Semestral Uni - RM semana 16

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ECUACIONES DIOFÁNTICAS
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Introducción
Las ecuaciones diofánticas deben su nombre al famoso
matemático griego Diofanto de Alejandría (año 275 aprox.)
que publicó tres trabajos sobre lo que hoy en día
denominamos álgebra y resolución de ecuaciones.
Diofanto investigó un método para encontrar las soluciones
enteras para las ecuaciones lineales indeterminadas,
ecuaciones en las que falta información suficiente para
producir un conjunto único de respuestas.
Sabías que …
Los libros de Diofanto fueron editados en 1621 por Bachet.
Uno de los ejemplares cayó en manos de Fermat quien lo
estudió e hizo numerosas anotaciones. Una de ellas es donde
dice que xn + yn = zn no tiene soluciones enteras si n > 2, con
el comentario sobre lo estrecho del margen.
Diofanto de Alejandría
ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES CON 2 VARIABLES
Tienen la forma ax + by = c, donde a, b y c son números enteros y buscamos también que las soluciones en x e y sean
números enteros.
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Son ecuaciones donde tanto sus términos constantes (coeficientes) como los valores asignados a las incógnitas
(soluciones) son números enteros.
Ejemplo: Halle un valor de z, x e y que cumpla la
siguiente ecuación 4x+y2=z3 con x, y, z enteros.
Una solución sería x = -1; y = 2; z = 0
(es una solución particular, hay otras soluciones más)
Ejemplos
12x+8y = 44 12x - 8y = 12 12x+8y=45
1 4
-1 7
OBS: hay mas soluciones
1 0
3 3
OBS: son soluciones particulares
OBS: no tienen solución pero son ecuaciones
diofánticas
12x+8y=46
PAR+PAR≠IMPA
R
6x+4y=23
OBJETIVO
• Identificar cuando una ecuación
indeterminada será una ecuación
diofántica.
• Conocer los métodos de resolución
de una ecuación diofántica.
ECUACIÓN DIOFÁNTICA DE LA FORMA: AX + BY = 
C
Veamos una forma práctica para encontrar soluciones a
partir de una solución particular, por ejemplo:
Sea la ecuación diofántica 12x + 8y = 44 con solución
particular x0=1; y0=4
Paso 1: reducimos la ecuación (sus coeficientes deben
ser PESI).
3x + 2y = 11
Paso 2: colocamos la solución particular.
1 4
Paso 3: De la solución particular se toma un valor y se le
suma el coeficiente de la otra variable. En forma inversa,
al otro valor se le suma el opuesto del coeficiente de la
otra.
+ 2
3
+ 2
5
+ 2
7
+(-3)
1
+(-3)
-2
+(-3)
-5
OBSERVACIÓN: Tu eliges con cual variable empezar a
aumentar o disminuir.
3x + 2y = 11
1 4
+(-2)
-1
+(-2)
-3
+(-2)
-5
+3
7
+3
10
+3
13
CONCLUSIÓN: En una ecuación diofántica lineal de dos
variables tipo suma una de las soluciones aumenta y la
otra disminuye.
ECUACIÓN DIOFÁNTICA DE LA FORMA: AX - BY = C
Veamos una forma práctica para encontrar soluciones a
partir de una solución particular, por ejemplo:
Sea la ecuación diofántica 12x - 8y = 12 con solución
particular x0=1; y0=0
Paso 1: reducimos la ecuación (sus coeficientes deben
ser PESI).
3x - 2y = 3
Paso 2: colocamos la solución particular.
1 0
Paso 3: De la solución particular se toma un valor y se le
suma el coeficiente de la otra variable. En forma inversa,
al otro valor se le suma el opuesto del coeficiente de la
otra.
+(-2)
-1
+(-2)
-3
+(-2)
-5
+(-3)
-3
+(-3)
-6
+(-3)
-9
OBSERVACIÓN: Tu eliges como empezar aumentando o
disminuyendo los valores de las variables.
3x - 2y = 3
1 0
+ 2
3
+ 2
5
+ 2
7
+3
3
+3
6
+3
9
CONCLUSIÓN: En una ecuación diofántica lineal de dos
variables tipo resta ambas soluciones disminuyen o
ambas aumentan.
Como sabemos para hallar la forma general de las soluciones
basta con hallar una solución particular, estos métodos lo
desarrollamos en clase, simple inspección, cifras terminales,
divisibilidad, entre otros casos particulares.
IMPORTANTE:
Aplicación del criterio de cifras terminales
ECUACIONES
DIOFÁNTICA
S
Aplicación del criterio de multiplicidad
Aplicación del criterio de la división
Aplicación del criterio de factorización
+10 - 7
Aplicación del criterio de cifras terminales
El siguiente criterio permite calcular una solución particular cuando uno de los coeficientes es 10 o 5:
a) Cuando un coeficiente es 10
Ejemplo: Obtenga una solución particular de la
siguiente ecuación:
7x + 10y = 226 
donde x e y son enteros positivos.
Paso 1: el término con coeficiente 10 termina
en cero y por tanto la última cifra del resultado
dependerá de la última cifra del otro término.
Paso 2: Se reemplaza el valor obtenido en la
ecuación simplificada y se calcula el valor de la
otra variable.
7x + 10y = 226 
…0 
7x = . . . 6 🡪 x = 8; 18; 28; …8; 
Para x = 8
7(8) + 10y = 226
10y = 170
y = 17
7x + 10y = 226 
8 17
18 10
28 3
+10 - 7
+ 5 - 9
Aplicación del criterio de cifras terminales
b) Cuando un coeficiente es 5
Ejemplo: Obtenga una solución particular de la
siguiente ecuación:
9x + 5y = 137 
donde x e y son enteros y positivos.
Paso 2: el término con coeficiente 10 termina en
cero y por tanto la última cifra del resultado
dependerá de la última cifra del otro término.
Paso 3: Se reemplaza el valor obtenido en la
ecuación simplificada y se calcula el valor de la
otra variable.
18x + 10y = 274 
…0 
18x = . . . 4 🡪 x = 3; 8; 13; … 
Para x = 3
18(3) + 10y = 274
10y = 220
y = 22
9x + 5y = 137 
3 22
8 13
13 4
+ 5 - 9Paso 1: Se multiplica toda la ecuación por 2.
PREGUNTA FRECUENTE
¿Si el coeficiente es 2 lo podríamos multiplicar por 5?
respuesta: NO, no es necesario
7x + 2y = 274
PAR PAR
🡪 x = 2; 4; 6;... 
Resolución:
Nos piden la cantidad de libros empleados.
Por dato tenemos billetes de 10 soles, monedas de 5 y libros de
13 soles para pagar una deuda de 67 soles, así:
La cantidad de libros es 4
Tengo billetes de 10 soles, monedas de
5 soles y libros de 13 soles para pagar
una deuda de 67 soles. ¿Cuántos libros
emplearé?
Aplicación 01:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Multiplicamos por 2:
…0 …0 
Queda:
Nota:
Existe dos formas de pagar pero si
hubiera dicho que se usó los billetes,
las monedas y los libros para pagar la
deuda entonces habría una sola forma.
- 7 + 3
Aplicación del criterio de multiplicidad
El siguiente criterio permite calcular la solución particular cuando los coeficientes son PESI y el término independiente
es múltiplo de alguno de los coeficientes.
Ejemplo: Obtenga una solución
particular de la siguiente ecuación:
3x + 7y = 204 
donde x e y son enteros.
Paso 1: el término con coeficiente del
cual no es múltiplo se le da cero o a su
variable un valor que sea múltiplo.
Paso 2: Se reemplaza el valor obtenido
en la ecuación y se calcula el valor de
la otra variable.
3x + 7y = 204 
0 
3x = 204 🡪 x = 68
3x + 7y = 204 
68 0
61 3
54 6
- 7 + 3
Termino independiente 204 
Coeficientes 3 y 7
O también:
Como 3x y 204 son múltiplos de 3
Entonces 7y debe ser múltiplo de
3 🡪 y =3; 6; 9; …
- 7 + 3
47 9
Resolución:
Nos piden la cantidad de formas de realizar la compra.
Primero debemos tener en cuenta que cuando uno paga y nos dan
vuelto siempre habrá una diferencia entre lo que pagamos y el
vuelto que resulta del costo del artículo, así:
La cantidad de formas es 5
Tengo 45 billetes de un euro y deseo
comprar un martillo de 8,4 soles. Si
el vendedor solo tiene billetes de un
dólar para darme vuelto, ¿de
cuántas maneras puedo hacer la
compra? Considere que un euro es
4,4 soles y un dólar es 3,2 soles.
Aplicación 02:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Pago – vuelto = costo del artículo
Vemos que la resta de coeficientes divide 
exactamente al término independiente, así: 
7 7
15 18
+ 8 + 11
23 29
+ 8 + 11
31 40
+ 8 + 11
39 51
+ 8 + 11
Como solo tengo 45 billetes de euro
(x≤45) entonces solo habría 5 soluciones
Aplicación del criterio de la división
El siguiente criterio permite calcular la solución particular cuando uno de los coeficientes es la unidad.
Ejemplo: Obtenga una solución particular de la
siguiente ecuación:37x + y = 226 
donde x e y son enteros positivos.
Paso 1: el término independiente se divide entre
el coeficiente distinto de la unidad.
Paso 2: Se reescribe el termino independiente
mediante el algoritmo de la división.
37x + y = 226 
37(6) + 4
Paso 3: De la igualdad se asigna valores
convenientemente.
226 37
64
37x + y =
Luego se tiene:
-1 + 37
37x + y = 226 
6 4
5 41
4 78
-1 + 37
1
Otra forma: en 19x + 20y = 390
Resolución:
Nos piden la cantidad de artículos.
Compró libros de 19 soles y cuadernos de 20 soles y gastó en total
390 soles
Se compraron 20 artículos
Se compran libros de 19 soles y
cuadernos de 20 soles pagando en
total 390 soles. ¿Cuántos artículos
se compraron en total?
Aplicación 03:
A) 10 B) 20 C) 30
D) 40 E) 50
Vamos a acomodar los términos en la forma del criterio de la
división, de la siguiente forma:
390 19
2010
20 10
Vemos que la suma de
coeficientes divide exactamente al
término independiente, así:
Aplicación del criterio de factorización
El siguiente criterio permite calcular todas las
soluciones enteras positivas de una ecuación
diofántica de la forma:
Ejemplo: Obtenga todas las soluciones enteras
positivas de la siguiente ecuación:
xy + 4x + 6y = 67 
Paso 1: se suma a ambos miembro el producto ab.
Paso 2: Se factoriza en la forma:
(X + b)(Y + a) = c + ab
xy + 4x + 6y = 67
XY + aX + bY = c
+(4)(6) +(4)(6)
Paso 1 Paso 1
P
as
o
 2 x
y
6
4
Paso 3
Paso 3: Se obtiene los valores de cada factor.
Luego se tiene: ( x + 6 )( y + 4 ) = 91
91 =7x13
7 13 x=1; y= 9 
13 7 x=7; y= 3 
Resolución:
Nos piden La suma de los números si son enteros positivos.
Al triple de su producto se le suma el exceso de uno respecto del
otro.
Los números suman 4+2=6.
Se multiplica dos números enteros
positivos. Si al triple de dicho
resultado se le suma el exceso del
mayor sobre el menor resulta 26.
¿Cuánto suman los números
mencionados al inicio?
Aplicación 04:
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
Antes de aplicar el artificio conviene que los términos x e y también
tengan coeficiente 3 y para ello multiplicamos toda la ecuación por 3.
3x
3y
-1
1
77 =7x11
(3x-1)(3y+1) = 77
11 7
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