Semestral Uni - Geometría semana 14(1)

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GEOMETRÍA DEL ESPACIO – II
GEOMETRÍA 
SEMANA 14
3
OBJETIVOS
1 • Conocer los métodos de calculo de la distancia entre dosrectas alabeadas , la definición de ángulo diedro y planos
perpendiculares.
• Emplear lo aprendido en la resolución de problemas
tipo examen de admisión.
2
• Conocer la definición de ángulo triedro, su clasificación y
emplear los teoremas relacionados al triedro en los
problemas.
GEOMETRÍA DEL 
ESPACIO 𝑰𝑰
𝐷𝐼𝐸𝐷𝑅𝑂𝑆 𝑇𝑅𝐼𝐸𝐷𝑅𝑂𝑆
ℒ2
ℒ1
𝑀
Sean ℒ1 y ℒ2 dos rectas alabeadas, además
𝑁
𝑀𝑁 ⊥ ℒ1 y 𝑀𝑁 ⊥ ℒ2.
𝑑
Se define:
𝒅: Es la distancia entre
las rectas alabeadas.
𝑃
ℒ2
Plano de proyección
Proyección como 
punto de ℒ1
ℒ′2
Sean ℒ1 y ℒ2 alabeadas
Proyección de ℒ2
sobre el plano ℍ
ℒ1
Métodos para calcular la distancia entre dos rectas alabeadas
𝑑
𝒅: Es la distancia entre 𝓛𝟏 y 𝓛𝟐
ℒ1
ℒ2
Tener en cuenta: Si ▰ℙ ∥ ▰ℍ
 Sean ℒ1 y ℒ2 alabeadas
ℒ1 ⊂ ▰ℙ, ℒ2 ⊂ ▰ℍ
Si ▰ℙ ∥ ▰ℍ
La distancia entre ℒ1 y ℒ2 es
igual a la distancia entre los
planos.
𝒅 𝓛𝟏; 𝓛𝟐 = 𝒅 ▰ℙ; ▰ℍ
La distancia entre los planos, es
igual a la longitud del segmento
perpendicular a ambos, con sus
extremos en dichos planos.
Buscando proyecciones 
ortogonales
Método 1
Buscando planos 
paralelos
Método 2
𝑑
𝑑𝑑
𝒅: Es la distancia entre
los planos ℙ y ℍ.
𝑑 𝑑
𝑑
DISTANCIA ENTRE RECTAS ALABEADAS
ÁNGULO DIEDRO (DIEDRO)
ANGULO DIEDRO 
Es la figura geométrica formada por la unión de dos semiplanos
no coplanares que tienen la recta de origen en común.
Arista Caras
𝑁
𝑀
𝑂
ELEMENTOS
Medida del diedro
Es la medida de su ángulo
plano o rectilíneo.
NOTACIÓN
• Diedro A − 𝑃𝑄 − 𝐵
• Diedro 𝑃𝑄
𝛼: medida de A − 𝑃𝑄 − 𝐵
Ángulo plano o 
rectilíneo de un diedro
∢𝑀𝑂𝑁: Ángulo plano del
diedro A − 𝑃𝑄 − 𝐵
𝑄
𝑃
𝑅 𝐿
𝑇
Ten en cuenta que:
La medida de un diedro es constante sobre toda su arista. → 𝛼 = 𝜃
𝛽
𝑁
𝑀
𝑂
𝐿
𝑆
𝑃
TEOREMA
𝑃𝑆 ⊥ 𝔹
𝑃𝐿 ⊥ 𝔸
Punto cualquiera en la región
interior del diedro
Se cumple:
𝛼 + 𝜃 =180°
Usualmente para
ubicar la medida
de un diedro,
recurrimos al
teorema de las
tres
perpendiculares.
𝟏ª ⊥
𝟑ª ⊥
𝟐ª ⊥
TEOREMA
NOTA
Según el gráfico, 𝐴𝐵 = 2(𝐵𝐶). Calcule la
medida del ángulo diedro entre las
regiones𝐸𝐷𝐶 y 𝐸𝐴𝐶.
𝐸
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
Piden medida del diedro 
𝐴 − 𝐸𝐶 − 𝐷
𝛼: Medida del
diedro 𝐴 − 𝑃𝑄 − 𝐵
Recuerda
𝟏ª ⊥
𝟑ª ⊥
𝟐ª ⊥
• Por teorema de las tres
perpendiculares:
• 𝛼 es la medida del diedro 𝐴 − 𝐸𝐶 − 𝐷
𝑎
2𝑎
• En ⊿𝐷𝐵𝐶: 𝐷𝐵 = 𝐵𝐶= 𝑎
𝒂
• Finalmente en ⊿𝐴𝐷𝐵 notable de 30° y 60°
𝜶 = 𝟔𝟎°
PRACTIQUEMOS
Resolución:
ÁNGULO DIEDRO (DIEDRO)
PLANOS PERPENDICULARES 
𝜃
Los planos mostrados son perpendiculares.
𝑁
𝑀Si 𝐴𝐵 ⊥ 𝑀𝑁, donde 𝑀𝑁: Arista
Se cumple:
ℒ
Si ിℒ ⊥
En el gráfico: Si 𝜃 = 90°
Entonces:
𝐴 𝐵⊥
𝐴𝐵 𝑃⊥
𝐵
𝐴
Entonces: 𝒙 = 𝒚 = 𝟗𝟎°
𝑃
𝑄 ിℒ⊂
Entonces:
𝑄 𝑃⊥
𝑆
Tener en cuenta: 
𝐿
Si 𝑆𝐿 ⊥ ▰𝑃 𝑑
es la distancia de 
𝑺 al plano 𝑷.
→ 𝒅:
TEOREMAS
Son aquellos planos secantes, cuyo diedro que forman mide 90°
Según el gráfico, los triángulos
equiláteros 𝐴𝐵𝐶 y 𝐴𝐷𝐶 se encuentran
en planos perpendiculares. Calcule 𝛼
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
𝑁
𝑀
Sean ▰𝑃 ⊥ ▰𝑄
Ten presente:
Nos piden 𝛼
𝐿
Del dato:
Como 𝐷𝐿 ⊥ 𝐴𝐶
→ 𝐷𝐿 ⊥▲ 𝐴𝐵𝐶
• Luego trazamos 𝐿𝐵
→ 𝑚∢𝐷𝐿𝐵 = 90°
• Podemos notar que:
∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴𝐷𝐶
→ 𝐷𝐿 = 𝐿𝐵𝑎
𝑎
= 𝑎
𝑏
𝑏
• Finalmente en ⊿𝐵𝐿𝐷:
𝜶 = 𝟒𝟓°
PRACTIQUEMOS
Resolución:
𝐴
𝐵
𝐶
TEOREMA:
En el diedro mostrado 
• 𝔸 ⊂ ▰𝑀
• 𝔹 es la proyección 
de 𝔸 sobre ▰𝑁
Se cumple:
𝔹 =𝔸(𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝜃
𝐷
ൗ36 5
𝐻
36
5
3
Piden 
𝕊▲𝐴𝐷𝐶
𝕊▲𝐴𝐵𝐶
• Notamos que:
▲𝐴𝐵𝐶 es la proyección ortogonal de 
▲𝐴𝐷𝐶 sobre el plano de 𝐴𝐵𝐶.
𝟏ª ⊥
𝟑ª ⊥
𝟐ª ⊥
• Por teorema de las 3 ⊥𝑠
60°
Medida de 𝐷 − 𝐴𝐶 − 𝐵 es 60°
• Por teorema:
𝕊▲𝐴𝐵𝐶 =𝕊▲𝐴𝐷𝐶 (𝑐𝑜𝑠60°)
∴
𝕊▲𝐴𝐷𝐶
𝕊▲𝐴𝐵𝐶
= 2
ÁNGULO DIEDRO (DIEDRO)
EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2014-II
Resolución:
Clave 𝑪
ÁNGULO POLIEDRO
TEOREMA
ELEMENTOSELEMENTOS
Es la figura geométrica determinada por la unión de tres o 
más regiones angulares no coplanares con el vértice en 
común, de tal manera que dos a dos comparten un lado. 
DEFINICIÓN
 VÉRTICE:
 CARAS:
 ARISTAS:
 DIEDROS:
Regiones
∢𝐴𝑂𝐵,∢𝐵𝑂𝐶, ∢𝐶𝑂𝐷, ∢𝐴𝑂𝐷
𝑂𝐴,𝑂𝐵, 𝑂𝐶,𝑂𝐷
𝑂
En todo ángulo poliedro convexo se cumple 
que la suma de las caras es mayor de 0° y 
menor de 360°.
Del gráfico:
𝟎° < 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 < 𝟑𝟔𝟎°
𝛼, 𝛽, 𝜃, 𝜔
𝐷
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
𝛼
𝛽
𝜃
𝜔
NOTA:
A los ángulos poliedros se les denomina
según el número de caras, de tres caras
ángulo triedro, de cuatro caras, ángulo
tetraedro, de cinco caras, ángulo
pentaedro y así sucesivamente.
CLASIFICACIÓN
Triedro 
escaleno
Triedro 
isósceles
Triedro 
equilátero
Es un ángulo poliedro 
de tres caras
DEFINICIÓN
A) Según la comparación entre la medida de sus caras
Caras:
Aristas:
Diedros:
 𝒂 ≠ 𝒃
 Presenta sus tres caras de diferente
medida.
Además:
 𝒂 ≠ 𝒄  𝒃 ≠ 𝒄
• 𝜶 ≠ 𝜷 • 𝜶 ≠ 𝜽 • 𝜷 ≠ 𝜽
 Presenta sólo dos caras de igual
medida.
 𝒃 = 𝒄  𝒂 ≠ 𝒃  𝒂 ≠ 𝒄
• 𝜷 = 𝜽 • 𝜶 ≠ 𝜷• 𝜶 ≠ 𝜽
Además:
 Presenta sus tres caras de igual
medida.
 𝒂 = 𝒃 = 𝒄
• 𝜶 = 𝜷 = 𝜽Además:
𝒂, 𝒃, 𝒄
𝑶𝑨,𝑶𝑩,𝑶𝑪
𝜶, 𝜷, 𝜽,
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
Del gráfico:
ÁNGULO TRIEDRO 
TRIEDRO RECTÁNGULO TRIEDRO BIRRECTÁNGULO TRIEDRO TRIRRECTÁNGULOSegún cuantas caras rectas tiene
Se cumple:
𝒂 ≠ 𝟗𝟎° 𝒃 ≠ 𝟗𝟎°
Se cumple: 𝒄 ≠ 𝟗𝟎°
• Presenta sola una cara
recta.
• Presenta sólo dos caras
rectas
• Sus tres caras y sus tres
diedros respectivos son
rectos.
ÁNGULO TRIEDRO 
Generales
TEOREMAS
Sea 𝑂 − 𝐴𝐵𝐶 un triedro
0° < 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 < 360° < 𝑏 + 𝑐
< 540° < α + 180°
Si 𝑐 < 𝑏 ⇔ 𝛽 < 𝜃
 Respecto a las caras
 Respecto a los diedros
 Teorema de correspondencia
 Teorema de coseno
 Caso 1
 Caso 2
𝑐𝑜𝑠 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑐 + 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑐) ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜶
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛽 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒂
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
𝑎𝑏 − 𝑐 <
𝛼 + 𝛽 + 𝜃180° < 𝛽 + 𝜃
ÁNGULO TRIEDRO 
En un ángulo triedro, dos caras miden 45° y
el ángulo diedro entre ellas mide 90°.
Entonces la otra cara mide
𝐴) 45° 𝐵) 60° 𝐶) 75°
𝐷) 90° 𝐸) 120°
𝐶
𝑂
𝐴
𝐵
Piden 𝑥
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
• El problema se presta para aplicar 
el teorema de coseno.
• Entonces:
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠45° ∙ 𝑐𝑜𝑠45° + 𝑠𝑒𝑛45° ∙ 𝑠𝑒𝑛45° ∙ 𝑐𝑜𝑠90°
ฎ0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
2
2
2
2
→ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
1
2
∴ 𝒙 = 𝟔𝟎°
Clave 𝑩
EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2009-II
Resolución:
𝐶
𝑂
𝐴
𝐵
Particulares TEOREMAS
𝐻
Si 𝐴𝐻 ⊥ 𝐶𝐴𝑅𝐴𝐵𝑂𝐶
Se cumple:
𝑶𝑯: Bisectriz del ∢𝑩𝑶𝑪
→ 𝛽 = 𝜔
𝐶
𝑂
𝐴
𝐵
𝐻
𝑀
𝐿
𝑁
Si 𝑂𝐻 ⊥▲𝑀𝑁𝐿
Se cumple:
𝑯: ortocentro de ▲𝑴𝑵𝑳
ℎ
𝑎
𝑏
𝑐
Además:
𝟏
𝒉𝟐
=
𝟏
𝒂𝟐
+
𝟏
𝒃𝟐
+
𝟏
𝒄𝟐
𝔸𝑵𝑶𝑳
𝟐 = 𝔸𝑁𝐻𝐿 𝔸𝑁𝑀𝐿 𝔸𝑴𝑶𝑳
𝟐 = 𝔸𝑀𝐻𝐿 𝔸𝑁𝑀𝐿 𝔸𝑴𝑶𝑵
𝟐 = 𝔸𝑀𝐻𝑁 𝔸𝑁𝑀𝐿
De éstas expresiones se deduce:
𝔸𝑀𝑁𝐿
2 = 𝔸𝑀𝑂𝐿
2 + 𝔸𝑁𝑂𝐿
2 + 𝔸𝑀𝑂𝑁
2
ÁNGULO TRIEDRO 
Sea 𝑶− 𝑨𝑩𝑪 un triedro isósceles 
Sea 𝑶− 𝑨𝑩𝑪 un triedro trirrectángulo
En el triedro trirrectángulo 𝑂 − 𝐴𝐵𝐶; si las
áreas de las caras 𝑂𝐴𝐵, 𝑂𝐵𝐶 y 𝑂𝐴𝐶 miden
respectivamente 𝕊, 2𝕊 y 3𝕊. Entonces el
área de la región que determina un plano
secante a las aristas y que pasa por 𝐴,𝐵 y 𝐶
es
𝐴) 2𝕊 2 𝐵) 3𝕊 2 𝐶) 𝕊 14
𝐷) 2𝕊 3 𝐸) 𝕊 15
𝐶
𝑂
𝐴
𝐵
Piden 𝔸𝐴𝐵𝐶
𝔸𝑀𝑁𝐿
2 = 𝔸𝑀𝑂𝐿
2 + 𝔸𝑁𝑂𝐿
2 + 𝔸𝑀𝑂𝑁
2
Sabemos:
• Del teorema recordado:
𝔸𝐴𝐵𝐶
2 = 𝔸𝑂𝐴𝐵
2 + 𝔸𝑂𝐵𝐶
2 + 𝔸𝑂𝐴𝐶
2
𝔸𝐴𝐵𝐶
2 = 𝕊 2 + 2𝕊 2 + 3𝕊 2
→ 𝔸𝐴𝐵𝐶
2 = 14𝕊2
∴ 𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝕊 𝟏𝟒
Clave 𝑪
EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2017-I
Resolución:
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e