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MatemáticasI SOLUCIONARIO 5 UNIDAD 1: Números Reales ACTIVIDADES-PÁG. 10 1. Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, obtenemos: a) 92 · 3 - 2 · 27 = (32)2 · 3 - 2 · 33 = 34 · 3 - 2 · 33 = 34 – 2 + 3 = 35 b) 8262 623 55·55· 5 1 25· 5 1 c) 3 3866 386 433 386 5 1 5 1 2·5·3 5·2·3 4·25·9 5·2·3 2. En las tablas aparecen los valores pedidos. Truncamiento de ...6596774,06,0 ...7489449,26 a) A las décimas 0,7 2,4 b) A las milésimas 0,774 2,449 c) A las millonésimas 0,774 596 2,449 489 Redondeo de ...6596774,06,0 ...7489449,26 a) A las décimas 0,8 2,4 b) A las milésimas 0,775 2,449 c) A las millonésimas 0,774 597 2,449 490 3. Si la velocidad de la luz es 3 · 108 m/s, el tiempo que tardará en recorrer 300 km = 3 · 105 m será: ss sm m t 001,0 10 1 /10·3 10·3 38 5 . El tiempo es una milésima de segundo. 4. Elevando al cuadrado ambos miembros, obtenemos: 64116411 2 641164383·22322322 222 5. Las raíces enésimas son números reales siempre que: - n sea par y a sea un número real no negativo. - n sea impar y a sea un número real cualquiera. MatemáticasI SOLUCIONARIO 6 ACTIVIDADES-PÁG. 27 1. El valor de la suma es: 2 + 4 + 6 + 8 +…+ 2m = m · (m + 1) 2. Resolvemos el problema en los siguientes pasos: ● Supongamos que el camello lleva un bidón hasta la mitad del camino, vuelve a Kamal, carga con otro bidón hasta el mismo punto y se bebe uno de los bidones transportados, quedándole otro. Repitiendo el proceso conseguirá llevar 50 bidones hasta la mitad del camino. De aquí repitiendo lo mismo hasta Wadi conseguirá que lleguen 25 según la expresión: 25 bidones = 100 · 2 2 2 1 ● Si mejoramos al solución conseguiremos que lleguen más bidones, haciendo el camino en tres fases tras el primer tercio, el camello habrá bebido 33,333… bidones y quedan 66,666… En el segundo tercio se bebe 22,222… y quedan 44,444…. En Wadi se bebe 14,81… y quedan 29,629… bidones, es decir: bidones63,29 3 2 ·100 27 8 ·100 3 3 ● Avanzando por cuartos de camino se puede mejorar la solución, llegan: bidones64,31 4 3 ·100 4 3 ·100 256 81 ·100 4 4 4 ● Siguiendo así sucesivamente, se puede decir que en el mejor de los casos llegan: bidones e 788,36 1 ·100 100 99 ·100 100 ACTIVIDADES-PÁG. 29 1. a) Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, obtenemos: 247122471224712 7 2 7 2 · 7 2 : 7 2 7 2 · 2 7 : 7 2 25,12 4 49 2 7 7 2 22 MatemáticasI SOLUCIONARIO 7 b) Operando, obtenemos: 2,0 5 1 7: 5 7 7: 5 3 27: 2 3 · 15 4 3 2 ·37: 2 1 2 15 4 3 1 13 22 2. a) Sacando factores de los radicandos y operando, obtenemos: 7 6 ·74· 3 4 2 75 ·873·7 7 6 ·112 3 4 4 175 8637 38 7 6 · 3 719 7 6 ·7 3 16 720721 b) Racionalizamos los denominadores y operamos, obteniendo: 15 68 5 4 15 6312 3 6 323 323 · 323 3223 6 6 · 6 2 323 3223 6 2 En el gráfico pueden verse la resolución de las actividades 1 y 2 con Wiris. 3. a) Operamos en ambos miembros de la igualdad: En el primer miembro, x x 11 3·5·2 9 15 · 25 2 MatemáticasI SOLUCIONARIO 8 En el segundo miembro, 411444 1 2 3·5·23·5·2 81 4·625 Igualando las potencias obtenemos x = - 4. b) Operamos en ambos miembros de la igualdad: En el primer miembro, xxxx 293212326 23 333:3·327:3· 9 1 En el segundo miembro, 661 6 33 3 1 Igualando las potencias y los exponentes obtenemos x = 2 3 . ACTIVIDADES-PÁG. 30 1. Las soluciones pueden verse en la tabla. 49 23,5 0 11 31,2 5,0 4,1 3 23 - 42 3 27 5 Menor conjunto numérico al que pertenece Z Q N R Q Q Q Z Z I 2. Las siguientes afirmaciones son: a) Falsa, el número 5, por ejemplo, es real (entero) y no es irracional. b) Verdadera, por ejemplo, 5 3 15 es racional y entero. c) Verdadero, los números enteros no son decimales. d) Falsa, los números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas no son números racionales MatemáticasI SOLUCIONARIO 9 3. Las representaciones pueden verse en los dibujos. Representación de los números: a) 23 b) 8 c) 3 9 18 d) 3 2 6,0 Representación de los conjuntos: e) A = }62/{ ayaRa = (- 6, - 2) f) E (2, 3) = (- 1, 5) g) ,........6,5,4,3,2,1,0,1,2,3}44/{ xóxZxB h) )3,4[3,43, 4. La respuesta puede verse en la tabla que sigue. Apartado Conjunto Acotado Supremo Ínfimo Máximo Mínimo a) 11,1 Si 11 1 No No b) [- 1, 2) Si 2 - 1 No - 1 c) ,5 No No - 5 No - 5 d) {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Si 10 3 10 3 e) ,2 No No - 2 No - 2 f) )6,( No 6 No No No g) (- 2, 2) Si 2 - 2 No No h) (- 8, - 4) Si - 4 - 8 No No MatemáticasI SOLUCIONARIO 10 5. Las soluciones pueden verse en la tabla. Apartado Conjunto Acotado Supremo Ínfimo Máximo Mínimo a) )1,( No - 1 No -1 No b) [- 10, 12) Si 12 - 10 No - 10 c) ]5,3[)4,6( Si 5 - 6 5 No d) {- 3, - 1, 1, 3, 5} Si 5 - 3 5 - 3 6. El centro es el punto 5,1 2 63 y el radio vale 6 – 1,5 = 4,5. Por tanto, el entorno buscado es E (1,5; 4,5) 7. a) Las soluciones de la inecuación 923 x son: 61229)23(( 362923 923 xxx xxx x El conjunto de soluciones es ,36, . La representación gráfica puede verse en el dibujo. b) Las soluciones de la inecuación 2 3 4 x son: 26)4(2 3 4 10642 3 4 2 3 4 xx x xx x x El conjunto de soluciones es (- 2, 10). La representación gráfica puede verse en el dibujo. MatemáticasI SOLUCIONARIO 11 ACTIVIDADES-PÁG. 31 8. La tabla completa puede verse a continuación: Valor exacto 0,654371… 218,75364… 0,07642… 32,55628….… 3,42456… Aproximación decimal a décimas por defecto y cota de error 0,6 0,1 218,7 0,1 0,0 0,1 32,5 0,1 3,4 0,1 Aproximación decimal a milésimas por exceso y cota de error 0,655 0,001 218,754 0,001 0,077 0,001 32,557 0,001 3,425 0,001 Redondeo a centésimas y cota de error 0,65 0,005 218,75 0,005 0,08 0,005 32,56 0,005 3,42 0,005 Truncamiento a diezmilésimas y cota de error 0,6543 0,0001 218,7536 0,0001 0,07642 0,0001 32,5562 0,0001 3,4245 0,0001 9. La asociación de cada número con su aproximación o redondeo es: a) con 4) b) con 6) c) con 5) d) con 1) e) con 3) f) con 2) 10. Consideramos como valor real π = 3,141592. Para la fracción 71 223 obtenemos: Error absoluto = ...746000,0 71 223 141592,3 Error relativo = ...237000,0 141592,3 746000,0 realValor absolutoErrorPara la fracción 7 22 obtenemos: Error absoluto = ...265001,0 7 22 141592,3 Error relativo = ...4022000,0 141592,3 265001,0 realValor absolutoError MatemáticasI SOLUCIONARIO 12 11. En la tabla aparecen los resultados: Planeta Distancia media al Sol en unidades astronómicas (ua) Orden de magnitud Mercurio 3,870989 x 10- 1 10- 1 Venus 7,233320 x 10- 1 100 Tierra 1 x 100 100 Marte 1,523662 x 100 100 Júpiter 5,203363 x 100 101 Saturno 9,537070 x 100 101 Urano 1,919059 x 101 101 Neptuno 3,006896 x 101 101 12. a) Los números en notación científica son: x = 0,000000000003 = 3 x 10- 12 y = 432 cienmilésimas = 4,32 x 10- 3 z = 243 millones = 2,43 x 108 t = 623000000000000 = 6,23 x 1014 b) Los resultados de las operaciones son: i) x + y = 4,320 000 003 x 10- 3 ii) t – 1000 z = 6,22757 x 1014 iii) x · z · t = 4,54167 x 1011 iv) y : x · t = 8,9712 10-1 13. Los cálculos quedan: Si un año-luz son 9,4605 · 1012 km, entonces un minuto-luz será: kmkm 7 12 10·9942799,122,42999917 60·24·365 10·4605,9 Si un año-luz son 9,4605 · 1012 km, entonces un segundo-luz será: kmkm 5 12 10·871904999,24871,990299 60·60·24·365 10·4605,9 La distancia Marte-Sol en el Afelio es 249 100 000 km = 2,491 · 108 km y en segundos-luz será: luzsegundos 360,830 10·871904999,2 10·491,2 5 8 La distancia Marte-Sol en el Perihelio es 206 700 000 km = 2,067 · 108 km y en minutos-luz será: luzutos min484,11 10·9942799,1 10·067,2 7 8 MatemáticasI SOLUCIONARIO 13 ACTIVIDADES-PÁG. 32 14. Las soluciones son: a) baba 224 636 c) 24 8 4256 zz e) 23 63 5125 abba b) yxyx 23 36 28 d) 35 15 3243 xx f) yxyx 24 48 216 15. Las potencias y raíces pedidas son: a) 4 1 4 aa c) 5 45 4 aa e) 3 2 3 2 1 a a g) 2 3 3 1 a a b) 32 3 33 d) 3 23 2 77 f) 3 2 3 7 1 7 h) 3 2 3 2 5 1 5 16. Los radicales son: a) 32727 63 c) 4 33 5555 e) 183 3 aa b) 5 6335 2 baab d) baba 6 4 3 f) 12 133 4 9 aaa 17. Las expresiones quedan: a) 510500 e) abbaba 2357 864 b) 33 43 babba f) 5 425 975 zyxyzzyx c) 33 20)2(160 g) 1399 22 aa d) 4 24 65 5625 xyxyyx h) yxyxx 122 18. Los radicales quedan: a) 7535 d) 511324 22 bababa b) 3 353 2 273 baaab e) 33 1622 aa c) 4 74 3 333 f) 3 453 2 128424 babaab 19. Las soluciones son: a) 243 333·3 d) 3 1 3 3 21 1· a a aa b) 3 7 3 723 · aaaa e) 5 25 25 45 6 333:3 c) 2 14 34 5 2:2 aaaa f) 6 1 63: aaaa MatemáticasI SOLUCIONARIO 14 20. Los resultados son: a) 3 4 3 3 4 5 333 2 3 35 b) 3333 2 2 1 2 12 7 2 4 3 2 3 1 c) 2 12 115 98 4 3 18 2 7 8 3 1 50 d) 054516152503 333 e) aaaaa 962545363 f) 323 43 732 7273 xxxxxxx 21. El perímetro del hexágono mide cmcm 14,83348 . El área del hexágono mide 22 83,4983288 cmcm . ACTIVIDADES-PÁG. 33 22. Los resultados son: a) 32 3 28 3 3 3 2 b) 6018·25·60·2 333 c) 1925·56253 2 d) 24822·2222 2 e) 233.3·223·23 f) 3 50 125 3 2 ·20 2 3 45 3 2 g) 3022072·52822 h) 120245:8018045 MatemáticasI SOLUCIONARIO 15 i) 612623·3233 22 j) 233:1222775 23. Las soluciones son: a) Los radicales equivalentes a 5 5,2 y son 1010 21010 5 255322 y ; por tanto, 255 b) Los radicales equivalentes a 53 10010 y son 15 615 5 1010 y ; por tanto, 53 10010 c) Los radicales equivalentes a 5,3,2 93 1 son 18 918 218 6 53,2 y ; por tanto, 532 93 1 d) Los radicales equivalentes a 634 10015,.36 y son: 21812 21212 41212 3 100001006255015,4665636 y ; por tanto, 346 15.36100 24. Tras operar obtenemos: a) 1243 5426·2·2 e) 2515625·125·5 84 b) 12 2512 73 26 5 ·· aaaa f) 12 13126 234 32 42· bababa c) 44 3 2 2:8 b a abba g) 6 53 2 555 d) 1 4 64 4 12 h) 6 5 643 2 2 8·4·2 25. Tras racionalizar se obtiene: a) 32 3 6 e) 636 26 212 b) 5 52 5 2 f) 332 332 3 c) 3 3 32 9 6 g) 549 52 52 d) 3 78327 3·7 7 6 3 h) 73 572 17 MatemáticasI SOLUCIONARIO 16 26. Obviando la constante h = 183 cm en cada una de las series, puede comprobarse, con facilidad, que se cumple: 1 2 51 1 2 512 2 53 4 526 2 51 2 2 223 )1(·· 32234 )(·· 433245 )(·· Y así sucesivamente. También se cumple: 2 51 4 )51(·2 51 51 · 51 2 51 211 2 51 2 51 11 1 1 1 2 51 1 1 2 53 1 53 2 526 4 51 21 2 2 2 1 1111 2 2 2222 21 Y así sucesivamente. ACTIVIDADES-PÁG. 34 27. Las soluciones son: a) 3 91048 b) 10 103 c) 2 28. Las expresiones racionalizadas y simplificadas son: a) 5 47622 b) 2 535 c) 31 MatemáticasI SOLUCIONARIO 17 29. Los radicales simplificados son: a) 7272 1 aa b) 17 26 c) 5 30. a) Elevamos los dos miembros al cuadrado y operamos: 2 2 2324324 4324)324(·)324(2324 4484428 . Se verifica la igualdad. b) Elevamos los dos miembros al cuadrado 16 348 4 32 16 61222 4 32 2 62 3 32 22 Se verifica la igualdad. 31. El valor de las expresiones es: 25 656 627 627627 627 627 627 627 61 61 61 61 22 2222 32. a) Partimos de un segmento OA de longitud 1. Por uno de sus extremos levantamos el segmento AB, también de longitud 1. Trazamos el segmento OB que con el punto A forma el triángulo rectángulo OAB. En el extremo B del segmento OB trazamos el segmento BC perpendicular al anterior. Trazamos el segmento OC y tenemos otro triángulo rectángulo OBC. En el extremo C repetimos la construcción anterior y así en todos los nuevos puntos que van apareciendo. b) Para determinar la longitud del segmento OB utilizamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo OAB y obtenemos: 211 22 OB Para calcular la longitud del segmento OC con el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo OBC y obtenemos: 31212 22 OC MatemáticasI SOLUCIONARIO 18 Para calcular la longitud del segmento OD repetimos lo anterior en el triángulo rectángulo OCD y obtenemos: 241313 22 OD Para determinar la longitud de los otros segmentos se procede de forma análoga. Observamos que se obtiene la sucesión de los radicales: ,...7,6,5,24,3,2 OGOFOEODOCOB c) Para obtener un segmento de longitud 10 basta con repetir el proceso de construcción tres pasos más. 33. Expresamos el número 22 1 en la forma 22 1 . Racionalizamos el radicando: 2 22 22 22 · 22 1 . Operamos en el radicando: 2 2 1 2 22 . 34. a) Los 5 litros de sangre son 5 dm3. Como cada dm3 contiene106 mm3, entonces toda la sangre del paciente, en mm3, será 5 · 106 mm3. Si el número de glóbulos rojos por mm3 de sangre ha sido de 4,8 · 106; el número de glóbulos rojos del paciente serán: (5 · 106) · (4,8 · 106) = 2,4 · 1013. b) Un kilómetro tiene 106 mm, por tanto, la longitud en kilómetros de todos los glóbulos rojos del paciente serán: (2,4 · 1013) : (106) = 240 000 km c) Si la longitud del Ecuador es aproximadamente de 40 000 km, el número de vueltas que da la hilera de glóbulos rojos alrededor de la Tierra será: 240 000 : 40 000 = 6. MatemáticasI SOLUCIONARIO 19 ACTIVIDADES-PÁG. 35 a) y b) En una cuadrícula de 3 x 3 puntos se pueden dibujar 6 cuadrados de 3 tamaños diferentes. c) Sobre una cuadrícula de 4 x 4 puntos se pueden dibujar 20 cuadrados de 5 tamaños diferentes. d) En una cuadrícula de 8 x 8 puntos se pueden dibujar cuadrados de 13 tamaños diferentes y podremos encontrar: 1 · 72 + 2 · 62 + 3 · 52 + 4 · 42 + 5 · 32 + 6 · 22 + 7 · 12 = 336 cuadrados. e) Sobre una cuadrícula de n x n puntos se pueden dibujar cuadrados de 2n - 3 tamaños diferentes y el siguiente número de cuadrados: 12 1·)1(...)3(·3)2(·2)1(·1)(· 24 2222 1 1 2 nnnnnnini ni i
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