Semestral Uni - Álgebra semana 02

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NÚMEROS COMPLEJOS I
ÁLGEBRA
Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, debido al carácter formal de esta
ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la
comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema
de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos.
INTRODUCCIÓN
Siglo I
Herón de 
Alejandría
1ero en encontrar 
la raíz de un 
número negativo
1545
Las soluciones de las 
ecuaciones cúbicas 
conlleva al uso de 
raíces cuadradas de 
número negativos.
Girolamo 
Cardano
1572
Rafael 
Bombelli
Desarrolló las 
reglas para la 
aritmética 
compleja, utiliza 
𝒂 + 𝒃 −𝟏
1637
Rene 
Descartes
En el siglo XVII 
fueron relegados los 
números complejos, 
Descartes los 
denomino 
imaginarios.
1748
Leonhard 
Euler
Obtuvo la fórmula de 
Euler del análisis 
complejo: 
𝒆𝜽𝒊 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
1832
Carl 
Gauss
Publica sobre los números 
complejos, estableciendo 
en gran medida la notación 
y la terminología moderna. 
Con ello los números 
complejos pasan a forma 
parte de las matemáticas.
UNIDAD IMAGINARIA
𝑖 = −1
Se denota como “𝑖” y se define:
Donde:
𝑖2= −1
POTENCIAS ENTERAS DE 𝒊
Se definen:
𝑖0 = 1 𝑖1 = 𝑖
𝑖1 = 𝑖
𝑖2 = −1
𝑖3 =
𝑖4
𝑖2𝑖1 = −1 𝑖 = −𝑖
= 𝑖2 2 = −1 2 = 1
En resumen
𝒊𝟐 = −𝟏
𝒊𝟏 = 𝒊
𝒊𝟑 = −𝒊
𝒊𝟒 = 𝟏
𝒊𝟔 = −𝟏
𝒊𝟓 = 𝒊
𝒊𝟕 = −𝒊
𝒊𝟖 = 𝟏
𝒊𝟏𝟎 = −𝟏
𝒊𝟗 = 𝒊
𝒊𝟏𝟏 = −𝒊
𝒊𝟏𝟐 = 𝟏
Donde:
PROPIEDADES
Sean 𝑘, 𝑛 ∈ ℤ, se cumple:
① Cualquier potencia entera de “𝒊” será:
𝒊 −𝟏 −𝒊 𝟏
𝒊𝟒𝒌 = 𝟏②
❖ 𝑖56= 𝑖14.4 = 1
❖ 𝑖202136 = 𝑖2021𝟑𝟔 = 1
❖ 𝑖−44 = 1
Ejemplos 
𝒊𝟒𝒌+𝒏 = 𝒊𝒏③
❖ 𝑖25 = 𝑖24+1 = 𝑖= 𝑖1
❖ 𝑖2746 = −1= 𝑖2= 𝑖2744+2
❖ 𝑖78931= 𝑖78928+3 = −𝑖= 𝑖3
Ejemplos 
❖ 𝑖−1= 𝑖−4+3 = −𝑖= 𝑖3
❖ 𝑖−15= 𝑖−16+1 = 𝑖= 𝑖1
𝒊 + 𝒊𝟐 + 𝒊𝟑 + 𝒊𝟒 = 𝟎④
18 − (−15) + 1 =
𝒊𝒌 + 𝒊𝒌+𝟏 + 𝒊𝒌+𝟐 + 𝒊𝒌+𝟑 = 𝟎⑤
Ejemplos 
❑ 𝑖15 + 𝑖16 + 𝑖17 + 𝑖18 = 0
❑ 𝑖38 + 𝑖39 + 𝑖41 + 𝑖42 = 0
𝒊 + 𝒊𝟐 + 𝒊𝟑 + 𝒊𝟒 +⋯+ 𝒊𝟒𝒌 = 𝟎⑥
Ejemplos 
❑ 𝑖 + 𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 +⋯+ 𝑖20= 0
❑ 𝑖 + 𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 +⋯+ 𝑖48= 0
𝒊𝒌 + 𝒊𝒌+𝟏 + 𝒊𝒌+𝟐 + 𝒊𝒌+𝟑 +⋯+ 𝒊𝒎⑦ = 𝟎
4n sumandos
Ejemplos 
❑ 𝑖 11 + 𝑖12 + 𝑖13 +⋯+ 𝑖30 = 0
30 − 11 + 1 =𝟐𝟎 𝐬𝐮𝐦𝐚𝐧𝐝𝐨𝐬
❑ 𝑖 13 + 𝑖14 + 𝑖15 +⋯+ 𝑖61 = 𝑖13= 𝑖
61 − 13 + 1 = 𝟒𝟗 𝐬𝐮𝐦𝐚𝐧𝐝𝐨𝐬
𝟒𝟖 𝐬𝐮𝐦𝐚𝐧𝐝𝐨𝐬
❑ 𝑖 −15 + 𝑖−14 + 𝑖−13 +⋯+ 𝑖16 + 𝑖17 + 𝑖18 = 𝑖 1
= 𝑖 − 1
+𝑖2
𝟑𝟒 𝐬𝐮𝐦𝐚𝐧𝐝𝐨𝐬
𝟑𝟐 𝐬𝐮𝐦𝐚𝐧𝐝𝐨𝐬
FORMA BINÓMICA DE UN COMPLEJO
Todo número complejo 𝑧 tiene la forma
𝒛 = 𝒙 + 𝒚𝒊
donde: 
𝑥 ∶ Parte real de 𝑧
𝑦 ∶ Parte imaginaria de 𝑧
∧ 𝑖 = −1𝑥; 𝑦 ∈ ℝ
(𝑥 = 𝑅𝑒 𝑧 )
(𝑦 = 𝐼𝑚 𝑧 )
El conjunto de los números complejos, se denota por:
ℂ = 𝑥 + Τ𝑦𝑖 𝑥 ; 𝑦 ∈ ℝ
Ejemplos 
𝐳 𝑹𝒆 𝑰𝒎
5 − 𝑖
3 + 7𝑖 3 7
5 −1
4𝑖 0 4
FORMA DE PAR ORDENADO DE UN COMPLEJO
Los números complejos se pueden ubicar en el
PLANO COMPLEJO, que está compuesto por un
EJE REAL Y UN EJE IMAGINARIO.
El complejo: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 en su FORMA DE PAR
ORDENADO es 𝑧 = 𝑥; 𝑦 cuya representación
gráfica es
𝑧 = 𝑥; 𝑦 =
Eje imaginario
𝑥
𝑦
𝑥 + 𝑦𝑖
Polo
Afijo
Eje Real
DEFINICIÓNES
Sea el complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, se define
• al conjugado de 𝑧 como ത𝒛 = 𝒙 − 𝒚𝒊
• al opuesto de 𝑧 como 𝒛∗ = −𝒙 − 𝒚𝒊
Graficamente
Eje Real
Eje imaginario
𝑥
𝑦 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
−𝑦
ത𝒛 = 𝑥 − 𝑦𝑖𝒛∗ = −𝑥 − 𝑦𝑖
−𝑥
ത𝒛∗ = −𝑥 + 𝑦𝑖
TIPOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
El complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 es llamado:
1) complejo real si: 𝒙 ≠ 𝟎 ∧ 𝒚 = 𝟎
2) complejo imaginario puro si: 𝒙 = 𝟎 ∧ 𝒚 ≠ 𝟎
3) complejo nulo si: 𝒙 = 𝟎 ∧ 𝒚 = 𝟎
𝑧1 = −7
𝑧1 = −7; 0
𝑹𝒆
𝑰𝒎
2
−7
𝑧2 = 2𝑖
Ejemplos
= −7 + 0𝑖 = 0 + 2𝑖
𝑧2 = 0; 2
𝑧1
𝑧2
𝑧3 = 0 = 0 + 0𝑖
𝑧3 = 0; 0
𝑧3
OPERACIONES EN ℂ
1. Igualdad de complejos
Sean: 𝑎; 𝑏;𝑚; 𝑛 ∈ ℝ
𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝒎+ 𝒏𝒊 𝒃 = 𝒏𝒂 = 𝒎 ∧↔
Aplicación 
Halle los números complejos 𝒙; 𝒚 que satisfacen la
ecuación: 𝒙 + 𝟐 𝟐 + 𝟒𝒊 = 𝟗 + 𝒚 + 𝟏 𝒊
Resolución
Como 𝑥 + 2 2 + 4𝑖 = 9 + 𝑦 + 1 𝑖
Por igualdad de complejos se cumple:
𝑥 + 2 2 = 9 ∧ 4 = 𝑦 + 1
(𝑥 + 2 = 3 ∨ 𝑥 + 2 = −3) ∧ 3 = 𝑦
( 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −5 ) ∧ 3 = 𝑦
Los números complejos que satisfacen la ecuación son: 
1; 3 ∧ −5; 31 + 3𝑖 = −5 + 3𝑖 =
2. Adición y sustracción
Sean los complejos 
𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 =
𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 =
𝑧2 = 𝑚 + 𝑛𝑖
se define:
𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖
+ (𝒃 + 𝒏)𝒊(𝒂 +𝒎)
+ (𝒃 − 𝒏)𝒊(𝒂 −𝒎)
Ejemplo
𝑧1 = 3 + 7𝑖 y 𝑧2 = 5 + 2𝑖
𝑧1 + 𝑧2 = 8 + 9𝑖
𝑧1 − 𝑧2 = −2+ 5𝑖
3. Multiplicación 
Sean los complejo 
𝑧2 = 𝑚 + 𝑛𝑖
𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖
4 + 5𝑖 . 2 + 3𝑖 =
= −7 + 22𝑖
8 +12𝑖 +10𝑖 + 15𝑖2ณ
−1
Ejemplo
Regla práctica
𝑧1. 𝑧2 = (𝑎𝑚 − 𝑏𝑛)+(𝑎𝑛 + 𝑏𝑚)𝑖
Ejemplo
