Semestral Uni - RM semana 15

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PROPIEDADES DE LAS 
OPERACIONES BINARIAS
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Introducción
Se define como operación binaria (o ley de composición)​​ aquella
operación matemática, que necesita el operador y dos operandos
(argumentos) para que se calcule un valor.
Para estas se definen algunas propiedades
que pueden o no cumplirse en ciertos
conjuntos numéricos y según ello se
pueden establecer estructuras algebraicas.
Note que para obtener alguna de estas
estructuras no es obligatorio que se cumpla
la propiedad conmutativa. Al definirse esta
solo se obtendrían algunas variantes, pero
lo importante es notar que una propiedad
no conlleva necesariamente a otra, sino
que estas se basan en sus propias
definiciones y los conjuntos en que se
aplican.
Cuasigrupo
(o
 c
er
ra
d
u
ra
)
OBJETIVOS
Aplicar de manera correcta las propiedades de
clausura, conmutativa, elemento neutro y
elemento inverso de las operaciones
matemáticas.
Analizar los diferentes casos que se pueden
presentar, con tablas o sin ella.
* 1 2 3 4
1 3 4 1 2
2 4 1 2 3
3 1 2 3 4
4 2 3 4 1
e =
PROPIEDAD DE CLAUSURA
PROPIEDAD DEL ELEMENTO INVERSO
OPERACIONES
MATEMÁTICAS
PROPIEDAD DEL ELEMENTO NEUTRO
PROPIEDAD CONMUTATIVA
PROPIEDAD DE CLAUSURA
1. CLAUSURA O CERRADURA
Si al realizar la operación representada por (*) con
dos elementos cualesquiera del conjunto A el
resultado termina siendo un elemento del conjunto
A, entonces la operación cumple con la propiedad
de clausura o cerradura y, por consiguiente, la
operación es cerrada en el conjunto A.
∀ a ; b ∈ A → a*b ∈ A
Si por el contrario, en al menos un caso el resultado
de la operación no pertenece al conjunto A,
entonces la operación no cumple con la propiedad
de clausura o cerradura en dicho conjunto.
Ejemplo 1:
Se define en ℝ
a*b = 2a2 + b
¿ La operación es cerrada en ℕ ?
Resolución:
a y b son ℕ , donde ℕ es el conjunto de los 
números naturales
ℕ * ℕ = 2(ℕ)2 + ℕ
ℕ
= ℕ
Por lo tanto la operación matemática dada es cerrada en ℕ
No decimos que el valor no cambia sino 
que sigue siendo un número natural
APLICACIÓN EN TABLAS
Ejemplo 2:
En A= {1; 2; 3; 4} se define
una operación matemática
representada por el operador (*)
mediante la siguiente tabla
* 1 2 3 4
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
¿La operación es cerrada en A?
Resolución:
Para saber si una operación es cerrada en A o no, haremos lo siguiente:
❖Verificar que todos los elementos del conjunto A estén presentes tanto
en la columna como en la fila de entrada.
❖Verificar que todos los elementos del cuerpo de la tabla
pertenezcan al conjunto A.
❖Si todos los elementos del cuerpo de la tabla pertenecen al
conjunto A; entonces la operación es cerrada en A.
La operación sí es cerrada en A
2. CONMUTATIVIDAD
Para todo par de elementos del conjunto A, si el orden
de dichos elementos en la operación matemática
representada por (*) no altera el resultado de la misma,
entonces la operación es conmutativa en A.
∀ a ; b ∈ A → a*b = b*a
Por el contrario, si el resultado de operar los elementos
en orden inverso, es diferente en al menos un caso;
afirmamos que dicha operación no es conmutativa
PROPIEDAD CONMUTATIVA
Ejemplo 3:
Se define en ℚ, a*b = a + b — ab
¿Esta operación cumple la propiedad conmutativa?
Resolución:
Para saber si la operación cumple o no con la
propiedad de la conmutatividad, calculamos (b*a)
Por lo tanto la operación representada por (*) es
conmutativa.
b*a = b + a — ba
Comparamos los resultados en ambos casos
(a + b — ab) y (b + a — ba)
Son iguales, es decir, el resultado es el mismo
APLICACIÓN EN TABLAS
Ejemplo 4:
En A= {a; b; c; d} se define una
operación matemática
representada por el operador
(*) mediante la siguiente tabla
* a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
¿La operación es conmutativa?
Resolución:
La operación sí es conmutativa
Criterio de la diagonal:
❖Se ordena la fila y la columna de entrada, en el mismo orden, y teniendo
cuidado de mover adecuadamente los elementos correspondientes en el
cuerpo de la tabla
❖Se traza la diagonal principal
❖Se verifica que los elementos que quedan en ambos lados de la diagonal,
de forma simétrica con respecto a ella, sean iguales
❖Si en todos los casos los elementos son iguales, entonces la operación es
conmutativa.
❖Si en al menos un caso uno de los elementos es diferente, entonces la
operación no es conmutativa.
mismo orden
simetría
Dada la siguiente operación
matemática definida en el conjunto
P={1; 2; 3; 4; 5} mediante la tabla que
se muestra a continuación.
Determine si la operación
matemática es cerrada en P y si es
conmutativa.
A) sí - no
B) sí -sí 
C) no - no 
D) no – sí
E) No se puede determinar
Aplicación 01: Resolución:
NO es cerrada
Nos piden: Determinar las propiedades de cerradura y conmutatividad.
Para determinar si es
cerrada en P debemos
verificar que todos los
elementos del cuerpo de
la tabla pertenezcan a P
Este elemento no pertenece a P
Para determinar si es conmutativa
debemos ordenar la tabla y luego
trazar la diagonal
* 3 4 5 2 1
y SÍ es conmutativa
mismo orden
INDUCTIVO NUMÉRICO
PROPIEDAD DEL ELEMENTO NEUTRO
3. ELEMENTO NEUTRO (e)
Sea e un elemento del conjunto A, tal que al operarlo con cualquier elemento a, también del conjunto A, tanto a 
derecha como izquierda, da como resultado el mismo elemento a.
∃! e ∈ A / ∀ a ∈ A → a*e = e*a = a
Ejemplos
Si este elemento e existe, se denominará elemento neutro
En la adición, el elemento neutro es el 0. a+0=0+a=a e=0
En la multiplicación el elemento neutro es el 1 ax1=1xa=a e=1
Nota
Si una operación
matemática tiene
elemento neutro,
éste es único
Se define en ℤ
a*b = a + b – 3
¿ Cuál es, si tiene, el elemento 
neutro?
A) 1 
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Aplicación 02: Resolución:
El elemento neutro es 3
Nos piden: El elemento neutro
Procederemos a calcular, si tiene, el elemento neutro (e)
Por definición
e * a = a
e + a – 3
e = 3
a * e = a
a + e – 3 
e = 3
Se observa que, para ambos casos, e tiene el mismo valor
e = 3
= a = a
Se define en ℚ
a # b = a + b + a2b
¿Cuál es, si tiene, el elemento 
neutro?
A) 0 
B) 1
C) 1/4
D) 2
E) 1/2
Aplicación 03: Resolución:
El elemento neutro es 0
Nos piden: El elemento neutro
Sea e el elemento neutro
Por definición
a # e = a
a + e + a2e
e # a = a
Se observa que, para ambos casos, e tiene el mismo valor
e = 0
= a
e + a2e = 0
e ( 1 + a2 ) = 0
e = 0/( 1 + a2 ) 
e = 0
e + a + e2a = a
e + e2a = 0
e ( 1 + ea ) = 0
e = 0/( 1 + ea ) 
e = 0
Si una operación no es 
conmutativa aún puede tener 
elemento neutro. Que sea 
conmutativa no asegura que 
tenga neutro.
Se define en ℤ
a ◊ b = a – b + 5
¿Cuál es, si tiene, el elemento 
neutro?
A) 0 
B) 1 
C) 1/2 
D) 2 
E) No existe elemento neutro
Aplicación 04: Resolución:
No existe elemento neutro.
Nos piden: El elemento neutro
Sea e el elemento neutro
Por definición
a ◊ e = a
a – e + 5 
e = 5
e ◊ a = a
e – a + 5 
e = 2a – 5 
Observamos dos elementos neutros diferentes, pero sabemos que el 
elemento neutro (e) es único.
Por lo tanto, ésta operación no tiene elemento neutro.
Un elemento e que cumpla 
solamente 𝑎 ∗ 𝒆 = 𝑎 se 
llama elemento neutro por 
la derecha. Cuando la UNI 
dice neutro debemos 
buscar que se obtenga lo 
mismo a ambos lados.
= a = a
Se define en A= {a; b; c; d} 
¿Cuál es, si tiene, el elemento 
neutro?
A) a
B) b
C) c
D) d
E) e
Aplicación 05: Resolución:
El elemento neutro es b
Nos piden:
* a b c d
a d a b c
b a b c d
c b c d a
d c d a b
El elemento neutro
Criterio de la intersección
❖ Ubicar en el cuerpo de la tabla, una columna igual a la
columna de entrada y una fila igual a la fila de entrada
❖ La intersección de la fila y la columna mencionadas nos
dará el elemento neutro
* a b c d
a d a b c
b a b c d
c b c d a
d c d a b
Columnas iguales
Filas iguales
PROPIEDAD DEL ELEMENTO INVERSO
4. ELEMENTO INVERSO (a-1)
En una operación, con elemento neutro (e), tenemos un elemento a ∈ A, de modo talque para éste, existe un 
elemento a-1∈ A que al ser operado, tanto a la derecha como a la izquierda de a , da como resultado el 
elemento neutro de la operación. Dicho elemento a-1 es denominado elemento inverso de a.
Dado e ∈ A, ∀ a ∈ A, ∃ a-1 ∈ A / a* a-1 = a-1 *a = e e : Elemento neutro
a-1 : Elemento inverso de a
Nota
Se usa el símbolo a-1 para denotar al elemento inverso de a. No debe confundirse con la
definición de exponente negativo. Luego a-1 no necesariamente es
1
a
La adición en ℝ
3 + = 0(– 3)
neutro 
aditivo
inverso 
aditivo
5 + = 0(– 5)
9 + = 0(– 9)
…
…
…
…
…
…
…
…
…
En 
general a + = 0(– a)
La multiplicación en ℝ
4 x = 11
4
neutro 
aditivo
inverso 
aditivo
6 x = 1
1
6
7 x = 11
7
…
…
…
…
…
…
…
…
…
En 
general a x = 11
a
Se define en ℝ
a ◊ b = 
2ab
3
Donde a-1 es el elemento inverso de 
a.
Calcule 4-1
A)
9
16
B) 1
C)
9
4
D)
1
4
E) 0
Aplicación 06: Resolución:
El resultado es 9/16
Nos piden: El valor de 4-1
Primero hallamos el elemento neutro e
Por definición
a ◊ e = a
Reemplazamos a = 4 para obtener lo pedido
4-1 = 
9
4(4)
e = 
3
2
2ae
3
Luego calculamos a-1
a ◊ a-1 = e
2a × a−1
3
a-1 = 
9
4a
= 
9
16
= a
Aprenda estos dos que 
siempre los va a usar
Para neutro: a * e = a
Para inversos: a * a-1 = e
= 
3
2
= 
3
2
Se define en A= {a; b; c; d} una
operación matemática mediante la
siguiente tabla
Donde n-1 es el elemento inverso de 
n. Calcule a-1
A) a 
B) b
C) c
D) d
E) e
Aplicación 07: Resolución:
El valor de a-1 es b
Nos piden:
* a b c
a e c a
b c d b
c a b c
El valor de a-1
Primero hallamos el elemento neutro e
* a b c
a e c a
b c d b
c a b c e = c
Por definición de inversas
a * a-1 = c b * b-1 = c c * c-1 = c
b a c
Gráficamente
En el cuerpo de la tabla, 
señalamos el elemento 
neutro y procedemos a 
calcular los elementos 
inversos
* a b c
a e c a
b c d b
c a b c
a-1 = b
b-1 = a
c-1 = c
Se define en M={6; 8; 10; 12} la 
operación matemática mediante la 
siguiente tabla.
Determine el valor de x si se sabe 
que
x-1 𝛻( 10-1 𝛻 6-1 ) -1 = 12-1
Considere a– 1 el elemento inverso de 
a.
A) 12 B) 8 C) 10 D) 14 E) 6
Aplicación 08: Resolución:
Nos piden: El valor de x
Primero hallamos el elemento neutro e
e = 8
6-1 = 12
12-1 = 6
10-1 = 10
8-1 = 8
Luego calculamos a-1
Reemplazamos en
x-1 𝛻(10-1 𝛻 6-1)-1 = 12-1
6
10 612𝛻
EL valor de x es 10
x-1 𝛻( 6 )-1 = 6
12
x-1 𝛻 12 = 6
x-1 = 10
x = 10
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e