Semestral Uni - Geometría semana 07

Vista previa del material en texto

PROPORCIONALIDAD DE 
SEGMENTOS. 
GEOMETRÍA 
SEMANA 07 
OBJETIVOS
1 Establecer un criterio adecuado para la relación de magnitudesdirectamente proporcionales trabajando en figuras geométricas.
3 Aprovechar algunos resultados de este tema para poder establecer laconcurrencia de figuras o la colinealidad de puntos, principalmente.
2 Reconocer e identificar las características en preguntas relacionadasa exámenes de admisión de la U.N.I. respecto a este capítulo.
PROPORCIONALIDAD
Como sabemos el arte clásico griego no
es otra cosa más que la aplicación de la
matemática basado en principios de armonía,
perfección y belleza. Así se hace notar en el
“Doríforo” obra del escultor griego Policleto que
muestra que aquel cuerpo que es simétricamente
proporcional es el más bello. Por ejemplo la
estatura de un cuerpo debía de ser siete veces la
cabeza del mismo, es evidente el uso de
comparaciones matemáticas en este proceso.
Las relaciones de comparación son muy frecuentes
y necesarias en nuestras vidas, por ejemplo las
usamos al obtener cualquier medida, de allí la
importancia de definir la comparación de dos
números como una razón.
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS.
Definimos, como razón de dos segmentos, a la comparación entre sus longitudes.
C D
Razón definida por los segmentos AB
y CD es: 
𝒂
𝒃
ó 
𝒃
𝒂
Razón definida por los segmentos PQ
y MN es: 
𝒎
𝒏
ó 
𝒏
𝒎
A B P Q
M N
𝒂
𝒃
𝒎
𝒏
Si dos segmentos tienen igual razón que otros dos, entonces decimos que los 
dos primeros son proporcionales a los dos últimos.
Nota:
TEOREMA DE THALES.
𝐿2𝐿1
𝒂
𝒃
𝒙
𝒚
𝐿4
𝐿3
𝐿5
Si L3 // L4 // L5
𝒂
𝒃
=
𝒙
𝒚
𝒂+𝒃
𝒃
=
𝒙+𝒚
𝒚
Se cumple:
Si dos rectas son intersecadas por tres o más rectas paralelas entonces estas últimas determinan segmentos proporcionales sobre 
las dos rectas dadas respectivamente.
COROLARIO 1
A
B
C
P Q
𝒂
𝒃
𝒂
𝒃
= 
𝒎
𝒏
𝒎
𝒏
Si trazamos 
PQ // AC:
Es posible aplicarlo usando
únicamente dos rectas 
paralelas.
COROLARIO 2
Es posible aplicarlo usando
únicamente dos rectas 
paralelas.
A
B
C
PQ
Si trazamos 
PQ // AC:
𝒂
𝒃
=
𝒙
𝒚
𝒂
𝒃
𝒙
𝒚
NOTA
El teorema de Thales no es recíproco
pero sus corolarios sí lo son.
UNI 2018-II
En la figura, determine PO ( en cm ), tal que 𝑃𝐶 es la 
bisectriz interior en el triángulo BPN; m∢BNO = m∢ROP;
AP=4cm y ON=3cm.
𝐴) 2𝑐𝑚 B) 4𝑐𝑚 C) 6𝑐𝑚
D) 8𝑐𝑚 E) 10𝑐𝑚
R
A
P
NC
O
B
Resolución
Piden: PO= 𝒙
R
A
P
NC
O
B
α α
𝜭
𝜭
𝟒
𝟑
• ∆CPN : Por corolario 
𝒎
𝒏
𝒎
𝒏
= 
𝒙
𝟑
𝒙
• Por teorema de la bisectriz
de un ángulo:
• Trazamos RH ⊥ PO
H
PA = PH = 𝟒
𝟒
𝒙-𝟒
• ∆CPO : Por corolario 
𝒎
𝒏
= 
𝟒
𝒙−𝟒
• Luego : 
𝒙
𝟑
= 
𝟒
𝒙−𝟒
∴ 𝒙 = 𝟔𝒄𝒎 Clave 𝑪
ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL COROLARIO.
En circunferencias 
tangentes interiores. 
𝒂
𝒃
𝒙
𝒚
𝒂
𝒃
= 
𝒙
𝒚
Se cumple:
En circunferencias 
tangentes Exteriores. 
𝒂
𝒃
𝒙
𝒚
Se cumple:
𝒂
𝒃
= 
𝒙
𝒚
Respecto al 
baricentro .
𝒂
𝒃
𝒎
𝒏
Si G es baricentro 
del ∆ABC
𝒂
𝒃
+ 
𝒎
𝒏
= 1
A
B
C
G
Se cumple
T
Si T es punto de tangencia
Si T es punto 
de tangencia
T
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO RESPECTO A UN PUNTO.
Si sobre un segmento dado, o en su prolongación, ubicamos un punto, decimos que este punto determina 
una razón en dicho segmento.
DIVISIÓN INTERNA.
A BP
𝒂 𝒃
Razón interna determinada por 
P en el segmento AB :
𝒂
𝒃
DIVISIÓN EXTERNA.
A B Q
𝒎
𝒏
Razón externa determinada 
por Q en el segmento AB :
𝒎
𝒏
DIVISIÓN ARMÓNICA.
P y Q dividen armónicamente a un segmento si lo
dividen interna y externamente en una misma 
razón :
A BP Q
𝒂 𝒃
𝒎
𝒏
Si:
𝒂
𝒃
= 
𝒎
𝒏
P y Q dividen armónicamente
a 𝑨𝑩
Nota: A,P,B y Q son puntos armónicos.
P ∈ 𝐴𝐵 Q ∈ a la prolongacion de 𝐴𝐵
Se dice también que A,P,B y Q forman una cuaterna armónica.
Recuerda:
PROPORCIÓN DETERMINADA POR BISECTRICES.
TEOREMA
DE LA BISECTRIZ INTERIOR.
A
B
CP
Si BP es bisectriz
𝒂
𝒃
= 
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝒂 𝒃
𝜃
𝜃
TEOREMA
DE LA BISECTRIZ EXTERIOR.
𝜽
𝜽
Q
Si BQ es bisectriz
𝒎
𝒏
= 
𝒙
𝒚
A
B
C
𝒎
𝒏
TEOREMA
DEL INCENTRO.
A
B
CP
𝜽 𝜽
Si I es incentro 
Del ∆ABC
I
𝒙
𝒚
𝒂 𝒃
𝒄
𝒙
𝒚
=
TEOREMA
DEL EXCENTRO.
A
B
CP
Si E es excentro 
del ∆ABC
𝜽 𝜽
E
𝒙
𝒚
𝒂 𝒃
𝒄
𝒙
𝒚
=
𝒂+𝒃
𝒄
𝒂+𝒃
𝒄
RECORDAR:
𝛼
𝛼
𝜃
𝜃
𝒂 𝒃 𝒄A B C D
𝒅
𝒂
𝒃
= 
𝒅
𝒄
ó 𝒂. 𝒄 = 𝒃. 𝒅
𝒚
𝒙
𝟒𝟓°
𝟒𝟓°
UNI 2008-I
En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la 
bisectriz interior BD. Por D se levanta una perpendicular
al segmento AC que interseca a 𝐵𝐶 en M. Si AD=30cm y 
DC=40cm, entonces la medida del perímetro del triángulo 
BMD en centímetros es:
𝐴) 30 + 24 2 B)32 + 24 2 C)34 + 24 2
D)35 + 24 2 E)36 + 24 2
Resolución
A
B
CD
M
30 40
Piden: 2 p∆BMD
• Por teorema de la bisectriz
interior:
𝐴𝐵
𝐵𝐶
= 
𝟑
𝟒
𝟑𝒌
𝟑𝟕°
• Trazamos DH ⊥ BC
H
𝟐𝟒
𝟐𝟒 𝟐
✓ En el ∆BHD: BD=𝟐𝟒 𝟐
37°
✓ En el ∆DMH: MH=𝟏𝟖
𝟏𝟖
; luego: BM=𝟔
𝟔
• Ahora aprovecharemos
los triángulos notables:
✓ En el ∆MHD: MD=𝟑𝟎
𝟑𝟎
• Luego : 2 p∆BMD= 𝟑𝟎+𝟔+𝟐𝟒 𝟐
∴ 2 𝐩∆𝑩𝑴𝑫 = 𝟑𝟔 + 𝟐𝟒 𝟐
Clave 𝑬
✓ En el ∆DHC: DH=𝟐𝟒
UNI 1994-I
En una circunferencia se inscribe el triángulo ABC. La 
recta mediatriz del segmento 𝐴𝐶 interseca a la circun-
ferencia en el punto M. La proplongación del 𝑀𝐵 inter-
seca a la prolongación del lado 𝐴𝐶 en el punto Q.
