Semestral UNI_Geometria_semana 17(1)

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PIRÁMIDE Y CONO
GEOMETRÍA
17SEMANA
3 APLICAR LO APRENDIDO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASTIPO EXAMEN DE ADMISIÓN UNI.
OBJETIVOS
1 CONOCER LA DEFINICIÓN Y CARACTERÍSTICAS DEL PIRÁMIDE REGULAR Y DEL CONO DE REVOLUCIÓN.
2 CONOCER EL CÁLCULO DEL ÁREA DE LA SUPERFICIE Y CALCULO DEL VOLUMEN DEL PIRÁMIDE Y CONO.
INTRODUCCIÓN
Las Pirámides son sólidos muy
conocidos desde la antigüedad, y se han escrito
muchas páginas no solo para mostrar sus
propiedades matemáticas, sino también sus
propiedades misteriosas que algunos
estudiosos dicen tener, principalmente los que
se dedican al estudio de la geometría sagrada,
por años estas formas han sido encontradas en
diversas culturas de la humanidad llegando a
ser este hecho todo un misterio.
CATEDRAL DE MARINGÁ
CASAS DE BAMBÚ
Los conos de revolución también tienen
aplicación en las estructuras, como por ejemplo
La Catedral de Maringá y la estructuras de las
casas de BAMBÚ.
NOTA
Es la superficie generada, cuando una línea recta, denominada generatriz, recorre todos los puntos de una línea poligonal plana no secante
a si misma, denominada directriz, pasando siempre por un punto fijo exterior al plano de la directriz y conocido como vértice o cúspide.
GENERATRIZ
DIRECTRIZ
SUPERFICIE PIRAMIDAL
La superficie piramidal
generada en el gráfico
mostrado es abierta.
Vértice o 
cúspide
Hojas o 
mantos
N
O
T
A
PIRÁMIDE
Es el sólido geométrico que se encuentra limitado por una superficie piramidal cerrada y un plano secante a
dicha superficie que no contenga al vértice.
DEFINICIÓN
Vértice o 
cúspide
NOTACIÓN:
Pirámide V-ABCDE
ELEMENTOS 
𝑉
𝐸
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑅
𝑀
𝑃
𝑄
Dependiendo de la ubicación del pie de la altura,
podemos indicar que una pirámide es recta u
oblicua. Será recta si el pie de la altura coincide con
el centroide de la base, caso contrario será oblicua.
Pirámide M-PQR
𝐺 𝐺′
 Si 𝐺 es el centroide de la base, entonces 
𝑽 − 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 es una pirámide recta.
 Si 𝐺′ es el centroide de la base, entonces 
𝑴− 𝑷𝑸𝑹 es una pirámide oblicua.
Cara lateral
Arista lateral
Arista básica
Altura 
Base 
NOTACIÓN:
𝕍𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 =
𝔸𝑆.𝑇 =
𝔸𝑆.𝐿 =
 Para toda pirámide
𝑩 ℎ
3
 Cálculo del área de la superficie lateral
 Cálculo del área de la superficie total
 Cálculo del volumen
 
á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠
𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠
𝔸𝑆.𝐿 + 𝔸𝐵𝐴𝑆𝐸
ℎ
𝛽
𝐷
𝑉
𝐴
𝐵 𝐶
Una PIRÁMIDE ES REGULAR, cuando sea recta y
cuya base esté limitada por un polígono regular.
BASE
Es una región
limitada por un
polígono regular.
CARAS LATERALES
Están limitadas por triángulos
isósceles, entonces las aristas
laterales tienen longitudes
iguales.
APOTEMA 
𝜶: Medida del ángulo entre una arista lateral y la base
𝜷: Medida del diedro entre una cara lateral y la base
 Para una pirámide regular, podemos calcular la
superficie lateral de la siguiente manera:
𝔸𝑺.𝑳 =
𝔸𝟏 𝒄𝒂𝒓𝒂
𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝒏°𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆
𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆
= 𝒑𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒂𝒑
Es la altura relativa a la
arista básica en las
caras laterales.
