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Lecciones de matemática
para el recreo
Andrés Navas
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© 2018, Andrés Navas
© Editorial Planeta Chilena S.A., 2018
Av. Andrés Bello 2115, Piso 8, Providencia, Santiago de Chile.
www.planetadelibros.cl
Diseño de portada: Ian Campbell
Diseño de interior, diagramación y gráficos: Ricardo Alarcón Klaussen
Primera edición: agosto de 2018
ISBN: 978-956-360-485-6
Registro de Propiedad Intelectual N° 292.415
Impreso por: 
Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de la cubierta, puede 
ser reproducida, almacenada o transmitida de manera alguna ni por ningún 
medio, ya sea eléctrico, químico, mecánico, óptico, de grabación o de 
fotocopia, sin permiso previo del editor. Derechos exclusivos de edición.
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A la memoria de Nicanor Parra,
(anti)poeta, físico y matemático,
último discípulo de Ricardo Poenisch,
quien —a petición del presidente
José Manuel Balmaceda— vino desde
Göttingen en 1889 para formar a las primeras 
generaciones de matemáticos chilenos.
Los números destacados arriba representan la fecha de nacimiento de don 
Nicanor (5/9/1914); los de abajo son los de su fallecimiento (23/1/2018). 
Si sumas las cifras de cada fila, columna y diagonal del tablero, obten-
drás como resultado 103, número que representa los años de la intensa 
y creativa vida de Parra.
36 9 17 19 22
5 40 19 25 14
8 30 2 26 37
23 23 26 13 18
31 1 39 20 12
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Índice
Una campanada de alerta ................................................ 11
Agradecimientos .............................................................. 17
 I Multiplicar con las manos haciendo
 dibujos en lugar de cuentas ....................................... 21
 II Una sopa de números y letras .................................... 47
 III Crea tu tablero mágico de números ........................... 67
 IV Una fórmula para calcular áreas contando puntos ...... 85
 V Desentrañando el diseño de una bandera .................. 95
Vuelta al inicio: soluciones y comentarios ....................... 119
Desafíos finales ................................................................ 142
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Una campanada de alerta
“Cada lección ha de ser viva como un ser”,
del Decálogo del maestro.
“Toda lección es susceptible de belleza”,
de Pensamientos Pedagógicos.
Gabriela Mistral
n conjunto de problemas serios y complejos afecta a 
nuestro sistema educativo en todos sus niveles. Al hecho 
de que este constituye un espacio segregado(r), en que los 
contenidos tienden a ser transmitidos desprovistos de su con-
texto original, escasamente integrados y con un enorme déficit 
en la didáctica, podríamos agregar una larga lista de defectos 
muy evidentes. Sin embargo, entrar en una discusión sobre el 
asunto sería tan irresponsable como arrogante. Mi formación 
como científico me hace valorar especialmente el rigor del ra-
zonamiento y la argumentación. Entre muchos otros aspectos, 
ello implica reconocer que, frente a un tema respecto del cual 
no manejamos todos los antecedentes ni disponemos de los 
años de trabajo, estudio y reflexión necesarios, lo que procede 
es ceder la palabra a los verdaderos especialistas del ámbito.
A pesar de lo anterior, como matemático profesional par-
ticularmente alarmado en lo que respecta a la enseñanza de la 
disciplina que tanto me apasiona, no puedo sino expresar algu-
nas ideas gruesas sobre el asunto. Por cierto, se trata también 
de un tema complejo y multifacético, por lo que prefiero enfo-
carme en un solo aspecto: la enseñanza más allá de las aulas.
Decía Gabriela Mistral, nuestra gran poeta y educadora: 
“Enseñar siempre, en el patio y en la calle como en la sala de 
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clases”. De sus palabras se infiere que, de haber vivido ella 
en los albores del siglo xxi, no hubiese renunciado a ningún 
medio para difundir su saber, Facebook y Youtube entre ellos 
(“No coloquéis sobre la lengua viva de los niños la palabra 
muerta”). Probablemente, hubiese tenido que enfrentar con 
valentía la incomprensión de muchos colegas, pero se hubiera 
aferrado con la convicción única que ella tenía en su labor 
(“Para corregir no hay que temer; el peor maestro es el maestro 
con miedo”).
¿Cuánto de este pensamiento de Mistral hemos incorpora-
do en el quehacer pedagógico? Ciertamente, muy poco. Hoy en 
día, enseñar en nuestras calles es casi una tarea imposible, pues 
—salvo honrosas y muy escasas excepciones— nuestras plazas 
y parques públicos, y en general nuestras ciudades, no han si-
do concebidos como espacios de aprendizaje: contadas son las 
placas recordatorias que dan cuenta de nuestra historia, casi 
inexistentes las exposiciones culturales itinerantes y escasos los 
museos de nivel internacional. La situación es doblemente de-
ficitaria en lo que respecta a la ciencia y la tecnología, las que 
aún no hemos sabido establecer sólidamente dentro de nues-
tro acervo cultural, al punto de que contamos apenas con un 
par de museos destinados a ellas (ninguno de los cuales tiene 
salas dedicadas permanentemente a la matemática). A todo lo 
anterior se suma, obviamente, nuestra mayor carencia: la casi 
total ausencia de contenidos educativos en radio y televisión. 
Así, diariamente, niños, jóvenes y adultos nos desenvolvemos 
en ambientes de enormes vacíos culturales.
En pleno siglo xxi, concebimos aún la sala de clases casi 
como el único espacio de enseñanza y, del mismo modo, recu-
rrimos a los textos estandarizados de estudio —ya sea escolares 
o universitarios— como exclusiva puerta de entrada al conoci-
miento. Coincidentemente, a lo largo de toda nuestra historia, 
la producción de libros de ciencia para público relativamente 
amplio no ajustado a los estándares curriculares imperantes ha 
sido muy escasa. En lo que respecta a la matemática, la lista 
completa de obras (a la que podría añadirse tan solo un par de 
títulos si se ampliara el criterio de selección) se reduce a:
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—Matemática y poesía, de Arturo Aldunate Phillips (1940)
—Recopilación de problemas de matemáticas e ingenio, de 
V. Bunster del S. y C. Vial C. (1968);
—Nuevas matemáticas para los padres, de Guacolda Antoi-
ne y María Lara (1971);
—Historia de las matemáticas, de Carlos Mercado S. (1972);
—¿Qué son los números?, de Rolando Chuaqui (1980);
—El paraíso de Cantor, de Roberto Torreti (1998);
—Inteligencia matemática, de Roberto Araya (2000);
—De Eudoxo a Newton, de Roberto Torretti (2007);
—Las aventuras matemáticas de Daniel, de Danny Perich 
Campana (2008; editado en Argentina);
—Un viaje a las ideas, de mi autoría (2017);
—La conspiración de Babel, de Eric Goles (2018).
Diez libros en doscientos años. ¿No será demasiado poco?
No es necesario ir a un país desarrollado para constatar 
una realidad muy diferente. Basta cruzar la cordillera para en-
contrar, por ejemplo, en las librerías de Buenos Aires, estante-
rías completas de libros producidos localmente y dedicados a 
la ciencia, en las que los textos de matemática (como los de Pa-
blo Amster y Adrián Paenza) tienen una presencia importante.
Por cierto, lo anterior no implica que no hayamos tenido ins-
tancias de promoción de la matemática ni personas extraordina-
riamente comprometidasen esta tarea, muchas de las cuales, al 
momento de proponer acciones innovadoras, han debido lidiar 
con la incomprensión (e, incluso, la desidia) de directivos y au-
toridades. Hace exactamente treinta años se realizó en Chile la 
primera Olimpiada Nacional de Matemáticas, la cual, muy pro-
bablemente, es la actividad de divulgación científica de mayor 
tradición en nuestro país. Al alero de ella surgieron diversas ini-
ciativas, como talleres, campamentos, academias y campeonatos 
de matemáticas para escolares. Además, desde 2016, un Festival 
de Matemáticas itinerante ha recorrido varias ciudades, entre 
ellas Valparaíso, Vicuña, San Antonio, Talca y Valdivia, promo-
viendo también la realización de ferias matemáticas en las escue-
las. Lamentablemente, año a año se debe renovar la colosal tarea 
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de buscar el financiamiento de todas estas actividades, el cual en 
ocasiones ha sido incluso abierta y explícitamente negado por 
el gobierno de turno. Las energías no son infinitas y se diluyen 
cuando se estrellan contra muros inamovibles. Un resultado di-
recto de esta inercia política e intelectual es nuestra pobre pro-
ducción bibliográfica en matemática recreativa y cultural.
Tuve la enorme fortuna de que, en mi niñez, uno de los libros 
arriba listados cayera en mis manos. De la Historia de las mate-
máticas extraje mis primeros rudimentos aritméticos y geométri-
cos y, paralelamente, me maravillé con la historia griega. Luego, 
fui doblemente afortunado al conseguir las primeras ediciones de 
la Revista del Profesor de Matemáticas, publicación anual editada 
por la Sociedad de Matemática de Chile, actualmente digitaliza-
da y disponible gratuitamente en internet (https://rpmat.cl). No 
obstante, se trata de una revista de corto tiraje y sin distribución 
comercial, razón por la cual no la incluí en el listado. Muy pro-
bablemente, mi experiencia fue similar a la de cientos de miles 
de jóvenes de diversas regiones del planeta, quienes, en la etapa 
de mayor curiosidad de sus vidas, pudieron acceder a un libro de 
matemáticas que les abrió un universo distinto de posibilidades.
En 1949, Julio César de Mello e Souza (más conocido por su 
seudónimo, Malba Tahan) deslumbraba al mundo entero con su 
extraordinario libro El hombre que calculaba, un maravilloso 
doble puente de acercamiento a la aritmética y la cultura árabe. 
Por esos mismos años, los libros de ciencia popular de Yakov 
Perelman —incluidos los de matemática recreativa— seguían 
inundando las bibliotecas de la Rusia soviética junto con otras 
joyas de la editorial MIR. La memoria de Malba Tahan ha sido 
recientemente honrada con la declaración del 6 de mayo, día de 
aniversario de su natalicio, como el Día Nacional de la Mate-
mática en Brasil. Ciertamente, la memoria de Perelman (trági-
camente fallecido de inanición en el sitio a Leningrado durante 
la Segunda Guerra Mundial) merecería una honra similar, más 
allá del cráter lunar que lleva su nombre. Durante décadas, los 
libros de Tahan, Perelman y muchos otros hicieron lo que los 
textos de aula difícilmente podían hacer: encantar, reencantar y 
reconciliar a millones de lectores con la matemática.
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una campanada de alerta 
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En el siglo xii, el eminente matemático hindú Baskhara II 
escribió un hermoso tratado de aritmética y álgebra en forma 
de poema. Lo hizo para una niña (muy probablemente su hija) 
de nombre Leelavati. Así, mientras el oscurantismo religioso 
estancaba el progreso científico en Europa, los niños de la In-
dia, Persia y el mundo árabe aprendían a hacer sus cuentas 
recitando versos. En 2010, año en que la Unión Matemática 
Internacional celebró su congreso cuatrienal en Hyderabad, se 
acordó la instauración de un premio especial a la divulgación 
matemática con el mismo nombre del libro de Baskhara II: Le-
elavati. Habría sido difícil concebir una señal más potente para 
concientizar sobre la importancia de que los científicos, y espe-
cíficamente matemáticos, nos involucremos en la difusión de 
nuestra disciplina más allá de las salas de clases.
Este libro, como un aporte más a esta tarea divulgadora, nació 
por una doble razón. Por un lado, numerosas personas —entre 
ellas, mi propio hijo— me solicitaron un texto complementario 
a Un viaje a las ideas, en el que se desarrollaran en detalle y con 
rigor los temas allí tratados en la medida en que estuviesen al al-
cance de la matemática escolar. Por otro lado, mi trabajo en 2017 
dictando clases en distintos ámbitos para profesores de liceo y de 
los primeros años de universidad (programas de perfeccionamien-
to ministeriales y/o posgrados en educación) fue una experiencia 
reveladora. En estas aulas pude dimensionar la desazón de muchos 
docentes cuando, agobiados por un currículum que enfatiza cono-
cimientos estandarizados (y apunta directamente a exámenes de 
limitado contenido genuinamente matemático, como el simce y la 
psu), intentan implementar actividades inovadoras en el aula, pero 
se ven rápidamente desmotivados no solo por la incomprensión 
de colegas y directivos, sino también por no contar con material 
alternativo a los programas de estudio que deben impartir (“nada 
más triste que el que la alumna compruebe que su clase equivale a 
su texto”, decía Mistral). Frente a esta realidad, mi mayor satisfac-
ción sería que este libro resulte de utilidad para unos y otros, y que 
en un futuro llegue a las manos de alguien que se (re)encante (o, al 
menos, se reconcilie) con la matemática a través de él.
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Agradecimientos
 Víctor Navas, mi hermano de ideas y editor/colaborador 
estoico en los fines de semana. A Nicolé Geyssel, por su 
contagioso entusiasmo y crucial colaboración con la gran 
mayoría de las imágenes del texto, además de sus innumera-
bles correcciones y comentarios. A Antonieta Emparán, por 
todos sus datos “matemágicos”, sus discusiones histórico-ar-
tísticas y su gentil asistencia técnica. A Juan Manuel Silva, por 
haber creído nuevamente en un libro de matemática para una 
gran editorial y su trabajo de edición final. A Ángela Flores, 
Gleen Foos, Sandra Garrido, Gonzalo Gutiérrez, José Hernán-
dez, Laura Iñón, Gabriel Meza, Daniel Navas, Rodrigo Navas, 
Valentina Norambuena, Eduardo Oregón, Yanina Piñones, 
Douglas Roger, Luciano Sciaraffia, Sebastián M. Thon, Re-
nato Velozo y Nicolás Vilches, por todas sus correcciones, su-
gerencias y observaciones. A Ian Campbell, por su alegre diseño 
de portada. A Ricardo Alarcón Klaussen, por su inspirado y la-
borioso trabajo de diseño y diagramación. A Carolina Muñoz 
y Vicente Carvajal, por varias de sus ilustraciones. A Evelyn 
Aguilar, por su apoyo continuo y aliviador. A todos mis es-
tudiantes-profesores de la usach, por su alegría a lo largo de 
todo el 2017. A mis colegas y amigos, por su estímulo perma-
nente. A mi familia en Santiago, San Antonio y otros rincones, 
por ser una fuente vital de energía. A Nachito, por pedir leccio-
nes de matemática para él.
Agradezco, finalmente, a todos los lectores de este libro. 
Estoy consciente de que algunos pasajes no son fáciles de 
asimilar, en parte porque a veces requieren de ciertos conoci-
mientos de base. Además, muchos de los problemas propues-
tos son verdaderos desafíos, y no simples ejercicios (el nivel 
de complejidad de cada uno de ellos aparece ilustrado junto 
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al enunciado). Por esto, los estudiantes debiesen leer estas 
páginas pausadamente a lo largo de los años, posponiendo 
aquellos contenidos que necesitan preparación previa. Los do-
centes, por su parte, debieran considerar este aspecto antes 
de proponer una lectura complementaria de este libroen sus 
clases, seleccionando debidamente los temas que son aborda-
bles de acuerdo con el nivel de avance de sus estudiantes. Por 
cierto, lo que menos quisiera es que este texto se transforme 
en un nuevo libro de aula. Muy por el contrario, me sentiría 
satisfecho si de él se extraen nuevas ideas que puedan ser im-
plementadas didácticamente en clases o en talleres para estu-
diantes más interesados, como la deducción de los métodos 
alternativos de multiplicación o la búsqueda de una fórmula 
para determinar el área de figuras poligonales con vértices en 
una grilla. En cada actividad se debe, además, dejar las demos-
traciones formales para el final, y nunca comenzar con ellas: la 
matemática debe ser planteada como una aventura de descu-
brimiento y deducción, no como un proceso de memorización 
o de adiestramiento técnico y formal.
Un aspecto no menor de este libro es que varios de los con-
tenidos más elaborados y/o modernos son exhibidos sin un 
desarrollo acabado y riguroso, pero proporcionando biblio-
grafía y, muy especialmente, enlaces a sitios de internet que 
tratan los diferentes temas de manera apropiada. A diferencia 
de lo que ocurría hace unos veinte años, mucha información 
de altísima calidad está hoy libremente disponible en la red; 
sin embargo, ella convive con información incorrecta o de du-
dosa calidad. A través de este texto, se asume también como 
una labor importante la tarea de orientar al lector hacia fuen-
tes de material confiable. Un esfuerzo particular se ha hecho 
por proveer, cuando es posible, una referencia en castellano, si 
bien la gran mayoría de los contenidos de buen nivel circulan 
solo en inglés.
Para aliviar la lectura, una última sección incluye una dis-
cusión de la mayoría de los problemas planteados en el libro, 
junto con referencias, tanto bibliográficas como de internet, y 
nuevos comentarios. Para quien desee indagar aún más, dis-
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agradecimientos 
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cutir otros temas matemáticos o, simplemente, compartir la 
experiencia de su lectura y/o de actividades relacionadas con 
estas “lecciones”, una ventana de comunicación permanecerá 
abierta a través del fanpage de Facebook Un Viaje a las Ideas.
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Lección I
Multiplicar con las manos
haciendo dibujos en lugar de cuentas
“Generoso de amores, imposible de cálculos”
“Autorretrato”, Pablo Neruda
ltimamente se ha cuestionado si es realmente necesario 
que aprendamos las tablas de multiplicar. El razonamien-
to es simple: si hoy las calculadoras están al alcance de 
casi cualquier persona, ¿no sería mejor dejar todo tipo de cál-
culos, inclusive los más básicos, a las máquinas?
En la historia de la matemática moderna hay ciertos cono-
cimientos operacionales que hemos dejado de fomentar, pues, 
en ese ámbito, una calculadora o un computador son muchísi-
mo más rápidos. Por ejemplo, antiguamente, todo matemático 
profesional debía ser capaz de aproximar —con tantos dígi-
tos de exactitud como necesitara— los valores de funciones 
“complicadas”, como las trigonométricas y logarítmicas. Con 
el tiempo esto dejó de ser fundamental debido a la elaboración 
sistemática de “tablas de cálculo”, es decir, libros que incluían 
todos los valores de aquellas funciones que fuesen de utilidad. 
Posteriormente, con la invención de la calculadora, incluso es-
tos libros fueron relegados a la categoría de reliquias de biblio-
teca. Así, hoy en día, un matemático profesional tendría serios 
problemas para calcular, por ejemplo, los valores de cos(31,5o) 
o log(7,3) con cierto grado de exactitud. No es que no seamos 
capaces; simplemente debiésemos destinar muchas más horas 
de las que usaba un colega del siglo xix a una tarea similar.
Un ejemplo mucho más cercano: hasta no hace muchas dé-
cadas se enseñaba en las escuelas (al menos en las más aventa-
jadas) el cálculo de la raíz cuadrada de cualquier número (con 
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tantas cifras decimales de aproximación como se quisiera). Con 
justa razón, este procedimiento también desapareció del currí-
culum, de modo que no son muchas las personas que hoy se 
arriesgarían al cálculo, por ejemplo, de √3,73, con seis dígitos 
decimales de exactitud.
Pese a lo anterior, existe consenso en que las operaciones 
básicas deben siempre ser potenciadas y que el uso indiscrimi-
nado de calculadoras es perjudicial. Esto no significa, sin em-
bargo, que las tablas de multiplicar deban ser aprendidas por 
simple memorización. En la práctica, es mucho más útil y esti-
mulante para el aprendizaje confrontarse a situaciones “reales” 
en las que su uso sea fundamental. A fin de cuentas, se trata 
de una acción que realizamos a diario, por ejemplo al hacer las 
compras en un almacén.
En los últimos años, una serie de métodos alternativos de 
multiplicación se han viralizado a través de las redes sociales. Se 
trata de sistemas ancestrales de cálculo tan válidos como el que 
solemos emplear y que tienen gran valor cultural y potencialida-
des didácticas. Sin embargo, estos métodos suelen ser presentados 
sin la debida explicación: solo se detalla cómo, pero no por qué 
funcionan. Por esta razón, haremos un recorrido riguroso por los 
más importantes, explicando en detalle cuál es su fundamento.
Multiplicar con los dedos
Las tablas de multiplicar de 1, 2, 3, 4 y 5 son sencillas; los pro-
blemas suelen comenzar con las tablas de números entre 6 y 10. 
Ahora bien, existe un viejo método que permite realizar rápi-
damente estas multiplicaciones con la simple yuxtaposición de 
los dedos. Abajo se ilustra el ejemplo de la multiplicación 7 × 9. 
La cantidad “7” se representa 
con dos dedos de una mano 
(partiendo del meñique, que 
representa el 6), mientras que 
el “9” viene representado 
con cuatro dedos de la otra 
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lección i
mano. Se ponen entonces en correspondencia el segundo dedo de 
una mano con el cuarto de la otra. En total, quedan 6 dedos desde 
el punto de encuentro hacia abajo (incluyendo los dedos que se 
encuentran), los cuales debemos interpretar como 60. Arriba 
quedan 3 dedos en una mano y 1 en la otra, por lo que debe-
mos guardar en mente la cifra 3 × 1 = 3. El algoritmo nos indica 
entonces que 7 × 9 = 63.
Como segundo ejemplo, abajo a la izquierda se ilustra el 
proceso de multiplicar 8 × 7 = 56.
Un poco más complicado es el caso de 6 × 6, ilustrado arriba 
a la derecha. Aquí, al disponer los dedos, quedan 2 desde el punto 
de encuentro hacia abajo, mientras que arriba quedan 4 en cada 
mano. Por lo tanto, debemos considerar el dígito 2 en la decena y 
el producto 4 × 4 = 16 en la unidad. Para llegar al resultado, este 
16 se transforma en el dígito 6 y cede una decena, transformando 
el 2 en 3. Así se origina el resultado correcto: 6 × 6 = 36.
¿Por qué funciona este método? Ciertamente, una respues-
ta correcta pero poco reveladora para esta pregunta consiste 
en decir que funciona porque entrega el resultado correcto en 
todas las situaciones posibles (estas no son muchas, por lo que 
pueden ser corroboradas rápidamente). Sin embargo, hay una 
forma más interesante de proceder: como estamos multiplican-
do dos números entre 5 y 10, podemos expresarlos en la for-
ma 5 + m y 5 + n, respectivamente. El algoritmo nos dice que 
debemos enlazar el dedo m-ésimo de una mano con el dedo 
n-ésimo de la otra. Al hacer esto, quedan m + n dedos desde el 
punto de encuentro hacia abajo. Además, arriba del punto de 
encuentro quedan 5 − m dedos en una mano y 5 − n en la otra, 
valores que al ser multiplicados dan (5 − m) (5 − n). Lo que el 
algoritmo propone, entonces, es que el valor de la multiplicación 
3 + 2 = 5
2 × 3 = 6
3
4 4
3
7 × 8 = 56 {
2
2
1 1
⇒
1 + 1 = 2
4 × 4 = 16
⇒ 2(16) ® 36 =6 × 6
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(5 + m) × (5 + n) corresponde a 10 (m + n) + (5 − m) (5 − n), pues 
—grosso modo— este último número es aquel que tiene m + n 
como cifra de las decenas y (5 − m) (5 − n) como cifra de las 
unidades (al menos, este es el caso cuando el último producto 
es menor que 10). Ahora bien, es una tarea perfectamente ruti-
naria chequear la identidad algebraica
(5 + m) × (5 + n) = 10 (m + n) + (5 − m) (5 − n),
la cual corrobora la validez del algoritmo.
Existe un algoritmo similar para multiplicar números entre 
11 y 15. Ahora, el dedo meñique se identifica con el 11, y la 
regla estipula que el resultado de multiplicar 10 + m por 10 + n 
resulta de colocar un 1 como dígito en la centena, la cantidad 
total m + n de dedos que quedan desde los enlazados hacia 
abajo como dígito de la decena y el producto m n de las cifras 
correspondientes a los dedos de una y otra mano que quedan 
desde los dedos enlazados hacia abajo como cifra de la unidad. 
Obviamente, en caso de que alguno de los valores obtenidos 
sea mayor o igual que 10, debe cederle a la unidad inmediata-
mente mayor.
A modo de ejemplo, abajo se ilustran las multiplicaciones 
11 × 13 = 143 y 14 × 14 = 196.
¿Por qué funciona este método? Nuevamente, una identi-
dad algebraica (aún más sencilla que la anterior) justifica el 
procedimiento:
(10 + m) × (10 + n) = 100 + 10 (m + n) + m n.
1 + 3 = 4
1 × 3 = 3 } ⇒ 11 × 13 = 143
1
3
4 4
4 + 4 = 8
4 × 4 = 16
⇒ 18(16) ® 196 = 14 × 14
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lección i
Observa que la igualdad anterior es válida incluso para m y 
n mayores que 5. Así, si tuviésemos más dedos en cada mano, 
podríamos visualizar, por ejemplo, que la multiplicación 17 × 19 
resulta como sigue:
1 (7 + 9) (7 × 9) ® 1 (16) (63) ® 1 (22) 3 ® 323.
Existe, sin embargo, un procedimiento alternativo para li-
diar con productos de números entre 16 y 20. En este, el dedo 
meñique representa el 16 y, para multiplicar 15 + m por 15 + n se 
coloca un 2 como dígito de la centena, el doble del total m + n 
de los dedos que quedan desde abajo hasta el punto de encuentro 
como dígito de la decena y el producto (5 − m) (5 − n) de la can-
tidad de dedos superiores de una y otra mano como dígito de 
las unidades. Posteriormente, se hace el traspaso de unidades 
en caso de que las cifras sean mayores o iguales que 10. Por 
ejemplo, el proceso de multiplicar 17 por 19 es:
2 (2 × (2 + 4)) (3 × 1) ® 2 (12) (3) ® 323.
¿Por qué funciona esto? Una vez más, todo es consecuencia 
de una identidad algebraica:
(15 + m) × (15 + n) = 200 + 20 (m + n) + (5 − m) (5 − n).
A estas alturas, ya debes haber entendido la lógica de estos 
procesos y podrías inventar tu propia regla para multiplicar, 
por ejemplo, 21 por 24.
3
4
2
1
2 + 4 = 6
3 × 1 = 3
⇒ 2(2 × 6)3 ® 2(12)3 ® 323 = 17 × 19
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lecciones de matemática para el recreo
26
nuestras viejas Multiplicaciones
Nuestro método tradicional de multiplicar se ajusta a la nota-
ción decimal de los números que heredamos de varias culturas 
orientales (India, China y el mundo árabe) y que aparece en 
culturas más cercanas (como la incaica). ¿Has pensado alguna 
vez cómo los antiguos romanos realizaban la multiplicación, 
por ejemplo, de 46 (XLVI) por 68 (LXVIII)? Claramente, su 
sistema de numeración no resultaba de gran ayuda.
Nuestra forma de multiplicar se apoya en lo que llamamos 
“propiedad distributiva”, que nos dice, por ejemplo, que
4 × (3 + 5) = 4 × 3 + 4 × 5,
lo cual se explica mediante una simple ilustración:
 4 = 4
 8 = 3 + 5 3 5
Así, cuando multiplicamos un número por un dígito, proce-
demos del siguiente modo:
46 × 8 = (40 + 6) × 8
 = 40 × 8 + 6 × 8
 = 4 × 8 × 10 + 6 × 8
 = 32 × 10 + 48
 = 32 × 10 + 4 × 10 + 8
 = (32 + 4) × 10 + 8
 = 36 × 10 + 8
 = 368,
lo cual procesamos de manera mucho más resumida así:
4
4 6 × 8
3 6 8
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27
lección i
En caso de multiplicar por un número de varios dígitos, 
primero distribuimos respecto al segundo factor. Por ejemplo, 
para multiplicar 46 por 68, la operación que se ejecuta es
46 × 68 = 46 × (60 + 8) = 46 × 60 + 46 × 8 = 46 × 6 × 10 + 46 × 8.
Luego, los productos 46 × 6 y 46 × 8 son desarrollados como se 
explicó anteriormente:
En general, en la escritura anterior se omite el dígito 0 fi-
nal del resultado de multiplicar 46 por 60 en la segunda fila. 
De igual manera, en caso de multiplicar por números de más 
cifras, se debe ir suprimiendo la cantidad correspondiente de 
dígitos 0. Por ejemplo, el producto
6700 417 × 641 = 6700 417 × 6 × 100 + 6700 417 × 4 × 10 + 6700 417 × 1,
se escribe de manera astutamente resumida así:
Lamentablemente, este procedimiento suele ser enseñado 
como algo mecánico: se indica que los resultados deben ser 
“corridos” hacia la izquierda la cantidad de veces requerida, 
pero no se provee explicación alguna. Peor aún, a veces se indi-
ca que se debe “rellenar” con estrellas o asteriscos los espacios 
que deben quedar vacíos para no equivocarse en la cuenta.
Este puede ser considerado el primer gran error de la ense-
ñanza de la matemática. De cierto modo, muchos de nuestros 
4 6 × 6 8
3 6 8
2 7 6 0
3 1 2 8
6 7 0 0 4 1 7 × 6 4 1
2 6 8 0 1 6 6 8
4 0 2 0 2 5 0 2
4 2 9 4 9 6 7 2 9 7
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lecciones de matemática para el recreo
28
problemas en el aprendizaje de esta disciplina derivan de una 
acumulación de este tipo de errores: se enseña un procedimien-
to sin revelar su origen ni transmitir su contenido matemático. 
Profunda equivocación: lo que se aprende mecánicamente se 
olvida; lo que se comprende se retiene por siempre.
Multiplicación en una grilla
Hace un par de años llegan a nuestras escuelas muchos estu-
diantes haitianos, que traen consigo un método de multiplicar 
diferente. Se trata de un viejo método ideado en el medioevo 
en Persia y la India que aparece explícitamente mencionado 
en un texto de al-Khwarizmi. Hoy en día es sistemáticamente 
enseñado, entre otras, en las escuelas de China.
Para comenzar, se dispone en una grilla el 
primer y el segundo factor. Por ejemplo, para 
multiplicar 46 × 68, comenzamos por la grilla 
ilustrada al costado.
Posteriormente, se multiplica dígito contra 
dígito, y en cada resultado se dispone el dígito 
de la unidad en la parte inferior de la cuadrícu-
la correspondiente y el de la decena en la parte 
superior, tal como se ilustra a la izquierda.
Finalmente, se suman todas las can-
tidades a lo largo de las diagonales des-
cendentes que apuntan hacia la izquierda 
(considerando las reservas) para obtener 
el resultado
46 × 68 = 3128.
¿Por qué funciona este método? En esencia, se trata del 
mismo procedimiento que empleamos habitualmente: distri-
4 6
6
8
4 6
2 4
3 6 6
3 2
4 8 8
4 6
2 4
3 6 6
3 2
4 8 8
3 1 2 8
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lección i 
29
buimos primero respecto al segundo factor y después respecto 
al primero. Hay, sin embargo, dos diferencias de presentación. 
Por una parte, no “desplazamos” los resultados en cada etapa, 
pues el hecho de sumar en diagonal permite que se acoplen 
adecuadamente los dígitos correspondientes. Por otra parte, a 
lo largo de cada línea no obtenemos el resultado de multipli-
car el primer factor completo por el dígito correspondiente (lo 
cual involucraría traspasar sistemáticamente las decenas que 
van apareciendo), sino que multiplicamos dígito contra dígito y 
guardamos las decenas, las cuales se acoplan perfectamente a 
lo largo de la suma en diagonal (el traspaso de decenas se hace 
solo tras la suma total). Así, someramente, la grilla de arriba 
resume el siguiente(largo) proceso:
46 × 68 = 46 × (60 + 8)
= 46 × 60 + 46 × 8
= (40 + 6) × 60 + (40 + 6) × 8
= 24 × 100 + 36 × 10 + 32 × 10 + 48
= (20 + 4) × 100 + (30 + 6) × 10 + (30 + 2) × 10 + 48
= 2 × 1000 + 4 × 100 + 3 × 100 + 6 × 10 + 3 × 100 + 2 × 10 + 4 × 10 + 8
= 2 × 1000 + (4 +3 + 3) × 100 + (6 + 2 + 4) × 10 + 8
= 2 × 1000 + 10 × 100 + 12 × 10 + 8
= 2 × 1000 + 10 × 100 + (10 + 2) × 10 + 8
= 2 × 1000 + 1000 + 100 + 2 × 10 + 8
= 3 × 1000 + 1 × 100 + 2 × 10 + 8
= 3128.
Se trata, evidentemente, de un excelente método para mul-
tiplicar, bastante mejor que el que solemos usar (especialmente 
si disponemos de un cuaderno de hojas cuadriculadas).
Multiplicación con barras
Tanto en el sistema tradicional que empleamos para multipli-
car como en el de grillas, los factores juegan un rol diferente: 
primero se distribuye respecto al segundo y después respecto al 
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lecciones de matemática para el recreo
30
primero. Por ejemplo, si en lugar de calcular 23 × 12 calculamos 
12 × 23, ejecutamos un procedimiento distinto. Esto hace que 
la conmutatividad de la multiplicación no sea transparente a 
través del cálculo.
Sin embargo, podemos imaginar un sistema en que distri-
buimos directamente respecto a los dos factores. Más precisa-
mente, al operar 23 × 12, podemos hacer
23 × 12 = (20 + 3) × (10 + 2)
= 20 × 10 + 20 × 2 + 3 × 10 + 3 × 2,
es decir
23 × 12 = 2 × 1 × 100 + (2 × 2 + 3 × 1) × 10 + 3 × 2
= 200 + 70 + 6
= 276.
Esta forma de proceder puede ser ilustrada mediante barras. 
Para describir el proceso, comenzamos con una observación 
evidente: si disponemos un grupo de m rectas paralelas en una 
dirección y otro grupo de n rectas paralelas en una dirección 
diferente, entonces la cantidad total de puntos de intersección 
entre ambos grupos de líneas es m n.
Ahora bien, para multipli-
car dos números, digamos 23 
por 12, no dibujamos 23 líneas 
en un grupo y 12 en otro. Más 
astutamente, ilustramos el 23 
mediante dos grupos de lí-
neas en una misma dirección: 
el primero contiene 2 líneas 
y el segundo 3. Del mismo 
modo, el 12 lo ilustramos con dos grupos de líneas que apun-
tan en una dirección distinta a las anteriores: uno de 1 línea 
y otro de 2. Posteriormente, contamos los puntos de intersec-
ción y sumamos los que quedan al mismo nivel. Obtenemos así 
23 × 12 = 276.
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lección i 
31
A continuación implementamos la multiplicación de 46 por 
68. Este proceso es diferente, pues algunas de las cifras involu-
cradas son mayores que 10:
46 × 68 = (40 + 6) × (60 + 8)
= 40 × 60 + 40 × 8 + 6 × 60 + 6 × 8
= 4 × 6 × 100 + (4 × 8 + 6 × 6) × 10 + 6 × 8
= 24 × 100 + 68 × 10 + 48.
Por ello, el resultado final debe procesarse traspasando cifras a 
las unidades inmediatamente mayores:
(24) (68) (48) ® (24) (72) 8 ® (31) 28 ® 3128 = 46 × 68.
¿Por qué funciona este método? Todo se basa en que la 
igualdad
(10 a + b) × (10 a’ + b’) = 100 (aa’) + 10 (ab’ + a’b) + bb’
es válida para toda elección de números a, b, a’, b’. En particular, 
vale cuando estos son dígitos, situación en la cual 10a + b no es 
otra cosa que el número que tiene un dígito a en la decena y b 
en la unidad, y análogamente para 10a’ + b’. Basta solo observar 
ahora que aa’ es la cantidad de puntos de intersección de las ba-
rras que representan las decenas; ab’ + a’b es la cantidad total de 
puntos de intersección entre barras que representan decenas de un 
número y unidades del otro; y bb’ es la cantidad de puntos de in-
tersección entre barras que representan unidades de los números.
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lecciones de matemática para el recreo
32
Este sistema es generalizable a números más grandes. Por ejem-
plo, dado que
(100a + 10b + c) × (100a’ + 10b’+c’)
es igual a
10000 aa’ + 1000 (ab’ + ba’) + 100 (ac’ + bb’ + ca’) + 10 (bc’ + cb’) + cc’,
tenemos la diagramación siguiente para el producto de 124 por 215:
(2) (5) (15) (14) (20)
↓
25 (15) (16) 0
↓
25 (16) 60
↓
26660 = 124 × 215.
Cuando alguno de los dígitos de los números es igual a cero, 
corresponde no dibujar ninguna barra en la posición respectiva. 
Sin embargo, esto suele traer pro-
blemas con la posición de las ba-
rras, de modo que, por ejemplo, el 
producto de 201 por 332 se con-
funde con 21 por 332. Por ello, es 
preferible trazar en la posición del 
cero una barra punteada y recor-
dar que los puntos de intersección 
de esta con las otras barras no de-
ben ser contabilizados.
Este método de multiplicación aparece en antiguos textos 
de matemática de la India. Hoy es enseñado en las escuelas de 
muchos países del mundo, especialmente Japón, razón por la 
cual se la conoce en diversos lugares como “multiplicación ja-
ponesa”. Hay quienes la denominan “multiplicación maya”, pe-
se a que no existe ninguna constancia de que los mayas hayan 
desarrollado este método (de hecho, esto es muy improbable, 
201 × 332 = 66732
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lección i 
33
pues los mayas tenían un sistema de numeración diferente). Se 
trata, sin lugar a dudas, de un método muy motivante, que suele 
dar excelentes resultados en los primeros años de escolaridad.
La visualización geométrica de operaciones aritméticas y algebraicas 
es un conocimiento ancestral. Lamentablemente, estas conexiones 
son usualmente desdeñadas en los programas de estudio. Es así que 
muchos alumnos concluyen su escolaridad sin haber percibido que el 
“temible” cuadrado del binomio no es más que un diagrama de suma 
de áreas, en el que dos cuadrados pequeños más dos rectángulos en-
samblan para generar un cuadrado mayor (ver la figura a la izquier-
da a continuación). Del mismo modo, desconocen que la primera 
“fórmula” de sumatorias, aquella que establece que
1 + 2 +... + k = ,
resulta de un simple cálculo de la cantidad de puntos dispuestos en 
un arreglo triangular (los puntos de color verde a la derecha, cuyo 
número es igual al de los celestes).
ForMas de Multiplicar de los incas
Hasta el día de hoy persisten grandes misterios sobre la forma 
en que muchas culturas hacían sus cálculos. Entre ellas destaca 
la de los incas, quienes al parecer recurrían a yupanas y quipus 
para tales tareas. Si bien no hay acuerdo entre los investigado-
res, se cree que la yupana, una suerte de tablero que funcionaba 
k (k + 1)
2
2S = k (k + 1)
 ⇓
 k (k + 1)
S =
 2
k + 1
k
a · b
a + b
a · b
b2
a2
a
a
b
b
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lecciones de matemática para el recreo
34
como ábaco, permitía implementar un sistema de multiplica-
ciones similar al de las grillas; en este, las cifras eran simboliza-
das con distintas cantidades de semillas en lugar de ser escritas. 
Por ejemplo, la imagen a continuación (fácil de descifrar) ilus-
tra la multiplicación 254 × 137 = 34798. Cabe consignar que los 
incas utilizaban un sistema numérico decimal, muy similar al 
que empleamos hoy en día.
Un poco más de consenso parece haber en torno a los quipus, 
aquellos famosos arreglos de cuerdas anudadas que representa-
ban información de diversa índole, especialmente contable. Se 
cree que en ellos las multiplicaciones eran implementadas me-
diante un método similar al de las barras. En este, una cuerda 
principal colocada horizontalmente en la parte superior permi-
tía sostener varias cuerdas para así representar números. Por 
ejemplo, abajo tenemos la representación de 27, 123 y 4015.
1 3 7
84
3
4
72
95
8 7 1 2 3 4 0 1 5
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35
Para realizar una multiplicación se recurría a los nudos. Por 
ejemplo, si se deseaba multiplicar 123 por 32, en cada una de 
las cuerdas se hacían dos grupos de nudos: uno de 3 y otro de 
2. Luego se contaba la cantidad de nudos en diagonal para ge-
nerar el resultado.
Multiplicación por disección y duplicaciónEl último de los métodos ancestrales que presentaremos tiene 
sus raíces en Etiopía y Egipto. Este aparece descrito en el fa-
moso papiro de Ahmes (también conocido como papiro del 
Rhind), el cual es considerado el documento matemático más 
antiguo que aún se conserva y corresponde a una copia de otro 
documento que data del siglo xix a. C. Hasta no hace muchas 
décadas, una variación del método era utilizado en regiones 
campesinas de Rusia, y hasta hoy se sigue enseñando en las 
escuelas etíopes.
Se trata de un procedimiento que difiere radicalmente de los 
mostrados anteriormente, pues solo utiliza, además de la suma, 
multiplicación y división por 2. Este sistema opera gracias al 
hecho de que todo número puede ser descompuesto como suma 
de potencias distintas de 2. Por ejemplo:
26 = 21 + 23 + 24, 47 = 20 + 21 + 22 + 23 + 25,
63 = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25.
Para obtener esta descomposición se puede recurrir a dos mé-
todos. El primero consiste en ir buscando la mayor potencia de 
1 2 3
3
8
13
6
3
2
⇒ 38(13)6 ® 3936 = 123 × 32
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lecciones de matemática para el recreo
36
2 menor o igual que el número, para luego cambiar dicho nú-
mero por su diferencia con dicha potencia y repetir el proceso. 
Por ejemplo, para 37 tenemos:
25 < 37 < 26 ⇒ 37 − 25 = 5 ⇒ 37 = 25 + 5;
22 < 5 < 23 ⇒ 5 − 22 = 1 = 20 ⇒ 5 = 22 + 20;
⇒ 37 = 20 + 22 + 25.
Claramente, las potencias de 2 que van surgiendo son distintas, 
pues la aparición de dos iguales significaría que, en lugar de 
restar dicha potencia al número considerado, podríamos aún 
restar la potencia de 2 inmediatamente mayor.
El otro método de descomposición consiste en dividir siste-
máticamente por 2 y considerar los residuos. Por ejemplo, pues-
to que la división de 37 por 2 da resto 1, el término 20 aparecerá 
en la expresión de 37. Luego, como 37:2 da por resultado 18 
(con resto 1) y la división de 18 por 2 no da resto, tenemos que 
21 no aparece en la descomposición de 37. Luego nos concentra-
mos en 18 : 2 = 9. Como 9 : 2 da resto 1, el término 22 sí aparece 
en la descomposición, y debemos ahora concentrarnos en el 
cuociente respectivo, es decir, 4. Así se prosigue hasta llegar a 0 
como resultado (con residuo 1) en la división sistemática por 2:
37 : 2 = 18, 18 : 2 = 9, 9 : 2 = 4, 4 : 2 = 2, 2 : 2 = 1, 1 : 2 = 0,
 1 0 1 0 0 1
⇒ 37 = 20 + 22 + 25.
La explicación de este método es sencilla: el resto de la pri-
mera división nos indica si el número es par o impar; solo en el 
segundo caso, debemos incluir 20 en la descomposición. Luego, 
el resto de la segunda división nos indica si el número o el nú-
mero menos 1 (dependiendo de si es par o impar) es múltiplo 
de 4; solo en caso de que no lo sea, debemos incluir 21 en la 
descomposición...
Una forma más sucinta de describir lo anterior consiste en 
usar la llamada notación binaria. En esta, solo se utilizan los 
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dígitos 0 y 1: si aparece un 1, la potencia de 2 respectiva debe 
ser considerada; si aparece un 0, debe ser descartada. Para evi-
tar confusiones, denotamos las expresiones binarias con una 
línea superior. Por ejemplo:
100101 = 20 + 22 + 25 = 37; 111010 = 21 + 23 + 24 + 25 = 58; 100000 = 25 = 32.
La lista de los números (enteros positivos) en notación bi-
naria es entonces:
 1 = 1, 1001 = 9, 10001 = 17, 11001 = 25,
 10 = 2, 1010 = 10, 10010 = 18, 11010 = 26,
 11 = 3, 1011 = 11, 10011 = 19, 11011 = 27,
 100 = 4, 1100 = 12, 10100 = 20, 11100 = 28,
 101 = 5, 1101 = 13, 10101 = 21, 11101 = 29,
 110 = 6, 1110 = 14, 10110 = 22, 11110 = 30,
 111 = 7, 1111 = 15, 10111 = 23, 11111 = 31,
 1000 = 8, 10000 = 16, 11000 = 24, 100000 = 32, etc.
La notación binaria es quizás la más natural de todas. Se la 
emplea cotidiana y silenciosamente, pues todo sistema compu-
tarizado de cálculo procesa los números de esta forma (some-
ramente, un “bit” encendido corresponde a un dígito 1 y uno 
apagado a un 0).
No solo existen notaciones decimales o binarias de los números. Tam-
bién hay sistemas en los que contamos de 3 en 3 (ternas), de 12 en 12 
(docenas), etc. Por ejemplo, el 2018 se escribe en base 12 como 1202, pues
2018 = 2 × 120 + 0 × 121 + 2 × 122 + 1 × 123.
Sistemas de numeración de este tipo han aparecido a lo largo de la 
historia: los mayas numeraban en base 20 y los babilonios en base 60. 
De este último uso heredamos nuestras unidades (sexagesimales) de 
medición de ángulos y de división horaria, las cuales han sobrevivido 
pese a que sería perfectamente factible decretar nuevas unidades de 
medida. Por ejemplo, de acuerdo a nuestro sistema decimal, sería 
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lecciones de matemática para el recreo
38
más lógico dividir el día en 10 partes iguales (equivalentes a 2 horas 
y 24 minutos), divididas en 100 partes iguales (equivalentes a 1,44 
minutos), divididas a su vez en otras 100 partes iguales (estas últimas 
equivalentes a una fracción de 0,864 = 108/125 de un segundo).
En nuestro último método de multiplicación, lo que se ha-
ce es multiplicar un factor por cada una de las potencias de 2 
que aparecen en la descomposición binaria del otro, para lue-
go sumar los resultados. Como lo anterior requiere solamente 
multiplicar el primer factor sucesivamente por 2, las tablas de 
multiplicación dejan de ser necesarias. Por ejemplo:
37 × 45 = (20 + 22 + 25) × 45 = 20 × 45 + 22 × 45 + 25 × 45 = 45 + 180 + 1440 = 1665.
Para implementar este sistema de manera rápida, podemos 
proceder de dos maneras. En una, suponemos que la descom-
posición binaria del primer factor ya es conocida. Listamos, 
entonces, todas las potencias de 2 desde 20 hasta la última que 
aparece en dicha descomposición y tachamos las que no figuran 
en ella. A un costado de cada potencia de 2 colocamos el valor 
del producto de ella con el segundo factor (para hacerlo, basta 
ir multiplicando sucesivamente por 2). Finalmente, sumamos 
solo los productos que se corresponden con potencias de 2 que 
aparecen en la descomposición, las cuales son fácilmente reco-
nocibles pues no han sido tachadas. La representación corres-
pondiente para 37 × 45 (sabiendo que 37 = 20 + 22 + 25) aparece 
a la izquierda a continuación.
 37 × 45 = 1665 37 × 45 = 1665
 20 45
 21 90
 22 180
 23 360
 24 720
 25 1440
 37 45
 18 90
 9 180
 4 360
 2 720
 1 1440
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lección i 
39
En el segundo procedimiento, la descomposición binaria del 
primer factor no es conocida, y la vamos determinando siste-
máticamente mediante el proceso de dividir por 2 y considerar 
los residuos. Cuando el residuo es 0, tachamos el valor corres-
pondiente. Simultáneamente, cada vez que dividimos el primer 
factor, multiplicamos el segundo por 2. Para concluir, sumamos 
todos los productos que se corresponden con cantidades no ta-
chadas, tal como aparece ilustrado anteriormente a la derecha.
reconocer divisores
Tal como hemos visto, los números son objetos a los que, aun 
cuando tienen cierta “dinámica propia”, debemos aproximar-
nos a través de una notación específica. Esta notación (deci-
mal), que permite que tengamos una visión más concreta de 
ellos, es muy útil en ciertos contextos. Por ejemplo, dada la no-
tación decimal de un número, podemos reconocer fácilmente si 
este es divisible por 2, 5, 10, 4 u 8:
 2 El número n es divisible por 2 si y solo si termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
 5 El número n es divisible por 5 si y solo si termina en 0 o 5.
 10 El número n es divisible por 10 si y solo si termina en 0 (pues este 
es el único dígito final de un número divisible por 2 y 5 a la vez).
 4 El número n es divisible por 4 si y solo si el número que 
resulta de suprimir todos sus dígitos, a excepción de sus dos 
últimos,es divisible por 4. Por ejemplo, 98356824 es divisi-
ble por 4, pues 24 lo es. En general, esto se debe a que si
n = a + 10 b + 100 c + 1000 d + ... ,
entonces
n = (a + 10 b) + (100 c + 1000 d + ...)
= (a + 10 b) + 4 × (25 c + 250 d + ...),
por lo que n es divisible por 4 si y solo si a + 10 b también lo es.
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lecciones de matemática para el recreo
40
 8 El número n es divisible por 8 si y solo si el número que 
resulta de suprimir todos sus dígitos, a excepción de sus 
tres últimos, es divisible por 8. Por ejemplo, 98356824 es 
divisible por 8, ya que 824 lo es. Como en el caso anterior, 
esto se debe a que si
n = a + 10 b + 100 c + 1000 d + 10000 e + ... ,
entonces
n = (a + 10 b + 100 c) + (1000 d + 10000 e ...)
= (a + 10 b + 100 c) + 8 × (125 d + 1250 e + ...),
por lo que n es divisible por 8 si y solo si a + 10 b + 100 c tam-
bién lo es.
 3 Un número n es divisible por 3 si y solo si la suma S(n) de 
sus dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, para n = 1479156 
se tiene que S(n) = 1 + 4 + 7 + 9 + 1 + 5 + 6 = 33 es múltiplo 
de 3, por lo que n también lo es. La razón de esto es muy 
sencilla: si
n = a + 10 b + 100 c + 1000 d + ... ,
entonces
n = (a + b + c + d + ...) + (9 b + 99 c + 999 d + ...)
= S(n) + 3 × (3 b + 33 c + 333 d + ...),
por lo que
n − S(n) = 3 × (3 b + 33 c + 333 d + ...),
lo cual implica que n y S(n) deben dejar el mismo resto al ser 
divididos por 3.
 9 Un número n es divisible por 9 si y solo si la suma S(n) de 
sus dígitos es divisible por 9. Al igual que en el caso ante-
rior, este criterio se deduce del hecho de que si
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lección i 
41
n = a + 10 b + 100 c + 1000 d + ... ,
entonces
n = (a + b + c + d + ...) + (9 b + 99 c + 999 d + ...)
= S(n) + 9 × (b + 11 c + 111 d + ...).
 6 Un número n es divisible por 6 si y solo si lo es por 2 y 3 
simultáneamente (ambas divisibilidades deben ser testeadas 
de manera independiente).
 12 Como en el caso anterior, un número es divisible por 12 si y 
solo si es divisible por 4 y 3 al mismo tiempo.
 11 Un número n es divisible por 11 si y solo si la suma alternada 
Ŝ(n) de sus dígitos también lo es. Por ejemplo, para n = 947542871 
tenemos
Ŝ(n) = 9 − 4 + 7 − 5 + 4 − 2 + 8 − 7 + 1 = 11,
por lo que n es múltiplo de 11. Como en el caso de la divisibili-
dad por 9, este criterio nace del hecho de que si
n = a + 10 b + 100 c + 1000 d + 10000 e + ... ,
entonces
n = (a − b + c − d + e − ...) + (11 b + 99 c + 1001 d + 9999 e + ...)
 = Ŝ(n) + 11 × (b + 9 c + 91 d + 909 e + ...),
donde el factor 11 a la derecha aparece del siguiente hecho fácil 
de corroborar:
9090 ... 909 × 11 = 9999 ... 999
y
9090 ... 91 × 11 = 1000 ... 001.
 7 Finalmente, como el 7 no tiene relación directa con el 10, es 
esperable que todo criterio de divisibilidad por dicho número 
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lecciones de matemática para el recreo
42
sea complicado. Uno de estos opera del siguiente modo: da-
do un número n escrito en notación decimal, consideramos 
el número que resulta de suprimir su último dígito, y a este 
le restamos el doble de dicho dígito. Luego, repetimos el 
proceso varias veces. Por ejemplo, para 14406 tenemos:
14406 ® 1440 − 2 × 6 = 1428 ® 142 − 2 × 8 = 126 ® 12 − 2 × 6 = 0.
Puesto que hemos desembocado en un múltiplo de 7 (el 0), el 
número original es divisible por 7 (de hecho, 14406 = 7 × 2018).
¿Por qué funciona este método? La explicación es más com-
plicada que las anteriores. El proceso consiste en reemplazar
n = a + 10 b + 100 c + 1000 d + ...
por
ñ = (b + 10 c + 100 d + ...) − 2 a.
Ahora bien, n − 10 ñ es igual a
(a + 10 b + 100 c + 1000 d + ... ) − 10 ((b + 10 c + 100 d + ... ) − 2 a), 
lo cual equivale a 21 a = 7 × 3 a. Por lo tanto, si ñ es múltiplo de 
7, digamos ñ = 7 k, entonces
n = 10 ñ + 21 a = 7 × (10 k + 3 a)
también lo es.
Recíprocamente, si n es múltiplo de 7, digamos n = 7l, entonces
10 ñ = n − 21 a = 7 × (l − 3 a)
también lo es, lo cual implica que ñ mismo debe ser divisible por 7.
Como habrás percibido, este criterio de divisibilidad por 7 
(al igual que cualquier otro) funciona casi tan lento como el 
procedimiento de dividir por 7 y considerar el resto. El 7 es un 
número difícil de tratar...
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43
Problemas
Multiplica 6700417 × 641 usando el método de las grillas y el 
de disección y duplicación.
Usando cualquiera de los métodos alternativos de multiplica-
ción, calcula el producto de 142857 por 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Verifica que 333333331 = 17 × 19607843, pero que 31, 331, 3331, 
33331, 333331, 3333331 y 33333331 son todos números primos.
Una antigua regla de cálculo dice que para multiplicar un nú-
mero por 11, basta colocar su primer y último dígitos y, entre 
ellos, ir colocando sistemáticamente las sumas entre dos de sus 
dígitos consecutivos (al final se hace el traspaso de decenas si es 
necesario). Por ejemplo,
23547 × 11 ® 2 (2 + 3) (3 + 5) (5 + 4) (4 + 7) 7 ®
® 2589(11)7 ® 258(10)17 ® 259017.
Justifica este procedimiento e idea otros análogos para multi-
plicar por 111, 1111, etc.
Otra vieja receta señala que para elevar al cuadrado un núme-
ro terminado en 5 se debe suprimir el 5, multiplicar el número 
resultante por su sucesor y agregar un 25 al final de la expre-
sión decimal del resultado de esta multiplicación. Por ejemplo,
352 ® 3 × 4 = 12 ® 1225; 1252 ® 12 × 13 = 156 ® 15625.
Justifica este método.
Un decágono regular inscrito en una circunferencia tiene sus 
vértices consecutivamente numerados del 0 al 9. Si se traza una 
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lecciones de matemática para el recreo
44
figura uniendo con un segmento el vértice i con el j cuando 
existe un entero n tal que 4 n termina con el dígito i mientras 
que 4(n + 1) termina con j: ¿qué figura se obtiene?, ¿qué sucede 
si se hace lo mismo con los múltiplos de 6 en lugar de los de 4?
Una calculadora tiene defectuosa su tecla de multiplicaciones, 
pero aún puede sumar, restar, dividir por 2 y elevar números al 
cuadrado. ¿Cómo podrías implementar la multiplicación usan-
do solo esto?
Prueba de tantas maneras diferentes como puedas (al menos 
dos) la siguiente igualdad:
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2n = 2n+1 − 1.
Verifica que xn − 1 = (x − 1) (xn−1 + xn−2 + ... + x + 1). A partir 
de esto, concluye que
x2n − 1 = (x2 − 1) (x2(n−1) + x2(n−2) + ... + x2 + 1),
x2n+1 + 1 = (x + 1) (x2n − x2n−1 + x2n−2 + ... + x2 − x + 1).
¿Qué obtienes si x = 10 en estas dos últimas igualdades?
El número 12345654321 está escrito en base 7. Sin transferirlo 
a base 10, decide si es divisible por 6 y/o por 8.
Encuentra todos los enteros positivos n tales que, al agregar 
un 2 por la izquierda y otro 2 a la derecha de su expresión de-
cimal, se obtiene la expresión decimal del producto 32 n (por 
ejemplo, esto sucede para 91, pues 2912 = 32 × 91).
El factorial de un número n, denotado n!, corresponde al produc-
to de todos los enteros entre 1 y n. Por ejemplo, 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 
y 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040. Determina cuántos dígitos 0 
tienen al final 10!, 25! y 2018! al ser escritos en notación decimal.
El número 1234567891011121314 ... 20172018, ¿es divisible 
por 3 y por 9? De manera más general, ¿qué números de este 
tipo son divisibles por 3?
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lección i 
45
Jimena tiene varias monedas, todas de 100 pesos, repartidas 
entre sus diez bolsillos. Ella afirma que en cada bolsillo tiene 
una cantidad distinta de monedas. ¿Cuánto dinero tiene como 
mínimo Jimena?
Dado un número n escrito en notación decimal, denotamos S(n) la 
suma de sus dígitos. Verifica que
S(9) = S(18) = S(27) = S(36) = S(45) = S(54) = S(63) = S(72) = S(81) = S(90).
¿Existen otros números para los cuales se cumplen las igualda-
des análogas de abajo?
S(n) = S(2n) = S(3n) = ... = S((n− 1) n) = S(n2) = S((n + 1) n)
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47
Lección II
Una sopa de números y letras
“Las matemáticas son el alfabeto con que Dios escribió el universo.”
Galileo Galilei
partiendo de cero
egún la axiomática moderna, el mundo de los matemá-
ticos queda dividido en dos grupos: el de aquellos para 
quienes el primer número es el 1 y el de quienes conside-
ran el 0 como el primer número. Si bien se trata de una eterna 
disyuntiva cuyo contenido matemático es discutible, un hecho 
es incuestionable: el 0 es una invención muy posterior al 1. Los 
antiguos griegos dominaron los enteros, los racionales e inclu-
so algunos irracionales; sin embargo, la concepción del 0 co-
mo ente numérico es obra de culturas posteriores. Aunque no 
se tiene total claridad, se postula que el 0 surgió en la India 
y Babilonia (quizás de manera independiente), pasó a China 
y Persia, y fue introducido en Europa 
hacia fines de la Edad Media. Paralela-
mente, los mayas también concibieron 
e implementaron sistemáticamente el 0, 
el cual representaban con la figura que 
se aprecia a la derecha.
Un poco más de claridad parece haber en torno a los nú-
meros negativos. Dado que los griegos basaron su matemática 
en la geometría, para ellos las cantidades eran representaciones 
de magnitudes, razón por la cual nunca concibieron las canti-
dades negativas. Estas surgieron tímidamente en China con un 
fin comercial: diferenciar las sumas de dinero que se adeudan 
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lecciones de matemática para el recreo
48
de aquellas que se poseen. Con el mismo propósito aparecieron 
en la India varios siglos más tarde. Sin embargo, allí fueron 
sistematizadas y sus reglas de operatoria clarificadas, tanto así 
que están perfectamente descritas en un texto de Brahmagupta 
del siglo vii d. C.
Fracciones versus deciMales
A menudo se cree que las fracciones nacieron casi a la par con 
la aritmética. Sin embargo, esto no es así. Incluso, los antiguos 
egipcios tenían serios problemas con su manipulación, pues solo 
concebían fracciones del tipo 1/n. Por esta razón, para represen-
tar una cantidad como 7/10, la pensaban (y escribían) como
 .
Según muchos investigadores, este defecto retardó seria-
mente el avance de la matemática en el antiguo Egipto, a pesar 
de muchos mitos que circulan respecto de supuestos conoci-
mientos que ellos habrían tenido y que habrían desaparecido 
junto con su civilización.
Ya en la Grecia clásica, las fracciones eran manipuladas de 
manera perfecta. Algunos siglos más tarde, con la introducción 
de la notación en base 10, comienza lo que puede significar el 
martirio de algunos: la doble representación de los números ra-
cionales, como fracciones o en notación decimal. Resulta muy 
útil volver a cuestionarse este asunto en etapas más avanzadas de 
la enseñanza con el fin de revelar todo su contenido matemático.
Doble representación. Como es bien sabido, si a y b son en-
teros positivos, para representar decimalmente la fracción a/b 
debemos dividir a por b y, si existe resto, ir incorporando las 
cifras decimales correspondientes en el resultado. Pueden darse 
dos casos: que el resto sea eventualmente igual a 0, o bien, que 
nunca lo sea. En el primer caso, obtenemos una representación 
decimal finita. Por ejemplo,
1
2
1
5
+
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49
: 5 = 2 ® : 5 = 4 ⇒ = 2,4.
En el segundo caso, dado que los restos sucesivos deben va-
riar entre 1 y b − 1, en algún momento uno de ellos debe repe-
tirse. Nos detenemos en el primer momento en que esto ocurre, 
y consideramos el resultado parcial obtenido hasta ese instan-
te. Pues bien, la expresión decimal del verdadero resultado será 
igual al número que resulta de agregar a este resultado parcial 
cifras decimales que repliquen infinitas veces el patrón que apa-
rece entre las repeticiones del resto. Si el primer dígito decimal 
forma parte del patrón que se repite infinitas veces, entonces re-
sulta un número periódico; si no, es semiperiódico. Por ejemplo,
 : 33 = 3 ® : 33 = 1 ® : 33 = 2 ⇒ = 3,1212...,
 : 30 = 0 ® : 30 = 2 ® : 30 = 3 ⇒ = 0,2333...
¿Te has preguntado alguna vez cómo saber si la expresión 
resultante de a/b en notación decimal es finita o infinita sin 
ejecutar la división? Descubrirás una forma de hacerlo a con-
tinuación.
¿Tres tipos de racionales? Es importante enfatizar que la distin-
ción entre decimales finitos e infinitos periódicos o semiperiódi-
cos es más bien notacional. ¿Existe alguna diferencia intrínseca 
en la naturaleza de los números 1/3 y 1/5? Ciertamente, no. 
Sin embargo, el primero es un decimal infinito periódico y el 
segundo finito:
La diferencia nace del hecho de que estamos utilizando la base 10 
para nuestra notación y el denominador 5 se ajusta bien a esto, 
pero el 3 no. En efecto, mientras 1/5 = 2/10, para escribir 1/3 de-
bemos recurrir a la igualdad (que será clarificada más adelante)
1
2
7
7
7
3
103
4
100
10
20
0
12
5
40
7
70
10
70
4
37
33
1
3
1
5
= 0,33333..., = 0,2.
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lecciones de matemática para el recreo
50
Esta diferencia queda completamente descrita con el siguiente 
teorema que, pese a ser fundamental para comprender los alcan-
ces de nuestro sistema de notación, lamentablemente no es muy 
conocido, y suele estar ausente de los programas de enseñanza.
Teorema. Si a y b son enteros positivos relativamente primos 
(es decir, sin factor común mayor que 1), entonces la fracción 
a/b tiene una expresión decimal finita si y solo si b no posee 
factores primos distintos de 2 y 5.
Por ejemplo, sin necesidad de hacer la división, este teorema 
indica que las expresiones decimales de 4/7, 7/6 o 1/2450003 no 
pueden ser finitas (observa que el último divisor —el número 
de la Teletón— es primo).
Una advertencia antes de continuar: el teorema no estipula 
que si los factores primos del denominador de a/b son solo 2 
y/o 5, entonces toda representación decimal de a/b es finita. De 
hecho, esto no es verdad, pues los números de finitos decimales 
también tienen una representación decimal infinita. Esta dupli-
cidad nace de la controversial igualdad
1 = 0,999999...,
la cual permite —por ejemplo— escribir
 = 0,5 = 0,499999...,
Ahora, si no te convence que 0,999... y 1 son el mismo núme-
ro, piensa en lo siguiente. Si no fueran iguales, entonces podrías 
colocar un número en medio (por ejemplo, su promedio). ¿Qué 
número es mayor que 0,999... y menor que 1? Claramente, dicho 
número no existe y, por lo tanto, 0,999... = 1 (ver el problema 
3 para otro argumento). El hecho de que una misma cantidad 
se pueda escribir de dos maneras diferentes es más bien un de-
1
2
1
3
3
10
3
100
3
1000
= + + + ...
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lección ii 
51
fecto de nuestro sistema de notación, y no hay contradicción 
matemática alguna en ello.
La visualización geométrica de la expresión decimal también 
permite clarificar la duplicidad de la escritura de los decimales 
de finitas cifras. Por ejemplo, si dividimos el intervalo [0, 1] en 10 
partes de igual longitud [0, 1/10], [1/10, 2/10], ... , [9/10, 1], entonces 
el intervalo [0, 1/10] contiene los números con una expresión cuya 
primera cifra decimal es 0, el siguiente intervalo [1/10, 2/10] hace lo 
propio con aquellos que comienzan con 1, etc. La duplicidad se da 
en los extremos. A modo de ejemplo, si bien 1 está en el intervalo 
[1, 11/10], también puede ser aproximado por los valores 0,9, 0,99, 
0,999, etc., los cuales están todos en el décimo intervalo [9/10, 1], 
por lo que el valor al que tienden (que denotamos 0,999...) debe 
coincidir con el extremo derecho de dicho intervalo, es decir, con 1.De hecho, lo anterior permite mostrar que no hay otras instancias 
que originen una doble representación de números decimales. En 
particular, un número sin representación decimal finita no puede ser 
representado de dos maneras diferentes.
Verificar el teorema no es muy difícil. Supongamos prime-
ramente que la expresión decimal de a/b es
c, d1d2...dn,
donde c ≥ 0 es un entero y los di son dígitos entre 0 y 9, con dn ≥ 1. 
Esto significa que
.
0 1
0,9
0,99
0,999
5
10
9
10
11
10
a
b
d1
10
dn
10n
d2
100
d3
1000
= + + + ... +c +
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lecciones de matemática para el recreo
52
Igualando denominadores se muestra entonces que
Si la expresión de la derecha es reducida, entonces su deno- 
minador es 10n. Si es simplificable, entonces su denominador 
es un divisor de 10n. En cualquier caso, el denominador re- 
sultante divide a 10n, por lo que no puede tener divisores pri-
mos distintos a 2 y 5.
Recíprocamente, si b es de la forma 2k 5l para ciertos ente-
ros k ≥ 0 y l ≥ 0, entonces
Por lo tanto, si la expresión decimal de 2l 5k a es
2l5ka = d0 + 10d1 + 100d2 + ... + 10
ndn,
entonces es igual a
y la última suma corresponde a una expresión decimal finita 
para a/b.
Para comprender aún mejor el alcance del teorema anterior, 
resulta clarificador analizar lo que sucede cuando, en lugar de 
usar la notación decimal, empleamos la binaria. En este con-
texto, tal como hicimos en la lección anterior, utilizaremos una 
barra superior para denotar las cantidades. De esta forma, si ai 
vale 0 o 1, con an ≠ 0, entonces 0, a1a2 ... an representa el número
.
Una manipulación algebraica muestra que
2k 5l a
10k+l
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lección ii 
53
Dado que an = 1, el numerador de la última fracción es impar, 
por lo que ella es irreducible (es decir, no hay divisor común en-
tre su numerador y su denominador que sea mayor que 1).
Al igual que en el caso decimal, no es difícil constatar que, 
en notación binaria, los únicos racionales que tienen una re-
presentación finita son aquellos cuya expresión como fracción 
irreducible tiene por denominador una potencia de 2. Dichos 
racionales son llamados “diádicos”. Por ejemplo, 1/3 y 1/14 no 
son diádicos, por lo que, en notación binaria, tienen un desa-
rrollo infinito. De hecho, el primero es periódico y el segundo 
semiperiódico:
Escrito de otra forma, lo anterior se traduce en
¿Por qué son válidas estas igualdades? Descubrirás cómo cal-
cular estas sumas a continuación.
Series infinitas. Tal como ya hemos sugerido, cuando conside-
ramos expresiones decimales infinitas estamos dando sentido a 
sumas infinitas de términos. En toda su generalidad, este últi-
mo tema es de difícil tratamiento. Sin embargo, se adquiere una 
buena intuición al considerar las expresiones decimales desde 
este punto de vista. En esta dirección, la igualdad
derivada de la expresión decimal 1/3 = 0,333... debe ser enten-
dida como que 0,333... es el número al que van tendiendo las 
sumas finitas
1
3
3
10
3
100
3
1000
= + + + ...
1
128
1
2 × 8n
1
16
1
14
= + + ... + + ... 
1
3
1
4
1
4n
1
16
= + + ... + + ...,
1
3
1
11
= = 0,01010101..., 1
14
1
101
= = 0,0001001001001...
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lecciones de matemática para el recreo
54
Observa que cada uno de los valores es mayor que el ante-
rior, y todos son menores —por ejemplo— que 0,4. Pues bien, 
si una sucesión de números va creciendo manteniéndose siem-
pre por debajo de otra cifra, entonces debe ir aproximándose 
más y más a un valor determinado. De hecho, es mediante este 
procedimiento de “aproximaciones sucesivas” que se obtienen 
muchos números con propiedades especiales.
Los números definidos por aproximaciones sucesivas pue-
den ser manipulados aritméticamente como lo hacemos con 
cantidades más explícitas. Este manejo se hace particularmente 
sencillo con cantidades decimales periódicas o semiperiódicas. 
Por ejemplo, si comienzas con x = 4,23232323..., entonces
Ciertamente, podrías haber adivinado la última igualdad 
usando la vieja “receta” de transformación de decimales pe-
riódicos a racionales. El punto es que, justamente, este tipo de 
manipulación es la justificación de aquel procedimiento que 
señala lo siguiente: “se trunca el número (olvidando la coma 
decimal) donde acaba el período, se le resta su parte entera y el 
resultado se divide por un número de la forma 999...9 consti-
tuido por tantos nueves como dígitos tiene el período del deci-
mal en cuestión”. Por ejemplo, para 0,9999..., la receta nos da
0,9999... = ,
y el procedimiento anterior da
3
10
= 0,3,
3
10
33
100
3
100
= = 0,33,+
3
10
3
100
3
1000
333
1000
= = 0,333, etc.+ +
9
9
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lección ii 
55
Observa que hemos redescubierto la igualdad controversial 
0,999... = 1.
De manera análoga, para un decimal semiperiódico como 
x = 1,2313131..., se procede de la siguiente manera:
Nuevamente, este tipo de manipulación justifica la regla: 
“se trunca el número (olvidando la coma decimal) donde con-
cluye el período, se le resta el número que resulta de truncarlo 
justo antes de que comience dicho período, y el resultado se 
divide por un número de la forma 99...900...0 para el cual la 
cantidad de nueves es igual a la de dígitos del período del de-
cimal en cuestión y la cantidad de ceros es igual a la de dígitos 
de su anteperíodo”.
Si bien obtuvimos los valores de las sumas infinitas asociadas a los 
racionales periódicos y semiperiódicos con relativa facilidad, esto no 
significa que lo anterior sea sencillo con cualquier serie de infinitos 
términos. En primer lugar, no es evidente cómo reconocer si dicha 
suma es finita o, en contrapartida, si es mayor que cualquier número 
dado. Por ejemplo, si bien los términos 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... se hacen 
cada vez más pequeños, la suma de todos ellos es infinita, pues
Sin embargo, la serie
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lecciones de matemática para el recreo
56
sí tiene un valor finito. De manera sorprendente, dicho valor es igual 
a π2/6, tal como descubrió Leonhard Euler en 1735. Si bien para esta-
blecer esto se requieren conocimientos avanzados, se puede justificar 
fácilmente por qué la suma es finita. Tan solo observa que
y, por lo tanto, para cualquier valor de n, el valor de
es menor o igual que
el árbol de los racionales
Pese a que el mundo de las fracciones es extenso, es posible ir 
colocándolas ordenadamente en una lista infinita. Por ejemplo, 
podemos listar las fracciones entre 0 y 1 como sigue:
El problema con esta forma de proceder es que los números se 
repiten:
Por cierto, podemos ir descartando las fracciones que ya han 
aparecido para obtener una lista sin repeticiones:
Sin embargo, existe una manera de listar las fracciones entre 
0 y 1 que es más astuta, de modo que se puede asegurar a priori 
0 , 1 , 0 , 1 , 2 , 0 , 1 , 2 , 3 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , . . .
1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6
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lección ii 
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que cada racional aparecerá solo una vez y, además, lo hará en 
su forma reducida (es decir, sin factor común mayor que 1 entre 
el numerador y el denominador). Para proceder, denotamos ⊕ la 
“suma incorrecta” de fracciones:
 .
Es fácil verificar que la última fracción queda comprendida en-
tre las dos originales, razón por la cual es llamada la mediana 
de ellas. Comenzamos con 0/1 y 1/1 y, en cada paso, añadimos 
la mediana entre dos fracciones consecutivas del listado. Por 
ejemplo, dado que
obtenemos el segundo nivel
Luego, como
para el tercer nivel obtenemos
El proceso sigue infinitas veces. 
Tal como se muestra a la derecha, 
este puede ser ilustrado formando 
un árbol, el cual te puedeser útil 
para conmemorar el próximo 25 de 
diciembre (día del aniversario del 
natalicio de Isaac Newton). El lista-
do final es aquel en que las medianas 
se van añadiendo a las fracciones ya 
existentes:
a ⊕ c = a + cb d b + d
0⊕ 1 = 0 ,
1 1 1
0, 1, 1.
1 2 1
0 1 1 2 1 3 2 3 1 4 3 5 2 5 3 4 1
1 5 4 7 3 8 5 7 2 7 5 8 3 7 4 5 1
0 1 1 2 1 3 2 3 1
1 4 3 5 2 5 3 4 1
0 1 1 2 1
1 3 2 3 1
0 1 1
1 2 1
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lecciones de matemática para el recreo
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Una propiedad fundamental de esta construcción es que, 
para todo par de fracciones a/b y c/d que aparecen contiguas en 
algún nivel, se cumple
b c − a d = 1.
En efecto, esto se verifica para las dos primeras (0/1 y 1/1), pues 
1 × 1 − 0 × 1 = 1. Por otra parte, si a/b y c/d son contiguas en un 
nivel, entonces en el siguiente nivel aparecen contiguas las tres 
fracciones
Ahora bien, si el par original (el de a/b y c/d) verificaba la pro-
piedad, entonces los dos pares de fracciones contiguas así gene-
rados siguen cumpliendo la propiedad, pues
b (a + c) − a (b + d) = b c − a d = 1, (b + d) c − (a + c) d = b c − a d = 1.
Por lo tanto, si la propiedad se cumple en un nivel, entonces 
se verifica en el siguiente; y puesto que se cumple en el primer 
nivel (el de 0/1 y 1/1), se debe satisfacer siempre.
¿Por qué todas las fracciones que aparecen son reducidas? 
Esto se deduce de la propiedad anterior. En efecto, si a y b tu-
viesen un factor común r, entonces a = r a’ y b = r b’ para ciertos 
enteros (positivos) a’ y b’, por lo que
1 = b c − a d = r b’ c − r a’ d = r (b’ c − a’ d).
Por lo tanto, r divide a 1, lo cual implica, obviamente, r = 1.
¿Por qué todo número racional comprendido entre 0 y 1 
aparece en la lista? Esto es más difícil de justificar, pues resul-
ta de una concatenación de argumentos. Para comenzar, afir-
mamos que si a/b y c/d son parejas consecutivas de fracciones 
en el nivel n-ésimo de la construcción, entonces al menos uno 
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de los denominadores, b o d, debe ser mayor o igual que n. En 
efecto, esto se cumple evidentemente en el primer nivel (pues 
allí ambos denominadores son iguales a 1); además, cuando 
se agrega una nueva fracción, su denominador es la suma de 
los denominadores de sus dos ancestros, por lo que si uno de 
estos es al menos k, entonces el nuevo denominador será al 
menos k + 1.
Afirmamos ahora que si una fracción cualquiera u/v se ubica 
estrictamente entre dos fracciones a/b < c/d de un nivel de la 
construcción, entonces v ≥ b + d. En efecto, dado que u/v > a/b, 
tenemos
donde la última desigualdad nace del hecho de que ub − ab es 
un entero positivo. De manera similar,
Por lo tanto,
de lo cual se deduce rápidamente que v ≥ b + d.
Finalmente, si una fracción p/q entre 0 y 1 no apareciese 
nunca en la secuencia, entonces en cada nivel habría fracciones 
contiguas an/bn y cn/dn tales que
La afirmación probada anteriormente nos indicaría que q ≥ bn + dn. 
Además, por la primera afirmación, bn o dn sería mayor o igual 
que n. Sin embargo, esto es imposible para n > q.
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lecciones de matemática para el recreo
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el priMer irracional (y los que le siguen)
Si bien hay una infinidad de racionales y estos aparecen por to-
das partes en la recta numérica, están lejos de cubrirla totalmente. 
La primera certeza de ello se tuvo en la escuela pitagórica, cuyos 
miembros constataron (con gran sorpresa) que si un cuadrado tie-
ne largo 1, entonces el largo de su diagonal no puede ser racional. 
En efecto, por el teorema de Pitágoras, dicho largo l satisface
l 2 = 12 + 12 = 2.
Sin embargo, no existe fracción a/b (con a y b enteros positi-
vos) cuyo cuadrado sea 2. Para verificar esto, basta considerar 
fracciones en que el numerador y el denominador no tengan 
factores en común. Ahora bien,
De la última igualdad se deduce que a debe ser par, digamos 
a = 2 c. Reemplazando este último valor obtenemos 4 c2 = 2 b2, es 
decir, 2c2 = b2, lo que implica que b también es par. Sin embar-
go, esto implica que 2 es factor común de a y b, lo cual contra-
dice nuestra hipótesis.
Si bien el argumento anterior es el más sencillo (y pareciera 
haber sido el primero que se esgrimió en la historia), existen 
centenares de otras demostraciones de la irracionalidad de √2. 
Algunas de ellas, particularmente interesantes por ser de natu-
raleza geométrica, aparecen desa-
rrolladas en el artículo “Algunas 
demostraciones geométricas de la 
irracionalidad de √2”, disponible 
en www.revistasuma.es. Mi favo-
rita es la siguiente: si la igualdad 
a2 = 2b2 fuese válida para cierto 
par de enteros positivos a, b, es-
cogemos aquel en que a tenga el 
menor valor posible. Colocando, 
(a – b)2
(a – b)2
b
b
a
a
(2b – a)2
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entonces, dos cuadrados de lado b dentro de un cuadrado de 
lado a, uno en la esquina inferior izquierda y otro en la supe-
rior derecha, observamos que ellos se intersecan en un cuadra-
do central. Evidentemente, este debe equipararse en área a las 
partes del cuadrado de lado a que no han sido cubiertas, las 
que corresponden a dos cuadrados de idéntico tamaño, uno 
en la parte superior izquierda y otro en la inferior derecha. En 
fórmulas, esto es
a2 = 2b2 ⇒ (2b − a)2 = 2(a − b)2.
Hemos conseguido, entonces, un cuadrado de lado menor que a 
equivalente a dos cuadrados, todos de lados enteros (positivos), 
lo cual contradice nuestra elección inicial.
Argumentos similares muestran que si n es un entero que 
no es igual al cuadrado de otro entero, entonces tampoco es el 
cuadrado de un racional. Por lo tanto, el número √n (que es, 
por definición, aquel cuyo cuadrado es igual a n), no es racional, 
razón por la cual se lo llama irracional. Más generalmente, si 
n no es una potencia k-ésima de ningún entero, entonces k√n es 
irracional. Es así como 3√4 y 4√3 son irracionales, pero no lo son 
3√8 = 2 ni 4√16 = 2. Por cierto, se pueden considerar expresiones 
más elaboradas, las que —en general— representan números 
irracionales. Por ejemplo, en la Lección V descubrirás que el 
singular número
es irracional. Pero atención: esto no significa que cualquier ma-
nipulación entre números irracionales genere un irracional. Por 
ejemplo, si bien 3 − √2 y √2 son ambos irracionales, su suma 
(3 − √2) + √2 = 3 es racional.
¿Serán todos los números irracionales combinaciones de 
números como los descritos más arriba? Por mucho tiempo, 
esta pregunta fue difícil de abordar. El punto de vista correcto 
surgió al observar que todos estos números son soluciones de 
ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros. Por ejemplo, 
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lecciones de matemática para el recreo
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√2 es una de las raíces de la ecuación x2 − 2 (cuyos coeficien-
tes son 1, 0 y −2), mientras que 3√2 − √3 resuelve la ecuación 
(¡compruébalo!)
x6 − 9 x4 − 4 x3 + 27 x2 − 36 x − 23 = 0.
Pues bien, a mediados del siglo xix, Joseph Liouville exhi-
bió los primeros ejemplos de números “trascendentes”, es decir, 
números que no son soluciones de ninguna ecuación de este 
tipo (con coeficientes enteros). Uno de ellos se expresa en forma 
decimal, y es igual a
donde n! denota el factorial de n, definido por n! = 1 × 2 × ... × n
(observa que 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 125, etc.). Al-
gunos años más tarde, en 1873, Charles Hermite probó la trascen-
dencia de otro importantísimo número, muy estudiado por Euler 
(razón por la cual se denota e) y cuyo valor es igual a la suma
Los métodos de Hermite fueron refinados por Ferdinand von Lin-
demann, quien en 1882 logró establecer que el famosísimo núme-
ro π es otro ejemplo de un número trascendente.
Pese a los avances, algunas preguntas elementales en torno 
a números irracionales sencillos siguen sin respuesta. Por ejem-
plo, consideremos