Semestral Uni - Trigonometría semana 04

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Razones trigonométricas para un 
ángulo en posición normal
Trigonometría
Definición 
El ángulo en posición normal, es aquel
ángulo trigonométrico que tiene su
lado inicial sobre el eje positivo de las
abscisas, vértice en el origen de
coordenadas y lado final en cualquier
parte del plano cartesiano.
𝐬𝐞𝐧𝛂 =
𝐎𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐝𝐚
𝐫𝐚𝐝𝐢𝐨 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫
=
𝐲
𝐫
𝐜𝐨𝐬𝛂 =
𝐀𝐛𝐬𝐜𝐢𝐬𝐚
𝐫𝐚𝐝𝐢𝐨 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫
=
𝐱
𝐫
𝐭𝐚𝐧𝛂 =
𝐎𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐝𝐚
𝐀𝐛𝐬𝐜𝐢𝐬𝐚
=
𝐲
𝐱
𝐜𝐨𝐭 𝛂 =
𝐀𝐛𝐬𝐜𝐢𝐬𝐚
𝐎𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐝𝐚
=
𝐱
𝐲
𝐬𝐞𝐜𝛂 =
𝐫𝐚𝐝𝐢𝐨 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫
𝐀𝐛𝐬𝐜𝐢𝐬𝐚
=
𝐫
𝐱
𝐜𝐬𝐜𝛂 =
𝐫𝐚𝐝𝐢𝐨 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫
𝐎𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐝𝐚
=
𝐫
𝒚
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO
Ejemplo
Del grafico halle el valor de 𝒏
θ
Y
X
A(−3;−3)
B(𝑛 + 1;−1)
Por definición: 
Luego: 𝑛 + 1 = −1
∴ 𝒏 = −𝟐
Veamos
𝜶
Y
X
Lado inicial
Lado final
Vértice
O
P(𝐱; 𝐲)
Donde
𝐫 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐
Observar que:
𝐫 ≥ 𝐱 ; 𝐫 ≥ 𝐲
𝐫
tan 𝜃 =
𝑛 + 1
−1
=
−3
−3
Resolución
Aplicación UNI 2012
De la figura mostrada, el valor de
tan𝛼 tan 𝛽 es
A) −2 B) −1 C) −
1
2
D) −
1
2
E) 1
𝛼
𝛽
𝛼
𝛽
Y
XO
𝒂
𝒃
𝒂
𝒃
Piden: 𝑅 = tan𝛼 tan𝛽
El triángulo PMO es congruente 
al triángulo QNO
tan𝛼 =
−𝑎
−𝑏
Luego: 𝑅 =
−𝑎
−𝑏
∙
𝑏
−𝑎
M
N
En la figura mostrada 𝑀 = (−5; 4)
es punto medio de AB. Calcule 
sen 𝛼−sen 𝛽
cos 𝛼−cos 𝛽
A) −
5
4
B) −
4
5
C)
4
5
D) 
5
4
E) 
7
5
Reto UNI
𝛼
𝛽
A
B
M
(−𝒃;−𝒂)
(−𝒂; 𝒃)
∧ tan𝛽 =
𝑏
−𝑎
∴ 𝑹 = −𝟏
Elegimos P y Q tal que 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄
𝑷
𝑸
Signos de las razones trigonométricas
en cada cuadrante 
Sea 𝛼 un ángulo en posición normal con lado final en
algún cuadrante. Entonces considerando las
coordenadas de un punto en el lado final, observaremos
que las razones trigonométricas pueden ser positivas o
negativas. En general, tenemos el siguiente cuadro de
signos de las razones trigonométricas.
Aplicación
Cuadrante Razones 
trigonométricas 
positivas
Razones 
trigonométricas 
negativas
IC Todas las Razones 
trigonométricas
Ninguna 
IIC sen𝛼 𝑦 csc 𝛼 tan𝛼 , cot 𝛼 , cos 𝛼 , sec 𝛼
IIIC tan 𝛼 𝑦 co𝑡 𝛼 sen𝛼 , csc 𝛼 , cos 𝛼 , sec 𝛼
IVC cos 𝛼 𝑦 sec 𝛼 sen𝛼 , csc 𝛼 , tan𝛼 , cot 𝛼
Si tan 𝜃 > 0 y cos 𝜃 < 0, determine el signo de las 
siguientes expresiones
𝑁 = 𝑐𝑜𝑡𝜃 − 𝑐𝑠𝑐𝜃
𝑀 = 𝑐𝑜𝑠3𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
tan 𝜃 > 0 ………….(I)
cos 𝜃 < 0 ………….(II)
De (I) y (II):
𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐶.
❑ N= cot θ − cscθ
N= (+) – (–)=(+)+(+)
N= (+)
Veamos
❑ M = 𝑐𝑜𝑠3𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
M = (– ) 3+ (– )
M = (– ) + (– )
M = (−)
De forma práctica, podemos considerar el esquema
sen
cos
tan
cot
cos
sec
(+)
(+) (+)
Todas son 
positivas
Aplicación UNI 2014 II
Sea 𝜃 un ángulo en el III
cuadrante que satisface:
cot 𝜃 2 tan 𝜃 =
8
27
Determine el valor de
𝐸 = 3 cos 𝜃 + 2 sen 𝜃
A)
9
12
B)
8
13
C)
−3
13
D)
−12
13
E)
−13
12
Resolución
Piden: 𝐸 = 3 cos 𝜃 + 2 sen 𝜃
En el dato: 
cot 𝜃 2 tan 𝜃 =
𝟐
𝟑
𝟑
cot 𝜃 2 tan 𝜃 =
2
3
𝟐
𝟑
𝟐
Entonces
tan 𝜃 =
3
2
Como 𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐼
tan 𝜃 =
−3
−2
𝜽
X
Y
𝑃 −2;−3
13
Reemplazando
𝐸 = 3
−2
13
+ 2
−3
13
∴ 𝑬 =
−𝟏𝟐
𝟏𝟑
Observación
Ordenada<0
Abscisa<0
De forma práctica para determinar
las RT podemos considerar un
triángulo rectángulo y luego agregar
los signos correspondientes.
tan 𝜃 =
3
2
3
2
𝟏𝟑
𝜽
sen 𝜃 =
3
13
cos 𝜃 =
2
13
Como 𝜽 ∈ 𝑰𝑰𝑰
− −
Razones trigonométricas de 
ángulos cuadrantales 
Sea 𝛼 un ángulo en posición normal con lado
final en algún semieje del plano cartesiano,
entonces es un ángulo cuadrantal. La medida
de 𝛼 se determina por
Para el cálculo de las
razones trigonométricas de
90°, dibujamos en el plano
cartesiano y asumimos
un punto “P” a una
distancia 2 del origen de
coordenadas, tal como se
muestra en la figura
90°
X
Y
Del gráfico
sen 90° =
𝑦
𝑟
=
2
2
= 1
cos 90° =
𝑥
𝑟
=
0
2
= 0
tan 90° =
𝑦
𝑥
=
2
0
= 𝑁𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜(𝑁𝐷)
Si repetimos el proceso para los diferentes ángulos
cuadrantales obtendremos el siguiente cuadro:
(0; 2)
O
𝛼 = 90°𝑘 ∨ 𝛼 =
𝜋𝑘
2
rad
𝛼 = 0, 90, 180, 270, …
Ejemplos
0° 90° 180° 270° 360°
𝐬𝐞𝐧 0 1 0 -1 0
𝐜𝐨𝐬 1 0 -1 0 1
𝐭𝐚𝐧 0 ND 0 ND 0
𝐜𝐨𝐭 ND 0 ND 0 ND
𝐬𝐞𝐜 1 ND -1 ND 0
𝐜𝐬𝐜 ND 1 ND -1 ND
Aplicación UNI
Si 𝛼 y 𝛽 son ángulos
cuadrantales, positivos y
menores que una vuelta,
que cumplen cos2 𝛼 −
sen𝛽 = 2, calcule el valor
de la expresión
𝐸 = sen
𝛼
2
+ cos 𝛽 − 𝛼
A) −3
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
𝛼 ; 𝛽 ∈ 90°, 180°; 270°
𝑐𝑜𝑠2α − 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 2
𝑐𝑜𝑠2α = 2 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 ………… 𝐼
Resolución
Por ser 𝛼 ángulo cuadrantal, tenemos 
los casos siguientes:
❑ Si α = 90° ó 270° ⇒ cosα = 0
Remplazando (I): 0 = 2 + senβ
senβ = −2 =
−2
1
=
𝑦
𝑟
, esto no es posible 
(𝑟 ≥ 𝑦 )
Entonces:𝜶 ≠ 𝟗𝟎° 𝒚 𝜶 ≠ 𝟐𝟕𝟎°
❑ Si α = 180° ⟹ cosα = −1
Remplazando (I): −1 2 = 2 + senβ
senβ = −1 → 𝛽 = 270°
Luego 𝜷 = 𝟐𝟕𝟎° 𝑦 𝜶 = 𝟏𝟖𝟎°
Reemplazando en 𝐸:
𝐸 = sen90° + cos90°
𝐸 = 1 +0
∴ 𝑬 = 𝟏
En el gráfico mostrado si 𝐴𝐵 ∥
𝐶𝐷, entonces el valor de tan 𝜃
es
A) −
3
2
B) −
1
2
C)−
1
3
D) 
1
2
E) 
3
2
UNI 2017 I
A 0;−4
𝐵 −6;−8
D
𝜃
C
Resolución
Aplicación UNI 
De la figura mostrada, calcule
𝐸 = cos 𝜃 + sen 𝜃
Siendo 𝑃 = (0; 7) y 𝑄 =
(24; 0)
A)
9
12
B)
8
13
C)
−3
13
D)
−12
13
E)
−13
12
𝜽 X
Y
P
Q
Para determinar las RT de un ángulo
que no están en posición normal
hacemos una rotación o traslación
del ángulo, manteniendo magnitud y
orientación.
𝜽 X
Y
P
Q
Observar que 𝑚∡𝐴𝑂𝐵
A
O
B
C
Manteniendo la orientación
giramos el ángulo, tal como se
muestra en el gráfico.
Observamos que 𝜃 es ahora un
ángulo en posición normal.
𝐷(24; 7)
𝜽
Sea C un punto simétrico al D(24; 7)
entonces
𝐶 = (−24;−7)
Además 
𝑂𝐶 = (−24)2+(−7)2= 25
Luego
𝐸 =
−24
25
+
−7
25
∴ 𝑬 =
−𝟑𝟏
𝟐𝟓
= 𝑚∡𝐶𝑂𝑄
𝑪(−𝟐𝟒;−𝟕)
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe