Semestral Uni - Álgebra semana 13

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FUNCIÓN EXPONENCIAL Y 
LOGARITMICA 
ÁLGEBRA
SEMANA 13
INTRODUCCIÓN
Función exponencial 
Exponencial, significa “crecimiento que se
incrementa de forma cada vez más rápida”
Una función exponencial, por lo tanto, permite
aludir a fenómenos que crecen cada vez con mayor
rapidez.
Como por ejemplo: la división celular o el
crecimiento del números de infectado por un virus.
División celular
Crecimiento del números de infectado por un virus.
FUNCIÓN EXPONENCIAL 
Regla de correspondencia 
𝒇 𝒙 = 𝒃
𝒙 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝒃 > 𝟎 ∧ 𝒃 ≠ 𝟏
Ejemplos
⧆ 𝑓 𝑥 = 3
𝑥 𝑔 𝑥 =
1
2
𝑥
⧆
Importante
∧ Ran𝒇 = ℝ+Dom𝒇 = ℝ
Gráfica de la función 
𝐘
𝑿
𝐈. 𝐒𝐢 𝒃 > 𝟏
Función
creciente 
𝟎
𝟏(𝟎; 𝟏)
Ejemplo
𝑓 𝑥 = 3
𝑥
𝐘
𝑿𝟎
𝟏(𝟎; 𝟏)
𝟐
𝟗 (𝟐; 𝟗)
Propiedad 1
𝒃𝒎 < 𝒃𝒏 ↔ 𝒎 < 𝒏
No cambia el sentido de la
desigualdad.
Ejemplos
 7𝑥 < 74 ↔ 𝑥 < 4
 𝑥 > 3
 2𝑥 ≥ 1024
↔ 𝑥 ≥ 102𝑥 ≥ 210
↔ 2
𝑥
> 2
3
 𝑥 < 6 ↔ 3𝑥 < 36𝟎 <
𝐈𝐈. 𝐒𝐢 𝟎 < 𝒃 < 𝟏
𝐘
𝑿
Función
decreciente 
𝟎
𝟏
(𝟎; 𝟏)
Ejemplo
𝑔 𝑥 =
1
2
𝑥
𝐘
𝑿𝟎
𝟏
(𝟎; 𝟏)
−𝟑
𝟖
(−𝟑; 𝟖)
Propiedad 2
𝒃𝒎 < 𝒃𝒏 ↔ 𝒎 > 𝒏
Cambia el sentido de la
desigualdad.
Ejemplos
1
3
𝑥
<
1
3
6
↔ 𝑥 > 6⍟
2
5
𝑥
≥
8
125
↔ 𝑥 ≤ 3
⍟
2
5
𝑥
≥
2
5
3
⍟ 𝑥 ≤ 2 ↔
1
4
𝑥
≥
1
4
2
⍟ 𝑥 > 4 ↔
1
𝑒
𝑥
<
1
𝑒
4
𝟎 <
Importante
La función exponencial
es INYECTIVA.
ECUACIÓN EXPONENCIAL 
Son las ecuaciones donde la incógnita se encuentra
en el exponente.
Ejemplos
Resuelva la ecuación siguiente
Halle la o las soluciones de 
𝟐 𝒙
𝟐−𝟔 = 𝟐
𝒙𝟐−𝟔 +𝟑
2 𝑥
2−6 = 2
𝑥2−6 +3
2
𝑥2 − 6 =
𝑥2 − 6 + 3
2
2 𝑥2 − 6 = 𝑥2 − 6 + 3
𝑥2 − 6 = 3
𝑥2 − 6 = 3 ∨ 𝑥2 −6 = −3
𝑥2 = 9
𝑥 = ±3
∨ 𝑥2= 3
∨ 𝑥 = ± 3
CS = 3;−3; 3;− 3
𝟗𝒙 − 𝟑𝒙+𝟏 = 𝟓𝟒
9𝑥 − 3𝑥+1 − 54 = 0
32 𝑥− 3𝑥 . 3 − 54 = 0
𝟑2𝒙 − 3. 𝟑𝒙 − 54 = 0
𝟑𝒙 −𝟗
𝟔𝟑𝒙
3𝑥 − 9 3𝑥 + 6 = 0
3𝑥 − 9 = 0 ∨ 3𝑥+6 = 0
3𝑥 = 9
𝑥 = 2
∨ 3𝑥= −6
NO HAY 
SOLUCIÓN
INECUACIÓN EXPONENCIAL 
Son las inecuaciones donde la incógnita
se encuentra en el exponente.
Ejemplos
Resuelva 4 𝑥 +12 > 64 𝑥
4 𝑥 +12 > 43 𝑥
𝑥 + 12 > 3 𝑥
12 > 2 𝑥
6 > 𝑥
𝑥 < 6
−6 < 𝑥 < 6
CS = −6; 6
1
2
𝑥2−15
≤
1
2
2𝑥
Resuelva
𝟎 <
𝟏
𝟐
< 𝟏
𝑥2 − 15 ≥ 2𝑥
𝑥2 − 2𝑥 − 15 ≥ 0
𝒙
𝒙
𝟑
−𝟓
𝑥 + 3 𝑥 − 5 ≥ 0
Puntos críticos: −3; 5
−𝟑 𝟓 +∞−∞
CS = ⟨−∞;−3] ∪ [5; +∞⟩
Determine el rango de la función 
𝑓 𝑥 =
1
2
3𝑥
; 𝑥 ∈ ⟨−3; 2]
Como 𝑥 ∈ ⟨−3; 2]
−3 < 𝑥 ≤ 2
−3 < 𝑥 ≤ 2
𝟑 𝟑 𝟑
𝟑−3 < 𝟑𝑥 ≤ 𝟑2
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟑−3
>
𝟏
𝟐
𝟑𝑥
≥
𝟏
𝟐
𝟑2
𝟏
𝟐
1
27
> 𝑓 𝑥 ≥
𝟏
𝟐
9
Ran𝑓 = 1
2
9
;
1
2
1
27
FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
Regla de correspondencia 
𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒙 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝒃 > 𝟎 ∧ 𝒃 ≠ 𝟏
Ejemplos
⧆ 𝑓 𝑥 = log4𝑥 ⧆ 𝑔 𝑥 = log1
3
𝑥
Importante
∧ Ran𝒇 = ℝDom𝒇 = ℝ+
Gráfica de la función 
𝐈. 𝐒𝐢 𝒃 > 𝟏 𝐘
𝑿
Función
creciente 
𝟏
(𝟏; 𝟎)
𝒚 = 𝒙
𝐥𝐨𝐠𝒃𝒙
𝟎
(𝟎; 𝟏)
𝒃𝒙
Ejemplo
𝑓 𝑥 = log2𝑥
𝐘
𝑿𝟏
(𝟏; 𝟎)
𝟎 𝟖
𝟑
(𝟖; 𝟑)
Propiedad 1
𝐥𝐨𝐠𝒃𝑴 < 𝐥𝐨𝐠𝒃𝑵 ↔ 𝑴 < 𝑵
No cambia el sentido de
la desigualdad.
Ejemplos
𝑥 < 6 log7𝑥 < log76 ↔
 log3𝑥 ≥ 4
log3𝑥 ≥ log381 ↔ 𝑥 ≥ 81
 𝑥 ≤ 5 ↔ log2𝑥 ≤ log25
𝐈𝐈. 𝐒𝐢 𝟎 < 𝒃 < 𝟏
𝐘
𝑿
Función
decreciente 
𝟎 𝟏 (𝟏; 𝟎)
𝒚 = 𝒙
𝐥𝐨𝐠𝒃𝒙
𝒃𝒙
(𝟎; 𝟏)
𝟏
Ejemplo
𝑔 𝑥 = log1
2
𝑥
𝐘
𝑿𝟎 𝟏
(𝟏; 𝟎) 𝟖
−𝟑
(𝟖;−𝟑)
Propiedad 2
𝐥𝐨𝐠𝒃𝑴 < 𝐥𝐨𝐠𝒃𝑵 ↔ 𝑴 > 𝑵
Cambia el sentido de la
desigualdad.
Ejemplos
𝑥 > 5 log1
4
𝑥 < log1
4
5 ↔
𝑥 ≤ 10 log1
π
𝑥 ≥ log1
π
10 ↔
 𝑥 > 16 ↔ log1
2
𝑥 < log1
2
16
log1
2
𝑥 < −4
Importante
La función logarítmica
es INYECTIVA.
Importante
La función exponencial es la función inversa
de la logarítmica y viceversa.
ECUACIÓN LOGARÍTMICA 
Es aquella ecuación donde la incógnita se encuentra afectado por 
el logaritmo.
Propiedades
log5 12 = log5 3 + log5 4 log2 7/2 = log2 7 − log2 2 log35 7
2 =
2
5
log3 7
log7 3 =
log2 3
log2 7
log5 3 × log3 7 = log5 7 7log7 8 = 8
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑨𝑪 = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑨 + 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑪 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑨/𝑪 = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑨 − 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑪 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒎 𝑨
𝒏 =
𝒏
𝒎
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑨
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑨 =
𝐥𝐨𝐠𝒄 𝑨
𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒃
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑨 × 𝐥𝐨𝐠𝑨 𝑪 = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑪 𝒃𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑨 = 𝑨
Ejemplo
Resuelva log𝑥 6 − 𝑥 = 2
𝐥𝐨𝐠𝒙 𝟔 − 𝒙 existe en reales ↔ 𝑥 > 0 ∧ 𝑥 ≠ 1 ∧ 6 − 𝑥 > 0
𝒙 ∈ 𝟎; 𝟔 − 𝟏
6 > 𝑥
𝑥 < 6
De la definición de logaritmos, se tiene: 
log𝑥 6 − 𝑥 = 2
𝑥2 = 6 − 𝑥
𝑥2+ 𝑥 − 6 = 0
𝑥 + 3 𝑥 − 2 = 0
𝒙 = −𝟑 ∨ 𝒙 = 𝟐
𝐏𝐞𝐫𝐨 𝒙 ∈ 𝟎; 𝟔 − 𝟏
CS = {2}
𝒙 = 𝟐
INECUACIÓN LOGARÍTMICA 
Es aquella inecuación donde la incógnita se encuentra
afectado por el logaritmo.
Ejemplo
Resuelva log1
3
2𝑥 − 1 > −1
𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟑
𝟐𝒙− 𝟏 existe en los ℝ ↔ 2𝑥 − 1 > 0 ↔ 𝑥 >
1
2
La base es 
𝟏
𝟑
, menor a uno, el sentido de la desigualdad si 
cambia
log1
3
2𝑥 − 1 > −1
log1
3
2𝑥 − 1 > 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟑
𝟑
2𝑥 − 1 < 3
𝑥 < 2
Intersectando los intervalos obtenidos
𝟏
𝟐
+∞−∞ 𝟐
CS =
1
2
; 2
www.a c adem ia c e sa r v a l l e j o . e du . p e