A B 
AC + CB>AM + MB 
AC + CB: envolvente 
AM + MB: envuelta 
El menor camino de 
A hacía B, es AB 
AB<AC + CB 
B A 
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ANGULOS 
Ángulo.- Es la figura formada por dos rayos que 
tienen el mismo origen. Los dos rayos son los 
lados del ángulo y el origen común es el vértice. 
 
 Rayos: OA y OB (lados 
A de del ángulo) 
 O: origen (vértice) 
Notación: 
O <AOB o <BOA; AOB o BOA 
B 
También: <O, O 
 
Bisectriz de un ángulo.- Es un rayo que divide a 
un ángulo en dos ángulos congruentes (iguales). 
A 
OM: bisectriz 
M Se cumple: 
<AOM = <MOB 
B 
Clasificación de los ángulos: 
I. Por su medida: 
1. Ángulo nulo: Mide 0º. 
2. Ángulo llano: Mide 180º. 
3. Ángulo recto: Mide 90°. 
4. Ángulo agudo: Mide más de 0º y menos de 
90º. 
5. Ángulo obtuso: Mide más de 90º y menos 
de 180º. 
PROBLEMAS ILUSTRATIVOS 
05. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, 
BOC y COD, siendo OM, ON y OL las 
bisectrices de los ángulos AOB, COD y MON 
respectivamente. Calcular la medida del 
ángulo COL. Si: m<MOC – m<N=D = 83°. 
A. 37° B. 38° 30’ C. 40° 
D. 41°30’ E. 53° 
06. ¿Cuál es la menor cantidad de ángulos 
consecutivos tomados alrededor de un punto, 
de manera que la suma de cualquier grupo de 
cuatro ángulos consecutivos sumen un valor 
menor a 80°? 
A. 16 B. 17 C. 18 
D. 19 E. 20 
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.- Dos ángulos 
son complementarios cuando la suma de sus 
medidas es 90°. 
 
Si: x° + y° = 90° 
x° 
y° x° e y° son complementarios 
 
Complemento de un ángulo: C(x°). 
Es lo que le falta a un ángulo, para que su 
medida sea igual a 90°. 
C(x°) = 90° - x° 
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.- Dos ángulos 
son suplementarios cuando la suma de sus 
medidas es 180°. 
Si: x° + y° = 180° 
x° e y°: son 
x° y° suplementarios 
 
 
Ángulo 
recto 
 
 
Ángulo 
agudo 
 
 
Ángulo 
obtuso 
 
Suplemento de un ángulo: S(x°) 
Es lo que le falta a un ángulo, para que su medida 
sea 180°. 
1. Ángulo convexo: Es un ángulo, cuya 
medida está comprendida entre 0º y 180º. 
2. Ángulo cóncavo: Es un ángulo, que es 
 
Propiedades: 
S(x°) = 180° - x° 
mayor de 180º pero menor de 360º. 
3. Ángulo de una vuelta: Mide 180º. 
II. Por su posición: 
1. Ángulos consecutivos: Dos o más ángulos 
son consecutivos si tienen el mismo vértice y 
lados comunes. 
2. Ángulos Adyacentes: Denominado también 
par lineal, son dos ángulos consecutivos 
cuyas medidas suman 180º. 
3. Ángulos opuestos por el vértice: Son dos 
ángulos, cuyos lados forman dos pares de 
rayos opuestos. Los ángulos opuestos por el 
vértice son iguales. 
 CCC…C(θ) = 90° - θ ; SSS…S(θ) = 180° - θ 
# impar # impar 
 CCC…C(θ) = θ ; SSS…S(θ) = θ # 
par # par 
PROBLEMAS EJEMPLOS 
07. Si a uno de dos ángulos suplementarios se le 
disminuye 35° para agregarse al otro; da 
como resultado que el segundo es ocho 
veces lo que queda del primero. Calcular la 
diferencia de estos ángulos suplementarios. 
 
A. 50º B. 55º C. 60º 
D. 65º E. 70º 
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08. Si C es el complemento; calcular “𝑛” en: 
2𝐶(𝑛) + 𝐶2𝐶(𝑛) + 𝐶2𝐶2𝐶(𝑛) = 160° 
A. 5º B. 8º C. 10º 
D. 12º E. 50º 
 
ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS 
Ángulos determinados por dos rectas 
paralelas y una recta secante. 
Si: L1 // L2, se determinan los siguientes ángulos: 
PROBLEMAS ILUSTRATIVOS 
09. Si m// n y 𝛼 es la medida del ángulo agudo y 
mayor de 50°. Calcular el mínimo valor 
entero de “𝑥°” 
 
 
α° 
x° m 
 
L3 
L1 aº bº 
dº cº 
 
L2 eº fº 
gº hº 
67° n 
 
A. 109º B. 112º C. 116º 
D. 118º E. 120º 
 
10. En la figura L1 // L2 y el ángulo ABC es 
obtuso. Calcular el mayor valor entero de 
“𝑥°”. 
 Ángulos alternos.- Son iguales. Pueden ser: 
.Alternos internos: c° = e° ; d° = f° 
.Alternos externos: a° = h° ; b° = g° 
 Ángulos correspondientes.- son iguales: 
a° = e° ; d° = g°; b° = f° ; c° = h° 
 Ángulos conjugados.- Suman 180°. Pueden 
ser: 
Conjugados internos: d°+e° =180°; c°+ f° =180° 
Conjugados externos: a°+g°=180°; b°+h°= 180° 
Propiedades: 
 
4) Si: L1 // L2 
L1
 
xº 
L1
 
aº x3 
yº 
x2
 
bº 
zº 
x1
 
L2 L2 
 
L1 
θ 
θ 
A α° 
α° 
L2 
C B x° 
A. 44º B. 45º C. 46º 
D. 47º E. 48º 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
11. A, B, C, D y E son puntos colineales y 
consecutivos: AC = 3.BD; AB = DE y AE = 
5BC = 28. Hallar CD. 
A. 2 B. 4 C. 6 
D. 8 E. 10 
 
12. Sobre una recta se ubican los puntos 
consecutivos A, B, C, D, E y F. Sabiendo que 
Se cumple: Se cumple: se cumple: AC + BD + CE + DF = 91 y BE = 
5
 
8 
AF. La longitud de AF es: 
A. 35 B. 40 C. 56 
D. 63 E. 75 
 
13. En una recta se ubican los puntos 
consecutivos A, B, C y D, tal que: AB.CD = 
2AD.BC y 
2 
+ 
AB 
“n”. 
1 
= 
n 
AD 2AC 
. Hallar el valor de 
A. 3 B. 4 C. 5 
D. 6 E. 8 
bº 
1) Si: L1 // L2 
 
aº 
xº 
Se cumple: 
xº = yº 
L1 
yº 
L2 
p 
xº 
u 
2) Si: u // p ; L1 // L2 
Se cumple: 
xº = aº + bº 
L2 
L1 
x1 + x2 + x3 + … xn = 180º xº + yº + zº = aº + bº 
x
n 
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14. Se tienen los ángulos adyacentes y 
complementarios AOB y BOC, luego se 
trazan las bisectrices OM, ON, OR y OS de 
los ángulos AOB, BOC, AON y MOC 
respectivamente. Calcule m<ROS. 
A. 15° B. 18,5° C. 20° 
D. 22,5° E. 25° 
 
15. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, 
BOC, COD, DOE, EOF de tal manera que: 
m<AOD = m<BOE = m<COF y m<DOF + 
m<AOD = 224°. Si m<BOC = 52°, entonces la 
medida del ángulo formado por la bisectriz del 
ángulo COD y el rayo OE, es: 
A. 52° B. 60° C. 70° 
D. 86° E. 102°16. En la siguiente figura: 
20. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC, 
COD y DOE; de tal manera que los rayos OB 
y OD son las bisectrices de los ángulos AOC 
y COE respectivamente. Si la medida del 
ángulo BOC es 36° y la medida del ángulo 
MON formado por las bisectrices de los 
ángulos AOD y BOE es igual a 25°. Hallar las 
medidas de los ángulos CON y BOM. 
 
A. 2° y 9° B. 3° y 8° C. 4° y 7° 
D. 5° y 6° E. 6° y 9° 
 
21. En la figura, BD es bisectriz del ángulo CBE, 
y la suma del doble del ángulo ABC más el 
ángulo CBE vale 52°. Calcular el valor del 
ángulo ABD. 
A 
B C B 2θ C 
F G 
E 
D 
E 
A D A. 20° B. 26° C. 30° D. 35° E. 40° 
Si AB = BC = CD = AE = ED = 2, entonces el 
valor entero de M = AF + FG + GD, es: 
A. 3 B. 4 C. 5 
D. 6 E. 7 
17. Se tienen los puntos colineales y 
consecutivos M, N, R y S donde la longitud de 
NS es el triple de la longitud de MN. Calcular 
RS, si se cumple que: 
MR 
+ 
1 
= 2. 
 
22. Si L1 // L2 ; hallar xº. 
 
φ 
φ 
 
 
 
L1 
 
2xº 
2MN NS L2 
θ 
θ 
A. 1/2 B. 3/2 C. 2 
D. 2/3 E. 3 
18. Sobre una línea recta se eligen los puntos 
consecutivos A, B y C con la condición de que 
M y N son puntos medios de AB y BC, 
respectivamente. Si 3(MN) = 2(MC) y AB – 
BN = 2, calcular AC. 
 
A. 10 B. 8 C. 6 
D. 4 E. 2 
19. Si CCCC…C(α) representa las veces que se 
calcula el complemento de un ángulo α y 
SSSS…S(2α) representa las veces que se 
calcula el suplemento de un ángulo 2α. 
Calcular “α” en la ecuación: 
2 C⏟C_CC … Ç (α) = ⏟SSSS …̧S (2α) 
xº 
 
A. 30º B. 45º C. 70º 
D. 75º E. 65º 
23. En la figura mostrada L1 // L2, m<PQS es 
agudo. Hallar el menor valor entero de la 
m<PFM. 
 
L1 
 
 
 
 
L2 
 
"n" veces n+1veces 
A. 75° B. 30° C. 45° 
D. 60° E. Depende de “n” 
A. 30° B. 44° C. 45° 
D. 46° E. 50° 
M 
F 
P 
θ 
θ 
S Q