𝑀
𝑂
PIRÁMIDE REGULAR
𝑂: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑏
𝑏
𝑏
𝑎𝑝
𝒑𝒃𝒂𝒔𝒆: Semiperímetro de la base
𝐷𝐴
𝐵 𝐶
Resolución:
𝟐𝟎𝟐𝟎 − 𝑰EXAMEN UNI
Se tiene un paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 en cuyo
interior se toma un punto 𝑃. Por 𝑃 se levanta
una perpendicular al plano del paralelogramo
y en ella se toma un punto 𝐸. Halle el volumen
en 𝑚3 de la pirámide 𝐸 − 𝐷𝑃𝐶 , si los
volúmenes de las pirámides 𝐸 −𝐷𝑃𝐴, 𝐸 −
𝐶𝑃𝐵 y 𝐸 − 𝐵𝑃𝐴 son 10𝑚3, 12𝑚3 y 14𝑚3
respectivamente.
𝐴) 6 𝐵) 7 𝐶) 8
𝐷) 10 𝐸) 13
𝑃
𝐸
 Para aprovechar el dato de lo
volúmenes, vamos a representar
con letras las áreas de las bases.
Nos piden 𝕍𝐸−𝐷𝑃𝐶
• Del dato, tenemos:
𝔸ℎ
3
= 14,
𝔻ℎ
3
= 10,
𝔹ℎ
3
= 12,
• Del recordar:
𝔸 + ℂ = 𝔹+𝔻
=
ℂℎ
3
• Multiplicamos por
ℎ
3
• Luego:
𝔸ℎ
3
+
ℂℎ
3
=
𝔹ℎ
3
+
𝔻ℎ
3
14 12 10
∴ 𝕍𝑬−𝑫𝑷𝑪 = 𝟖
Clave 𝑪
RECORDAR:
ℎ
Resolución:
𝟐𝟎𝟏𝟑 − 𝑰EXAMEN UNI
En la figura, 𝑂 − 𝐴𝐵𝐶 es una pirámide
regular. Calcule la relación que existe entre el
volumen de la pirámide regular y el volumen
del tronco de cilindro (O es centro).
𝐴)
3
3𝜋
𝐵)
2 3
3𝜋
R
E
C
O
R
D
A
R
𝐶)
3
4𝜋
𝐷)
3 3
4𝜋
𝐸)
3
2𝜋
Nos piden
𝕍𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒
𝕍𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒
𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝑒
𝑅
3𝑅
3𝑅
3𝑅
𝐶
𝑂
𝐴
𝐵
• Sea R el radio de la base del tronco de
cilindro, por circunferencia sabemos:
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝑅 3
• Con ello, podemos hacer los cálculos
respectivos:
𝕍𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 =
𝑅 3
2
3
4 𝑒
3
𝕍𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒
𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
= 𝜋𝑅2𝑒
• Dividimos:
∴
𝕍𝒑𝒊𝒓á𝒎𝒊𝒅𝒆
𝕍𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 𝒅𝒆
𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐
=
𝟑
𝟒𝝅
Clave 𝑪
𝐷
𝑉
𝐵 𝑂𝑚 𝑚
𝑉
𝐴 𝐶𝑂𝑚 𝑚
1
𝑎
+
1
𝑐
=
TEOREMA
𝐷
𝑉
𝐴
𝐵 𝐶
𝑂
𝑎
𝑏
𝑑
Sea 𝑉 − 𝐴𝐵𝐶𝐷 pirámide recta de base cuadrangular equiángula
Se cumple:
1
𝑏
+
1
𝑑
DEMOSTRACIÓN:
𝑀
𝑃
𝑅
𝑄
𝑆
• Las secciones planas 𝐴𝑉𝐶, 𝐵𝑉𝐷 y𝑀𝑃𝑄𝑅 son secantes en el punto S.
𝑚 𝑚
𝑚𝑚
Luego:
𝑎
𝑏
𝑑
≅
𝜃 𝜃 𝜃 𝜃
𝑀
𝑄
𝑆
𝑃
𝑅𝑆
Tener en cuenta:
𝜃 𝜃
𝑥
𝑛𝑚
Se cumple:
𝑥 =
2𝑚𝑛
𝑚 + 𝑛
𝑐𝑜𝑠𝜃
• Se tiene:
ℓ ℓ
ℓ =
2𝑎𝑐
𝑎 + 𝑐
𝑐𝑜𝑠𝜃 ℓ =
2𝑏𝑑
𝑏 + 𝑑
𝑐𝑜𝑠𝜃…(𝑖) …(𝑖𝑖)
• De (𝑖) y 𝑖𝑖 :
𝑎𝑐
𝑎 + 𝑐
=
𝑏𝑑
𝑏 + 𝑑
∴
𝟏
𝒂
+
𝟏
𝒄
=
𝟏
𝒃
+
𝟏
𝒅
Plano secante a la 
superficie lateral
𝕍𝑴−𝑷𝑸𝑹
𝕍𝑴−𝑨𝑩𝑪
=
1. Sea 𝑀 − 𝐴𝐵𝐶 pirámide triangular
𝑀
𝑙
𝑚
𝑛
𝐴
𝐵
𝐶
Se cumple:
𝒎 ∙ 𝒏 ∙ 𝒍
𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄
TEOREMAS
𝑃
𝑅
𝑄
𝑐𝑎
Plano secante a la 
superficie lateral
2. Sea ▰𝑀 ∥▰𝑁
𝐷
𝑉
𝐴
𝐵 𝐶
𝑃
𝐿
𝑄
𝑆
Pirámide 
deficiente
Tronco de 
pirámide
𝐻
ℎ
𝑽𝑳
𝑽𝑨
=
𝔹
𝔸
=
𝕍𝑽−𝑳𝑷𝑸𝑺
𝕍𝑽−𝑨𝑩𝑪𝑫
=
𝑽𝑸
𝑽𝑪
=
𝑷𝑸
𝑩𝑪
=
𝒉
𝑯
= ⋯
𝑽𝑳
𝑽𝑨
𝟐
=
𝑽𝑸
𝑽𝑪
𝟐
=
𝒉
𝑯
𝟐
= ⋯
𝑷𝑸
𝑩𝑪
𝟑
=
𝑽𝑸
𝑽𝑪
𝟑
= ⋯
 RAZÓN DE LÍNEAS:
 RAZÓN DE ÁREAS:
 RAZÓN DE VOLÚMENES:
SE CUMPLE
ℎ′
Altura del 
tronco de 
pirámide 
NOTALa superficie cónica
generada en el gráfico
mostrado es abierta.
GENERATRIZ
DIRECTRIZ
SUPERFICIE CÓNICA
Es la superficie generada, cuando una línea recta, denominada generatriz, recorre todos los puntos de una línea curva plana no secante a si
misma, denominada directriz, pasando siempre por un punto fijo exterior al plano de la directriz y conocido como vértice o cúspide.
Vértice o 
cúspide Hojas o 
mantos
DEFINICIÓNCONO
Es el sólido geométrico que se encuentra limitado por una superficie cónica
cerrada y un plano secante a dicha superficie que no contenga al vértice.
Vértice o 
cúspide
ELEMENTOS 
Base 
Altura 
Generatriz
Para todo cono, el volumen se calcula como:
𝕍𝒄𝒐𝒏𝒐 =
ℎ
𝑩 ℎ
3
La altura de un cono puede ubicarse
incluso en su zona exterior.
Es aquel cono en el cual su altura llega al
centro de gravedad de su base
La altura no debe llegar al centro de
gravedad de su base.
CLASIFICACIÓN
CONO RECTO CONO OBLICUO
C.G
C.G. Centro de gravedad 
de la base
C.G
C.G. Centro de gravedad de 
la base
C.G
C.G. Centro de gravedad
de la base
𝑅
𝐵𝐴
𝑉
𝑂
Eje de giro
Región triangular
rectangular que
generará al cono
Ésta debe de
girar 360° en
torno al eje
de giro
Cono de revolución o cono 
circular recto
Del gráfico:
• 𝑂 centro de la base.
• 𝑉𝑂 es el eje del cilindro.
• 𝐴𝑉𝐵 es la sección axial.
• 𝐴𝑉 y 𝑉𝐵 son generatrices
diametralmente opuestas
 Volumen
𝕍 =
(𝝅𝑹𝟐) 𝒉
NOTA
Si la sección axial de un cono de revolución es una
región triangular equilátera, a dicho cono se le
denomina equilátero.
𝑔
= 2𝑅
𝑅
𝑅𝑅
𝑔
3
ℎ
𝑉
𝐵
𝐵
DESARROLLO DE LA 
SUPERFICIE LATERAL
Desarrollar la superficie lateral de un cono de revolución (Cono circular recto) es aplicar su superficie sobre un
plano, si esto se realiza separando una generatriz, entonces el desarrollo será un sector circular.
𝐵𝐴
𝑉
𝑂
𝑔
𝜃
𝑅
𝑔
 La generatriz del
cono, en el desarrollo
viene a ser el radio
del sector.
 El perímetro de la
base del cono 2𝜋𝑅
será la longitud del
arco del sector.
Ángulo dedesarrollo
Se cumple:
 Área de la superficie lateral
 Área de la superficie total
𝔸𝑺.𝑳 =
𝔸𝑺.𝑻 = 𝔸𝑺.𝑳 + 𝔸𝒃𝒂𝒔𝒆
𝝅𝑹𝒈
𝔸𝒔𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓
𝔸𝑺.𝑳 =
𝜋𝑅𝑔 𝜋𝑅2
𝔸𝑺.𝑻 = 𝝅𝑹 𝒈+ 𝑹
 Cálculo de la medida del ángulo de desarrollo
𝜃 = 𝟑𝟔𝟎°
𝑹
𝒈
NOTA: EN EL CONO EQUILÁTERO
La medida del ángulo de desarrollo es 180°, 
entonces el desarrollo de su superficie lateral es un 
semicírculo.
Sea ▰𝑀 ∥▰𝑁
𝐻
ℎ
𝔹
𝔸
=
𝕍𝑽−𝑳𝑷𝑸𝑺
𝕍𝑽−𝑨𝑩𝑪𝑫
=
𝒉
𝑯
= ⋯
𝒈′
𝒈
𝟐
=
𝒓
𝑹
𝟐
=
𝒉
𝑯
𝟐
= ⋯
𝒓
𝑹
𝟑
=
𝒉
𝑯
𝟑
= ⋯
 RAZÓN DE LÍNEAS:
 RAZÓN DE ÁREAS:
 RAZÓN DE VOLÚMENES:
SE CUMPLE
𝑔′
Tronco 
de cono
Cono parcial 
o deficiente
𝑔
Cono 
total
𝑅
𝑟
𝒈′
𝒈
=
𝒓
𝑹
=
ℎ′
𝐴) 3/4 𝐵) 5/4 𝐶) 7/4
𝐷) 9/4 𝐸) 11/4
Un cilindro de revolución está inscrito en un cono de revolución, de modo que una
de las bases del cilindro está sobre la base del cono. Si el volumen del cono es
18𝑚3, calcule el volumen del cono parcial determinado (en 𝑚3), sabiendo que el
volumen del cilindro es 3/7 del volumen del tronco de cono.
𝟐𝟎𝟏𝟗 − 𝑰𝑰EXAMEN UNI
Nos piden 𝕍𝑿= Volumen del cono parcial
𝕍𝐶𝑜𝑛𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙= 18𝑚
3
𝕍𝑥
C
o
n
o
 P
a
rc
ia
l
𝑟
𝑅
Dato:
𝕍𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 =
3
7
𝕍𝑇𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜
𝜋𝑟2ℎ =
3
7
ℎ𝜋
3
(𝑟2 +𝑅2 + 𝑅𝑟)
7𝑟2 = 𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅𝑟
𝑅2 + 𝑅𝑟 − 6𝑟2 = 0
𝑅
3𝑟𝑅
−2𝑟
𝑅 = 2𝑟
• De la semejanza de los conos:
• Reemplazando las formulas:
• Resolvemos la cuadrática:
𝕍𝑥
𝕍𝑐𝑜𝑛𝑜
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
= →
𝕍𝑥
18
=
1
8
𝑟3
(2𝑟)3
∴ 𝕍𝑿= 9/4 Clave 𝑫
TEOREMA
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e