𝑧2 = 7 + 3𝑖
𝑧1 = 2 + 5𝑖
𝑧1. 𝑧2 = −1 + 41𝑖
4. División 
Ejemplo
3 + 5𝑖
2 + 7𝑖
=
3 + 5𝑖
2 + 7𝑖
=
41 − 11𝑖
4 − 49𝑖2
=
41
53
−
11
53
𝑖∙
2 − 7𝑖
2 − 7𝑖
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑚 + 𝑛𝑖 𝑚2 + 𝑛2
𝑎𝑚
𝑚2 + 𝑛2
= + 𝑖
𝑏𝑚
Regla práctica
+𝑏𝑛 −𝑎𝑛
•
•
3 + 5𝑖
2 + 7𝑖 22 + 72
3.2 + 5.7
22 + 72
= + 𝑖
2.5 − 3.7
=
41
53
−
11
53
𝑖
3 + 4𝑖
5 + 2𝑖
= + 𝑖
29 29
23 14
Ejemplos
RESULTADOS NOTABLES
𝟏 − 𝒊 𝟒 = −𝟒
𝟏 + 𝒊 𝟐 = 𝟐𝒊
𝟏 − 𝒊 𝟐 = −𝟐𝒊
𝟏 − 𝒊
𝟏 + 𝒊
= −𝒊
𝟏 + 𝒊
𝟏 − 𝒊
= 𝒊𝟏 + 𝒊 𝟒 = −𝟒
PROPIEDADES DEL CONJUGADO
𝟐) ധ𝒛 = 𝒛
𝟑) 𝒛 + ത𝒛 = 𝟐𝐑𝐞 𝒛
𝟓) 𝒛 + 𝒘 = ത𝒛 + ഥ𝒘
𝟔) 𝒛 − 𝒘 = ത𝒛 − ഥ𝒘
𝟕) 𝒛. 𝒘 = ത𝒛. ഥ𝒘
𝟖)
𝒛
𝒘
=
ത𝒛
ഥ𝒘
𝟗) 𝒛𝒏 = ത𝒛𝒏
𝟏𝟎) 𝒏 𝒛 =
𝒏
ത𝒛
𝟏) 𝒛 = ത𝒛 ↔ 𝒛 𝐞𝐬 𝐮𝐧 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐥𝐞𝐣𝐨 𝐫𝐞𝐚𝐥
𝟒) 𝒛 − ത𝒛 = 𝟐𝐈𝐦 𝒛 𝒊
Aplicación 
Dada la ecuación en el plano complejo
𝟏 − 𝒊 𝒛 + 𝟏 − 𝒊 𝒛 + 𝟐 = 𝟎
determine la ecuación cartesiana.
Resolución
Del dato: 1 − 𝑖 𝑧 + 1 − 𝑖 𝑧 + 2 = 0
1 − 𝑖 𝑧 +
1 − 𝑖 𝑧 +
1 − 𝑖 ҧ𝑧 + 2 = 0
1 + 𝑖 ҧ𝑧 + 2 = 0
𝑧 − 𝑖𝑧 + ҧ𝑧 + 𝑖 ҧ𝑧 + 2 = 0
Agrupando 𝑧 + ҧ𝑧 − 𝑖 𝑧 − ҧ𝑧 + 2 = 0
2𝑥− 𝑖 2𝑦𝑖 + 2 = 0
∴ 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0
2𝑥 + 2𝑦 + 2 = 0
2𝑥 − 2𝑦𝑖2 + 2 = 0
Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 → 𝑧 + ҧ𝑧 = 2𝑥 ∧ 𝑧 − ҧ𝑧 = 2𝑦𝑖
MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Sea el complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, su módulo se define como:
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
Ejemplos
𝑧 = 1 + 3𝑖 𝑧 = 3
2
+ −1 2 = 2+3
2
−1 2
PROPIEDADES DEL MÓDULO
𝟏) 𝒛 ≥ 𝟎 ∀𝒛 ∈ ℂ
𝟐) 𝒛 = ത𝒛 = 𝒛∗
𝟑) 𝒛 𝟐 = 𝒛. ത𝒛
𝟒) 𝒛.𝒘 = 𝒛 𝒘
𝟓)
𝒛
𝒘
=
𝒛
𝒘
𝟔) 𝒛𝒏 = 𝒛 𝒏
𝟕) 𝒏 𝒛 =
𝒏
𝒛
Aplicación 
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝒛 𝐬𝐢 𝒛 =
𝟏 + 𝟏𝟓𝒊 𝟑 + 𝟒𝒊
𝟏 + 𝟐𝒊 𝟒
Resolución
Apliquemos módulo : 𝑧 =
1 + 15𝑖 3 + 4𝑖
1 + 2𝑖 4
Por propiedades de módulo:
𝑧 =
1 + 15𝑖 3 + 4𝑖
1 + 2𝑖 4
=
1 + 15𝑖 3 + 4𝑖
1 + 2𝑖 4
𝑧 =
1 + 15𝑖 3 + 4𝑖
1 + 2𝑖 4
=
12 + 15
2
32 + 42
12 + 22
4
𝑧 =
4
16 ∙ 5
5
4
∴ 𝑧 =
2
5
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe