Semestral Uni - Aritmética semana 11

Vista previa del material en texto

COMBINACIÓN-PROBABILIDADES
- Combinación y propiedades
- Definición clásica de Probabilidades
- Función de Probabilidad
- Esperanza Matemática
ARITMÉTICA – SEM 11
Objetivos
• Recordar y aplicar el concepto de Combinación y
sus propiedades.
• Definir el concepto de probabilidad y aplicarlo en
la solución de problemas.
• Recordar la Función de probabilidad y el concepto
de Esperanza matemática.
Introducción
La historia de la probabilidad comienza en el
siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise Pascal tratan de
resolver algunos problemas relacionados con los juegos
de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando
Cardano escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de
Azar.
La teoría de probabilidades se ocupa de
asignar un cierto número a cada posible resultado que
pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de
cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más
probable que otro.
En el presente capítulo resolveremos
situaciones como las mostradas a continuación:
TÉCNICAS DE CONTEO
COMBINACIÓN
Consiste en agrupar todos o parte de los elementos (u
objetos) de un conjunto, es decir en una combinación,
siempre INTERESA EL GRUPO (no interesa el orden de los
objetos o elementos).
C r
n =
n!
n−r !×r! 0 ≤ r ≤ n
Además se cumple:
El número de combinaciones de n objetos distintos
tomados de r en r se simboliza como C(n; r) ; Cr
n ;
n
r
y
se calcula como:
EJEMPLO 
De un grupo de 7 personas, ¿de cuántas maneras se
puede formar un comité de 3 integrantes?
Como se buscan comités de 3 integrantes, o grupos de 3
integrantes, el orden no tiene ninguna influencia, entonces:
=N° comités C 7
3
=
7!
4! 3!×
= 35
PROPIEDADES 
Cr
n = Cn −r
n1.
EJEMPLOS
∗ C8
9= C1
9∗ C2
5= C3
5
C0
n+C1
n + C2
n + C3
n + . . . +Cn
n = 2n
EJEMPLOS
∗ C0
3+C1
3 + C2
3 + C3
3 =
2.
∗ C0
8+C1
8 + C2
8 + C3
8 + . . . +C8
8 = 28
23
APLICACIÓN 1
RESOLUCIÓN
Debido a la pandemia actual, el Director de una clínica en
Lima decide enviar a su filial de Piura a 5 de sus mejores
practicantes de enfermería, los cuales serán elegidos de
un grupo de 4 enfermeras y 5 enfermeros. De cuantas
maneras lo podrá realizar……
1. … sin restricciones.
2. … si deben asistir 3 enfermeras y 2 enfermeros.
3. … si deben asistir al menos 3 enfermeras.
4. … si deben asistir un grupo mixto.
5. … si deben asistir a lo mas 2 enfermeras.
6. … si 2 enfermeras en particular no pueden asistir juntas.
1. … sin restricciones.
Se dispone de:
4 enfermeras y
5 enfermeros
Se escogerán a 
3 enfermeras y 
2 enfermeros 
N° MAN. = C5
9 = 126
2. … si deben asistir 3 enfermeras y 2 enfermeros.
Se dispone de 
9 personas:
4 enfermeras y
5 enfermeros
Se escogerán 
a 5 personas
N° MAN. =C3
4 4 x 10 = 40
=
9!
9−5 !5!
x C2
5 =
3. … si deben asistir al menos 3 enfermeras.
Se dispone de:
4 enfermeras y
5 enfermeros
Se escogerán a al 
menos una mujer 
y al menos un 
varón
N° MAN. = C3
4xC2
5 = 45
4. … si deben asistir un grupo mixto.
Se dispone de:
4 enfermeras y
5 enfermeros
Se escogerán a 
5 personas 
(3M2V o 4M1V)
N° MAN. = C5
9 = 126 – 1 = 125
C4
4xC1
5+
C5
5-
5. … si deben asistir a lo mas 2 enfermeras.
N° MAN. = C0
4xC5
5 = 81
Se dispone de:
4 enfermeras y
5 enfermeros
Se escogerán a 5 
personas (0M5V o 
1M4V o 2M3V)
C1
4xC4
5+ + C2
4xC3
5
Se dispone de:
4 enfermeras y
5 enfermeros
6 … si 2 enfermeras en particular no pueden asistir juntas.
N° MAN. = C5
9 = 126 – 1 x 35 = 91C2
2-
M1 ;M2 ; M3 ; M4 ;
No pueden estar juntas
x C3
7
V1 ; V2 ; V3 ;
V4 ; V5 
PROBABILIDADES
CONCEPTOS PREVIOS
EXPERIMENTO ALEATORIO ( Ꜫ )
Es todo acontecimiento, cuyo resultado no se puede
predecir, pero si se puede conocer previamente todos los
resultados posibles.
EJEMPLOS:
Ꜫ1 : Lanzar un dado y observar su lado superior
Ꜫ2 : Escoger una carta de una baraja de 52 cartas y 
observar el lado superior
ESPACIO MUESTRAL ( Ω )
Es aquel conjunto cuyos elementos son todos los
resultados posibles, de un experimento aleatorio.
EJEMPLOS:
Ω 1 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
Ω 2 = {AT ; . . . ; KT ; AE ; . . . ; KE ; AC ; . . . ; KC ; AD ; . . . ; KD }
EVENTO ( A ; B ; C ; . . . )
Es cualquier subconjunto de un Espacio muestral (Ω) ,
asociado a un experimento aleatorio (Ꜫ)
EJEMPLO:
A : Obtener un valor mayor a 1 A = { 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }→
B : Obtener un “AS” → B = {AT ; AE ; AC ; AD}
NOTA:
❖ Se llama SUCESO, a cada elemento de un evento.
❖ Se llama EVENTO IMPOSIBLE a aquel evento que
nunca va a ocurrir.
❖ Se llama EVENTO SEGURO a aquel evento que siempre
va a ocurrir.
❖ Debido a que un EVENTO es un conjunto, se podrán
realizar operaciones, tales como la UNIÓN,
INTERSECCIÓN, DIFERENCIA, etc.
M : Obtuvieron un puntaje mayor a 7
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.
Sean A y B dos eventos de un cierto experimento
aleatorio; se dice que estos eventos son mutuamente
excluyentes si no pueden ocurrir a la vez , es decir:
A ∩ B = ∅
EJEMPLOS:
Se toma un test sobre 10 puntos:
M = { 8 ; 9 ; 10 }
𝐍 : Obtuvieron un puntaje menor a 6
𝐍 = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
Como : M ∩ N= ∅
M y N son mutuamente excluyentes
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
Fue planteada por el matemático LAPLACE. Plantea que,
dado un evento A, asociado a un experimento aleatorio Ꜫ,
de espacio muestral Ω, cuyos sucesos son equiprobables.
Entonces la probabilidad que ocurra el evento A, está
determinado por:
P A =
n(A)
n(Ω)
=
N° de casos favorables
N° de casos Totales
APLICACIÓN 2
Un profesor le pide a su alumno que escriba en la pizarra
un número de tres cifras. Halle la probabilidad de que
escriba los siguientes números:
1. Doscientos treinta y cuatro.
2. Un número impar.
3. Un número par que empieza en tres.
RESOLUCIÓN
Ꜫ : Escribir un número de tres cifras
n(Ω) = 900Ω = { 100 ; 101 ; 102 ; . . . ; 997 ; 998 ; 999 }
Hallando cada evento:
Se tiene el experimento aleatorio
Se tiene el espacio muestral:
P A =
n(A)
n(Ω)
1. A : Se escribe el número 234
P A =
1
900
A = { 234 } n(A) = 1
P B =
n(B)
n(Ω)
2. B : Se escribe un número impar
P B =
450
900
B = { 101 ; 103 ; 105; . . . 997 ; 999 } n(B) = 450
=
1
2
P C =
n(C)
n(Ω)
3. C : Se escribe un número par que empieza en 3
P C =
50
900
C = { 300 ; 302 ; 304 ; . . . ; 396 ; 398 } n(C) = 50
=
1
18
PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES.
1. Para un solo evento A se cumple:
0 ≤ P[A] ≤ 1a) P[A'] = 1 - P[A]b)
2. Para dos eventos A y B se cumple:
P[AUB] = P[A] + P[B] - P[A ꓵ B]
a) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes se
cumple:
P[AUB] = P[A] + P[B]
b) Si A y B son eventos independientes, se cumple:
P[AUB] = P[A] + P[B] − P[A] P[B]
P[A ꓵ B] = P[A] P[B]
Luego se cumple:
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Definiremos esta probabilidad cuando exista un evento A,
que ocurre condicionado a que haya ocurrido
previamente otro evento B y lo denotaremos P 𝐀/𝐁
P A/B =
P AꓵB
P B
Probabilidad de que ocurra A dado que ha
ocurrido B
Se lee: 
=
n(AꓵB)
n(B)
; P[B] ≠ 0
APLICACIÓN 3
La probabilidad de que haya un temblor en Chile es 0,8 y
la probabilidad de que haya un temblor en Perú, dado que
hubo uno en Chile es 0,4. determine la probabilidad de
que sucedan ambos eventos. (UNI 2016 – I)
A)0,12 B)0,32 C)0,36
D)0,40 E)0,68
RESOLUCIÓN
Del enunciado consideraremos:
• Probabilidad de que haya un temblor en Chile: P Ch
• Probabilidad de que haya un temblor en Perú, dado que 
hubo en Chile: P P/Ch
Probabilidad de que haya un temblor en Perú y Chile, 
es decir: P P ∩ Ch
Se tienen los datos:
Por probabilidad condicional tenemos:
P P/Ch =
P[P ∩ Ch]
P[Ch]
0,4
0,8
∴ P P ∩ Ch = 0,32
Piden:
P P/Ch = 0,4
P Ch = 0,8
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
La probabilidad P es una función cuyo dominio es P(Ω)
y su rango es el intervalo de números reales 0 ; 1 , es
decir:
P : P(Ω) 0 ; 1
VARIABLE ALEATORIA
Es una función que asigna un valor numérico, al
resultado de un experimento aleatorio.
EJEMPLO:
Sea el experimento aleatorio, lanzar una moneda tres
veces. Sea la variable aleatoria X = número de caras
obtenidas
X( 0 caras) = 1
X(1 caras) = 3
X( 2 caras) = 3
X( 3 caras) = 1
{ SSS }
{ SSC ; SCS ; CSS }
{ CCS ; CSC ; SCC }
{ CCC }
X = x X = 0 X = 1 X = 2 X = 3
P[X] 
1
8
3
8
1
8
3
8
Se cumple:
a. P [X = 0] =
1
8
b. P [X ≤ 1] = P [X = 0] + P [X = 1] =
1
8
+
3
8
=
4
8
c. ෍
X=0
x=3
P[X] =
1
8
+
3
8
+
3
8
+
1
8
= 1
PROPIEDAD:
෍
i= 1
n
P[X =Xi ] = 1
Se genera el siguiente cuadro:
ESPERANZA MATEMÁTICA
La esperanza matemática de una variable aleatoria X es
el número que expresa el valor medio del fenómeno que
representa dicha variable. La esperanza matemática,
también llamada valor esperado, es igual a la sumatoria
de las probabilidades de que exista un suceso aleatorio,
multiplicado por el valor del suceso aleatorio:
෍
i = 1
n
xiP(xi)E(x) =
EJEMPLO:
Del cuadro anterior se tiene:
Del Ejemplo anterior, calcule cuantas caras se espera
obtener al lanzar una moneda 3 veces.
E(x) = 0x
1
8
+ 1x
3
8
+ 2x
3
8
+ 3x
1
8
E(x) =
0 + 3 + 6 + 3
8
→ E(x) =1,5
Se espera obtener una o dos caras al lanzar una
moneda tres veces
PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA
1. E(c) = 0
Sean X e Y dos variables aleatorias y sea c una
constante; se cumple
E(c.X) = c.E(X)2.
3. + E(X + Y) = E(X) + E(Y)
4. SI X e Y son independientes, se cumple:
+ E(X.Y) = E(X) . E(Y)
BIBLIOGRAFÍA
❑ Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética. Análisis razonado del número y sus
aplicaciones. Lumbreras Editores, 2020.
❑ Asociación Fondo de Investigadores y
Editores. Aritmética: Colección compendio
académico UNI. Lumbreras Editores, 2018.
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe