Semestral Uni - RM semana 12

Vista previa del material en texto

OPERACIONES MATEMÁTICAS
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
C U R S O D E R A Z O N A M I E N T O M A T E M Á T I C O
Introducción
En el presente tema analizaremos diversas operaciones matemáticas,
que realizará también diversos procesos para transformar algunas
cantidades en otras.
Podemos decir que la licuadora es uno de los artefactos que realiza
ciertos procesos una vez colocados las frutas como por ejemplo las
centrifuga y luego las tritura obteniendo al final un nutritivo jugo de
frutas, otro artefacto que realiza procesos parecidos es el extractor
de jugos.
Proceso de 
transformación
frutas licuadora Jugo
OBJETIVOS
Reconocer la importancia de la regla de definición en
la resolución de nuevas operaciones matemáticas.
Conocer y utilizar diversos métodos prácticos para la
resolución de problemas de operaciones
matemáticas.
Es aquel procedimiento que transforma una o más cantidades en otra cantidad denominada resultado, bajo
cierto criterio o ley de formación. Toda operación matemática tiene un símbolo que lo caracteriza
denominado operador matemático.
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 2 + 𝑎𝑏 − 20
OPERADOR 
MATEMÁTICO
REGLA DE DEFINICIÓN
De lo anterior para calcular 5 ∗ 6, bastará reemplazar a = 5 y b = 6 en la regla de definición.
5 ∗ 6 = (5 + 6)2 + (5)(6) − 20
5 ∗ 6 = 121 + 30 – 20
OPERACIÓN MATEMÁTICA
= 131
CON REGLAS DE DEFINICIÓN ARBITRARIA 
EXPLÍCITA
TABLAS CON REGLA DE DEFINICIÓN
OPERACIONES
MATEMÁTICAS
CON REGLAS DE DEFINICIÓN ARBITRARIA 
IMPLÍCITA
CON REGLAS DE DEFINICIÓN ARBITRARIA 
EXPLÍCITA
Este tipo de problemas se caracteriza porque en la regla de definición se
presenta datos en los que intervienen sólo operadores matemáticos universales.
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 − 1
Por ejemplo:
x = x3 + 5 𝑓 𝑛 = 3𝑛 + 1
2 = 23 + 5 𝑓 20 = 3 20 + 1 30 ∗ 25 = 25 − 1= 13 = 61 = 4
Operación
matemática
Operador
matemático
Adición +
Sustracción -
Multiplicación x
División ÷
Potenciación ( )( )
Radicación √
Sumatoria ෍
… ….
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 2/𝑏2
Operación 
arbitraria
No se encuentra entre las operaciones 
universales y solo nos podemos guiar de 
lo que indique su regla de definición
Se define en los R, las siguientes
operaciones matemáticas
Aplicación 01:
2x + 3 = 4x + 12
a * b = 4b + 20
Calcule 1000 * 18
Resolución:
Del primer dato, se puede establecer lo siguiente:
2x + 3 = 4x + 12
x 2 + 6
Además:
a * b = 4b + 20
2( a * b ) + 6 = 4b + 20
a * b = 2b + 7
x 2 + 7
1000 * 18
x 2 + 7
= 43
El valor de es 431000 * 18
A) 40 B) 42 C) 45
D) 43 E) 52
2( a * b ) = 4b + 14
Aplicación 02: Resolución:
El valor de K es 25
En el conjunto de los números
naturales se define el operador ⊗
por
3m – 2n; si m > n
m ⊗ n = 
3n – 2m; si m ≤ n
Calcule
K = 
5⊗2 2+(1⊗2)
5
A) 11 B) 25 C) 12 D) 4 E) 5
K = 
5⊗2 2 + (1⊗2)
5
5⊗ 2
= 3(5) – 2(2)
= 11 1⊗ 2
= 3(2) – 2(1)
= 4
Reemplazando en 
lo pedido
K = 
11 2+(4)
5
= 
125
5
= 25
De la regla de definición
Se pide calcular el valor de
m =5 n=2 , m > n 
= 𝑚⊗ 𝑛
5⊗ 2
m =1 n =2 , m ≤ n
= 𝑚⊗ 𝑛
5⊗ 2
1⊗ 2
1⊗ 2
INDUCTIVO NUMÉRICO
CON REGLAS DE DEFINICIÓN ARBITRARIA IMPLÍCITA
En este tipo de operaciones, la regla de definición no se presenta directamente expresada en los datos. Por lo
general, se presentan informaciones parciales, las cuales, a través de algunos artificios, nos permitirán conocer la
regla de definición en forma explícita.
Por ejemplo:
Se define la siguiente operación matemática en ℝ.
x + 1 = x + 2x + 1 , además 1 = 1
La idea es ir dando valores adecuados a la variable y reemplazarlos en la regla de definición.
x = 1 2 = 1 + 2 + 1 2 = 4
x = 2 3 = 2 + 4 + 1 3 = 9
4 = 16x = 3 4 = 3 + 4 + 1
n = n2
Si
x = x – 1 +
1
2
y 1 =2, halle 4039
A) 2020 
B) 2021
C) 2022
D) 2018
E) 2019
Aplicación 03: Resolución:
El resultado es 2021
Nos piden: 4039
Del dato: x = x – 1 +
1
2
x =2 2 = 1 +
1
2
= 2 +
1
2
=
5
2
x =3 3 = 2 +
1
2
=
5
2
+
1
2
=
6
2
x =4 4 = 3 +
1
2
=
6
2
+
1
2
=
7
2
+𝟑
+𝟑
+𝟑
=
4042
2
= 2021=
2
……………………..
+𝟑
Aplicación 04: Resolución:
El valor de R es 5
Se define en los ℝ , la siguiente
operación matemática
𝑎 ∗ 𝑏 = 2 𝑏 ∗ 𝑎 − 𝑎
Calcule el valor de R = 7 ∗ 4
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Nos piden: R = 7 ∗ 4
De la definición: 𝑎 ∗ 𝑏 = 2 𝑏 ∗ 𝑎 − 𝑎
Obtenemos: 𝑏 ∗ 𝑎
𝑏 ∗ 𝑎 =
Reemplazamos lo obtenido en la definición
𝑎 ∗ 𝑏 = 2 𝑏 ∗ 𝑎 − 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 2 − 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 =
𝑎 + 2𝑏
𝑎 ∗ 𝑏 =
Finalmente:
7 ∗ 4 = = 5
2 𝑎 ∗ 𝑏 − 𝑏
𝟐 𝒂 ∗ 𝒃 − 𝒃
4 𝑎 ∗ 𝑏 − 2𝑏
3 𝑎 ∗ 𝑏
− 𝑎
=
𝑎 + 2𝑏
3
7 + 2 4
3
INDUCTIVO NUMÉRICO
TABLAS CON REGLA DE DEFINICIÓN
Las operaciones matemáticas también pueden
definirse a través de una tabla de doble entrada.
* 1 2 3 4
1 1 4 3 2
2 2 1 4 3
3 3 2 1 4
4 4 3 2 1
Fila de entrada
Columna de 
entrada
Operador 
Matemático
Cuerpo de 
la tabla
Diagonal principal
Veamos el siguiente ejemplo.
Sobre el conjunto A= {1; 2; 3; 4}, se define la siguiente
operación mediante la tabla adjunta.
* 1 2 3 4
1 1 4 3 2
2 2 1 4 3
3 3 2 1 4
4 4 3 2 1
Calcule 1*1, 1*2, 2*1 y 2*4
1*1 = 
1*2 = 
2*1 = 
2*4 = 
1
4
2
3
Ejemplo:
Se define en el conjunto A={1; 2; 3;
4} la operación matemática siguiente
representada en la siguiente tabla
Aplicación 05:
∗ 2 1 4 3
1 4 1 3 2
3 1 2 1 4
4 2 3 4 1
2 3 4 3 1
Halle x, si se cumple que:
4 ∗ 𝑥 ∗ 4 = 1 ∗ 3 ∗ 4
Resolución:
Nos piden el valor de x
4 ∗ 𝑥 ∗ 4 = 1 ∗ 3 ∗ 4
2
3
Nos queda lo siguiente:
4 ∗ 𝑥 ∗ 4 = 3
∗ 2 1 4 3
1 4 1 3 2
3 1 2 1 4
4 2 3 4 1
2 3 4 3 1
𝑥 ∗ 4 𝑥 ∗ 4 = 1
∗ 2 1 4 3
1 4 1 3 2
3 1 2 1 4
4 2 3 4 1
2 3 4 3 1
El valor de x es 3
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Veamos la siguiente operación definida en los reales: 2
2
2
2
6
6
6
6
2 2 2 2
4 4 4 4
Su regla de definición será de la forma siguiente:
x @ y = a x + b y + c
Debemos encontrar los valores de a, b, y c
❖ El valor de a lo hallaremos comparando la columna de entrada, con una
columna del cuerpo de la tabla, es decir a=6/2=3
❖ El valor de b lo hallaremos comparando la fila de entrada, con una fila del
cuerpo de la tabla, es decir b=4/2=2
Reemplazamos
x @ y=3x+2y+c
2@1=3(2)+2(1)+c=9 Obteniendo c=1
❖ El valor de c lo hallaremos reemplazando valores de la tabla , por
ejemplo.
x @ y = 3x + 2y + 1
Regla de definición
TABLAS CON REGLA DE DEFINICIÓN
Aplicación 06: Resolución:
El valor de 18*30 es 110
Se define en ℝ +, la operación
matemática representada por la
siguiente tabla
Calcule 18*30
A) 100 B) 110 C) 130
D) 150 E) 180
∗ 1 3 5 8
2 4 8 12 18
4 10 14 18 24
6 16 20 24 30
8 22 26 30 36
∗ 1 3 5 8
2 4 8 12 18
4 10 14 18 24
6 16 20 24 30
8 22 26 30 36
La operación matemática tendrá la siguiente ley de formación:
x  y = a x + b y + c
2 2 3
4 4 6
2
2
2
6
6
6
Calculemos los valores de a, b y c. a = 6/2 → a = 3
b = 6/3 → b = 2
x  y = 3 x + 2 y + c
De la tabla se tiene:
2  1 = 4
3(2) + 2(1) + c = 4
→ c = -4
Luego: x  y = 3 x + 2 y - 4
18  30 = 3(18) + 2(30) - 4
Aplicación 06: Resolución:
El valor de 18*30 es 110
Se define en ℝ +, la operación
matemática representada por la
siguiente tabla
Calcule 18*30
A) 100 B) 110 C) 130
D) 150 E) 180
∗ 1 3 5 8
2 4 8 12 18
4 10 14 18 24
6 16 20 24 30
8 22 26 30 36
Una solución práctica para este tipo de problemas es la siguiente:
∗ 1 3 5 8
2 4 8 12 18
4 10 14 18 24
6 16 20 24 30
8 22 26 30 36
2 2 3
4 4 6
2
2
2
6
6
6
x2
x3
Calculemos 18 ∗ 30
∗ 8 30
8 36
18
22
x2
44
80
10 x3 30
110
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e