Semestral Uni - Álgebra semana 08

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Expresiones 
Irracionales 
Álgebra
C U R S O D E Á L G E B R A
Objetivos 
Definir las 
expresiones 
irracionales 
Recordar las 
ecuaciones e 
inecuaciones 
irracionales 
Resolver problemas 
sobre ecuaciones e 
inecuaciones 
irracionales
Debido a la curvatura de la Tierra, la
distancia máxima que podemos ver, hacia
el horizonte, desde lo alto de una torre,
esta determinado por la expresión
irracional siguiente
Un modelo matemático es una
representación simplificada, a través de
ecuaciones, funciones o fórmulas
matemáticas, de un fenómeno o de la
relación entre dos o más variables, por
ejemplo
D = 2𝑅ℎ + ℎ2
D
𝑅
ℎ
La distancia máxima que 
alcanzamos ver 
Conjunto de valores admisible (CVA) 
Es el conjunto de valores reales de la variable que garantizan la 
existencia de las expresión en ℝ. 
Ejemplo:
Determine el CVA, para cada caso 
• 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3 ∈ ℝ ↔
Recordar: 𝑃𝐴𝑅 𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑎 ≥ 0
𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅 𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑎 ∈ ℝ
𝑥 − 3 ≥ 0↔ 𝑥 ≥ 3
CVA = ሾ3; ۧ+∞
• 𝑔 𝑥 =
3
𝑥 − 4
4
𝑥 − 7
∈ ℝ
↔ 𝑥 − 7 ≥ 0 ∧ 𝑥 − 7 ≠ 0
↔ 𝑥 ≥ 7 ∧ 𝑥 ≠ 7
CVA = ;7ۦ ۧ+∞
• ℎ 𝑥 = 𝑥 + 1 +
4
5 − 𝑥 ∈ ℝ
↔ 𝑥 + 1 ≥ 0 ∧ 5 − 𝑥 ≥ 0
↔ 𝑥 ≥ −1 ∧ 5 ≥ 𝑥
CVA = −1; 5
EXPRESIONES IRRACIONALES
Estas expresiones están definidas sobre ℝ y se caracterizan
porque la variable esta afectada por al menos un radical.
Ejemplos:
• 𝑓 𝑥 = 𝑥
2 + 2𝑥 − 1 • 𝑔(𝑥) =
3 3𝑥 −
3
𝑥 − 7
3𝑥 + 𝑥2 − 4
Su resolución: 
Son aquellas ecuaciones donde al menos en uno de los miembros se presenta una expresión irracional.
Ejemplo:
Resuelva la siguiente ecuación irracional 𝑥 − 1 = 7 − 𝑥
(Pasos a seguir)
1. C.V.A.: 𝑥 − 1 ∈ ℝ ↔ 𝑥 − 1 ≥ 0 ↔ 𝑥 ≥ 1
𝑥 − 1 = 7 − 𝑥
≥ 0
→ 7 − 𝑥 ≥ 0 → 7 ≥ 𝑥
𝑥 − 1 = 7 − 𝑥
2 2
𝑥 − 1 = 𝑥2 − 14𝑥 + 49
0 = 𝑥2 − 15𝑥 + 50
𝑥
𝑥
−10
−5
0 = 𝑥 − 10 𝑥 − 5
𝑥 = 10 ∨ 𝑥 = 5
No cumple 
el sentido 
lógico de la 
igualdad
Si cumple las 
condiciones 
anteriores (CVA 
y sentido lógico)
∴ 𝐶𝑆 = 5
ECUACIONES IRRACIONALES
Sentido lógico 
a la igualdad
2. 
Efectuamos las 
operaciones 
convenientes 
para eliminar los 
radicales 
3. 
Nota :
En forma práctica, se puede despejar 𝒙 sin hallar el CVA ni el sentido lógico, y luego 
será solución de la ecuación el valor o valores de 𝒙 que verifica a la ecuación inicial. 
Ejemplo:
Resuelva la ecuación siguiente 3 + 2𝑥 − 𝑥2 = 3𝑥 − 1
Resolución :
3 + 2𝑥 − 𝑥2 = 3𝑥 − 1
2 2
3 + 2𝑥 − 𝑥2 = 9𝑥2 − 6𝑥 + 1
0 = 10𝑥2 − 8𝑥 − 2
5𝑥
2𝑥
1
−2
0 = 5𝑥 + 1 2𝑥 − 2
𝑥 = −1/5 ∨ 𝑥 = 1
Comprobando si los valores de 𝑥 son soluciones, 
para ello reemplazaremos en la ecuación 
3 + 2 𝑥 − 𝑥 2 = 3 𝑥 − 1Si 𝑥 = −1/5 :
64/25 = −8/5
No cumple la igualdad
Si 𝑥 = 1 :
4 = 2
Si cumple la igualdad
∴ 𝐶𝑆 = 1
3 + 2 𝑥 − 𝑥 2 = 3 𝑥 − 1
−1/5 −1/5 −1/5
1 1 1
Ejemplo: Resuelva la siguiente inecuación irracional 𝑥 + 12 ≤ 8 − 𝑥
𝑥 + 12 ∈ ℝ ↔ 𝑥 + 12 ≥ 0 ↔ 𝑥 ≥ −12
𝑥 + 12 ≤ 8 − 𝑥
≥ 0
→ 8 − 𝑥 ≥ 0 → 8 ≥ 𝑥
𝑥 + 12 ≤ 8 − 𝑥
2 2
𝑥 + 12 ≤ 𝑥2 − 16𝑥 + 64
0 ≤ 𝑥2 − 17𝑥 + 52
𝑥
𝑥
−13
−4
0 ≤ 𝑥 − 13 𝑥 − 4
Puntos Críticos: 4 ; 13
4 13
+−+
Interceptamos para dar el C.S : 
4 13−12
CVA
8
Sentido lógico 
∴ 𝐶𝑆 = −12; 4
INECUACIONES IRRACIONALES
Son aquellas inecuaciones donde al menos en uno de los miembros se presenta una expresión irracional.
Su resolución: (Pasos a seguir)
1. C.V.A.:
Sentido lógico 
a la igualdad
2. 
Efectuamos las 
operaciones 
convenientes 
para eliminar los 
radicales y 
finalmente 
interceptamos 
con los 
resultados 
anteriores 
3. 
Observación :
Hay ejercicios donde es conveniente hacer cambio de variable y así 
se evita analizar por casos, cuando queremos elevar al cuadrado. 
Ejemplo: Resuelva la inecuación siguiente 𝑥 − 8 < 𝑥 − 2
Resolución :
C.V.A.: 𝑥 − 2 ∈ ℝ ↔ 𝑥 − 2 ≥ 0 ↔ 𝑥 ≥ 2
Sentido lógico a 
la desigualdad
𝑥 − 8 < 𝑥 − 2
≥ 0
→ No necesariamente debe ser positivo 𝑥 − 8
Por ese motivo no podemos elevar al cuadrado de forma 
directa, se debe analizar por casos (𝑥 − 8 ≥ 0 ∨ 𝑥 − 8 < 0)
Realizamos convenientemente el cambio 𝑥 − 2 = 𝑡
↔ 𝑥 = 𝑡2 + 2
reemplazando en la inecuación se tiene 
𝑡2 − 6 < 𝑡 ↔ 𝑡2−𝑡 − 6 < 0
↔ 𝑡 − 3 𝑡 + 2 < 0
↔ 𝑥 − 2 − 3 𝑥 − 2 + 2 < 0
≥ 0
↔ 𝑥 − 2 − 3 < 0 ↔ 𝑥 − 2 < 3 ↔ 𝑥 − 2 < 9
↔ 𝑥 < 11
Intersectando con el CVA se obtiene: 
∴ 𝐶𝑆 = ሾ2; ۧ11
Conclusiones
Para resolver una ecuación irracional 
1° CVA
2° Sentido lógico a la igualdad.
3° Efectuamos las operaciones 
convenientes para reducir los 
radicales. 
Otra opción 
1° Efectuamos las operaciones 
convenientes para reducir los radicales. 
2° comprobamos si son soluciones, 
reemplazando en la ecuación. 
Para resolver una inecuación irracional 
1° CVA
2° Sentido lógico a la desigualdad.
3° Efectuamos las operaciones 
convenientes para reducir los 
radicales y se intersecta con las 
condiciones anteriores.
En algunos casos 
Realizamos un cambio de variable 
convenientemente.
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e