TUTORIAL 4 Dependencia e Independencia Lineal-Base-Dimensión-Coordenadas de un

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2
do
Cuatrimestre 2019
Docente Responsable del curso: Ing. Augusto A. Estrada V
Tutorial N4
Dependencia e Independencia Lineal-Base-Dimensión-Coordenadas de un
vector-Espacio Fila-Espacio Columna-Rango-Teorema de Rouche Frobenius
Introducción: Los conceptos que vamos a estudiar en el presente trabajo práctico tienen
estrecha relación con los anteriormente estudiados, sobre todo con los del T P 3. Por lo tanto
muchas de las consideraciones que hemos realizado en los tutoriales correspondientes a estos TP,
seguramente pueden ser útiles para el desarrollo del presente.
Ejercicios 1 al 4:
El ¿qué? debemos hacer en éstos ejercicios involucra los conceptos de dependencia e
independencia lineal de un conjunto finito de vectores. En consecuencia algunas preguntas a
responder serán ¿Cuando se dice que un conjunto de vectores es linealmente dependiente?.
¿Cuando se dice que es linealmente independiente?. Para saber ¿cómo? lo vamos a hacer, será
necesario preguntarnos ¿Cómo determinamos si un conjunto de vectores es linealmente
dependiente o independiente?. Responder estos interrogantes nos conduce a recordar las
definiciones de estos conceptos, las propiedades asociadas a ellos y la mayoría de los conceptos
que hemos manejado en los anteriores trabajos prácticos.
Como dijimos anteriormente, no sólo es memorizar éstas definiciones y/o propiedades, sino
también comprenderlas, para estar en condiciones de aplicarlas en la resolución de un problema
dado. Analicemos cada uno de los ejercicios a resolver a fin de precisar ¿qué? debemos hacer,
¿cómo? lo vamos a hacer y el ¿por qué? de lo que hacemos.
Ejercicio 1:
¿Qué? hay que hacer. Decidir si un conjunto dado es linealmente independiente o
dependiente. ¿Cómo? determinamos si un conjunto es linealmente dependiente o independiente.
Esto requiere verificar si para el conjunto se cumple la definición de dependencia lineal o
Independencia lineal. Recordemos esas definiciones.
Dado un espacio vectorial , un conjunto de vectores V1,V2, ,Vn  y el vector
, neutro de la suma en .
Definición 1:
es Linealmente dependiente si y solo sí
i1
n
iV i   con algún i  0 1
Definición 2:
es Linealmente independiente si y solo sí
i1
n
iV i    i  0 i  1,2, ,n 2
Cuando tratamos el concepto de combinación lineal, vimos que la ecuación vectorial.

i1
n
iV i  X
Es equivalente a un sistema de ecuaciones lineales. Además de la definición de combinación
lineal, concluimos que X es combinación lineal de los vectores V1,V2, ,Vn solo si ese sistema
es consistente. Si hacemos en ella X   obtenemos:

i1
n
iV i   3
Igualdad que aparece en las definiciones de dependencia e independencia lineal.
La 3 es equivalente a un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, que sabemos, siempre
es consistente y puede tener infinitas soluciones o única solución. En el último caso la solución
es la nula o trivial.
Si interpretamos ambas definiciones la primera requiere que el vector , neutro de la suma
en , se pueda expresar como combinación lineal de los vectores V1,V2, ,Vn con algún
coeficiente no nulo. Esto equivale a que el sistema equivalente tenga infinitas soluciones, ya que
en este caso, al haber variables libres, podremos expresar esa combinación lineal con algún
coeficiente no nulo (algún i  0 ), lo que a su vez es equivalente a que el vector , neutro de la
suma en , se pueda expresar de infinitas maneras como combinación lineal de los vectores
V1,V2, ,Vn del conjunto .
En cambio en la segunda se exige que el  se pueda expresar como combinación lineal de
los vectores V1,V2, ,Vn solo si todos los coeficientes son nulos. Esto equivale a que el sistema
equivalente tenga única solución y a su vez, eso es equivalente a que el vector , neutro de la
suma en , se pueda expresar de una única manera como combinación lineal de los vectores
V1,V2, ,Vn del conjunto .
Así que no hay nada novedoso en resolver este tipo de problemas ¿verdad?, solo debemos
determinar el tipo de solución del sistema homogéneo, resultante de expresar al vector nulo,
como combinación lineal de los vectores del conjunto cuya dependencia o independencia lineal
queremos determinar. Resolver un sistema de ecuaciones lineales es algo muy familiar para
nosotros ¿verdad?.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Decide, justificando tu respuesta, si el conjunto V1,V2,V31,1, 1, 0,1, 1, 1,1, 3
es linealmente dependiente o independiente.
¿Qué? debemos hacer. Decidir si el conjunto dado es linealmente dependiente o
independiente.
¿Cómo? decidimos si un conjunto es linealmente dependiente o independiente. Como ya
dijimos más arriba, verificando si cumple la definición de dependencia o de independencia lineal.
Para ello expresamos el vector neutro de la suma como combinación lineal de los vectores del
conjunto dado, resolvemos el sistema equivalente y determinamos si tiene única solución o
infinitas soluciones. Si el sistema tiene solución única podemos decir que el conjunto es
linealmente independiente y si el sistema tiene infinitas soluciones, podemos decir que es
linealmente dependiente. Veamos que ocurre para el ejemplo dado.
1V1  2V2  3V3   Hipótesis de la definición de dependencia o independencia lineal
11,1, 1  20,1, 1  31,1, 3  0,0, 0. Sustitución.
1  3, 1  2  3, 1  2  33  0,0, 0. Producto por un escalar y suma de
vectores.
Aplicando la definición de igualdad de vectores llegamos al sistema equivalente:
1  3  0
1  2  3  0
1  2  33  0
Resolviendo por Gauss tenemos:
1 0 1 0
1 1 1 0
1 1 3 0

1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 2 0

1 0 1 0
0 1 0 0
0 0 2 0
El sistema escalonado es:
1  3  0
2  0
23  0
En el sistema escalonado que es consistente, por ser homogéneo, tenemos 3Inc  3Ec  0
Variables Libres. Entonces el sistema tiene solución única. En consecuencia el conjunto es
Linealmente Independiente.
Ejemplo 2
Igual consigna a la del ejemplo 1 para:
V1,V2
1 0
1 2
,
2 0
2 4
1V1  2V2  . Hipótesis de la definición de dependencia o independencia lineal
1
1 0
1 2
 2
2 0
2 4

0 0
0 0
. Sustitución
1  22 0
1  22 21  42

0 0
0 0
. Poducto por un escalar y suma de matrices
Por definición de igualdad de matrices llegamos al sistema equivalente.
1  22  0
1  22  0
21  42  0
Resolviendo por Gaus.
1 2 0
1 2 0
2 4 0

1 2 0
0 0 0
0 0 0
. El sistema escalonado es 1  22  0
En el sistema escalonado que es consistente por ser homogéneo, hay 2Inc  1ec  1 Variable
Libre. Entonces el sistema tiene infinitas soluciones, y en consecuencia el conjunto es
Linealmente Dependiente.
Ejercicio 2:
¿Qué? debemos hacer. Dado un conjunto de vectores en los que sus vectores tienen algunas
de sus componentes en función de un parámetro, analizar en función de los valores de ese
parámetro, la dependencia o independencia lineal del conjunto.
¿Cómo? lo hacemos. Tal como lo hicimos en los ejemplos dados para el ejercicio 1, bastará
con expresar el vector neutro de la suma como combinación lineal de los vectores del conjunto
dado, encontrar el sistema de ecuaciones lineales equivalente, que a diferencia del ejercicio 1
ahora es un sistema con parámetros, así que el tipo de solución, estará condicionada por los
valores de ese parámetro. Una vez escalonado el sistema, tendremos que analizar para que
valores del parámetro, el sistema tiene única solución o infinitas soluciones. En el primer caso,
diremos que el conjunto es Linealmente Independiente y en el segundo que es linealmente
dependiente.
Ejemplo 1:
Determina, si existen, valores del parámetro k para los que el conjunto:
k, 1, 1, 1,k, 1, 1,2,k  1
a Sea Linealmente Independiente b Sea Linealmente Dependiente
1V1  2V2  3V3  . Hipótesis de la definición de dependencia o independencia lineal
1k, 1, 1  21,k, 1  31,2,k 1  0,0, 0. Sustitución
k1  2  3, 1  k2  23,1  2  k  13  0,0, 0. Producto por un escalar y
suma de vectores
Aplicando definición de igualdad de vectores obtenemos el sistema equivalente:
k1  2  3  0
1  k2  23  0
1  2  k  13  0
Resolviendo el sistema por Gauss tenemos:
k 1 1 0
1 k 2 0
1 1 k  1 0
Intercambio de filas F2 F1 
1 k 2 0
k 1 1 0
1 1 k  1 0
.
1 k 1 0
0 1  k2 1  2k 0
0 1  k k  3 0
k1

1 k 1 0
0 1  k2 1  2k 0
0 0 1  kk2  4 0
k1
Se realizaron los siguientes calculos auxiliares para el escalonamiento de la última fila de la
3ra matriz:
(1  k2k  3  1  k1  2k  1  k1  kk  3  1  2k 
 1  kk  3  k2  3k  1  2k  1  kk2  4
El sistema escalonado es:
1  k2  3  0
1  k22  1  2k3  0
1  kk2  43  0
Ahora bien, recordemos lo que acotamos al resolver sistemas con parámetros, acerca de que
cuando en el proceso de escalonamiento condicionamos el parámetro, lo que sigue del proceso,
vale solo si se cumplen estas condiciones para el o los parámetros. Así que, antes de analizar el
tipo de solución en el sistema escalonado, debemos ver qué ocurre para esos valores de los
parámetros.
Con k  1. .Reemplazamos ese valor de k en la matriz ampliada del sistema, justo antes de
imponer esa restricción para k en el proceso de Gauss. Haciendo eso tenemos:
1 k 1 0
0 1  k2 1  2k 0
0 1  k k  3 0

1 1 1 0
0 0 1 0
0 0 2 0

1 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 0
El sistema escalonado es:
1  2  3  0
 3  0
El sistema es consistente por ser homogéneo y tenemos: 3Inc  2Ec  1 Variable Libre, así
que podemos afirmar que el sistema tiene infinitas soluciones.
Entonces si k  1 el sistema tiene infinitas soluciones y por lo tanto si k  1, es
Linealmente Dependiente.
Veamos con k  1. Reemplazamos ese valor de k en la matriz ampliada del sistema justo
antes de imponer esa restricción para k en el proceso de escalonamiento de Gauss. Haciendo esto
tenemos:
1 k 1 0
0 1  k2 1  2k 0
0 1  k k  3 0

1 1 1 0
0 0 3 0
0 2 4 0

1 1 1 0
0 2 4 0
0 0 3 0
El sistema escalonado es:
1  2  3  0
22  43  0
33  0
.
El sistema es consistente por ser homogéneo y tenemos: 3Inc  3Ec  0 Variables Libres, así
que, podemos decir que el sistema tiene única solución.
Entonces si k  1 el sistema tiene solución única y por lo tanto si k  1, es Linealmente
Independiente.
Analicemos ahora el sistema escalonado que habíamos obtenido en el proceso (que ya
dijimos vale solo si k  1  k  1.
1  k2  3  0
1  k22  1  2k3  0
1  kk2  43  0
.
El sistema es consistente por ser homogéneo y hay 3 incógnitas y 3 ecuaciones que contienen
al parámetro.
Para que el sistema tenga solución única no debe haber variables libres, esto ocurre cuando el
número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. En este caso como las incógnitas son 3
igual a la cantidad de ecuaciones, deberíamos pedir que ninguna ecuación se elimine. Como por
las condiciones de escalonamiento sabemos que k  1  k  1, ello ocurre si k2  4  0. Es
decir si k  2  k  2 y k  1  k  1, el sistema tiene solución única, y en consecuencia es
Linealmente Independiente.
Pero ya hemos analizado que ocurre en particular para k  1 o k  1 en el momento del
proceso previo a imponer cada una de esas restricciones. Como dijimos eso se realiza para
determinar si esas son solo restricciones para poder realizar el proceso o son realmente
condiciones para el tipo de solución del sistema.
Como para k  1 ya determinamos que es Linealmente Dependiente y si k  1, es
Linealmente Independiente, estamos en condiciones de saber interpretar ello y dar respuesta a la
consigna.
Respondemos lo pedido en a. Como para k  1, es Linealmente Dependiente, podemos
decir que la condición k  1 es condición de solución para la independencia lineal, y como para
k  1, es Linealmente Independiente, la condición k  1 sólo es condición de
escalonamiento para la independencia lineal así que:
Si k  2  k  2  k  1, el conjunto es Linealmente Independiente.
Para que el sistema tenga infinitas soluciones en el sistema escalonado debería haber más
ecuaciones que incógnitas, para que haya variables libres. Necesitamos entonces que al menos
una de ellas se anule. Esto ocurre si k2  4  0. Es decir si k  2  k  2
Como la condición k  1 es condición de solución para la dependencia lineal, Ya que vimos
más arriba que para k  1 el conjunto es Linealmente Independiente. Tanto 2 como 2 son
distintos de 1, así que estos valores de k hacen que el conjunto sea Linealmente Dependiente ya
que si reemplazamos cada uno de estos valores en el sistema escalonado queda:
Si k  2
1  22  3  0
1  222  1  2  23  0
1  222  43  0

1  22  3  0
32  33  0
En el sistema escalonado que es consistente por ser homogéneo, hay 3Inc  2Ec  1
Variable Libre, por lo que el sistema tiene infinitas soluciones y en consecuencia es
Linealmente Dependiente.
Si k  2
1  22  3  0
1  222  1  223  0
1  222  43  0

1  22  3  0
32  53  0
En el sistema que es consistente por ser homogéneo, hay 3Inc  2Ec  1 Variable Libre, por
lo que el sistema tiene infinitas soluciones y en consecuencia es Linealmente Dependiente.
Además ya determinamos que si k  1, es Linealmente Dependiente.
En consecuencia , si k  2  k  2  k  1 el conjunto es Linealmente Dependiente.
Ejemplo 2:
Consigna similar a la del ejemplo 1 para el conjunto:  x2  x  k, kx  1, kx2  2x  2
incluido en el espacio de polinomios con coeficientes reales y grado menor o igual que 2.
Expresamos al polinomio nulo, neutro de la suma, como combinación lineal de los
polinomios dados. Recordemos que el polinomio nulo de grado menor o igual que 2 es de la
forma: 0x2  0x  0 que no es otra cosa que el número 0. Así que si expresamos al polinomio
nulo como combinación lineal de los polinomios de tenemos:
1x2  x  k  2kx  1  3kx2  2x  2  0x2  0x  0
Realizando el producto por un escalar:
1x2  1x  1k  2kx  2  3kx2  23x  23  0x2  0x  0
Realizando la suma de polinomios tenemos:
1  3kx2  1  2k  23x  1k  2  23  0x2  0x  0
Aplicando la definición de igualdad de polinomios tenemos el sistema equivalente:
1  k3  0
1  k2  23  0
k1  2  23  0
Resolviendo el sistema por Gauss:
1 0 k 0
1 k 2 0
k 1 2 0

1 0 k 0
0 k 2  k 0
0 1 2  k2 0

F3 F2 
1 0 k 0
0 1 2  k2 0
0 k 2  k 0

1 0 k 0
0 1 2  k2 0
0 0 k  12k  2 0
Se realizaron los siguientes calculos auxiliares para el escalonamiento de la última fila en la
última matriz:
12  k  k2  k2  2  k  2k  k3  2  2k  k3  k  21  k  k1  k2  21  k
 1  k2  k1  k  1  kk2  k  2  1  kk2  k  2  k  1k2  k  2
La ecuación cuadrática k2  k  2 tiene como raíces a 1 y 2 (verificarlo) por lo que:
k2  k  2  k  1k  2.
Entonces el sistema escalonado es:
1  k3  0
2  2  k23  0
k  12k  23  0
Como no hemos necesitado imponer condiciones al parámetro en el proceso de
escalonamiento, podemos analizar la solución del sistema en función de los posibles valores del
parámetro directamente en el sistema escalonado.
Para que el sistema tenga única solución, es necesario que no haya variables libres. Como el
sistema tiene 3 incógnitas y hay 3 ecuaciones en el sistema escalonado, las que están en función
del parámetro k y alguna de ellas podría anularse para algunos valores del parámetro. Entonces es
necesario que ninguna de sus ecuaciones se elimine, ya que de ser así, en el sistema escalonado
habría igual cantidad de ecuaciones que incógnitas, lo que equivale a que no haya variables
libres. Esto último es equivalente a que el sistema tenga única solución, y en consecuencia que el
conjunto sea Linealmente Independiente.
Vemos que la últimaecuación puede anularse si k  12k  2  0. Es decir si
k  1  k  2. Por lo tanto si k  1  k  2 , k  12k  2  0 la última ecuación no se
anula y en consecuencia el sistema tiene única solución. Así que si k  1  k  2 el conjunto
será Linealmente Independiente.
Por el contrario si k  1  k  2 la última ecuación del sistema escalonado se anula y en él
quedan 3Inc  2Ec  1 Variable Libre. El sistema tiene infinitas soluciones, y eso es suficiente
para decir que el conjunto es Linealmente Dependiente.
Ejercicio 3
¿Qué? debemos hacer. Demostrar algunas propiedades de la dependencia e independencia
lineal. El ¿cómo? lo hacemos es algo que ya hemos trabajado continuamente en los anteriores
tutoriales con la única diferencia que ahora los conceptos involucrados en la proposición o
teorema a demostrar son otros. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Dado un espacio vectorial y U,V  .
Demuestra que si U  kV entonces el conjunto U,V es linealmente dependiente.
Demostraremos por el método directo. Esto es, a partir de la verdad de la hipótesis, debemos
probar la verdad de la tesis, con lo cual habremos probado la verdad de la implicación. Ahora
bien, demostrar la verdad de la tesis, requiere demostrar que el conjunto U,V es linealmente
dependiente. Esto a su vez requiere demostrar que podemos expresar al vector , neutro de la
suma en , como combinación lineal de U y V con algún coeficiente no nulo. Veamos cómo
podemos lograr esto partiendo de la verdad de la hipótesis.
U  kV Hipótesis
 U  kV  kV  kV Existencia del opuesto y ley uniforme
 1  U  kV   Propiedad 1  U  U, Def. de neutro
de la suma en
Si hacemos 1  1 y 2  k y reemplazamos en la anterior igualdad tenemos:
1U  2V   con 1  1  0
Es decir hemos expresado al vector  neutro de la suma en , como combinación lineal de U
y V con algún coeficiente no nulo.
En consecuencia hemos demostrado que el conjunto U,V es linealmente dependiente.
Ejemplo 2. Dado un espacio vectorial y U,V  .
Demuestra que si U,V es linealmente dependiente, entonces U,V,W es también
Linealmente Dependiente W 
Demostramos por el método directo.
U,V es linealmente dependiente Hipótesis
 1U  2V   con algún i  0 Definición de dependencia lineal
 1U  2V       con algún i  0 Existencia del neutro y ley uniforme
 1U  2V  0W   con algún i  0 Prop. 0W  W  y Def. de neutro
de la suma en
Si en la anterior igualdad hacemos: i  i i  1,2 y 3  0 y reemplazamos en la anterior
igualdad tenemos:
1U  2V  W   con algún i  0 (ya que sabemos que algún i  0 para i  1,2
Es decir hemos expresado al vector  neutro de la suma en como combinación lineal de
los vectores U,V,W con algún coeficiente no nulo. Por lo tanto hemos demostrado que el
conjunto U,V,W es Linealmente Dependiente W  .
Ejercicio 4:
¿Qué? debemos hacer. Sabiendo que un conjunto de vectores es Linealmente Independiente,
decidir la dependencia o independencia lineal de otro, cuyos vectores están en función de los
vectores del conjunto linealmente independiente. ¿Cómo? lo hacemos. Bastará expresar al vector
, neutro de la suma, como combinación lineal de los vectores del conjunto cuya dependencia o
independencia lineal queremos determinar y utilizando la hipótesis, extraer alguna conclusión
que nos permita decidir su dependencia o independencia lineal. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1. Dado un espacio vectorial y U,V  .
Si U,V es un conjunto linealmente independiente de un espacio vectorial , decide,
justificando tu respuesta, si el conjunto  U, 2U  3V es linealmente independiente o
dependiente.
Debemos ver si es linealmente independiente o dependiente con la hipótesis de que U,V
es linealmente independiente.
De acuerdo a lo dicho más arriba, debemos expresar el vector , neutro de la suma en ,
como combinación lineal de los vectores de , y analizar si esa combinación lineal es única o si
es posible que haya más de una. Veamos que ocurre.
1U  22U  3V   Hipótesis de la def. de independencia lineal
 1U  22U  23V   Dist. del prod. por un escalar respecto
a la suma de vectores
 1U  22U  32V   Asoc. del producto por un escalar
 (1  22U  32V   Asoc de la suma y Distrib. del producto
por un escalar respecto a la suma
de escalares
Si observamos esta última expresión, vemos que el  está expresado como una combinación
lineal de los vectores U y V. Como por hipótesis U,V es linealmente independiente entonces
aplicando la definición de independencia lineal debe ser:
1  22U  32V   
1  22  0
32  0
Este sistema está escalonado, es consistente por ser un sistema homogéneo y además hay
2Inc  2Ec  0 variables libres, por lo que tiene única solución y es 1  2  0. Por lo tanto
ocurre que:
1U  22U  3V    i  0i  1,2. Es decir, se cumple la definición de
independencia lineal para el conjunto y en consecuencia el conjunto es linealmente
independiente.
Ejemplo 2: Dado un espacio vectorial y U,V,W  .
Sabiendo que U,V,W es linealmente independiente, decide la independencia lineal de:
 U  V,U  kV,U  kV  kW en función de los valores del parámetro k
Expresando al vector  como combinación lineal de los vectores de
1U  V  2U  kV  3U  kV  kW  
Aplicando la propiedad distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de
vectores tenemos:
1U  1V  2U  k2V  3U  k3V  k3W  
Aplicando las propiedades conmutativa y asociativa de la suma de vectores y la propiedad
distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de escalares tenemos:
1  2  3U  1  k2  k3V  k3W  
Como podemos observar hemos expresado el neutro de la suma como combinación lineal de
los vectores U,V,W que sabemos son linealmente independientes. En consecuencia por
definición de independencia lineal, esta combinación lineal del nulo implica que todos sus
coeficientes son nulos. Es decir:
1  2  3  0
1  k2  k3  0
k3  0
Si resolvemos el sistema por Gauss:
1 1 1 0
1 k k 0
0 0 k 0

1 1 1 0
0 k  1 k  1 0
0 0 k 0
El sistema escalonado es:
1  2  3  0
k  12  k  13  0
k3  0
Si analizamos el tipo de solución en función de los valores del parámetro k vemos que si
k  0 k  1 ninguna de las ecuaciones del sistema escalonado se anula y quedan tantas
ecuaciones como incógnitas, por lo que podemos afirmar que el sistema tiene única solución y
entonces 1  2  3  0.
Por lo tanto tenemos que:
1U  V  2U  kV  3U  kV  kW    i  0 i  1,2, 3
Por lo tanto se cumple la definición de independencia lineal y podemos afirmar que si k  0
k  1 el conjunto es Linealmente Independiente.
En cambio si k  0 k  1 en el sistema escalonado se anula una de sus ecuaciones, por lo
que habrá 3Inc  2Ec  1 Variable Libre y por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones lo
que es suficiente para decir que el conjunto es Linealmente Dependiente.
Ejercicios 5 al 10
La consigna de éstos ejercicios involucra los conceptos de Base y Dimensión de un espacio
(subespacio) vectorial. En consecuencia recordar las definiciones y algunas propiedades de éstos
conceptos, interpretarlas y comprenderlas, será seguramente muy necesario para poder aplicarlas
a la resolución de los mismos. Recordémoslas.
Dados: Un espacio vectorial de dimensión finita y un conjunto V1,V2, ,Vk 
Decimos que es una base de si y solo sí :
1 es Linealmente Independiente
2 es un conjunto generador de
Se denomina Dimensión de , al número de vectores que tiene una base de .
Si observamos la definición de base, podemos ver que no hay nada nuevo que aprender, salvo
la definición misma, ya que ella nos lleva a dos conceptos ya estudiados, el de Independencia
Lineal y el de Conjunto Generador. De tal forma que sólo necesitaremos recordar éstos
conceptos para resolver cualquier problema en el que esté involucrado el concepto de base.
En cuanto a la Dimensión,es un concepto muy simple, ya que de acuerdo a la definición
dada, sólo necesitamos contar el número de elementos que tiene una base. Por supuesto antes
debemos tener o hallar una base para ese espacio vectorial.
Trata de interpretar ambas definiciones a los efectos de responder éstos interrogantes:
Dado un espacio vectorial y Dim n y si V1,V2; ,Vk 
Si k  n ¿Podrá ser una base de ?. ¿Por qué?
Si k  n ¿Podrá ser una base de ?. ¿Por qué?
Si k  n ¿Podrá ser una base de ?. ¿Por qué?
Recuerda que cada problema tendrá su particularidad y por lo tanto antes de aplicar la
definición en forma mecánica, debemos razonarlo e interpretarlo a fin de encontrar el camino
más óptimo para resolverlo.
Ejercicio 5
¿Qué? debemos hacer. Dado un espacio vectorial y un conjunto de vectores de ese espacio,
decidir si ese conjunto es o no una base de ese espacio vectorial. Para ver ¿cómo? lo hacemos,
solo bastará recordar la definición de base y verificar que el conjunto dado cumple con esa
definición. Como recordarás, la definición de base exige que el conjunto sea linealmente
independiente y generador del espacio. Así que resolver este problema es algo conocido y que
sabemos hacerlo ¿verdad?.
Sin embargo en este tipo de problemas también es necesario pensar fuertemente en el ¿por
qué? lo hacemos de este u otro modo, ya que además de la definición es necesario recordar
algunas propiedades o teoremas que involucran al concepto de base de un espacio vectorial. Así,
responder los interrogantes antes enunciados, puede hacer que resolvamos un problema de
determinar si un conjunto dado es o no una base de un espacio vectorial en el cual está incluido,
sin necesidad de resolver las dos condiciones que exige la definición o tal vez sin resolver
ninguna de las dos. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1: Decide, justificando tu respuesta, si 1,0, 1, 2,1, 1  3 es o no una
base de 3
¿Qué? debemos hacer. Determinar si el conjunto dado es o no una base de 3. ¿Cómo?
determinamos que un conjunto es una base de 3. Si nos remitimos a la definición habría que
probar que ese conjunto es linealmente independiente y generador de 3. Ahora bien también
dijimos que es importante el ¿por qué? de lo que hacemos cuando desarrollamos una tarea y que
ello nos permite seleccionar la herramienta o método más eficaz para realizarla. Pensemos
entonces, además de la definición ¿qué propiedades conocemos en relación al concepto de base y
dimensión de un espacio (subespacio)?. Más arriba se ha planteado una serie de interrogantes que
si has podido responderlos, es porque has recordado algunos teoremas relacionados con los
conceptos de base y dimensión. Veamos cómo podemos responder a la consigna haciendo uso de
ellos sin tener que utilizar la definición.
Sabemos que la dimensión de 3 es 3. Puedes decirme ¿por qué? . Te sugiero repasar el
resumen teórico del tema 3 y encontrar el teorema que permite asegurarlo.
Ahora bien, como la dimensión de un espacio es el número de vectores que tiene una base de
ese espacio, y además cualquier base de un espacio vectorial tiene la misma cantidad de vectores
(hay un teorema que lo asegura) y esa cantidad es exactamente la dimensión, entonces cualquier
conjunto que sea una base de 3, deberá tener exactamente 3 vectores linealmente
independientes.
Por lo tanto como 1,0, 1, 2,1, 1 tiene 2 vectores, cantidad menor que la dimensión
de 3 que es 3, podemos asegurar que no es una base de 3 ya que si lo fuera, estaría
contradiciendo que la dimensión de 3 es 3.
Como hemos podido ver, se ha resuelto el problema apelando a teoremas que permiten
justificar la respuesta, sin necesidad de probar las dos condiciones requeridas por la definición de
base. Este es un ejemplo de la importancia del ¿por qué? cuando se realiza una tarea. Este
interrogante nos permite pensar y analizar lo que estamos haciendo, a fin de buscar el mínimo
esfuerzo para realizar la tarea. Además el hecho de responder a ese interrogante, nos permite
evaluar respecto al conocimiento que tenemos de los conceptos involucrados en la tarea, y
además en el caso de que los tenemos, cuan capaces somos, de hacer uso del razonamiento
lógico-deductivo, para utilizarlos en la resolución de la tarea o problema. Cuando no dejemos de
lado este aspecto, estaremos aprendiendo de manera comprensiva y significativa.
Ejemplo 2: Igual consigna a la del ejemplo 1 para el conjunto:
1,0, 0, 1,1, 0, 1,2, 1  3
Si analizamos el conjunto vemos que tiene 3 vectores de 3 y como la dimensión de 3 es 3
podría ser una base de 3 si es linealmente independiente, ya que una base de 3 debe tener
exactamente 3 vectores linealmente independientes. Si repasas el resumen teórico del tema 3,
puedes verificar que hay un teorema que asegura que cualquier conjunto que tiene igual cantidad
de vectores que la dimensión del espacio en el que está incluido, verifica que es linealmente
independiente si y solo si es generador del espacio. En consecuencia si aplicamos este teorema al
conjunto , si probamos que es linealmente independiente, habremos probado también que es
generador de 3 y en consecuencia, habremos probado que es una base de 3. te sugiero
verificar que esto ocurre para el conjunto dado.
Ejercicios 6 y 7
¿Qué? debemos hacer. Dado un subespacio (espacio), encontrar una base y la dimensión del
mismo. ¿Cómo? lo hacemos. Sólo debemos recordar la definiciones de base y dimensión e
interpretar las mismas. Veamos algunos ejemplos para que te sirvan de orientación al momento
de resolver los que te propone la guía del trabajo práctico.
Ejemplo 1:
Dado el subespacio x,y, z  3/2x  y  z  0. Determina una base y la dimensión
de .
En este caso no tenemos dado ningún conjunto del subespacio . Debemos encontrar una
base y la dimensión del mismo. Es decir, de acuerdo a la definición, debemos encontrar un
conjunto de vectores incluido en que sea linealmente independiente y generador de . Ello
bastará para asegurar que será una base de y por lo tanto la dimensión de será la cantidad de
vectores que tenga esa base.
Si pretendemos aplicar la primera condición de base, y si recordamos la definición de
independencia lineal, vemos que la misma requiere tener dado un conjunto y en nuestro caso no
lo tenemos. Así que tenemos que centrar la atención en la otra condición, la definición de
conjunto generador de .
Si recordamos la definición de conjunto generador: un conjunto es generador de un
subespacio (espacio) si todo elemento de puede expresarse como combinación lineal de los
elementos de . Nosotros no tenemos , pero conocemos el elemento genérico de . De
acuerdo a lo visto en el TP Nº 1, el elemento genérico de está dado por la solución general de
la ecuación de y representa cualquier elemento de . Conocemos la ecuación de , y sabemos
encontrar su solución general ¿verdad?. Hagámoslo.
La ecuación de es: 2x  y  z  0. Se trata de una ecuación con tres incógnitas, por lo
tanto, es un sistema lineal escalonado. Sabemos que en un sistema escalonado, la cantidad de
variables libres es la diferencia entre la cantidad de incógnitas del sistema y la cantidad de
ecuaciones del sistema escalonado.
En este caso: 3  1  2 Variables Libres. Elijamos a x,y como Variables Libres. Entonces
z  2x  y.
La solución general será: x,y, z  x,y,2x  y que sabemos es el elemento genérico de
y representa cualquier elemento de .
Por definición de conjunto generador de un espacio, cualquier vector del espacio debe poder
expresarse como combinación lineal de los vectores del conjunto generador. En este caso el
espacio es y estamos buscando un conjunto generador de . Como la solución general de la
ecuación de , representa cualquier vector de , si podemos expresarla como combinación lineal
de ciertos vectores, habremos encontrado tal generador.
Hagamos esto.
x,y,2x  y  x, 0,2x,   0,y,y. Definición de suma en 3
x,y,2x  y  x1,0,2  y0,1, 1. Definición de producto por un escalar en 3
¡Listo! hemos logrado expresar cualquier vector de como combinación linealde los
vectores 1,0,2 y 0,1, 1. Entonces:
1,0,2, 0,1, 1 es un generador de (cumple la definición de conjunto generador).
Hemos encontrado un conjunto generador de , bastaría justificar que es Linealmente
Independiente, para poder afirmar que el conjunto hallado es una base de .
Queremos justificar la independencia lineal de . Para ello podemos proceder de distintas
formas, por ejemplo, aplicando la definición de independencia lineal. En este caso, debemos
mostrar que el vector neutro de la suma en 3 puede escribirse de una única forma como
combinación lineal de los vectores de .
11,0,2  20,1, 1  0,0, 0 
1  0
2  0
21  2  0
Este sistema tiene solución única, en consecuencia es linealmente independiente y como
ya probamos que es un generador de , podemos afirmar que es una base de .
La dimensión de es 2 (número de vectores de .
Ahora bien, a menudo estamos diciendo y lo repetimos más arriba, que antes de resolver un
problema es mejor razonarlo, interpretarlo y en base a nuestros conocimientos (herramientas)
buscar el camino más óptimo para resolverlo (seleccionar las herramientas más eficaces para
realizar la tarea).
Si recuerdas lo aprendido en las clases teóricas, o si repasas el resumen teórico del tema 3,
seguro encontrarás que a partir de la definición de dimensión, se puede encontrar otra
equivalente, que puede ser de mayor utilidad para algunos problemas (como el del anterior
ejemplo). Así decimos que:
La dimensión de un subespacio (espacio) es el número de variables libres de la solución
general de su ecuación. 1
Asimismo teniendo en cuenta la definición de dimensión y base de un espacio vectorial de
dimensión finita, se puede probar el siguiente teorema:
Teorema: Dado V1,V2, ,Vn  y Dim n, entonces:
Linealmente Independiente si y solo sí es un conjunto generador de 2
Si interpretamos esta equivalencia, se puede ver que: sabiendo que un conjunto de un
espacio vectorial tiene tantos vectores cómo la dimensión del espacio en el que está incluido, si
probamos que es linealmente independiente, habremos probado también que es generador de ese
espacio y recíprocamente. En otras palabras, sí se cumplen las hipótesis del teorema (dado un
conjunto con una cantidad de vectores igual a la dimensión del espacio en el que está
incluido), no hace falta probar las dos condiciones para poder afirmar que sea una base de ,
ya que ambas condiciones-en este caso particular- son equivalentes.
Veamos como aplicamos éstas dos herramientas para resolver el anterior ejemplo:
La ecuación de es: 2x  y  z  0. Como es una única ecuación, es un sistema escalonado,
por lo que:
3Inc  1Ec  2 Variables Libres  Dim 2. Por 1
Elijamos a x,y como variables libres Entonces z  2x  y.
La solución general será: x,y, z  x,y,2x  y, que como dijimos representa cualquier
elemento de .
x,y,2x  y  x, 0,2x,   0,y,y. Definición de suma en 3.
x,y,2x  y  x1,0,2  y0,1, 1. Definición de producto por un escalar en 3.
 1,0,2, 0,1, 1genera a . Definición de conjunto generador.
Como es generador de y tiene igual cantidad de vectores que la dimensión de ,
aplicando el teorema 2 podemos decir que es linealmente independiente, por lo que será una
base de .
¿No te parece que es más óptimo este último camino? ¡Claro que sí!, sobre todo cuando se
trabaja con subespacios no tan simples como el del anterior ejemplo.
Ejemplo 2: Dados los siguientes subespacios de 3 :
x,y, z  3/2x  y  z  0 L1,0,1, 1,1, 0, 2,1,1
Determina una base y la dimensión para: i ii iii 
i Ya lo hemos realizado en el ejemplo 1
ii Observemos que es el subespacio generado por el conjunto
1,0,1, 1,1, 0, 2,1,1.
Para encontrar una base y la dimensión de , podemos encontrar el subespacio generado por
, algo que ya hicimos en el Trabajo Práctico 3, con ello expresaríamos a de la misma forma
en la que está expresado , con lo que reducimos el problema a un problema que ya sabemos
resolver.
También por ser 1,0,1, 1,1, 0, 2,1,1 generador de , solo restaría ver si es o
no linealmente independiente.
Si es linealmente independiente, ¡Listo! estamos en condiciones de afirmar que es una
base de y en consecuencia la Dim 3.
Si es linealmente dependiente, ¡sonamos!. Nada de eso, recuerda que un conjunto
generador puede ser linealmente dependiente y que una base de un espacio vectorial es el
mínimo conjunto generador de ese espacio, en consecuencia cualquier conjunto linenalmente
dependiente pero que sea generador de un espacio vectorial, contiene una base de ese espacio.
Por lo tanto sólo debemos determinar cuál es la máxima cantidad de vectores de ese conjunto que
son linealmente independientes. Podríamos ir descartando de a uno los vectores hasta encontrar
lo que buscamos (procedimiento no muy útil). Más adelante veremos una herramienta para
realizar esta tarea más eficazmente.
iii Para encontrar una base y la dimensión de  primero debemos encontrar  . De
acuerdo a la definición de intersección, si X     X  X  . Conocemos las
condiciones que debe cumplir un vector X para pertenecer a , porque conocemos su ecuación,
pero no conocemos la ecuación de . Así que se hace necesario expresar a de la misma forma
en que está expresado .
Como L  siendo 1,0,1, 1,1, 0, 2,1,1, entonces:
Si X   i i  1,2, 3/X 
i1
3
iV i.
1V1  2V2  3V3  X. Definición de combinación lineal.
11,0,1  21,1, 0  32,1,1  x,y, z. Sustitución.
1  2  23  x
2  3  y
1  3  z
. Producto de un escalar por un vector,
suma e igualdad de vectores
Resolvemos por Gauss
1 1 2 x
0 1 1 y
1 0 1 z

1 1 2 x
0 1 1 y
0 1 1 z  x

1 1 2 x
0 1 1 y
0 0 0 x  y  z
El sistema escalonado es:
1  2  23  x
2  3  y
03  x  y  z
X es combinación lineal de los vectores de
solo si el sistema es consistente, y el sistema es
consistente solo si x  y  z  0
Por lo tanto:
x,y, z  3/x  y  z  0
Como x,y, z  3/2x  y  z  0 entonces:
 x,y, z  3/2x  y  z  0  x  y  z  0.
Como podemos ver hemos reducido el problema a otro que ya sabemos resolver. Se resuelve
de la misma forma que el inciso i, con la única diferencia que ahora para encontrar la dimensión
de  y la solución general hay que resolver el sistema :
2x  y  z  0
x  y  z  0
.
Queda como ejercicio a los efectos de que practiques.
Ejemplo 3:
Determina una base y la dimensión del subespacio de matrices diagonales de 2  2.
Si recordamos la definición de matrices diagonales tenemos: Ann  aij es diagonal si y solo
sí : aij  0 i  j
El elemento genérico de este espacio para n  2 será: X 
x11 0
0 x22
(solución general
de su ecuación).
La solución general tiene dos variables libres x11 y x22, en consecuencia la dimensión del
subespacio de matrices diagonales de 2  2 , por la definición 1 es 2.
De acuerdo a lo que hemos visto también en el ejemplo 1, para encontrar un generador de
este espacio, basta con expresar el elemento genérico como combinación lineal de ciertas
matrices, las que serán los elementos del conjunto generador. Así que:
x11 0
0 x22

x11 0
0 0

0 0
0 x22
. Definición de suma de matrices.
x11 0
0 x22
 x11
1 0
0 0
 x22
0 0
0 1
. Definición de producto por un escalar.
Es decir 
1 0
0 0
,
0 0
0 1
, será un conjnto generador del subespacio de las
matrices diagonales de 2  2 ya que cumple la definición de conjunto generador.
Como el conjunto generador ( ) tiene tantos vectores como la dimensión del espacio que
genera, por el teorema (2), podemos afirmar que es linealmente independiente, y en
consecuencia al verificar ambas condiciones de la definición de base, es una base del subespacio
de matrices diagonales de 2  2.
Ejemplo 4
Extiende la base encontrada en el ejemplo 1 para el subespacio:
x,y, z  3/2x  y  z  0  3 a una base de 3
¿Qué? debemos hacer. Dada una base de un subespacio de 3, extender esa base a una base
de 3. Para ver ¿cómo?lo hacemos, debemos responder la pregunta.: ¿Qué significa extender
una base de un subespacio a una base del espacio en el que está incluido?. ¿Cómo se
extiende una base de un subespacio a una base del espacio?
La respuesta al primer interrogante tiene que ver con que un subespacio de un espacio
vectorial tiene dimensión menor o igual que la dimensión del espacio en el cual está incluido. Si
es un subespacio propio su dimensión es menor que la dimensión del espacio, por lo que una
base del mismo no puede ser una base del espacio, por tener menor cantidad de vectores que la
dimensión del espacio. Extender una base de un subespacio para que sea una base del espacio en
el que está incluido, no es más que agregarle a esa base, vectores del espacio para que la cantidad
sea igual a la dimensión del espacio. Pero como una base debe ser un conjunto linealmente
independiente, los vectores que se agreguen deben ser tales que aseguren que el nuevo conjunto
sea linealmente independiente. Si tenemos en cuenta que un conjunto de vectores es linealmente
dependiente si y solo si uno de sus vectores es combinación lineal de los restantes, para asegurar
la independencia lineal, ninguno de los vectores que se agrega a la base del subespacio, debe ser
combinación lineal de sus vectores. Así que listo, bastará que los vectores que se agreguen no
pertenezcan al subespacio generado por ellos, ya que en él están todas las combinaciones lineales
de los vectores del generador (base) del subespacio. De esta manera se asegura que el conjunto
así obtenido sea linealmente independiente.
Por otra parte necesitamos asegurar que ese conjunto sea generador del espacio. Para ello
podemos usar el teorema (2) dado más arriba, ya que como ahora tenemos un conjunto
linealmente independiente que tiene igual cantidad de vectores que la dimensión del espacio en
el que está incluido, por el teorema es también generador del espacio y en consecuencia es una
base de ese espacio.
Una base para el subespacio x,y, z  3/2x  y  z  0  3 que encontramos al
resolver el ejemplo1 es:
1,0,2, 0,1, 1 que como vemos tiene 2 vectores. Así que necesitamos agregar a
este conjunto un vector de 3 de modo que el conjunto de los tres vectores sea linealmente
independiente.
TomamosW  0,1, 2  R3 peroW  0,1, 2  S ya que 2  0  1  2  1  0 , por lo
que W  0,1, 2 no es combinación lineal de los vectores de G. Así que
B  1,0,2, 0,1, 1, 0,1, 2 es linealmente independiente.
Como B tiene tantos vectores como la dimensión de R3 entonces por el teorema antes citado,
B es generador de R3 y por lo tanto B  1,0,2, 0,1, 1, 0,1, 2 es una base de R3 y B
resulta de extender la base del subespacio
Ejercicio 8
¿Qué? debemos hacer. Encontrar una base de 4 que contenga a un conjunto de dos vectores
linealmente independientes dados. ¿Cómo? lo hacemos. Solo debemos recordar la definición de
base y de dimensión. Sabemos que la dimensión de 4 es igual a 4, así que una base para 4
debe tener 4 vectores linealmente independientes, y tenemos un conjunto de 2 vectores de 4 que
debe formar parte de la base que encontremos. Como una base de 4 debe contener 4 vectores
linealmente independientes, necesitamos adicionar a los 2 vectores dados, un vector de modo que
el conjunto de 4 vectores así formado sea linealmente independiente. Los vectores dados generan
un subespacio de 4 en el cual -de acuerdo a la definición de subespacio generado- están todas
las combinaciones lineales de esos vectores. Como podemos ver el problema se reduce a lo
realizado en el ejemplo 4 desarrollado para los ejercicios 6 y 7 (extender una base de un
subespacio a una base del espacio).
Ejercicio 9
¿Qué? debemos hacer. Determinar, si existen, valores de un parámetro, para que un conjunto
de tres vectores de 3 cuyas componentes están en función de ese parámetro, sea una base de
3. ¿Cómo? lo hacemos. Solo debemos recordar la definición de base y dimensión de un espacio
vectorial y algunas propiedades de esos conceptos. Veamos un ejemplo ilustrativo.
Ejemplo 1
Dado el conjunto 1,k,k  1, 2,k  1,0, 0, k  1, 2. Determina, si existen valores
del parámetro k para que constituya una base de 3.
Recordamos que para que un conjunto sea una base de 3 debe cumplir con:
1 Ser linealmente independiente y 2 Ser generador de 3.
Pero si analizamos un poco y recordamos algunas cosas que ya dijimos anteriormente,
sabemos que la dimensión de 3 es 3 y vemos que tiene 3 vectores (igual a la dimensión de
3. Por lo tanto, si tenemos en cuenta el Teorema 2 que enunciamos más arriba, podemos
asegurar que basta demostrar solo una de las dos condiciones (por ser en este caso equivalentes).
En consecuencia veamos para que valores del parámetro el conjunto es linealmente
independiente.
Expresando al , neutro de la suma en 3 como combinación lineal de los vectores de .
11,k,k  1  22,k  1,0  30,k  1,2  0,0, 0
Realizando el producto por un escalar y la suma de vectores
1  22, k1  k  12  k  13, 1  k1  23  0,0, 0
Aplicando la definición de igualdad de vectores obtenemos el sistema equivalente.
1  22  0
k1  k  12  k  13  0
k  11  23  0
I
Resolviendo por Gauss
1 2 0 0
k k  1 k  1 0
k  1 0 2 0

1 2 0 0
0 k  1 k  1 0
0 2k  1 2 0
k1

1 2 0 0
0 1 1 0
0 2k  1 2 0

1 2 0 0
0 1 1 0
0 0 2k 0
.
El sistema escalonado es:
1  22  0
 2  3  0
2k3  0
II
Como en el proceso de escalonamiento hemos impuesto al parámetro la condición k  1,
este sistema escalonado vale para k  1. Veamos primero que ocurre con la solución del
sistema si k  1. Para ello debemos reemplazar este valor en la etapa de escalonamiento previa
a la que le impusimos esa condición a k, para poder seguir el proceso de escalonamiento.
1 2 0 0
0 k  1 k  1 0
0 2k  1 2 0

1 2 0 0
0 0 0 0
0 0 2 0

1 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 0
El sistema escalonado es
1  22  0
23  0
Vemos que el sistema tiene infinita soluciones, ya que se tiene 3Incóg  2ec  1 Variable
Libre. Por lo tanto el conjunto es linealmente dependiente y en consecuencia la restricción
k  1 es una condición para la independencia lineal.
Si analizamos ahora la solución en II tenemos que:
Si k  0  k  1 nos quedan 3Incóg  3ec  0 Variables Libres, así que el sistema tiene
solución única. En consecuencia, si k  0  k  1, es linealmente independiente.
Aplicando el teorema antes mencionado (al tener tantos vectores como la dimensión del
espacio 3 en el que está incluido) y ser linealmente independiente, solo si k  0  k  1,
entonces genera a 3 solo si k  0  k  1 y en consecuencia es una base de 3 solo si
k  0  k  1.
Ejercicio 10
En este ejercicio el ¿qué? debemos hacer consiste en realizar alguna demostración
relacionada con propiedades de los conjuntos linealmente independientes o dependientes o de
una base de un espacio vectorial. Para ver ¿cómo? lo hacemos, solo hay que recordar todo lo que
ya dijimos en los anteriores tutoriales acerca de cómo demostrar implicaciones y por supuesto
recordar los conceptos involucrados en cada uno de las proposiciones a demostrar. Veamos
algunos ejemplos.
Ejemplo 1:
Demuestra que si V1 y V1   entonces es Linealmente Independiente.
Demostramos por el Método Directo. En consecuencia suponiendo la verdad de la hipótesis
debemos demostrar la verdad de la tesis. En este caso la tesis es a su vez una implicación ya que
para probar la independencia lineal debemos probar que se cumple la definición y como vimos
más arriba, esa definición es una implicación. Así que partimos de la verdad de la hipótesis de
esta definición.
V1   hipótesis de la definición de Independencia Lineal
Como V1    V1   Hipótesis general del teorema
   0 Propiedad U      0  U  
 V1      0 Consecuencia de lo anterior
Es decir, hemos demostrado que se cumple la definición de Independencia Lineal, por lo que
hemos probado que es LinealmenteIndependiente.
Ejemplo 2:
Demuestra que si V1,V2,V3  es linealmente independiente, entonces:
V1,V1  2V2,V1  V2  V3 es Linealmente Independiente.
Como la definición de independencia lineal, indica que si el vector , neutro de la suma en
se expresa como combinación lineal, de los vectores del conjunto, entonces los coeficientes de
esa combinación lineal, son todos nulos, y esto equivale a decir que el sistema equivalente tiene
única solución. Expresamos la combinación lineal del  para ver qué tipo de solución tiene el
sistema equivalente, considerando además la independencia lineal del conjunto , dada por la
verdad de la hipótesis. Entonces tenemos:
1V1  2V1  2V2  3V1  V2  V3  . Hipótesis de la definición de independencia
lineal
1V1  2V1  22V2  3V1  3V2  3V3  . Prop. distributiva del producto de un
escalar respecto a la suma de vectores
(1  2  3V1  22  3V2  3V3  . Prop distributiva del producto por un escalar
respecto a la suma de escalares y conmutativa de la suma de vectores
La última igualdad nos dice que el neutro de la suma en es combinación lineal de los
vectores V1,V2,V3 y como por hipótesis V1,V2,V3 es Linealmente Independiente,
entonces por definición de independencia lineal, esto implica que todos los coeficientes de esa
combinación lineal son nulos. Es decir:
1  2  3  0
22  3  0
3  0
Podemos observar que este sistema ya esta escalonado y que tenemos 3Inc  3Ec  0
Variables Libres, por lo que podemos decir que tiene solución única. Es decir, se cumple que:
1V1  2V1  2V2  3V1  V2  V3    i  0i  1,2, 3, que equivale a decir
que se verifica la definición de Independencia Lineal para el conjunto .
En consecuencia podemos afirmar que es Linealmente Independiente.
Ejercicio 11
¿Qué? debemos hacer. Encontrar las coordenadas de un vector dado respecto a una base
dada. ¿Cómo? lo hacemos. Solo debemos recordar la definición de coordenadas de un vector
respecto a una base. Es importante no perder de vista lo de respecto a una base, ya que ello
significa que la unicidad de dichas coordenadas, es precisamente respecto a esa base. Es decir las
coordenadas de un mismo vector respecto a dos bases distintas no son iguales. Por lo tanto tiene
sentido que dado un vector, cuyas coordenadas respecto a una base, por ejemplo la canónica, se
conocen , se nos solicite hallar las coordenadas de ese mismo vector respecto a otra base, distinta
de la canónica.
Asimismo recordemos que cuando se habla de una base y de coordenadas de un vector
respecto a esa base, hay que tener en cuenta, que los vectores de la base, están dados en un cierto
orden, es decir la base se considera como un conjunto ordenado de vectores, por lo que si
V1,V2, ,Vn es una base de un espacio , será distinta de V2,V1, ,Vn que tiene
los mismos vectores pero el orden de V1 y V2 es distinto.
Por otro lado cuando se nos da un vector, a menos que nos digan lo contrario, sus
coordenadas siempre podrán considerarse dadas respecto a la base canónica del espacio al que
pertenece.
Por ejemplo si tenemos el vector U  2,3  2 como U  2,3  21,0  30,1
podemos decir que 2,3 son las coordenadas de U respecto a la base canónica 1,0, 0,1 de
2
En general Cualquier vector X  2 será X  x,y  x1,0  y0,1. Es ésta la razón de
que simbolizaremos con x,y las coordenadas de cualquier vector de 2 respecto a la base
canónica de 2.
Si recordamos la convención tomada, en temas anteriores, designaremos a un vector de 2
como la matriz columna, con lo cual el vector fila será su transpuesta. La razón de ello es porque
así lo hemos considerado al expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial.
Si tenemos V1,V2 una base de 2, podríamos preguntarnos. ¿Cuáles son las
coordenadas de X  2 respecto a la base ?.
Si tenemos en cuenta la definición, serán los 1,2 tales que: X  1V1  2V2
Si hacemos:
X 
x
y
; V1 
v11
v21
;V2 
v12
v22
Tenemos:
x
y
 1
v11
v21
 2
v12
v22
I.
Si simbolizamos como X al vector en coordenadas respecto a la base tendremos que las
coordenadas del vector X respecto a la base son:
X 
1
2
Observemos que la I se puede escribir en forma matricial como:
x
y

v11 v12
v21 v22
1
2
II
Si llamamos:
X 
x
y
; P 
v11 v12
v21 v22
y XB 
1
2
La II queda expresada en forma sintética como:
X  PXB
La II, es una ecuación matricial que relaciona las coordenadas de un vector en dos bases
distintas, la canónica y la . Ella nos permitirá, conocidas las coordenadas de un vector en una de
las bases, calcular sus coordenadas en la otra. Es decir nos permitirá pasar de las coordenadas de
un vector en una base a las coordenadas de ese mismo vector en otra base distinta. Por esta razón
se denominará ecuación de cambio de base (ya volveremos sobre esto más adelante en temas
posteriores).
Volviendo a la pregunta, nos interesaba conocer las coordenadas del vector X respecto a la
base . Es decir en la II, conocidos x,y debemos averiguar los 1,2.
Observemos que la II no es otra cosa que un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
1,2 que ya sabemos tendrá solución única ¿por qué?. Dicha solución nos dará las coordenadas
buscadas. En definitiva resolver este tipo de problemas no es más que resolver un sistema de
ecuaciones lineales. Problema súper conocido y súper sabido por nosotros ¿verdad?.
Ejemplo 1
Dado el vector U  3,1 Determina las coordenadas de U respecto a las bases canónica y
 1,3, 1,2. Interpreta geométricamente.
De acuerdo a la definición se denomina coordenadas de un vector respecto de una base a los
coeficientes que permiten expresar al vector como combinación lineal de los elementos de la
base.
Así el vector U se lo puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base
canónica de la siguiente forma:
3,1  31,0  10,1
Por lo tanto las coordenadas de U respecto de la base canónica son 3,1.
Si expresamos a U como combinación lineal de los elementos de la base tenemos:
3,1  s1,3  t1,2 1
En consecuencia las coordenadas de U respecto de la base serán los coeficientes s y t de la
I y lo expresaremos de la siguiente forma:
UB 
s
t
Para determinarlas solo necesitamos resolver la I que es equivalente a resolver el sistema:
1 1
3 2
s
t

3
1
.
Resolviendo por Gauss tenemos:
1 1 3
3 2 1

1 1 3
0 5 10

s  t  3
 5t  10
 t  2 y s  1
Por lo tanto las coordenadas del vector U  3,1 respecto a la base son:
U 
1
2
Si consideramos cualquier vector x,y y como x,y son sus coordenadas respecto a la base
canónica tendremos que sus coordenadas respecto a la base serán s, t y que ambas
coordenadas estarán relacionadas mediante la ecuación matricial:
x
y

1 1
3 2
s
t
Si llamamos P 
1 1
3 2
XB 
s
t
y X 
x
y
nos quedará:
X  PXB II
Que como dijimos es la ecuación de cambio de base y permite pasar de las coordenadas en
una base a las coordenadas en otra base.
Así, si se conoce XB podemos calcular X directamente de II o bien conociendo X se puede
calcular XB despejando como XB  P1X
Sabemos que P es inversible debido a que como las coordenadas de un vector son únicas la
II tiene solución única y ello equivale a decir que P es inversible. Esto ya lo vimos en el
T.P.No2.
Para ver la interpretación geométrica, solo debemos tener en cuenta la definición al realizar
la gráfica de las coordenadas.
Las coordenadas en la base canónica son x,y  x1,0  y0,1. Es decir el vector x,y es
combinación lineal de los vectores 1,0, 0,1 y en consecuencia suma de los vectores x1,0,
y0,1. Así que dado el punto para graficar las coordenadas, se trazan por el punto las paralelas a
cada eje, y la intersección con el otro eje nos dará la coordenada correspondiente.
Los ejes cartesianos x,y tienen como direcciones respectivamente a los vectores 1,0 y 0,1
y sus sentidos positivos están dados respectivamente por los sentidos de estos vectores.Asimismo la unidad o escala para cada uno de esos ejes, está dada por la longitud de cada uno de
estos vectores respectivamente.
Las coordenadas del mismo vector en la base B  1,3, 1,2, están dadas por:
x,y  s1,3  t1,2, por lo que tendremos igual interpretación. Es decir los nuevos ejes s, t
tendrán respectivamente las direcciones de los vectores 1,3, 1,2, sus sentidos positivos
estarán dados respectivamente por los sentidos de dichos vectores y la unidad o escala para cada
eje, estará respectivamente dada por la longitud de dichos vectores. Del mismo modo que en el
caso de la canónica, dado el punto para graficar las coordenadas se trazan por el punto las
paralelas a cada eje y la intersección con el otro eje nos dará la coordenada correspondiente.
Veamos para el ejemplo que estamos resolviendo.
Ejemplo 2
Sabiendo que las coordenadas del vector U respecto a la base 1,2, 1,1 son :
U 
1
1
. Determina las coordenadas de U respecto a la base canónica.
Solo debemos recordar la ecuación que relaciona las coordenadas de un vector en la base
canónica de 2 y otra base cualquiera de 2 Esa ecuación es: X  PXB
Donde:
X 
x
y
representa las coordenadas de cualquier vector de 2 respecto a la base
canónica
P 
u11 u12
u21 u22
representa la matriz de cambio de base cuyas columnas son los vectores
de la base U1,U2u11,u21, u12,u22
XB 
s
t
representa las coordenadas de cualquier vector de 2 respecto a la base .
Así que en la ecuación X  PXB tanto P como XB son datos, por lo que solo debemos realizar
el producto para encontrar X , que es la incógnita a determinar. Así que:
X 
x
y

1 1
2 1
1
1

2
1
Ejercicio 12
En éste ejercicio el ¿qué? debemos hacer, involucra los conceptos de espacio fila, espacio
columna, espacio solución y rango de una matriz. Para ver ¿cómo? lo hacemos, debemos
recordar las definiciones de tales conceptos para aplicarlos en su desarrollo. Su resolución no
aporta nada nuevo a lo que ya hicimos en el TP3 o en los anteriores ejercicios de este trabajo
práctico, ya que la definición de esos nuevos conceptos nos lleva a otros ya estudiados.
Recordemos esas definiciones.
Dada Una matriz Amn definimos:
Espacio fila de A: Es el subespacio generado por las filas de A consideradas como vectores
de n. Lo simbolizamos como E fA
Espacio Columna de A: Es el subespacio generado por las columnas de A consideradas
como vectores de m.Lo simbolizamos como EcA
Espacio solución de A : Es el conjunto solución del sistema AX  . Lo simbolizamos
como ESA
Rango de A : Es la dimensión del espacio fila o del espacio columna de la matriz A (que son
iguales). Lo simbolizamos como RangoA
Como podemos ver éstas definiciones nos llevan a conceptos ya conocidos. De manera que
resolver problemas que los involucren no debería tener mayores inconvenientes ¿es así?
Si llamamos F1,F2, ,Fm a las filas y C1,C2, ,Cn a las columnas de A respectivamente y
recordamos la definición, podemos expresar el espacio fila o columna de A o el espacio solución
de A según su definición en forma simbólica como:
E fA  LF1,F2, ,Fm  n y EcA  LC1,C2, ,Cm  m
ESA  X  n/AX   y RangoA  DimEfA  DimEcA
Así resolver problemas como: dada una matriz A, encontrar su espacio fila o su espacio
columna, encontrar una base y la dimensión de esos espacios, determinar el rango de A,
determinar si vectores dados pertenecen o no a esos espacios, no es otra cosa que encontrar un
subespacio generado por un conjunto de vectores, encontrar una base y la dimensión de un
subespacio, verificar si los vectores dados pertenecen o no a un subespacio, problemas ya
resueltos en el TP3 o en los anteriores ejercicios de este TP4. Bastará con recordar cómo se
resuelve estos problemas y repetir lo que ya hicimos allí.
Sin embargo, para alguno de estos problemas, hemos incorporado en las clases teóricas,
algunos conceptos que constituyen nuevas herramientas para resolverlos de forma más simple.
Así, si el problema consiste en encontrar una base y la dimensión del espacio fila (o columna)
de una matriz, como por definición, estos espacios no son más que subespacios generados por las
filas o por las columnas. Ya conocemos un conjunto generador de esos espacios, en consecuencia
bastaría ver si dicho conjunto es linealmente independiente, o determinar cuál es la máxima
cantidad de vectores del mismo que son linealmente independientes, esto es así, porque ya
sabemos que cualquier conjunto generador de un espacio, contiene una base de ese espacio.
Para realizarlo, podemos hacer uso del siguiente teorema:
Teorema: Las filas no nulas de una matriz escalonada y sus correspondientes en la
matriz original son linealmente Independientes.
Por lo tanto sólo necesitamos escalonar la matriz y ver cuáles de sus filas no se anulan, las
que por el anterior teorema serán linealmente independientes, cómo también aquellas
correspondientes de la matriz original. Estas filas constituyen una base del espacio fila de la
matriz y la dimensión de este espacio será la cantidad de vectores de una base, por lo que será la
cantidad de filas no nulas de la matriz escalonada.
En el caso de las columnas, sólo necesitamos hacer lo mismo con la matriz transpuesta de la
dada, y encontrar una base y dimensión para su espacio fila, con lo que habremos encontrado una
base y la dimensión para el espacio columna, ya que por definición de matriz transpuesta, las
filas de la matriz traspuesta son las columnas de la matriz dada.
Veamos un ejemplo para mostrar lo que acabamos de decir:
Ejemplo: Dada la siguiente matriz:
A 
0 1 0 1
1 1 2 1
2 1 4 3
i Expresa, usando la definición correspondiente el E fA; ECA y ESA
ii Determina el E fA; ECA y ESA
iii Determina el valor del parámetro k para que el vector U  2,1, 1  k pertenezca al
ECA
iv Determina una base y la dimensión de E fA; ECA y ESA
v Determina el Rango de A
Veamos cómo se procede:
i Solo debemos aplicar la definición de cada uno de los espacios a determinar.
E fA  L0,1, 0,1, 1,1, 2,1, 2,1, 4,3  4
ECA  L0,1, 0,1, 1,1, 2,1, 2,1, 4,3  3
ESA  x,y, z, t  4/
0 1 0 1
1 1 2 1
2 1 4 3
x
y
z
t

0
0
0
ii Sólo debemos resolver lo anterior. Como podemos ver no hay nada nuevo ya que en el
caso de los espacios fila y columna, es determinar el subespacio generado por un conjunto de
vectores y en el caso del espacio solución, encontrar la solución de un sistema lineal homogéneo,
problemas que ya resolvimos varias veces en los TP1 y TP 3 y que seguro sabemos realizar
¿verdad?.
iii Una vez resuelto ii podemos encontrar la ecuación del espacio columna. Ya sabemos
que cualquier vector de ese espacio, debe ser solución de su ecuación. Por lo tanto, reemplazando
las componentes del vector U en la ecuación del espacio columna, podemos determinar el valor
de k (si existe) para que dicho vector pertenezca al espacio columna. Queda como ejercicio.
iv Para resolverlo vamos a aplicar el teorema mencionado mása arriba.
0 1 0 1
2 1 4 3
1 1 2 1
Intercambiamos Filas 1 con la filas 3 y escalonamos:
1 1 2 1
2 1 4 3
0 1 0 1

1 1 2 1
0 1 0 1
0 1 0 1

1 1 2 1
0 1 0 1
0 0 0 0
Como vemos en la matriz escalonada las filas 1 y 2 no son nulas, entonces aplicando el
teorema, de las filas no nulas, podemos decir que son linealmente independientes y también lo
son sus correspondientes en la matriz original. Así a la fila 1 de la matriz escalonada le
corresponde la fila 3 de la matriz original y a la fila 2 de la escalonada le corresponde la fila 2 de
la matriz original. En consecuencia una base del espacio fila será:
BaseEfA  1,1, 2,1, 0,1,0,1 o bien: BaseEfA  1,1, 2,1, 2,1, 4,3.
DimEfA  2 (número de vectores de la base)
De la misma manera, se puede proceder para el espacio columna, encontrando una base y la
dimensión para el espacio fila pero de AT, ya que como las filas de AT son las columnas de A,
entonces EcA  EfAT. Quedacomo ejercicio.
v RangoA  2  DimEfA  DimEcA
Ejercicios 13 y 14
¿Qué? hay que hacer. Aplicar el teorema de Rouche Frobenius para decidir si un sistema de
ecuaciones lineales dado tiene o no solución, y en caso de tenerla, el tipo de solución que tiene.
¿Cómo? lo hacemos. Solo hay que recordar el teorema de Rouche Frobenius y el concepto de
rango de una matriz. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Utiliza el teorema de Rouche Frobenius para decidir, justificando tu respuesta, si el siguiente
es consistente o no. En caso de consistencia indica el tipo de solución del mismo.
2x  y  3z  2
x  y  2z  1
2x  y  3z  0
3x  2y  5z  4
Recordemos el teorema de Rouche Frobenius: Dado un sistema de m ecuaciones lineales
con n incógnitas cuya expresión matricial es AX  B. El sistema es consistente si y solo sí el
rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. Es decir:
(RangA  RangAB
Como consecuencia de este teorema tenemos un corolario que afirma:
Si RangA  RangAB  r entonces:
Si r  n, el sistema tiene solución única.
Si r  n, el sistema tiene infinitas soluciones.
Como podemos ver lo único que hay que hacer es calcular el rango de las matrices, de
coeficientes y ampliada del sistema, y aplicando el teorema, podemos ver la consistencia o no del
sistema según sean o no iguales. En caso de ser iguales comparar ese valor con la cantidad de
incógnitas, para ver si el sistema tiene solución única o infinitas soluciones.
Recordemos que el rango de una matriz no es más que la dimensión de su espacio fila o
columna, que sabemos son iguales, y que la dimensión del espacio fila no es más que el número
de filas no nulas de la matriz escalonada.
Escalonemos la matriz ampliada del sistema para ver cuántas filas no nulas tiene. De ella
también podremos ver cuántas filas no nulas tiene la matriz de coeficientes y comparar.
A/B 
2 1 3 2
1 1 2 1
2 1 3 0
3 2 5 4

2 1 3 2
0 1 1 0
0 4 0 4
0 1 1 2

2 1 3 2
0 1 1 0
0 0 4 4
0 0 0 2
Podemos observar que la matriz ampliada tiene 4 filas no nulas por lo que RangAB  4 y
la última fila de la matriz de coeficientes se anuló, en consecuencia dicha matriz solo tiene 3 filas
no nulas y por lo tanto RangA  3
Así que RangA  3  4  RangAB por lo que aplicamos el teorema de Rouche
Frobenius, podemos decir que el sistema no tiene solución.
Ejemplo 2
Aplicando el Teorema de Rouche Frobenius, determina si existen, valores del parámetro k
para que el siguiente sistema:
x  y  z  1
ky  z  1
x  2y  k  1z  3k  1
i Tenga solución única
ii Tenga infinitas soluciones
iii No tenga solución
Escalonamos la matriz ampliada del sistema
1 1 1 1
0 k 1 1
1 2 k  1 3k  1

1 1 1 1
0 k 1 1
0 1 k 3k  2

1 1 1 1
0 1 k 3k  2
0 k 1 1


1 1 1 1
0 1 k 3k  2
0 0 1  k2 1  k3k  1
Los cálculos auxiliares realizados en el escalonamiento de la última fila:
1  k3k  2  1  3k2  2k  1  k2  2k2  2k  1  k2  2k  2k2  1  k1  k  2k
 1  k1  k  2k  1  k3k  1
Ya tenemos la matriz ampliada escalonada analicemos las distintas posibilidades para el
rango de la misma, como también del rango de la matriz de coeficientes, ya que de acuerdo a
ello, podremos responder a las preguntas.
La última fila de la matriz ampliada se anulará si 1  k2  0 1  k3k  1  0
La primera igualdad se cumple para k  1 k  1 y la segunda igualdad para
k  1  k   1
3
. Entonces el valor que verifica ambas igualdades es k  1
En consecuencia si k  1 la matriz ampliada escalonada nos queda:
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 0 0
Como podemos ver, tanto la matriz ampliada como la matriz de coeficiente tienen 2 filas no
nulas, por lo que RangAB  RangA  2 y por lo tanto el sistema tiene solución. En este caso
r  2  n  3, podemos decir que el sistema tiene infinitas soluciones. Hemos resuelto lo
pedido en ii.
Si k  1 tenemos que 1  k2  1  12  1  1  0 pero si reemplazando en:
1  k3k  1  1  131  1  22  4  0.
En consecuencia si k  1 la matriz ampliada escalonada nos queda:
1 1 1 1
0 1 1 5
0 0 0 4
Como vemos la matriz ampliada tiene 3 filas no nulas y la matriz de coeficiente tienen 2 filas
no nulas, por lo que RangAB  3  RangA  2 y por lo tanto el sistema no tiene solución.
Hemos resuelto lo pedido en iii.
Por último si k  1  k  1 tanto la matriz ampliada como la matriz de coeficientes tienen 3
filas no nulas por lo que RangAB  RangA  3 y por lo tanto el sistema tiene solución. En
este caso r  3  n. Podemos decir que el sistema tiene solución única. Hemos resuelto lo
pedido en i.
Ejercicio 15:
¿Qué? debemos hacer. Decidir la verdad o falsedad de algunas afirmaciones que involucran
el concepto de solución de un sistema de ecuaciones lineales. Ya realizamos esta tarea en el TP1,
pero ahora tenemos nuevos conceptos que pueden ayudarnos a responder este tipo de preguntas.
¿Cuáles?. Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1
Dado el sistema de ecuaciones lineales AX  B en el que A  p5. Decide, justificando tu
respuesta, la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
i p ,X  5 y B  p
ii Si Rango A  5 y Rango (AB  5 entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
i Analicemos el valor de verdad de la proposición dada. Como A  p5 y en AX  B debe
estar definido el producto AX, entonces X  5 ya que el número de columnas de A es 5, así que
el número de filas de X debe ser tambien 5 y en este caso B que es el resultado de ese producto
debe ser de p  1, es decir B  p. En consecuencia la proposición es Verdadera.
ii Si analizamos el Rango de Ap5 y recordamos que rango se define como la dimensión del
espacio fila o la dimensión del espacio columna, y que éstos son iguales, entonces rangoA  5
y rangoAB  5
Pero recordemos que para que el sistema tenga solución, por el teorema de Rouche
Frobenius, debe ocurrir que rangoA  rangoAB. En consecuencia, la hipótesis no asegura
que ello ocurra, así que con la condición de la hipótesis, el sistema podría ser consistente o
inconsistente.
Por ejemplo si rangoA  3  5 y rangoAB  4  5, la hipótesis es verdadera, pero si
aplicamos el teorema de Rouche Frobenius como rangoA  3  rangoAB  4 la tesis es
falsa y en consecuencia la implicación es Falsa. Así que la proposición dada es falsa.
Por último te recuerdo que debes resolver el CUESTIONARIO 4 que se presenta como otra
de las actividades no presenciales del Tema 3 que tiene como objetivo que te sirva para
autoevaluar tu aprendizaje de los temas que se desarrollaron en el trabajo práctico 4. Asimismo te
sugiero que aunque en el cuestionario no te lo exige trata de justificar las respuestas dadas para
todas las preguntas, pero sobre todo no te olvides de subir el archivo con las justificaciones de
tus respuestas dadas para las preguntas cuya justificación se pide.
Ing. Augusto A. Estrada V.