Semestral Uni - Trigonometria semana 02

Vista previa del material en texto

Razones trigonométricas de 
ángulo agudo II
Trigonometría
Hipotenusa
𝛼
60°
30°
𝟐𝒂 𝒂 𝟑
𝒂 𝒂
𝒂𝒂 𝟐
30° 60° 45°
sen
1
2
3
2
2
2
cos
3
2
1
2
2
2
tan
3
3
3
1
𝒔𝒆𝒏𝒐
sen 𝛼 =
𝐶. 𝑂
𝐻
𝒄𝒐𝒔𝒆𝒏𝒐
cos 𝛼 =
𝐶. 𝐴
𝐻
𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
tan𝛼 =
𝐶. 𝑂
𝐶. 𝐴
Razones trigonométricas 
recíprocas
𝒔𝒆𝒏𝜶 ∙ 𝒄𝒔𝒄𝜶 = 𝟏
𝒄𝒐𝒔𝜶 ∙ 𝒔𝒆𝒄𝜶 = 𝟏
𝒕𝒂𝒏𝜶 ∙ 𝒄𝒐𝒕𝜶 = 𝟏
Si 𝜶 + 𝜽 = 𝟗𝟎°
Entonces
𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒕𝒂𝒏𝜽 = 𝒄𝒐𝒕𝜶
𝒔𝒆𝒄𝜽 = 𝒄𝒔𝒄𝜶
Para ángulos complementarios θ, 𝛼
Repasemos la clase de la semana anterior
cosecante
csc 𝛼 =
𝐻
𝐶. 𝑂
secante
sec 𝛼 =
𝐻
𝐶. 𝐴
cotangente
cot 𝛼 =
𝐶. 𝐴
𝐶. 𝑂
En general, resolver un triángulo es encontrar la
medida de todos sus elementos, es decir, sus tres
lados y sus tres ángulos.
De aquí, un triángulo queda solo determinado si tres
de sus seis elementos son conocidos, tal como se
muestran en los siguientes gráficos.
CASO PARTICULAR, PARA UN TRIÁNGULO
RECTÁNGULO
Si se trata de un triángulo rectángulo, es
suficiente tener como datos dos de sus elementos
de los cuales uno debe ser necesariamente un
lado.
Un lado y dos ángulos
Dos lados y un ángulo opuesto a 
uno de los lados
Dos lados y el ángulo entre ellos Tres lados
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CASO I: 
HIPOTENUSA 
ÁNGULO AGUDO 𝜽
𝜃
H𝒔𝒆𝒏𝜽
H
H𝐜𝐨𝒔𝜽
CASO II: 
CATETO ADYACENTE
ÁNGULO AGUDO 𝜽
𝜃
L𝐭𝐚𝐧𝜽
L𝐬𝐞𝐜𝜽
L
𝜃
K
Kc𝐬𝐜𝜽
𝐊𝐜𝐨𝐭𝜽
CASO III: 
CATETO OPUESTO 
ÁNGULO AGUDO 𝜽
Para determinar los lados del triángulo
rectángulo, de forma práctica,
realizamos el cociente de la siguiente
forma:
𝐋𝐀𝐃𝐎 𝐐𝐔𝐄 𝐐𝐔𝐈𝐄𝐑𝐎 𝐂𝐀𝐋𝐂𝐔𝐋𝐀𝐑
𝐋𝐀𝐃𝐎 𝐐𝐔𝐄 𝐓𝐄𝐍𝐆𝐎
= 𝐑.𝐓. Á𝐍𝐆𝐔𝐋𝐎
En el triángulo ABC (recto en B)
con 𝐵𝐶 = ℎ y 𝑚∡𝐶𝐴𝐵 = 𝜃 , se
tiene inscrita una
semicircunferencia según se
muestra en la figura. Exprese el
radio de la circunferencia en
función de ℎ y 𝜃
A) 
ℎ cos 𝜃
1+sen 𝜃
B) 
ℎ
sen 𝜃
C) 
ℎ
cos 𝜃
D) 
ℎ cos 𝜃
sen 𝜃+cos 𝜃
E) 
ℎ sen 𝜃
sen 𝜃+cos 𝜃
NOTA:
UNI 2009 II
Resolución
A B
C
Piden: R en términos de ℎ y 𝜃
𝜽
O
P
𝑅
𝑅
Q
S
𝜽
𝜽
ℎ
Del triangulo ⊿𝐵𝑄𝐶:
𝑩𝑸 = 𝒉𝐜𝐨𝐬𝜽
Del triangulo ⊿𝑂𝑆𝐵:
𝑩𝑺 = 𝑹𝐬𝐞𝐧𝜽
Del gráfico, 𝑩𝑸 = 𝑩𝑺 + 𝑸𝑺
𝑅
𝒉 𝐜𝐨𝐬𝜽 = 𝑹𝐬𝐞𝐧𝜽 + 𝑹
∴ 𝑹 =
𝒉 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝜽
Clave: A
ÁNGULOS VERTICALES 
Son aquellos
Ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos 
líneas imaginarias denominadas horizontal y visual.
ÁNGULO DE ELEVACIÓN ÁNGULO DE DEPRESIÓN
Línea Visual
Línea Horizontal
𝜃
𝛉: ángulo de depresión 
α Línea Horizontal
𝛂: ángulo de elevación 
UNI 2010 I
Cuando el ángulo de elevación del
Sol es de 60°, un poste inclinado
en 15° desde la vertical proyecta
una sombra de 20m. Determine la
longitud del poste.
Descendiendo de una colina que
tiene un ángulo de inclinación 𝜃
respecto a la horizontal, se
observa un punto en el plano
horizontal con un ángulo de
depresión 𝛼. A la mitad de todo el
descenso se observa el mismo
punto con un ángulo de depresión
𝛽.
Calcule:
cot 𝜃+cot 𝛽
cot 𝛼
Reto UNI
Resolución
A) 26,1 B) 25,5 C)24,5
D) 23,2 E) 22,5
A) 1/2 B) 2 C) 1
D) 5/2 E) 3/2
Piden: 𝐵𝐶
Clave: C
60°
20
𝒙
15°
45°
A B
C
D
Triángulo rectángulo notable 30°
y 60°
𝐷𝐵 = 10 3
Triángulo rectángulo notable 45°
y 45°
∴ 𝒙 = 𝟏𝟎 𝟔 ≈ 𝟐𝟒, 𝟓
Consideraciones 
✓ Si el enunciado no menciona la altura del observador,
se considera un punto en el plano de referencia
✓ Al piso se le considera un plano horizontal y a los
postes, árboles, torres, etc. se les considera
verticales. Una vertical es la línea que sigue la
trayectoria de una plomada
✓ El ángulo por medio del cual se observa la totalidad
del objeto se determina trazando dos líneas visuales.
𝛽 Estatua 
de Cesar 
Vallejo
Plano 
horizontal
H
✓ El ángulo de inclinación, es el ángulo formado por el
plano horizontal y un plano inclinado
UNI 2009 I
En las circunferencias tangentes
de la figura, son datos 𝑟0 (radio) y
𝛼. Determinar el radio R.
A) −
1
2
B) 
cos 𝛼
1−cos 𝛼
𝑟0
C) 
1−cos 𝛼
1+cos 𝛼
𝑟0 D) 
1+cos 𝛼
cos 𝛼
𝑟0
E) 
1+cos 𝛼
1−cos 𝛼
𝑟0
Reto UNI
UNI 2010 II
En el gráfico mostrado, ABCD es
un cuadrado, ADC es un sector
circular con centro en D,
𝑚∡𝐴𝐵𝑀 = 𝜃 y 𝑚∡𝐴𝐷𝑀 = 𝜙 .
Calcule tan 𝜃 en términos de 𝜙.
A) 
1+sen 𝜙
1+cos 𝜙
B) 
1+cos 𝜙
1+sen 𝜙
C) 
2−cos 𝜙
1+sen 𝜙
D) 
1−sen 𝜙
1−cos 𝜙
E) 
1−cos 𝜙
1−sen 𝜙
Resolución
Piden: tan 𝜃
∴ 𝐭𝐚𝐧𝜽 =
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝝓
𝟏 − 𝒔𝒆𝒏 𝝓
Clave: E
D
A B
C
𝜃
𝜙
R
R
𝑅 cos𝜙
𝑅 sen𝜙Q
P
𝑹− 𝑹𝒔𝒆𝒏𝝓
𝑹 − 𝑹𝒄𝒐𝒔𝝓
M
En el triángulo rectángulo MPB 
tan 𝜃 =
𝑅 − 𝑅 cos𝜙
𝑅 − 𝑅 sen𝜙
R
𝛼
𝑟0
𝑅
Asociación Fondo de Investigadores y Editores (2018). Trigonometría una visión analítica de las funciones. Lumbreras 
editores.
Asociación Fondo de Investigadores y Editores (2021). Examen de admisión UNI 2010-2020. Lumbreras editores.
Centro pre universitario de la UNI (2020). Boletines y separatas. UNI ediciones.
Stewart, E. Lothar, R. y Watson, S. (2012). Precálculo. Matemática para el cálculo. CENGAGE Learning, sexta edición.
REFERENCIAS
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe