TEMA-5-Funciones-trigonometricas-exponenciales-y-logaritmicas

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Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas 1
Página 129
REFLEXIONA Y RESUELVE
A vueltas con la noria
■ Modificando la escala, representa la función:
x : tiempo transcurrido
y : distancia al suelo
correspondiente a cuatro vueltas de la noria.
Muchas, muchas amebas
a) Calcula el número aproximado de amebas que habrá según pasan las horas y
completa esta tabla en tu cuaderno:
TIEMPO (horas)
N.º DE AMEBAS
0
1
1
2
2
4
3 4 5 6
DISTANCIA AL SUELO
1 vuelta
TIEMPO
2 vueltas 3 vueltas 4 vueltas
DISTANCIA AL SUELO
1 vuelta
TIEMPO
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS,
EXPONENCIALES 
Y LOGARÍTMICAS5
b)Representa gráficamente estos datos en
una hoja de papel cuadriculado.
c) Cambia los ejes y representa la función cuyas variables sean, ahora:
x : número de amebas
y : tiempo (en horas)
a)
b)
c)
Desintegración radiactiva
a) Completa la tabla siguiente (utiliza la calculadora para obtener los valores con
tres cifras decimales):
TIEMPO (años)
SUSTANCIA (kg)
0
1
1
0,5
2
0,250
3
0,125
4 5 6
N.° DE AMEBAS
1
10 20 30 40 50 60
2
3
4
5
6
TIEMPO (horas)
N.° DE AMEBAS
10
1 2 3 4 5 6
20
30
40
50
60
TIEMPO (horas)
TIEMPO (horas)
N.º DE AMEBAS
0
1
1
2
2
4
3
8
4
16
5
32
6
64
N.º DE AMEBAS
10
1 2 3 4 5 6
20
30
40
TIEMPO 
(horas)
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas2
b) Representa gráficamente los datos en papel cuadriculado.
c) Cambia los ejes y representa la función cuyas variables son, ahora:
x : peso de la sustancia radiactiva (en kg)
y : tiempo transcurrido (en años)
a)
b) c)
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1. Si f (x) = x2 – 5x + 3 y g (x) = x2, obtén las expresiones de f [ g(x)] y
g [ f (x)]. 
Halla f [ g(4)] y g [ f (4)].
f [g (x)] = f [x2] = x4 – 5x2 + 3
g [ f (x)] = g [x2 – 5x + 3] = (x2 – 5x + 3)2
f [g (4)] = 179; g [ f (4)] = 1
PESO (kg)
1
2
3
4
0,100 0,500 1,000
5
6
TIEMPO (años)
PESO (kg)
0,100
1 2 3 4 5 6
0,500
1,000
TIEMPO (años)
TIEMPO (años)
SUSTANCIA (kg)
0
1
1
0,5
2
0,250
3
0,125
4
0,063
5
0,031
6
0,016
PESO
(en kg)
TIEMPO
(en años)
1,000
0,100
0,250
0,500
1 2 3 4 5 6
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas 3
5UNIDAD
2. Si f (x) = sen x, g (x) = x2 + 5, halla f ° g, g ° f, f ° f y g ° g. Halla el valor de
estas funciones en x = 0 y x = 2.
f ° g (x) = sen (x
2 + 5); f ° g (0) = –0,96; f ° g (2) = 0,41
g ° f (x) = sen
2 x + 5; g ° f (0) = 5; g ° f (2) = 5,83
f ° f (x) = sen (sen x); f ° f (0) = 0; f ° f (2) = 0,79
g ° g (x) = (x
2 + 5)2 + 5; g ° g (0) = 30; g ° g (2) = 86
Página 131
1. Representa y = 2x, y = x/2 y comprueba que son inversas.
2. Comprueba que hay que descomponer y = x2 – 1 en dos ramas para hallar sus
inversas respecto de la recta y = x . Averigua cuáles son.
a) y = x2 – 1 si x ≥ 0 b) y = x2 – 1 si x < 0
y–1 = y–1 = –
3. Si f (x) = x + 1 y g(x) = x – 1, comprueba que f [g (x)] = x. ¿Son f (x) y g (x)
funciones inversas? Comprueba que el punto (a, a + 1) está en la gráfica de f y
que el punto (a + 1, a) está en la gráfica de g. Representa las dos funciones y
observa su simetría respecto de la recta y = x.
f [g (x)] = f (x – 1) = (x – 1) + 1 = x
y = x2 – 1
y = √x + 1
y = x
y = x
Y
X
y = x2 – 1
y = –√x + 1
Y
X
√x + 1√x + 1
y = 2x
y = x
y = x/2
Y
X
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas4
Son funciones inversas.
Página 133
1. La masa de madera de un bosque aumenta en un 40% cada 100 años. Si toma-
mos como unidad de masa vegetal (biomasa) la que había en el año 1800, que
consideramos instante inicial, y como unidad de tiempo 100 años, la función
M = 1,4t nos da la cantidad de masa vegetal, M, en un instante cualquiera, t
expresado en siglos a partir de 1800 (razona por qué).
a) Averigua cuándo habrá una masa de madera triple que en 1800 (1,4t = 3) y
cuándo había la tercera parte. Observa que los dos periodos de tiempo son
iguales.
b)Calcula la cantidad de madera que habrá, o había, en 1900, 1990, 2000, 1600
y 1550.
M = 1,4t
a) • Buscamos el valor de t para el cual 1,4t = 3:
1,4t = 3 8 ln (1,4)t = ln (3) 8 t ln (1,4) = ln (3) 8 t = ≈ 3,27
Cuando pasen 3,27 · 100 = 327 años, se habrá triplicado la masa de madera. Esto
es, en el año 1800 + 327 = 2127.
• Buscamos el valor de t para el cual 1,4t = = 3–1:
1,4t = 3–1 8 ln (1,4)t = ln (3)–1 8 t ln (1,4) = –ln (3) 8 t = – ≈ –3,27
Hace 3,27 · 100 = 327 años, había la tercera parte de masa de madera. Esto es, en
el año 1800 – 327 = 1473.
b) 1900 8 t = 1 8 M = 1,41 = 1,4
1990 8 t = = 1,9 8 M = 1,41,9 ≈ 1,90
2000 8 t = = 2 8 M = 1,42 = 1,96
2000 – 1800
100
1990 – 1800
100
ln 3
ln 1,4
1
3
ln 3
ln 1,4
y = x + 1
y = x – 1
Y
X
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas 5
5UNIDAD
1600 8 t = = –2 8 M = 1,4–2 ≈ 0,51
1550 8 t = = –2,5 8 M = 1,4–2,5 ≈ 0,43
2. Comprueba que, en el ejemplo anterior referente a la desintegración de una
cierta sustancia radiactiva, M = m · 0,76t (t expresado en miles de años), el
periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad la
sustancia radiactiva) es de, aproximadamente, 2 500 años.
Para ello, comprueba que una cantidad inicial cualquiera se reduce a la mitad
(aproximadamente) al cabo de 2 500 años (t = 2,5).
M = m · 0,76t
La cantidad inicial se ha reducido (aproximadamente) a la mitad en 2 500 años.
°
§
¢
§
£
Si t = 0 8 M = m · 0,760 = m
m
Si t = 0,25 8 M = m · 0,762,5 ≈ m · 0,5 = —
2
1550 – 1800
100
1600 – 1800
100
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas6
Página 143
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Composición y función inversa
1 Dadas las funciones f (x) = x + 3 y g(x) = , halla:
a) f [g (2)] b) g [ f (–1)] c) f [g (x)] d) g [ f (x)]
a) f [g (2)] = f = f (5) = 5 + 3 = 8
b) g [ f (–1)] = g (–1 + 3) = = 5
c) f [g (x)] = f = + 3
d) g [ f (x)] = g (x + 3) = 
2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 – 2x obtén la expresión de las siguientes fun-
ciones:
a) f " g b) g " f c) f " f d) g " g
a) f " g (x) = f [g (x)] = f (x2 – 2x) = 2(x2 – 2x) + 3 = 2x2 – 4x + 3
b) g " f (x) = g [2x + 3] = (2x + 3)2 – 2(2x + 3) = 4x2 + 8x + 3
c) f " f (x) = f (2x + 3) = 2(2x + 3) + 3 = 4x + 9
d) g " g (x) = g (x2 – 2x) = (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) = x4 – 4x3 + 2x2 + 4x
3 ¿Cuál es la función inversa de f (x) = 2x – 3?
Representa f (x) y f –1(x) en los mismos ejes coordenados y comprueba
su simetría respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
y = 2x – 3 8 x = 2y – 3 8 = y
f –1(x) = 
f –1
f 
X
Y
1 2 3–3 –2 –1
–1
–2
–3
3
2
1
x + 3
2
x + 3
2
5(x + 3)
2
5x
2)5x2(
5 · 2
2
]5 · 22[
5x
2
PARA PRACTICAR
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas 7
5UNIDAD
4 Considera las funciones f y g definidas por f (x) = x2 + 1 y g(x) = . 
Calcula:
a) ( f " g) (2) b) ( g " f ) (–3) c) ( g " g) (x) d) ( f " g) (x)
a) ( f " g) (2) = f [g (2)] = f = 
2
+ 1 = 
b) ( g " f ) (–3) = g [f (–3)] = g (10) = 
c) ( g " g) (x) = g [g (x)] = g = = x
d) ( f " g) (x) = f [g (x)] = f = 
2
+ 1 = + 1
5 Dadas las funciones f (x) = 3x + 2 y g(x) = , halla:
a) ( f " g) (x) b) ( g " f ) (x) c) ( g " g) (x)
a) ( f " g) (x) = f [g (x)] = f ( ) = 3 + 2
b) ( g " f ) (x) = g [f (x)] = g (3x + 2) = 
c) ( g " g) (x) = g [g (x)] = g ( ) = = 
6 Con las funciones f(x) = y g(x) = x – 2, hemos obtenido por compo-
sición las funciones p(x) = y q(x) = – 2. Indica cuál de estas
expresiones corresponde a f " g y cuál a g " f .
( f " g) (x) = f [g (x)] = 8 ( f " g) (x) = p (x)
( g " f ) (x) = g [f (x)] = – 2 8 ( g " f ) (x) = q (x)
7 Halla la función inversa de estas funciones:
a) y = 3x b) y = x + 7 c) y = 3x – 2
a) y = 3x 8 x = 3y 8 y = 8 f –1(x) = 
b) y = x + 7 8 x = y + 7 8 y = x – 7 8 f –1(x) = x – 7
c) y = 3x – 2 8 x = 3y – 2 8 y = 8 f –1(x) = x + 2
3
x + 2
3
x
3
x
3
1
x2
1
(x – 2)2
1
x2
1
(x – 2)2
1
x24√x√√—x√x
√3x + 2
√x√x
√x
1
x2)1x()1x(
1
1/x)1x(
1
10
5
4)12()12(
1
x
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas8
8 Dada la función f (x) = 1 + , halla f –1(x). Representa las dos funciones
y comprueba su simetría respecto de la bisectriz del primer cuadrante.
y = 1 + 8 x = 1 + 8 (x – 1)2 = y 8 f –1(x) = (x – 1)2
Funciones exponenciales y logarítmicas
9 Con ayuda de la calculadora, haz una tabla de valores de la función y = 
x
y represéntala gráficamente.
10 Representa la función y = 
x
. ¿Es creciente o decreciente?
1
2
2
f(x) = (—)x65
Y
X
–2
3
1 3–1–3 Es creciente.
)65(
1
2
2
y = (—)x35
Y
X–2
3
4
1 3–1–3
x
y
–3
4,63
–2
2,78
–1
1,67
0
1
1
0,6
2
0,36
3
0,22
)35(
y = (x – 1)2, x Ó 1
y = 1 + √x
y = x
2
4
6
8
Y
X
2 4 6 8
√y√x
√x
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas 9
5UNIDAD
11 Comprueba que las gráficas de y = 3x e y =
x
son simétricas respecto al eje
OY.
☛ Represéntalas en los mismos ejes.
12 Representa las funciones:
a) y = 2x + 1
b) y = 2x – 3
☛ Utiliza la gráfica de y = 2 x.
13 Representa las siguientes funciones:
a) y = 2x – 1
b) y = 
x + 3
c) y = 1 – 2x
d) y = 2–x
)12(
y = 1
y = 2x
y = 2x + 1
2
4
4
Y
X
6
8
2–2–4
y = –3
y = 2x
y = 2x – 3
a) b)
2
4
4
Y
X
–2
6
2–2–4
2
4
4
Y
X
6
8
62–2–4–6
(0, 1)
y = 3x
y = (—)x13
)13(
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas10
14 Haz una tabla de valores de la función y = 3x. A partir de ella, representa la
función y = log3 x.
☛ Si el punto (2, 9) pertenece a y = 3x, el punto (9, 2) pertenecerá a y = log3 x.
2
4
2
(1, 0)
(0, 1)
y = 3x
y = log3 x
Y
X
–4 –2
–2
4
x
log3x
1/9
–2
1/3
–1
1
0
3
1
9
2
x
3x
–2
1/9
–1
1/3
0
1
1
3
2
9
(0, —)12 (0, —)1824
4
Y
X
6
8
10
12
14
16
62–2–4
a) b)
1
2
4
Y
X
3
4
2–2–4
2
4
Y
X
6
8
10
12
14
2–2–4
c) d)
y = 1
4
Y
X
–6
–4
–2
2
2–2–4
(0, 1)
4
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas 11
5UNIDAD
15 Representa la gráfica de y = log1/3 x a partir de la gráfica de y = 
x
.
16 Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y = 5log x y re-
preséntala gráficamente.
17 Representa la función y = 1 + ln x.
☛ Mira el ejercicio resuelto 2.
4
Y
X
1
3
2
6 8 102
4
Y
X
1
3
5
6 8 102
x
y
0,5
–1,5
1
0
1,5
0,88
2
1,5
3
2,38
6
3,89
10
5
y = log1/3 x
1
2
2
y = (—)x13
Y
X
–1
3
4
1 3 4 5–1–2
)13(
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas12
18 Representa estas funciones a partir de la gráfica de y = log2 x :
a) y = 1 + log2 x
b) y = log2 (x – 1)
☛ En b), el dominio es (1, +@).
a) y = 1 + log2 x
b) y = log2 (x – 1)
19 ¿Cuál es el dominio de esta función?
y = log2 (2 – x)
Represéntala.
Dominio: (–@, 2)
x = 2
Y
X
–2
–4
2
42–2–4
2
Y
X
–2
–4
3 4 5 61
x = 1
y = log2 x
y = log2 (x – 1)
2
(—, 0)12
y = 1 + log2 x
y = log2 x
2
Y
X
–2
–4
2
3 4 5 61
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas 13
5UNIDAD
Página 144
Funciones trigonométricas
20 Representa las funciones:
a) y = 1 + sen x b) y = –cos x
21 Asocia a cada una de las siguientes funciones, la gráfica que le corresponde:
a) y = cos 2x b) y = –sen x c) y = 2sen x d) y = 1 + cos x
a) 8 II
b) 8 I
c) 8 IV
d) 8 III
1
1
1
–1
π 2ππ–
2
 π––
 2
3π—
2
–1
π 2π
π–
2
 π––
 2
3π—
2
–1
π 2ππ–
2
 π––
 2
3π—
2
2
1
–1
–2
π 2ππ–
2
 π––
 2
3π—
2
2
I
II
III
IV
1
2
π/2–π/2 π–π 3π/2–3π/2 2π–2π
a)
1
π/2–π/2 π–π
–1
3π/2–3π/2 2π–2π
b)
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas14
22 Representa las siguientes funciones:
a) y = |sen x| b) y = |cos x|
23 Busca, en cada caso, los valores de x comprendidos entre 0 y 2π que veri-
fiquen:
a) sen x = 0 b) sen x = –1
c) cos x = 1 d) cos x = 0
a) sen x = 0 8 x = 0; x = π; x = 2π
b) sen x = –1 8 x = 
c) cos x = 1 8 x = 0; x = 2π
d) cos x = 0 8 x = ; x = 
24 La siguiente gráfica representa la variación de un movimiento que se repite
periódicamente:
a) Represéntala en el intervalo [0, 10]. b) Calcula f (7), f (10) y f (20).
a) b) f (7) = 1; f (10) = 2; f (20) = 0
X2 4
2
Y
6 8 10
X2 4
2
Y
3π
2
π
2
3π
2
1
a)
π 2ππ–
2
 π––
 2
3π—
2
1b)
π 2ππ–
2
 π––
 2
3π—
2
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas 15
5UNIDAD
25 La gráfica de una función exponencial del tipo y = k ax pasa por los pun-
tos (0; 0,5) y (1; 1,7).
Calcula k y a, y representa la función.
☛ Mira el problema resuelto 4.
8
La función es y = 0,5 · (3,4)x
26 Se llama inflación a la pérdida de valor del dinero; es decir, si un artículo
que costó 100 € al cabo de un año cuesta 104 €, la inflación ha sido del 4%.
Si la inflación se mantiene constante en el 4% anual, ¿cuánto costará den-
tro de 5 años un terreno que hoy cuesta 12 000 €?
12000 · (1,04)5 = 14 599,83 €
27 Un capital de 10 000 € se deposita en un banco al 8,4% de interés anual con
pago mensual de intereses. Escribe la función que nos dice en cuánto se
transforma ese capital en m meses.
Calcula cuánto tarda en duplicarse el capital.
C = 10 000 1 +
m
= 10 000 · (1,007)n
20000 = 10 000 · (1,007)m 8 2 = 1,007m 8 m = = 99,36
Tarda 100 meses en duplicarse.
28 La concentración de un fármaco en sangre viene dada por y = 100 (0,94)t
( y en mg, t en h).
a) Di cuál es la dosis inicial y la cantidad de ese fármaco que tiene el paciente
al cabo de 3 h.
b)Representa la función.
c) Si queremos que la concentración no baje de 60 mg, ¿al cabo de cuánto
tiempo tendremos que inyectarle de nuevo?
log 2
log 1,007
)8,41 200(
2
4
Y
X
42–4 –2
k = 0,5
a = 3,4
°
¢
£
0,5 = k
1,7 = k · a
°
¢
£
0,5 = k · a0
1,7 = k · a 1
PARA RESOLVER
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas16
a) t = 0 8 y = 100 mg
t = 3 8 y = 83 mg en 3 horas
b)
c) 100 · (0,94)t = 60 8 t ≈ 8 h 15 min
Al cabo de, aproximadamente, 8 h 15 min.
29 Considera estas funciones:
f (x) = x – 5 g(x) = h(x) = 
Explica cómo, a partir de f, g y h, se pueden obtener, por composición,
p, q y r :
p (x) = ; q(x) = – 5; r(x) = 
p = g ° f q = f ° g r = h ° g
30 Si f (x) = 2x y g(x) = log2 x, ¿cuál es la función ( f " g) (x)?
¿Y ( g " f ) (x)?
( f ° g) (x) = (g ° f ) (x) = x
31 Un cultivo de bacterias crece según la función y = 1 + 2x/10 (y: miles de
bacterias, x: horas). ¿Cuántas había en el momento inicial? ¿Y al cabo de
10 horas? ¿Cuánto tardarán en duplicarse?
x = 0 8 y = 1 + 20 = 1 + 1 = 2 8 2 000 bacterias en el momento inicial.
x = 10 8 y = 1 + 2 = 3 8 3 000 bacterias al cabo de 10 horas.
1 + 2x/10 = 4 8 x = ≈ 15,8 h ≈ 16 h
Tardarán en duplicarse unas 16 horas.
10 log 3
log 2
1
√x + 2
√x√x – 5
1
x + 2
√x
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10 20 30 40
CONCENTRACIÓN DE FÁRMACO (mg)
TIEMPO (horas)
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas 17
5UNIDAD
32 Halla la función inversa de estas funciones:
a) y = 3 · 2x – 1
b) y = 1 + 3x
a) x = 3 · 2y – 1; = 2y – 1; log2 = y – 1
y = 1 + log2 8 f
–1 (x) = 1 + log2 
b) x = 1 + 3y; x – 1 = 3y; log3(x – 1) = y 8 f
–1 (x) = log3 (x – 1)
Página 145
33 Estas gráficas corresponden a funciones del tipo y = ax, y = loga x. Identi-
fícalas e indica, en cada caso, si es a > 1 ó 0 < a < 1.
1) y = loga x, 0 < a < 1
2) y = ax, 0 < a < 1
3) y = loga x, a > 1
4) y = ax, a > 1
34 En las funciones y = ax e y = loga x, ¿puede ser negativa la y ? ¿Podemos
dar a x valores negativos?
Para y = ax : La y no puede ser negativa y podemos dar a x valores negativos.
Para y = loga x : La y puede ser negativa y no podemos dar a x valores negativos.
35 Las gráficas de las funciones y = loga x tienen un punto en común. ¿Cuál
es ese punto? ¿Cuál es el punto común de las funciones y = ax ?
(1, 0) es el punto común de las funcionesy = loga x.
(0, 1) es el punto común de las funciones y = ax.
1) Y
X
2) Y
X
3) Y
X
4) Y
X
CUESTIONES TEÓRICAS
x
3
x
3
x
3
x
3
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas18
36 Di para qué valores de a es creciente y para cuáles es decreciente cada una
de las funciones y = ax e y = loga x.
Para a > 1 la función y = loga x es creciente.
Para 0 < a < 1 la función y = loga x es decreciente.
Para a > 1 la función y = ax es creciente.
Para 0 < a < 1 la función y = ax es decreciente.
37 ¿Para qué valores de x se verifica 0 < ax < 1, siendo a > 1?
x < 0
38 Considera las funciones y = sen x e y = cos x.
a) ¿Cuál es su periodo?
b) ¿Entre qué valores están acotadas?
c) ¿Para qué valores de x es sen x < 0? ¿Y cos x < 0?
a) 2π
b) Entre –1 y 1.
c) Entre 0 y 2π: sen x < 0 para x é(π, 2π)
cos x < 0 para x é( , )
Página 145
AUTOEVALUACIÓN
1. Dadas las funciones:
f (x) = 2x + 1; g(x) = x2 – 5, halla:
a) g[ f (–2)]
b) f [g(0)]
c) f " f (x)
d) f " g(x)
a) g [ f (–2)] = g [ 2 · (–2) + 1] = g (–3) = (–3)2 – 5 = 9 – 5 = 4
b) f [g(0)] = f [02 – 5] = f (–5) = 2(–5) + 1 = –9
c) f " f (x) = f [ f (x)] = f (2x + 1) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 2 + 1 = 4x + 3
d) f " g(x) = f [g(x)] = f (x2 – 5) = 2(x2 – 5) + 1 = 2x2 – 10 + 1 = 2x2 – 9
3π
2
π
2
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas 19
5UNIDAD
2. ¿Cuál es la función inversa de f (x) = ?
Comprueba que f " f –1(4) = 4.
Para hallar la inversa de y = , cambiamos la x por la y, y despejamos la y:
x = 8 x2 = 3y – 2 8 3y = x2 + 2 8 y = 
Así, f –1(x) = 
Por otra parte:
f " f –1(4) = f = f = = = 4
3. Representa la gráfica de la función inversa de y = f (x).
La función f –1(x) es simétrica a f (x) respecto a la recta y = x. Así:
4. Representa las siguientes funciones:
a) y = 0,8x b) y = 1,5x c) y = ln x
a)
b) c)
1
1 2 3 4 5
–1
–2
y = ln x
X
Y
4
6
2
2–2–4–6–8 4 6
y = 1,5x
X
Y
4
6
2
2–2–4–6–8 4 6
y = 0,8x
X
f (x)
y = x
f –1(x)
Y
X
y = f (x)
Y
√1618√3 · — – 23)183()42 + 23(
x2 + 2
3
x2 + 2
3
√3y – 2
√3x – 2
√3x – 2
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas20
5. La gráfica de la función y = kax pasa por los puntos 0, y (5; 6,4). Halla k
y a y di si se trata de una función creciente o decreciente.
• Pasa por 0, :
= k · a0 = k 8 k = 
• Pasa por (5; 6,4):
6,4 = a5 8 a5 = 32 8 a = 2
Por tanto, la función es y = 2x. Es una función creciente, puesto que la base es
mayor que 1.
6. Justifica cuál de las siguientes funciones es la función inversa de y = 3x – 2.
a) y = 2 + log3 x b) y = c) y = log3 (x + 2)
La función es f (x) = 3x – 2. Veamos cada uno de los casos:
a) f (2 + log3 x) = 3
(2 + log3 x) – 2 = 32 · 3log3 x – 2 = 9x – 2 ? x
y = 2 + log3 x no es la inversa de f (x).
b) f ( ) = 3 – 2 ? x
y = no es la inversa de f (x).
c) f [log3 (x + 2)] = 3
log3 (x + 2) – 2 = (x + 2) – 2 = x
y = log3 (x + 2) sí es la inversa de f (x).
7. El precio de una furgoneta baja un 10% por año de utilización. Si costó
18 000 €, ¿cuánto tardará en reducirse a la mitad?
La función que describe esta situación es:
C = 18 000 · 0,9 t
Como queremos que el capital final sea 9 000 €:
9 000 = 18 000 · 0,9 t 8 0,9 t = 0,5 8 t = log0,9 0,5 = = 6,58
Por tanto, el capital se habrá reducido a la mitad entre el 6.º y el 7.º año.
log 0,5
log 0,9
3√x + 2
3√x + 23√x + 2
3√x + 2
1
5
1
5
1
5
1
5
)15(
)15(
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas 21
5UNIDAD
8. Una población de insectos crece según la función y = 1 + 0,5 · 20,4x (x = tiem-
po en días; y = número de insectos en miles).
a) ¿Cuál es la población inicial?
b)Calcula cuánto tarda en duplicarse.
a) La población inicial se calcula haciendo x = 0.
y (0) = 1 + 0,5 · 20,4 · 0 = 1 + 0,5 = 1,5
La población inicial es de 1 500 insectos.
b) Se duplicará al llegar a 3 000 insectos, es decir:
3 = 1 + 0,5 · 20,4x 8 20,4x = 8 20,4x = 4 8 20,4x = 22 8
8 0,4x = 2 8 x = 8 x = 5
Por tanto, la población de insectos se duplicará en 5 días.
9. Asocia a esta gráfica una de las siguientes expresiones y di cuál es su periodo:
a) y = cos x 
b) y = cos 2x
c) y = 2cos x
Completa estos puntos para que pertenezcan a la gráfica:
(5π/6, …), (4π/3, …), (–π/4, …).
La gráfica corresponde a la función b), y = cos 2x.
Su periodo es – = = π.
Los puntos buscados son: , , , – , – , 0)π4()124π3()125π6(
4π
4
π
4
5π
4
–1
1
π2π—
3
3π—
4
π—
6
π—
4
π—
3
π—
2
5π—
6
5π—
4
4π—
3
7π—
6
2
0,4
2
0,5
Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas22
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