2023_FINAL_12_jul_T2_resuelto

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UBAXXI - Álgebra A - Examen final - 12/07/2023 - Tema 2: resolución
- Ejercicio 1 (1.25 pto.)
Considerá en R3 un triángulo de vértices M = (2;−3; 1), N = (0, 5;−1; 1) y P = (−1;−3; 1).
Eleǵı la única afirmación que resulta verdadera.
A) Los vectores M⃗N y N⃗P son opuestos.
B) La distancia entre N y P es mayor o igual que cuatro.
C) Los vectores M⃗N y N⃗P tienen igual módulo.
D) El vector M⃗P tiene igual dirección que los vectores M⃗N y N⃗P .
Respuesta: C)
Resolución
Si se calculan las coordenadas de los vectores M⃗N = (−1, 5; 2; 0), N⃗P = (−1, 5;−2; 0),
M⃗P = (−3; 0; 0) y el módulo de cada uno de esos vectores |M⃗N | = |N⃗P | = 2, 5, |M⃗P | = 3 se
podrá comprobar que la única afirmación verdadera es la de la opción C). Estos contenidos los
podés encontrar en la sesión 1.
- Ejercicio 2 (1.25 pto.)
Calculá la distancia entre el plano π : 5x+ 12y − 84z = 4 y el punto P = (15; 22; 90).
Respuesta: 85
Resolución
Para hallar la distancia entre π y P primero debemos hallar la proyección de P sobre π. Esto la
hacemos hallando la intersección entre el plano y la recta perpendicular al plano que pasa por P .
Esta recta tiene ecuación (x; y; z) = α · (5; 12;−84) + (15; 22; 90). La intersección con π da como
resultado el punto (20; 34; 6). Luego la distancia entre π y P es la distancia entre (15; 22; 90) y
(20; 34; 6). Estos contenidos los podés encontrar en las sesiones 2 y 3.
- Ejercicio 3 (1.25 pto.)
Considerá los subespacios S y T de R4:
S = ⟨(5,−1, 0, 0); (−1, 3,−1, 2); (1, 1,−1, 2)⟩
T = ⟨(−1,−2, 1, 1); (−5, 1, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (−2, 4, 0, 0)⟩
Eleǵı la única afirmación correcta.
A) S = T y tienen dimensión 2
B) S ̸= T y se cumple que dim(S) < dim(T )
C) S = T y tienen dimensión 3
D) S ̸= T pero tienen la misma dimensión.
Respuesta: D)
Resolución
Primero podemos averiguar una base de cada subespacio, es decir, un conjunto de generadores
linealmente independientes. De alĺı se puede deducir que los dos subespacios tienen dimensión 3.
Para ver si S = T tenemos que ver si los vectores de la base de T son combinación lineal de los
vectores de la base de S. Podemos ver que, por ejemplo, (−1,−2, 1, 1) no es una combinación lineal
de los vectores de la base de S. Luego, S ̸= T pero tienen la misma dimensión. Estos contenidos
los podés encontrar en la sesión 4.
1
- Ejercicio 4 (1.25 pto.)
Considerá la ecuación de la elipse 3x2 + y2 + 18x− 2y = −13.
Calculá el valor exacto de la distancia focal.
Respuesta: 2
√
10
Resolución
Mediante el procedimiento de completar cuadrados podemos expresar la ecuación:
3x2 + y2 + 18x− 2y = −13 como (x+3)
2
5
+ (y−1)
2
15
= 1.
Con lo cual puede plantearse que: 15 = 5 + c2 de donde se deduce que c =
√
10.
Luego la distancia focal es 2
√
10. Estos contenidos los podés encontrar en las sesiones 5 y 6.
- Ejercicio 5 (1.25 pto.)
Considerá las matrices, A ∈ R4×4, B ∈ R4×1 y X ∈ R4×1
A =

2 −1 1 1
1 5 −2 1
−1 1 1 1
1 0 2 −1
 y B =

3
2
1
0

La ecuación matricial A ·X = 2X − At ·X +B resulta un sistema:
A) De infinitas soluciones
B) Incompatible
C) Compatible determinado
D) Con determinante igual a −10
Respuesta: C)
Resolución
Resolver la ecuación A·X = 2·X−At·X+B es equivalente a resolver el sistema (A−2I+At)·X = B
La matriz (A− 2I + At) es

2 0 0 2
0 8 −1 1
0 −1 0 3
2 1 3 −4
.
Como el determinante de esta matriz es −144, es decir, que el determinante es no nulo, el sistema
es un sistema compatible determinado.
Estos contenidos los podés encontrar en las sesiones 8, 9 y 10.
- Ejercicio 6 (1.25 pto.)
Considerá la transformación lineal T : R3 → R3 definida de la siguiente manera:
T (1, 0, 0) = (0, 1,−1), T (0, 1, 0) = (0,−1, 1) y T (0, 0, 1) = (0, 0, 1).
Calculá el valor de α ∈ R para que el vector w⃗ = 2α · (1, 0, 0) + 6 · (0, 1, 0) pertenezca al Nu(T ).
Respuesta: 3
Resolución
A partir de plantear T (w⃗) = 0⃗ y usando las propiedades de transformación lineal (que T se
distribuye en sumas y saca escalares) podemos armar una ecuación para hallar α.
Estos contenidos los podés encontrar en las sesiones 11 y 12.
2
- Ejercicio 7 (1.25 pto.)
Considerá la ecuación (−z)5+3iz = 0. Eleǵı la única opción que muestra el argumento y el módulo
de z si z se encuentra en el tercer cuadrante.
A) θ = 9π
8
y |z| = 4
√
3
B) θ = 11π
8
y |z| = 3
C) θ = 9π
8
y |z| =
√
3
D) θ = 11π
8
y |z| = 3
Respuesta: A)
Resolución
Dado que z ̸= 0 entonces obtenemos (−1)5z4 + 3i = 0 es decir z4 = 3i de donde obtenemos la
solución usando que i = cos
(
π
2
)
+ isen
(
π
2
)
. Estos contenidos los podés encontrar en la sesión 13.
- Ejercicio 8 (1.25 pto.)
Sea P (x) = β + 104x− 18x2 + x3, con β ∈ R.
Encontrá el número β de manera tal que las tres ráıces de P (x) sean números pares consecutivos.
Respuesta: −192
Resolución
Dado que P (x) es un polinomio mónico de grado 3 y las ráıces son números pares consecutivos,
tenemos que P puede expresarse como P (x) = (x−a) ·(x−a−2) ·(x−a−4) con a un número par.
Desarrollando el producto tenemos P (x) = −a ·(a+2) ·(a+4)+(3a2+12a+8) ·x−(3a+6) ·x2+x3.
Igualando los coeficientes de los términos de igual grado resulta que a = 4 cumple con lo pedido.
Luego tenemos que para dicho valor −a · (a+ 2) · (a+ 4) = −4 · 6 · 8 por lo que β = −192. Estos
contenidos los podés encontrar en la sesión 14.
3