Semestral Uni - Geometría semana 11

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ÁREA DE REGIONES 
TRIANGULARES 
GEOMETRÍA 
SEMANA 11 
3
OBJETIVOS
1
2
Conocer los diferentes teoremas más usuales para calcular el
área de una región triangular.
Reconocer los teoremas para calcular la razón de áreas de
dos o más regiones triangulares.
Aplicar lo aprendido en la resolución de problemas tipo
examen de admisión.
𝑃
𝑄𝑅
El área de una región triangular es igual al
semiproducto entre la longitud de uno de sus
lados con la longitud de la altura relativa a dicho
lado.
Área de la región triangular ABC
𝐶𝐴
𝐵
𝑏
𝐻
h
Se cumple:
𝔸𝑨𝑩𝑪 =
𝒃 ∙ 𝒉
𝟐
𝔸𝐴𝐵𝐶 , se lee:
Donde:
𝑏
h
𝑏
h
• Veamos otras situaciones que se pueden presentar para poder aplicar 
este teorema:
𝐾𝑇
𝑆
∆𝑅𝑃𝑄: Obtusángulo
⊿𝑇𝑆𝐾: Recto en T
𝔸𝑹𝑷𝑸 =
𝒃 ∙ 𝒉
𝟐
𝔸𝑻𝑺𝑲 =
𝒃 ∙ 𝒉
𝟐
Se cumple:
Se cumple:
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
TEOREMA (Fórmula básica)
𝑅𝑃
𝑄
El área de una región triangular es igual al
semiproducto entre las longitudes de dos de sus
lados con el seno de la medida angular que éstos
determinan.
𝐶𝐴
𝐵
𝑏
𝑎
𝜙
Se cumple:
𝔸𝑨𝑩𝑪 =
𝒂 ∙ 𝒃
𝟐
(𝒔𝒆𝒏𝝓)
𝑙 𝑙
𝑙
𝛼
𝑚
𝑛
TENER EN CUENTA:
𝐿𝑀
𝑁
• Si Δ𝑀𝑁𝐿 es equilátero, 
se tiene:
𝔸𝑴𝑵𝑳 =
𝒍 ∙ 𝒍
𝟐
(𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎°)
𝔸𝑴𝑵𝑳 =
𝒍𝟐
𝟒
𝟑 (Teorema)
 3 2
• En el gráfico, se cumple:
𝔸𝑴𝑵𝑳 =
𝒎 ∙ 𝒏
𝟐
(𝒔𝒆𝒏𝜶)
ceviana
60°
Prueba:
𝜙
𝑏
𝑎
• Por fórmula básica, 
sabemos:
ℎ
A
B
C
𝔸𝑨𝑩𝑪 =
𝒃 ∙ 𝒉
𝟐
…(𝑖)
𝐻
• En el ⊿𝐴𝐵𝐻: ℎ = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜙 …(𝑖𝑖)
• Reemplazamos 𝑖𝑖 en 𝑖 :
∴ 𝔸𝐴𝐵𝐶 =
𝑎 ∙ 𝑏
2
(𝑠𝑒𝑛𝜙)
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
(Fórmula trigonométrica)TEOREMA
Se tiene un triángulo equilátero 𝐴𝐵𝐶
inscrito en una circunferencia de radio
𝑟 = 6𝑐𝑚, si 𝑀 es el punto que divide al
arco 𝐴𝐵 en partes iguales (𝑀 ≠ 𝐶) ,
entonces el área de la región triangular
𝐴𝑀𝐵 en 𝑐𝑚2 es:
𝐴) 8 3
𝐷) 11 3
𝐵) 9 3
𝐸) 12 3
𝐶) 10 3
RESOLUCIÓN
6
𝐴
𝐵
𝐶
60° 60°
60°
𝑀
Piden 𝔸𝐴𝑀𝐵
60°
60°
• Como 𝑀 es punto medio del arco 
𝐴𝐵:
→ 𝑚𝐵𝑀 = 𝑚𝑀𝐴 = 60°
• Por circunferencia, sabemos:
𝑀𝐵 = 𝑀𝐴 = 6
6
6 → 𝑚∢𝐴𝑀𝐵 = 120°
120°
• Por fórmula trigonométrica:
𝔸𝐴𝑀𝐵 =
6 ∙ 6
2
𝑠𝑒𝑛120°
 3 2
∴ 𝔸𝑨𝑴𝑩 = 𝟗 𝟑
Fórmula 
trigonométrica
• Además, como 𝐴𝑀𝐵𝐶 es
inscrito
EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2013-II
 Cálculo del área en función a la longitud del inradio.
 Cálculo del área en función a la longitud del circunradio.
 Cálculo del área en 
función a la 
longitud del 
exradio.
𝐶𝐴
𝐵
𝑟
𝑏
𝑐 𝑎
Se cumple:
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒑 ∙ 𝒓
Donde:
𝑝 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
𝐶𝐴
𝐵
𝑅
Se cumple:
𝔸𝑨𝑩𝑪 =
𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄
𝟒𝑹
𝑏
𝑎𝑐
𝑎
𝑟𝑎
𝐵
𝐶𝐴
𝐶𝐴
𝐵
𝑏
𝑐 𝑎
Se cumple:
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄)(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄)
Donde: 𝑝 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒓𝒂
Donde:
Se cumple:
𝑝 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
 𝑭ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑯𝒆𝒓ó𝒏
𝑏
𝑐
(𝒑 − 𝒂)
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
TEOREMA (En función de sus radios asociados)
TEOREMA ( En función a la longitud de sus lados)
EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 1998-I
En un triángulo ABC, cuyo perímetro es 12, se
sabe que la suma de los productos de sus lados,
tomados de dos en dos, es 47 y que el radio de la
circunferencia circunscrita al triangulo tiene un
radio de 5 . Halle el valor de la siguiente
expresión:
K=𝑆𝑒𝑛2𝐴 + 𝑆𝑒𝑛2𝐵 + 𝑆𝑒𝑛2𝐶
𝐴) 2
𝐷)
3
2
𝐵) 5
𝐸) 1
𝐶)
5
2
RESOLUCIÓN
𝑐 𝑎
𝑏
= 5
𝐴 𝐶
𝐵
𝑅
𝑎 + b + c = 12 
𝑎.b + 𝑎.c + b.c = 47 
Piden K = 𝑆𝑒𝑛2𝐴 + 𝑆𝑒𝑛2𝐵 + 𝑆𝑒𝑛2𝐶
𝔸 = 
𝑎.𝑏.𝑐
4𝑅
• Sabemos que : 
→ 𝑎. 𝑏. 𝑐 = 4 5𝔸
…(𝑖)
…(𝑖𝑖)
• 𝐷𝑒 𝑖 𝑦 (𝑖𝑖)
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 50
𝔸 = 
𝑏.𝑐.𝑆𝑒𝑛𝐴
2
→ 𝑆𝑒𝑛𝐴= 
2𝔸
b.c
𝐷𝑎𝑡𝑜
𝔸 = 
𝑎.𝑐.𝑆𝑒𝑛B
2
→ 𝑆𝑒𝑛B= 
2𝔸
𝑎.c
𝔸 = 
𝑎.b.𝑆𝑒𝑛C
2
→ 𝑆𝑒𝑛C= 
2𝔸
𝑎.b
• Reemplazando en K
K= (
2𝔸
b.c
)2+(
2𝔸
𝑎.c
)2+(
2𝔸
𝑎.b
)2 = 4𝔸2
(𝑎2+𝑏2+𝑐2)
(𝑎.𝑏.𝑐)2
K=4𝔸2
(50)
(4 5𝔸)2 ∴ K =
𝟓
𝟐
𝐶𝐴
𝐵
𝑅
𝔸𝑨𝑩𝑪 =
𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄
𝟒𝑹
𝑐 𝑎
𝑏
𝐶𝐴
𝐵
𝜽
𝑚 𝑛
⊙ 𝐼𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑎
Se cumple:
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒎 ∙ 𝒏 ∙ 𝒄𝒐𝒕
𝜽
𝟐
𝑚 𝑛
Caso particular, si 𝜃 = 90°
Se cumple:
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒎 ∙ 𝒏
Prueba: • Sabemos: 𝑚 = 𝑝 − 𝑎 , 𝑛 = 𝑝 − 𝑐 , 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑡
𝜃
2
= 𝑝 − 𝑏
𝑏
𝑐
𝑎
⊙𝐼𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑎
𝑦
𝑥
𝑧
𝒙 = 𝒑 − 𝒂
𝒚 = 𝒑 − 𝒄
𝒛 = 𝒑 − 𝒃
• Por fórmula de Herón:
𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)
Reemplazamos:
• También: 𝔸𝐴𝐵𝐶 = 𝑝 ∙ 𝑟 … (𝑖𝑖)
𝔸𝐴𝐵𝐶 = 𝑚 ∙ 𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑡
𝜃
2
𝔸𝐴𝐵𝐶 = 𝑝 ∙ 𝑚 ∙ (𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑡
𝜃
2
) ∙ 𝑛 …(𝑖)
𝔸𝐴𝐵𝐶 = 𝑝 ∙ 𝑟 ∙ 𝑚 ∙ 𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑡
𝜃
2
Elevamos al
cuadrado
𝑝 es el semiperímetro
𝔸𝐴𝐵𝐶
2 = 𝔸𝐴𝐵𝐶 ∙ 𝑚 ∙ 𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑡
𝜃
2
𝐶𝐴
𝐵
𝜽
𝑚 𝑛
𝑟𝑟
𝜃
2
𝑏
𝑐 𝑎
Donde:
• Reemplazando 𝑖𝑖 𝑦 𝑖 :
𝔸𝑨𝑩𝑪 =
𝔸𝐴𝐵𝐶
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
TEOREMAS ADICIONALES
𝐶𝐴
𝐵
 Teorema de Burlet.
EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 1978
Calcular el área del triángulo rectángulo. Si
la circunferencia inscrita determina sobre la
hipotenusa, dos segmentos de 4m y 6m,
respectivamente.
𝐴) 48 𝑚2
𝐷) 24 𝑚2
𝐵) 36 𝑚2
𝐸) 16 𝑚2
𝐶) 20𝑚2
𝑚 𝑛
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒎 ∙ 𝒏
𝐶𝐴
𝐵
RESOLUCIÓN
4 6
Piden 𝔸⊿
• Del gráfico, el área del triángulo rectángulo:
Teorema de 
Burlet
𝔸⊿ = 𝟒(𝟔)
∴ 𝔸⊿ = 𝟐𝟒
por teorema de Burlet
Ceviana
Se cumple:
𝑎 𝑏
𝑺𝟏
𝑺𝟐
=
𝒂
𝒃
Mediana 
Se cumple:
𝑎 𝑎
𝑡
𝑡
𝑙
𝑙
Base media
𝑨𝟏 = 𝑨𝟐
Se cumple:
𝑵
𝑴
=
𝟏
𝟑
Ceviana
Se cumple:
𝑎𝑏
𝑺𝟏
𝑺𝟐
=
𝒃
𝒂
Baricentro 
En ambos gráficos mostrados, las regiones triangulares determinadas son equivalentes
RELACIÓN DE ÁREAS
TEOREMAS
En el gráfico mostrado, si 𝐼 es incentro de
∆𝐵𝐴𝐶 indique la relación entre
𝑆1, 𝑆2 𝑦 𝑆3.
𝒔𝟏
𝒔𝟑
𝒔𝟐
RESOLUCIÓN
𝐼
𝐴
𝐵 𝐶
𝐸
𝐹
60°
Piden relación entre las áreas.
• Como 𝐼 es incentro:𝐵𝐹 𝑦 𝐶𝐸: son bisectrices
𝛼
𝛼
𝜃
𝜃
• Notamos que: 𝛼 + 𝜃 = 60° → 𝑚∢𝐹𝐼𝐶 = 60°
60°
𝐿
60°
• Trazamos 𝐼𝐿 (𝐿 ∈ 𝐵𝐶), tal que: 𝐹𝐶 = 𝐶𝐿
𝑎
𝑎
→ ∆𝐼𝐹𝐶 ≅ ∆𝐼𝐿𝐶 (𝐿 − 𝐴 − 𝐿)
60°60°
También: ∆𝐼𝐸𝐵 ≅ ∆𝐼𝐿𝐵 (𝐴 − 𝐿 − 𝐴)
• Por relación de áreas:
𝑆3
𝑆1
=
𝑚
𝑛
𝒎
𝒏
𝑆3 + 𝑆2
𝑆2
=
𝑚
𝑛
…(𝑖)
…(𝑖𝑖)
• Igualamos (𝑖) y (𝑖𝑖)
𝑆3
𝑆1
=
𝑆3 + 𝑆2
𝑆2
∴
𝟏
𝑺𝟏
=
𝟏
𝑺𝟐
+
𝟏
𝑺𝟑
PRACTIQUEMOS
𝐴
𝐵
𝐶
𝐹𝐷
𝐸
• Razón de áreas para regiones triangulares semejantes.
𝜙
𝜔
• En el gráfico, si 𝜔 = 𝜙 ó 𝜔 + 𝜙 = 180°
Se cumple:
𝑺𝟏
𝑺𝟐
=
𝒂 ∙ 𝒃
𝒄 ∙ 𝒅
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
Prueba: 
Por fórmula trigonométrica:
𝑺𝟏 =
𝑎 ∙ 𝑏
2
𝑠𝑒𝑛𝜔
𝑺𝟐 =
𝑐 ∙ 𝑑
2
𝑠𝑒𝑛𝜙
(÷) ∴
𝑺𝟏
𝑺𝟐
=
𝒂 ∙ 𝒃
𝒄 ∙ 𝒅
𝛼
𝛼
𝜃
𝜃
𝑏
𝑚
ℎ
𝑛
𝑅
𝑟
~
Se cumple:
𝑺𝟏
𝑺𝟐
=
𝒃𝟐
𝒎𝟐
=
𝒉𝟐
𝒏𝟐
=
𝑹𝟐
𝒓𝟐
…
La razón de áreas de
regiones semejantes es
igual a la razón de
longitudes de
elementos homólogos
elevados al cuadrado.
…(∗)
De ∗ , se tiene que: 𝑠𝑒𝑛𝜔 = 𝑠𝑒𝑛𝜙
RELACIÓN DE ÁREAS
TEOREMAS
En el gráfico el área de la región
sombreada es 9 , si 5 𝑀𝑁 = 3 𝐴𝐶 ,
calcule el área de la región 𝐴𝐵𝐶.
𝑁
𝑀
RESOLUCIÓN
𝑁
𝐴
𝐵
𝐶
𝑀
Piden 𝔸𝐴𝐵𝐶
• Del dato:
𝑀𝑁 = 3𝑎,
𝐴𝐶 = 5𝑎
3𝑎
5𝑎
• Notamos que:
𝛼
𝛼
𝜃
• Completando medidas angulares, 
tenemos que:
𝑁
𝐵
𝑀
𝛼
𝜃
3𝑎
𝐴
𝐵
𝐶
𝛼
𝜃
5𝑎
~
= 𝑆
𝑆1
𝑆2
=
𝑏2
𝑚2
• Por razón de regiones semejantes:
𝑆
9
=
5𝑎 2
3𝑎 2
=
25
9
∴ 𝑺 = 𝟐𝟓
𝐴𝑁𝑀𝐶 es un cuadrilátero 
inscriptible
PRACTIQUEMOS
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e