Semestral Uni - Álgebra semana 03

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NÚMEROS COMPLEJOS II
ÁLGEBRA
Semana 03
ALGUNAS APLICACIONES DE LOS NÚMEROS 
COMPLEJOS A LA CIENCIA
Teoría del Big Bang: se trabaja la magnitud tiempo, en
base a los números complejos.
Construcción de fractales. Estos tienen relación directa
con la medicina, ya que se usa la dimensión fractal para
diagnosticar ciertas enfermedades de los huesos.
Aerodinámica
Es una rama de la mecánica de fluidos que estudia las
acciones que aparecen sobre los cuerpos sólidos cuando
existe un movimiento relativo entre estos y el fluido que
los baña siendo este ultimo un gas(aire). Mas
específicamente en el teorema de Kutta-Youkowski
FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN 
COMPLEJO
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎; 𝑏
𝑅𝑒
𝐼𝑚
𝑎
𝑏
Sea: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ ℂ tal que 𝑎 > 0 ∧ 𝑏 > 0
𝜃
𝑏
𝑎
𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃
Donde: 𝑧 ∶
𝜃 ∶
Forma polar o forma 
trigonométrica:
𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑖
Módulo de 𝑧
Argumento de 𝑧
𝜃 = Arg 𝑧
(en radianes)
Del gráfico:
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
= 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃
= 𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜃
+
𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃
➢ Argumento principal
0 ≤ 𝜃 < 2𝜋
tal que
−𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋
∨
𝐚𝐫𝐠(𝒛) = Arg 𝑧 + 2𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ
➢ Argumento general
Se denota por: 
Forma 𝑐𝑖𝑠: 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑖𝑠 𝜃
Forma exponencial: 𝑧 = 𝑧 𝑒𝜃𝑖
Obs.: 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝑒𝜃𝑖
Teorema de Euler
Ejemplos:
Exprese en las otras forma 𝑧 = −2 3 + 6𝑖
𝑅𝑒
𝐼𝑚
−2 3
6
𝑧 =
2𝜋
3
𝑧 =Así:
𝑧 =
−2 3 + 6𝑖 =
= 4 3
= 4 3 𝑒
𝜋
3𝑖
−2 3; 6 =
𝜃 =
−2 3
2
+ 62
cos
2𝜋
3
+𝑖𝑠𝑒𝑛
2𝜋
3
4 3
4 3 𝑐𝑖𝑠
𝜋
3
"Exprese en las" otras formas 𝑧 = 1 − 3 𝑖
𝑅𝑒
𝐼𝑚
1
− 3
𝑧 =
𝑧 =Así:
𝑧 = 2 𝑐𝑖𝑠
5𝜋
3
5𝜋
3
=
𝑧
= 2
= 2𝑒
5𝜋
3 𝑖
= 1;− 3
𝜃
12 + − 3
2
cos
5𝜋
3
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
5𝜋
3
2
𝑧
𝑧
𝑧
= 1 − 3 𝑖
−2 3
2
+ 62
cos
2𝜋
3
+𝑖𝑠𝑒𝑛
2𝜋
3
12 + − 3
2
cos
5𝜋
3
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
5𝜋
3
TEOREMAS
Dados los números complejos 𝑧 y 𝑤 no nulos
𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑤 = 𝑤 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼
= 𝑧 Cis(𝜃)
= 𝑤 Cis(𝛼)
Se cumplen:
1) 𝑧. 𝑤
2)
𝑧
𝑤
𝑧. 𝑤
𝑧
𝑤
= 𝑧 𝑒𝜃𝑖
= 𝑤 𝑒𝛼𝑖
= 𝑧 . 𝑤 𝑒 𝜃+𝛼 𝑖
=
𝑧
𝑤
. 𝑒 𝜃−𝛼 𝑖
Ejemplos:
5𝑐𝑖𝑠35° ∙ 4𝑐𝑖𝑠18° = 5∙ 4 = 20𝑐𝑖𝑠53°
32𝑒
𝜋
3𝑖
8𝑒
𝜋
4𝑖
=
32
8
= 4𝑒
𝜋
12𝑖
𝑐𝑖𝑠 35° + 18°
𝑒
𝜋
3−
𝜋
4 𝑖
= 𝑧 ⋅ 𝑤 ⋅ cos 𝜃 + 𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝛼
= 𝑧 ⋅ 𝑤 ⋅ 𝐶𝑖𝑠 𝜃 + 𝛼
=
𝑧
𝑤
⋅ cos 𝜃 − 𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝛼
=
𝑧
𝑤
⋅ 𝐶𝑖𝑠 𝜃 − 𝛼
Dados los números complejos
𝑧 = 2 cos
𝜋
4
+ 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
𝑤 = 6 cos
𝜋
8
+ 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
8y
❶ 𝑧 ⋅ 𝑤 = 2 ⋅ 6 cos
𝜋
4
+
𝜋
8
+ 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
+
𝜋
8
𝜋
4
+
𝜋
8
𝜋
4
+
𝜋
8
𝑧 ⋅ 𝑤 = 12 cos
3𝜋
8
+ 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛
3𝜋
8
❷ 𝑧
𝑤
=
2
6
cos
𝜋
4
+
𝜋
8
+ 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
+
𝜋
8
𝜋
4
−
𝜋
8
𝜋
4
−
𝜋
8
𝑧
𝑤
= 3
−1 cos
𝜋
8
+ 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
8
Ejemplos:
❶
❷
TEOREMA (DE MOIVRÉ)
Dado el número complejo no nulo
𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑧 Cis(𝜃)
Se tiene:
𝑧𝑛 = 𝑧 𝑛 cos(𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃)
𝑧𝑛 = 𝑧 𝑛𝐶𝑖𝑠(𝑛𝜃)
= 𝑧 𝑒𝜃𝑖
= 𝑧 𝑛𝑒(𝑛𝜃)𝑖
Ejemplos:
• 𝑐𝑜𝑠36° + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛36° 5=
• 2 𝑐𝑖𝑠
𝜋
4
28
= 2
28
= 214 𝑐𝑖𝑠 14𝜋
𝑐𝑜𝑠 5 ∙ 36° + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 5 ∙ 36°
𝑐𝑖𝑠 28 ∙
𝜋
4
• 5𝑒
7𝜋
4
𝑖
6
= 5
6
= 125 𝑒
21𝜋
2 𝑖𝑒6∙
7𝜋
4 𝑖
1)
2) 𝑛 𝑧 =
𝑛
𝑧 cos
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
𝑛 𝑧 =
𝑛
𝑧 cis
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛 =
𝑛
𝑧 . 𝑒
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛 𝑖
donde 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1.
𝑛 ∈ ℕ
= −1 + 0 ⋅ 𝑖
= −214
= −125 𝑖
Encuentre las raíces de:
• 𝑤 =
4
−2 2 − 2𝑖 =
4
4 ⋅ 𝐶𝑖𝑠
7𝜋
6
Donde 𝑘: 0; 1; 2; 3
= 2 ⋅ 𝐶𝑖𝑠
7𝜋
6
+ 2𝑘𝜋
4
𝑤0 = 2 ⋅ 𝐶𝑖𝑠
7𝜋
24
• =
5
32 ; 𝑘 = 0, 1, 2. 3, 4.⋅ 𝑐𝑖𝑠
3𝜋
4
+ 2𝜋𝑘
5
𝑧 =
5
32 ⋅ 𝑐𝑖𝑠
3𝜋
4
𝑍 =
5
32 ⋅ 𝑐𝑖𝑠
2𝜋
3
=
3𝑐𝑖𝑠 2𝜋/15
3𝑐𝑖𝑠 8𝜋/15
3𝑐𝑖𝑠 14𝜋/15
3𝑐𝑖𝑠 20𝜋/15
3𝑐𝑖𝑠 26𝜋/15
𝑧1 = 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 3𝜋/20
𝑧2 =2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 11𝜋/20
𝑧3 = 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 19𝜋/20
𝑧4 = 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 27𝜋/20
𝑧5 = 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 35𝜋/20
𝑘 = 0 ;
𝑘 = 1 ;
𝑘 = 2 ;
𝑘 = 3 ;
𝑘 = 4 ;
Graficando a 𝑧1; 𝑧2; 𝑧3; 𝑧4; 𝑧5 en el plano
complejo tenemos
𝑧1
𝑧2
𝑧3
𝑧4
𝑧5
2
El pentágono generado 𝑧1, 𝑧2 , 𝑧3, 𝑧4 y 𝑧5 es regular.
𝑅𝑒
𝐼𝑚
𝑤1 = 2 ⋅ 𝐶𝑖𝑠
19𝜋
24
𝑤2 = 2 ⋅ 𝐶𝑖𝑠
31𝜋
24
𝑤3 = 2 ⋅ 𝐶𝑖𝑠
43𝜋
24
𝑘 = 0 ;
𝑘 = 1 ;
𝑘 = 2 ;
𝑘 = 3 ;
Encuentre las raíces y represéntelas en el plano complejo
𝑤 = 2 ⋅ 𝐶𝑖𝑠
7𝜋
6
+ 2𝑘𝜋
4
=
PROPIEDADES:
1) 𝐴𝑟𝑔 𝑧. 𝑤 = 𝐴𝑟𝑔 𝑧 + 𝐴𝑟𝑔(𝑤)
2) 𝐴𝑟𝑔
𝑧
𝑤
= 𝐴𝑟𝑔 𝑧 − 𝐴𝑟𝑔(𝑤)
3) 𝐴𝑟𝑔 𝑧𝑛 = 𝑛. 𝐴𝑟𝑔 𝑧
Sea 𝑛 ∈ ℕ
Aplicación:
Si ҧ𝑧𝑖 = 4; 𝐴𝑟𝑔 𝑧 1 + 𝑖 =
𝜋
2
entonces el
número 𝑧 en suforma polar es:
Resolución
Como: ҧ𝑧𝑖 = 4 → ҧ𝑧
→ 𝑧 ⋅ → 𝑧 = 4
∴ 𝑧 =
Además:
→ 𝐴𝑟𝑔 𝑧 =
𝜋
4
𝐴𝑟𝑔 𝑧 1 + 𝑖 =
𝜋
2
→ 𝐴𝑟𝑔 𝑧
→ 𝐴𝑟𝑔 𝑧
→ 𝐴𝑟𝑔 𝑧
𝑖 = 4
= 41
=
𝜋
2
+ 𝐴𝑟𝑔 1 + 𝑖
=
𝜋
2
+
𝜋
4
=
𝜋
4
𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
Complejos Notables: 
1 −1
𝑖 −𝑖
= 𝑒0𝑖= 𝑐𝑖𝑠 0 = 𝑒𝜋𝑖= 𝑐𝑖𝑠 𝜋
= 𝑒
𝜋
2𝑖= 𝑐𝑖𝑠
𝜋
2
= 𝑒
3
2𝜋𝑖= 𝑐𝑖𝑠
3
2
𝜋
4
Resultados diversos:
4) Si 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑖𝑠 𝜃 → ൝
.
.
1) 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃
2) 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃
3)
1
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃
= 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 ∨
1
𝑐𝑖𝑠 𝜃
= 𝑐𝑖𝑠 −𝜃
= 𝑐𝑜𝑠 −𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 −𝜃
= 𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝑒𝜃𝑖 = 1
= 𝑐𝑖𝑠 −𝜃
ҧ𝑧 = 𝑧 𝑐𝑖𝑠 −𝜃
𝑧∗ = 𝑧 𝑐𝑖𝑠 𝜃 + 𝜋
Veamos:
• 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑖𝑠 𝜃 → ҧ𝑧 = 𝑧 𝑐𝑖𝑠 𝜃 = 𝑧
→ ҧ𝑧 = 𝑧
𝑐𝑖𝑠 𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃
→ ҧ𝑧 = 𝑧 𝑐𝑖𝑠 −𝜃
• 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑖𝑠 𝜃 → 𝑧∗ =
= −1
= 𝑐𝑖𝑠𝜋
→ 𝑧∗ = 𝑧
− 𝑧 𝑐𝑖𝑠 𝜃
𝑧 𝑐𝑖𝑠 𝜃
𝑧 𝑐𝑖𝑠 𝜃
𝑐𝑖𝑠 𝜃 + 𝜋
∧ 𝑎𝑟𝑔 𝑒𝑥+𝑦𝑖 = 𝑦
5) 𝑒𝑥+𝑦𝑖 = 𝑒𝑥𝑐𝑖𝑠 𝑦
= 𝑒𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑒𝑥𝑐𝑖𝑠 𝑦
entonces:
𝑒𝑥+𝑦𝑖 = 𝑒𝑥
𝑒𝑥+𝑦𝑖 = 𝑒𝑥 𝑒𝑦𝑖
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe