Ejercicios de vectores

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1 
 
Vectores 
.v u yvu ,vuvu
→→→→→→→→
+−+−−
2
12dibuja vectores, siguientes los sonySi a) 
Ejercicio nº 1.- 
 
 
 
 
 
 
 
( ) :de scoordenada las Obtén2,
2
1 y32,son vectores dos de scoordenada Las b) . 




−−
→→
ba
 





 −+−+−
→→→→→→
bababa
3
1;
2
1;23
 
 
 
:figura la muestra que losysiendo ,32y
2
1vectores los Dibuja a) 
→→→→→→→→
++−− v uvu vu ,vu
Ejercicio nº 2.- 
 
 
 
 
 
( ) :de scoordenada las obtén ,23, y1,
3
2vectores los Dados b) −




 −
→→
ba 
 
→→→→→→
−−+− ba;ba;ba
3
1223
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
: 
→→→→→→→→
−−++− vu vu,vuv u 
3
1y
3
22dibuja figura, la muestra que vectores los sonySi a)
Ejercicio nº 3.- 
 
 
 
 
 
 
 
( )
→→→→→→
→→
−+−+
−




 −
ba;ba;ba
b a
2
12
5
15
:vectores los de scoordenada las obtén ,31,y3,
5
2sonyde scoordenada las Si b)
 
 
 
 
 
:
3
2 y2, 
dibuja ellos, de partir A figura. la muestra que los son y vectores Los a)
→→→→→→
→→
++−−− vuvuvu
vu
Ejercicio nº 4.- 
 
 
 
 
 
( )
→→→→→→
→→
++−+−





 −−
ba;ba;ba
ba
2
2
143
:de scoordenada 
 las obtén ,
4
11, y12,sonyvectores los de scoordenada las Si b)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
→→→→→→
−++− vu;vu;vu 2
2
12
Ejercicio nº 5.- 
 
a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores: 
 
 
 
 
 
( ) :de scoordenada las obtén ,22, y2,
4
3vectores los Dados b) −




 − →→ ba 
 
→→→→→→
+−+−− ba;ba;ba 42
2
1
 
 
:v uz,y,x 
→→→→→
yde lineal ncombinació comovectores los Escribe a) 
Ejercicio nº 6.- 
 
 
 
 
 
( ) ( ). 21, y3,
5
1 de lineal ncombinació com 170,vector el Escribe b) −




 →→→ cba
 
 
: 
→→→→→
v uc b ,a yvectores los de lineal ncombinació como yvectores los Expresa a)
Ejercicio nº 7.- 
 
 
 
 
 
( ) ( ) . 




−−
→→→
2,
2
1 y21,de lineal ncombinació como25,vector el Expresa b) zyx
 
 
4 
 
: 
→→→→→
y xcyb,a ede lineal ncombinació comovectores los Escribe a)
Ejercicio nº 8.- 
 
 
 
 
 
( )
( )23,y 1,
2
1 
por formada base la a respecto con 01,vector del scoordenada las Halla b)
−




−
→→
→
vu
w
 
 
 
 
( ) vectores los por formada base la a respecto con 32, vector del scoordenada las Halla a) −−u
Ejercicio nº 9.- 
 
( )11, y
3
12, −




 − wv

 
: y vectores los de lineal ncombinació como ,, vectores los Expresa b) bazyx

 
 
 
 
 
 
( ) ( ) .1,
2
1 y32, vectores los de lineal ncombinació como 14, vector el Expresa a) 




− zyx

Ejercicio nº 10.- 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
( ) ( ) ( ) :1, y23, ,45,Dados kzyx 
→→
− 
Ejercicio nº 11.- 
 
 
 
.x
z xk
→
→→
 
 
que sentido mismo el ydirección misma la con unitario vector un Halla b)
.90 ángulo un formen yque parade valor el Halla a) 
 
 
 
( ) ( ) :2, y 31, Si mba
→→
− 
Ejercicio nº 12.- 
 
 
( ). 
 
24,siendoy por formado ángulo el Calcula b)
lares.perpendicu seany que parade valor el Halla a)
→→→
→→
c c a
b am
 
 
 
 
( ) ( ) ( ): 32, y3,,41, vectores los Dados −−
→→→
wmvu
Ejercicio nº 13.- 
 
 
 
.
→→
→→
w u
 u m
y forman que ángulo el Halla b)
lares.perpendicu seanvy que para Calcula a)
 
 
 
 
 
( ) ( ) e que para y de valores los Halla .1, e 3, vectores los Considera
→→→→
− yxbabyax
Ejercicio nº 14.- 
 
5.x que ylaresperpendicu sean =

 
 
 
 
( )11, y
5
4,
5
3 →→





 − ba
Ejercicio nº 15.- 
 
a) Halla el ángulo que forman los vectores 
 
( ) ?
5
4,
5
3a larperpendicu fuera1vector el que para de valor el sería ¿Cuál b) 




 −→→ ax,ux 
 
 
 
 
 
6 
 
Soluciones ejercicios de Vectores 
.v u yvu ,vuvu
→→→→→→→→
+−+−−
2
12dibuja vectores, siguientes los sonySi a) 
Ejercicio nº 1.- 
 
 
 
 
 
 
 
( ) :de scoordenada las Obtén2,
2
1 y32,son vectores dos de scoordenada Las b) . 




−−
→→
ba
 





 −+−+−
→→→→→→
bababa
3
1;
2
1;23
 
 
 
Solución: 
 
a) 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )13,74,19,62,
2
123,2323 b) −=−+−=




−+−−=+−
→→
ba
 
( ) ( ) 




 −=




−+−=




−+−−=+−
→→
4,
4
91,
4
13,22,
2
1
2
13,2
2
1 ba
 
( ) 




 −=




 −=










−−−=




 −
→→
3
5,
6
55,
2
5
3
12,
2
13,2
3
1
3
1 ba
 
 
:figura la muestra que losysiendo ,32y
2
1vectores los Dibuja a) 
→→→→→→→→
++−− v uvu vu ,vu
Ejercicio nº 2.- 
 
 
 
7 
 
 
 
( ) :de scoordenada las obtén ,23, y1,
3
2vectores los Dados b) −




 −
→→
ba 
 
→→→→→→
−−+− ba;ba;ba
3
1223
 
 
 
Solución: 
 
a) 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )1,44,63,22,321,
3
2323 b) −=−+−=−+




 −−=+−
→→
ba
 
( ) ( ) 




 −=−−




 −=−−




 −=−
→→
0,
3
52,32,
3
42,31,
3
222 ba
 
( ) 




 −−=




 −−




 −=−−




 −=−
→→
3
1,
3
1
3
2,11,
3
22,3
3
11,
3
2
3
1 ba
 
 
 
: 
→→→→→→→→
−−++− vu vu,vuv u 
3
1y
3
22dibuja figura, la muestra que vectores los sonySi a)
Ejercicio nº 3.- 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
( )
→→→→→→
→→
−+−+
−




 −
ba;ba;ba
b a
2
12
5
15
:vectores los de scoordenada las obtén ,31,y3,
5
2sonyde scoordenada las Si b)
 
 
 
 
 
Solución: 
 
a) 
 
 
 
( ) ( ) 




 −=




 −+−=−+




 −=+
→→
5
72,
5
9
5
3,
5
115,23,1
5
13,
5
25
5
15 b) ba
 
( ) ( ) 




 −=−+




−=−+




 −−=+−
→→
9,
5
126,23,
5
23,123,
5
22ba
 
( ) ( ) 




 −=−−




 −=−−




 −=−
→→
2
9,
5
63,1
2
3,
5
13,13,
5
2
2
1
2
1 ba
 
 
:
3
2 y2, 
dibuja ellos, de partir A figura. la muestra que los son y vectores Los a)
→→→→→→
→→
++−−− vuvuvu
vu
Ejercicio nº 4.- 
 
 
 
 
 
( )
→→→→→→
→→
++−+−





 −−
ba;ba;ba
ba
2
2
143
:de scoordenada 
 las obtén ,
4
11, y12,sonyvectores los de scoordenada las Si b)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Solución: 
 
a) 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )4,101,43,6
4
1,141,2343 b) −=−+−=




 −+−−=+−
→→
ba
 
( ) ( ) 




 −=




 −+−=




 −+−−=+−
→→
4
5,3
4
1,11,2
4
1,11,2ba
 
( ) ( )0,1
2
1,2
2
1,1
4
1,121,2
2
12
2
1
=




 −+




−=




 −+−=+
→→
ba
 
 
 
→→→→→→
−++− vu;vu;vu 2
2
12
Ejercicio nº 5.- 
 
a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores: 
 
 
 
 
 
( ) :de scoordenada las obtén ,22, y2,
4
3vectores los Dados b) −




 − →→ ba 
 
→→→→→→
+−+−− ba;ba;ba 42
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Solución: 
 
a) 
 
 
 
( ) ( ) 




 −=−−




 −=−−




 −=−
→→
3,
4
71,12,
4
32,2
2
12,
4
3
2
1 b) ba
 
( ) ( ) 




 −=−+




 −=−+




 −−=+−
→→
6,
2
72,24,
2
32,22,
4
322 ba
 
( ) ( ) ( ) ( )10,52,28,32,22,
4
344 −=−+−=−+




 −−=+−
→→
ba
 
 
:v uz,y,x 
→→→→→
yde lineal ncombinació comovectores los Escribe a) 
Ejercicio nº 6.- 
 
 
 
 
 
( ) ( ). 21, y3,
5
1 de lineal ncombinació com 170,vector el Escribe b) −




 →→→ cba
 
 
 
Solución: 
 
a) 
 
 
 
b) Tenemos que encontrar dos números, m y n, tales que: 
 
:decir es ,
→→→
⋅+⋅= cnbma 
11 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) 




 +−=
−+




=
−⋅+




⋅=
nmnm
nnmm
nm
23,
5
17,0
2,3,
5
17,0
2,13,
5
117,0
 
1171721517
5
2317
50
2317
5
0
=→=→+=
=



+=
−=




+=
−=
nnnn
mn
nm
nm
nm
nm
 
55 == nm 
 
Por tanto: 
:decir es ,15
→→→
⋅+⋅= cba 
 
( ) ( )2,13,
5
1517,0 −+




=
 
 
 
: 
→→→→→
v uc b ,a yvectores los de lineal ncombinació como yvectores los Expresa a)
Ejercicio nº 7.- 
 
 
 
 
 
( ) ( ) . 




−−
→→→
2,
2
1 y21,de lineal ncombinació como25,vectorel Expresa b) zyx
 
 
 
Solución: 
 
a) 
 
 
 
b) Hemos de encontrar dos números, m y n, tales que: 
 
:decir es ,
→→→
⋅+⋅= znymx 
 
12 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) 




 +−+=−





+−=−





+−=−
nmnm
nnmm
nm
22,
2
2,5
2,
2
2,2,5
2,
2
12,12,5
 



+−=
−=



+−=−
−=



+−=−
+=




+−=−
+=
mn
mn
nm
mn
nm
nm
nm
nm
1
210
1
210
222
210
222
2
5
 
3
8
3
1111;
3
1111310121210 =+−=+−==→−=−→−−=−−→+−=− mnmmmmmm
 
Por tanto: 
 
:decir es ,
3
8
3
11 →→→
+= zyx
 
( ) ( ) 




+−=− 2,
2
1
3
82,1
3
112,5
 
 
: 
→→→→→
y xcyb,a ede lineal ncombinació comovectores los Escribe a)
Ejercicio nº 8.- 
 
 
 
 
 
( )
( )23,y 1,
2
1 
por formada base la a respecto con 01,vector del scoordenada las Halla b)
−




−
→→
→
vu
w
 
 
 
 
 
Solución: 
 
a) 
 
 
 
b) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que: 
 
:decir es ,
→→→
⋅+⋅= vnumw 
 
13 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) 




 +−−=
−+




−=
−+




−=
nm,nm,
n,nm,m,
,n,m,
23
2
01
23
2
01
231
2
101
 
 
2
1
4
242
622
2
62
20
3
2
1
−=
−
=→−=
−=



=−
−−=




+=
−−=
nn
nn
mn
nm
nm
nm
 
m = -2n = 1 
 
Por tanto: 
:decir es ,
2
11
→→→
⋅




−+⋅= vuw
 
( ) ( )23
2
11
2
101 ,,, −−




−=
 
 





 −
→→→
2
1,1 :son y por formada base la a respecto de scoordenada Las vuw
 
( ) vectores los por formada base la a respecto con 32, vector del scoordenada las Halla a) −−u
Ejercicio nº 9.- 
 
( )11, y
3
12, −




 − wv

 
: y vectores los de lineal ncombinació como ,, vectores los Expresa b) bazyx

 
 
 
 
 
Solución: 
 
a) Hemos de hallar dos números, m y n, tales que: 
 
:decir es ,
→→→
⋅+⋅= wnvmu 
( ) ( )
( ) ( )
( ) 




 −−+=−−
−+




 −=−−
−⋅+




 −⋅=−−
nmnm
nnmm
nm
3
,23,2
,
3
,23,2
1,1
3
1,23,2
 
 
( )

−−−−=−
=−−



−−=−
+=−




−
−
=−
+=−
mm
nm
nm
nm
nm
nm
2239
22
39
22
3
3
22
 
46222
3515669669
=+−=−−=
−=→=−→+−=−−→++−=−
mn
mmmmmm
 
14 
 
 
Por tanto: 
 
:decir es ,43
→→→
+−= wvu 
( ) ( )1,14
3
1,233,2 −+




 −−=−−
 
( )43 son y por formada base la a respecto con de scoordenada Las ,wvu −
→→→
. 
 
b) 
 
 
 
 
( ) ( ) .1,
2
1 y32, vectores los de lineal ncombinació como 14, vector el Expresa a) 




− zyx

Ejercicio nº 10.- 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
 
a) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que: 
 
:decir es ,
→→→
⋅+⋅= znymx 
( ) ( )
( ) ( )
( ) 




 +−+=





+−=





+−=
nmnm
nnmm
nm
3,
2
21,4
,
2
3,21,4
1,
2
13,21,4
 
 



+=−
+=−



=+
=−



+−=
+=




+−=
+=
mm
mm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
4318
3148
31
48
31
48
31
2
24
 
15 
 
43131
177
=+=+=
=→=
mn
mm
 
 
Por tanto: 
 
:decir es ;41
→→→
⋅+⋅= zyx 
( ) ( ) 




+−= 1
2
143214 ,,,
 
 
b) 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) :1, y23, ,45,Dados kzyx 
→→
− 
Ejercicio nº 11.- 
 
 
 
.x
z xk
→
→→
 
 
que sentido mismo el ydirección misma la con unitario vector un Halla b)
.90 ángulo un formen yque parade valor el Halla a) 
 
 
 
Solución: 
 
 de ha escalar producto su lares),perpendicu (sean 90 de ángulo un formen y que Para a) 

zx 
:cero a igual ser 
( ) ( )
4
5045,14,5 =→=−=⋅−=⋅
→→
kkkzx
 
 
→
x de módulo el Hallamos b) 
 
( ) 41162545 22 =+=−+=
→
x
 
 
:será que sentido y dirección misma la con unitario vector El
→
x 
 





 −
41
4,
41
5
 
 
 
( ) ( ) :2, y 31, Si mba
→→
− 
Ejercicio nº 12.- 
 
 
( ). 
 
24,siendoy por formado ángulo el Calcula b)
lares.perpendicu seany que parade valor el Halla a)
→→→
→→
c c a
b am
 
16 
 
 
 
Solución: 
 
:cero ser debe escalar producto su lares,perpendicu sean y que Para a) ba

 
( ) ( ) 6062,3,1 =→=−=⋅−=⋅
→→
mmmba 
 
( ) ( )
( )
=
−
=
⋅
−
=
+⋅−+
⋅
=
⋅
⋅
=







 ∧
→→
→→
→→
200
2
2010
64
2431
2,43,1, b)
2222
ca
cacacos
 
''48'798,14,0 =







 ∧
→−=
→→
ca
 
 
( ) ( ) ( ): 32, y3,,41, vectores los Dados −−
→→→
wmvu
Ejercicio nº 13.- 
 
 
 
.
→→
→→
w u
 u m
y forman que ángulo el Halla b)
lares.perpendicu seanvy que para Calcula a)
 
 
 
 
 
Solución: 
 
:decir es cero, ser de ha escalar producto su lares,perpendicu sean y que Para a)
→→
vu 
( ) ( )
4
3043341 =→=+−=⋅−=⋅
→→
mmm,,vu
 
 
( ) ( )
94,0
221
14
1317
14
3241
122, b)
2222
−=
−
=
⋅
−
=
−+⋅+−
−−
=
⋅
⋅
=







 ∧
→→
→→
→→
wu
wuwucos
 
'.'46'20160,Así, =







 ∧→→
wu
 
 
( ) ( ) e que para y de valores los Halla .1, e 3, vectores los Considera
→→→→
− yxbabyax
Ejercicio nº 14.- 
 
5.x que ylaresperpendicu sean =

 
 
 
Solución: 
 
:decir es cero, ser de ha escalar producto su lares,perpendicu sean e que Para )1.º
→→
yx 
( ) ( )
3
0313 abbab,,ayx =→=+−=−⋅=⋅
→→
 
 
:5 a igualamos e de módulo el Hallamos)2.º
→
x 
 
259593 2222 =+→=+=+= aaax

 
17 
 






−=→−=
=→=
→±=→=−=
3
44
3
44
16169252
ba
ba
aa
 
Por tanto, hay dos posibilidades: 
 
3
4,4;
3
4,4 2211 −=−=== baba
 
 
( )11, y
5
4,
5
3 →→





 − ba
Ejercicio nº 15.- 
 
a) Halla el ángulo que forman los vectores 
 
( ) ?
5
4,
5
3a larperpendicu fuera1vector el que para de valor el sería ¿Cuál b) 




 −→→ ax,ux 
 
 
 
Solución: 
 
→−=
−
=
−
=
+⋅+
−
=
⋅
⋅
=







 ∧
→→
→→
→→
14,0
25
1
2
5
1
11
25
16
25
9
5
4
5
3
, a)
ba
bacacos
 
''48'798, =







 ∧
→
→→
ca
 
 
:cero ser debe escalar producto su lares,perpendicu sean y que Para b)
→→
au 
( )
4
30430
5
4
5
3
5
4,
5
3,1 =→=−→=−=




 −⋅=⋅
→→
xxxxau