Si AB=c, BC=a, AC =b y AB>BC; calcular la longitud del 
segmento 𝐶𝑄.
𝐴)
bc
b − a
B)
bc
b−a
C)
ab
c−a
D)
ab
a+c
E)
bc
c−a
Resolución
A
B
C
M
Q
𝒂
𝒃
𝒙
Piden: 𝒙
• Debido a la mediatriz: 
m ෢𝐴𝑀= m ෢𝑀𝐶
𝟐𝜶
= 𝟐𝜶
• Por ángulo inscrito:
𝑚∡𝑀𝐵𝐴= 𝜶
OBSERVACIÓN
• Por ángulo exinscrito:
𝑚∡𝐶𝐵𝑄= 𝜶
𝜶
𝜶
𝜶
• Teorema de la bisectriz exterior:
𝑐
𝑎
= 
𝑏+𝑥
𝒙
𝑐𝑥 = 𝑎𝑏+ 𝑎𝑥
𝑥(𝑐-𝑎) = 𝑎𝑏
∴ 𝒙 =
𝒂𝒃
𝒄 − 𝒂
Clave 𝑪
𝟐𝜶
A
B
C
A
B
C
A
B
C
TEOREMA DE MENELAO.
𝒓
P
Q
R
se cumple:
𝒂. 𝒃. 𝒄 = 𝒎.𝒏. 𝒓
𝒂
𝒃
𝒎
𝒏
𝒄
Si se traza una recta 
secantes a los lados.
TEOREMA DE CEVA.
P Q
se cumple:
𝒂. 𝒃. 𝒄 = 𝒙. 𝒚. 𝒛
𝒂
𝒃𝒙
𝒚
Si se trazan cevianas 
concurrentes.
R 𝒄𝒛
TEOREMAS. 
TEOREMA DE VAN AUBEL.
R
Q
P
a
b
𝒎
𝒏
se cumple:
𝒙
𝒚
= 
𝒂
𝒃
+ 
𝒎
𝒏
Demostración
𝒙
𝒚
• Por teorema de Menelao
𝑏. 𝑥.(RC)= 𝑎. 𝑦.(AC)∆ABR:
∆CBR: 𝑛. 𝒙.(AR) = 𝑚.𝒚.(AC)
𝒙.(𝑅𝐶)
𝒚.(𝐴𝐶)
=
𝑎
𝑏
……….(I)
𝒙.(𝐴𝑅)
𝒚.(𝐴𝐶)
= 
𝑚
𝑛
……….(II)
• De (I) + (II)
∴
𝒙
𝒚
=
𝑎
𝑏
+ 
𝑚
𝑛
RECORDAR:
A
B
C
QP
Si PQ // AC
M𝒂 𝒃
se cumple:
𝒂 = 𝒃
SUGERENCIAS 
ADICIONALES
Recomendaciones a situaciones frecuentes
Tener presente:
En la siguiente 
figura:
Se recomienda 
prolongar PQ y 
AC
T
A
B
C𝒂 𝒃
P
Q
R
A
B
C𝒂 𝒃
P
Q
R 𝒄
A,R,C y T forman una cuaterna 
armónica.
𝒅
𝒂
𝒃
= 
𝒅
𝒄
ó 𝒂. 𝒄 = 𝒃. 𝒅
También:
Se recomienda 
prolongar PQ y 
AC
T
Luego: 
A,R,C y T forman una cuaterna 
armónica.
𝒂 𝒃 𝒄
𝒅
𝒂. 𝒄 = 𝒃. 𝒅
Si P ,Q y R son puntos de tangencia:
También: Tener en cuenta:
Si P y Q son puntos de tangencia:
P
Q
A
R
C
T
A
P
Q
CR
Si A,B,C y D forman una cuaterna 
armónica.
𝜶 = 𝜷
A,R,C y T forman una cuaterna 
armónica.
𝜷
𝜶𝜽𝜽
A B C D
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e